哈工大概率论小论文

.::;哈工大约率论小论文

篇一：哈工大约率论小论文

概率论课程小论文

计算机科学与技术学院

信息平安专业一班(1303201)

姓名：宫庆红

学号：1130320203

概率论中用到的几种数学思想

作为数学中的一个重要分支，概率论同时用到了其他几种数学思想。本文着重从数学归纳法、集合论和微积分等几个方面进展简单的讨论。

一．概率论中的数学归纳法思想

在概率征询题中常会遇到一些与试验次数无关的重要结论,这些结论在使用数学归纳法来证明时,常常需要配合使用全概率公式,从而使概率论中的数学归纳法具有自己的特色。

例l设有冷个罐子,在每一个罐子中各有m个白球与k个黑球,从第一个罐子中任取一球放入第二个罐子中,并依次类推。求从最后一个罐子中取出一个白球的概率。

分析:先探究规律,设n=2

令H1=“从第一个罐子中取出一个球,是白球〞

H2=“从第二个罐子中取出一个球,是白球〞

显然P(H1)=m

m?k,所求之概率

P(HL)=P(H1)P(H2|H1)+P(H1’)P(H2|H1)

=mm?1kmm????m?km?k?1m?km?k?1m?k

这恰与n=1时的结论是一样的，因而可以预见，不论n为什么自然数，所求的概率都应是m。m?k

上述预测的正确性是特别容易用大家所熟知的数学归纳法来证明的。事实上，另Hi=“从i个罐子中去除一个球，是白球〞(i=1,2,……n)设当n=t时，结论成立，即P(Ht)=mm?k

那么当n=t+1时，有

P(Ht+1)=P(Ht)P(Ht+1|Ht)+P(Ht’)P(Ht+1|Ht’)mm?1kmm????m?km?k?1m?km?k?1m?k

k因而，结论P(Hn)=对任意自然数n都是成立的。m?k=

不难看出，在这里数学归纳法之因而能顺利进展，那是由于在明白从第t个罐中取出的球的颜色〔比如是白球〕之后，第t+1罐的新总体成分就完全明晰了。〔相当于从第t罐取出的是白球，这时新的第t+1罐中就有m+1个白球，k个黑球〕因而相应的条件概率P(Ht+1|Ht)=m?1m(或P(Ht|Ht’)=)也就随之而得了。m?k?1m?k?1

二．概率论中的微积分思想

在我们现阶段所学习的概率论课程中，微积分是重要的根底。如何正确、巧妙地运用微积分方法和技巧是值得注重的征询题。如今，简单归纳一些征询题来说明微积分方法在概率论中有着广泛的应用。幂级数方法

例1设随机变量ξ服从参数为〔r,p〕的负二项分布，〔r≧1,0lt;plt;1〕,即

P{ξ=m}=Cm?1pr?1rqm?r,m=r,r+1,……q=1-p,

求E(ξ).

解这道题的解题过程中要用到公式1

(1?x)??Cmxr?1

m?r?rm?r。?1n这个公式是有??x(0?x?1)连续逐项求导r次后得到的。事1?xn?0

实上E(?)??mCm?1pr?1m?r?rqm?r?rp?Cqrm?rmr?m?r?rpr1(1?q)?r?1r.p

三．概率论中的集合论思想

集合论是在十九世纪末由德国数学家康托创建的,以后逐渐开展构成一门独立学科,现已浸透到数学的各个分支。早在上世纪30年代初,冯#米泽斯就开始用集合论观点研究事件。以下主要讨论集合论观点在概率论中的应用。概率论中有关事件与概率局部内容,概念、公式繁多,难以理解,以下结合集合论知识可直观地理解概率论中根本知识。

1集合及运算

1.1集合及事件。

集合是一个原始概念,康托曾如此描绘过它:集合确实是由某些确定的可以区分的对象(详细的或笼统的事物)聚拢而成的一个整体。组成集合的每一个对象(事物)称为该集合的元素。假设集合A中的所有元素都是集合B的元素,称A为B的子集。

概率论中引进集合论,用集合来研究事件,使得概率论的研究更加严格化。将随机试验的所有可能结果组成的集合称为该试验的样本空间,用Ω表示。样本空间的每一个元素即试验的每一个可能的结果,

称为根身手件或样本点,用w表示。而随机事件由假设干个根身手件组成,可看作样本空间的一个子集,用A、B、C表示。在一次试验中呈现的样本点w?A?事件A发生,反之,假设w?A?事件A不发生。Ω是自身的子集,每次试验中必定发生,称必定事件。空集?也是样本空间的子集,在每次试验中不可能发生,称不可能事件。

1.2集合的关系及运算。

集合的关系和运算有:包含、相等、并、交、差、补、对称差。而用集合论观点定义的事件也有相应的关系及运算:包含、相等、和、交、互不相容、差、对立、对称差。集合论中,通常用文氏图来表示集合间的关系及运算,全集U用一个矩形表示,矩形中的点表示元素,每个子集用该矩形内的闭区域(常用圆形区域)表示。类似地,当事件间的关系及运算借助于文氏图来表示时,就比较直观,易于理解、掌握。

1.3运算律。

集合的运算律对事件同样适用,运算律包括否认律、幂等律、交换律、结合律、分配律和对偶原那么。

以上性质关于和与交的等式有一特点,等式都是配对呈现的,把其中一个等式中的运算和换成交,交换成和,那么便得到另一等式,这种性质称为对偶性质,和与交是一对对偶运算。而关于差,对称差就没有这种对偶性质,如分配律,有C(A-B)=CA-CB成立,即交对差的分配律成立,而和对差的分配律不成交。有A(B?C)=(AB)?(AC)成立,交关于对称差的分配律成立,而和关于对称差

篇二：哈工大约率论小论文

HarbinInstituteofTechnology

概率论与数理统计

结课论文

院系：

班级：

完成者：

学号：

完成时间：

哈尔滨工业大学

通过一个学习跟着王老师学习概率论与数理统计，觉察概率论与数理统计和往常学的工数、线数有特别大的区别，概率论与数理统计研究的不再是一个确定的值，而是发生一个事件概率的大小，是一个可能量。概率统计抛弃了数学中的“确定性〞，以“不确定性〞的视角对待世界，我觉得工数等都是研究数学公理，但概率论与数理统计是真正贴近日常生活中的人类感知的。通过查阅资料觉察概率论是一门研究随机现象现象统计规律的一门数学学科，同时广泛应用于支配、通讯、生物、物理、力学、社会科学以及其他工程技术等诸多领域中获得了广泛的应用。自然界的现象可以分为确定性现象和随机现象两大类。关于确定的现象确实是现象确实是在一定条件下必定现象，例如：太阳东升西落，水从高处流向低处等。而随机现象指的是在一定条件下可能呈现也可能不呈现的现象，例如：抛一枚硬币，可能是正面也可能是反面；抛一个骰子，观察呈现的点数，可能是1，2，3，4，5，6中任意一点，也确实是条件不能完全决定结果。我觉察征询题不在简单，通过老师的讲解，我觉察生活中好多地点都应用了概率论与数理统计的知识，下面我就选择几个我比较感兴趣的方面谈一谈自己的看法和感受。

最令我感兴趣确实实是正态分布，在老师讲的一个定理中，中心极限定理：设从均值为μ、方差为σ;〔有限〕的任意一个总体中抽取样本量为n的样本，当n充沛大时，样本均值的抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ/n的正态分布。这个定理最奇异的地点确实是对任意随机变量序列X1,X2,X3。。。Xn,独立同分布，同时具有有限的数学期望和方差E(Xi)=μ，D(Xi)=σ0(i=1，2，3···)，都可以看成是一个正态分布。这个定理当时听老师说特别好，是由于条件不是特别苛刻，就可以得到一个特别美丽的结论，我也觉得这个结论特别的奇异，不论什么样的分布最后当趋近于无穷的时候都可以变成是正态分布。通过的理解，感受中心极限确实是实验次数特别多，这时就可以用正态分布来计算这个二项分布的事件的概率。

第二个征询题确实是我们大家都买过的彩票，彩票在各个国家都有，许多人都梦想着一夜之间变成千万或百万富翁，但这种游戏终究我们有多大的中奖概率呢，我们就用我们学习的概率论的征询题来简单的解释一下这件事。假设有1万个人抽奖，每个人参与抽奖需要交2块钱，彩票公司由