高考数学真题分类汇编-09-圆锥曲线-理

专题九圆锥曲线

1.1高考福建，理3】若双曲线E:工-1=1的左、右焦点分别为耳,居，点/＞在双曲线E上，且户制=3,

916

则附I等于()

A.11B.9C.5D.3

【答案】B

【解析】由双曲线定义得归6Hp周|=2。=6,即|3-|「修=6,解得仍用=9,故选B.

【考点定位】双曲线的标准方程和定义.

【名师点睛】本题考查了双曲线的定义和标准方程，利用双曲线的定义列方程求解，属于基础题，注意

运算的准确性.

2.【高考四川，理5】过双曲线｛-《=1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A,

B两点，则|明=()

(A)迪(B)273(06(D)45/3

3

【答案】D

【解析】

双曲线的右焦点为b(2,0),过尸与x轴垂直的直线为x=2,渐近线方程为/-1=0,将x=2代入

/_?=0得：/=i2,y=±26,r.|明=46选D.

【考点定位】双曲线.

Fv2丫22

【名师点睛】双曲线二-与=1的渐近线方程为二-与=0,将直线x=2代入这个渐近线方程，便可得

abab

交点A、B的纵坐标，从而快速得出|AB1的值.

3.1高考广东，理7】已知双曲线C：]-.=|的离心率。=:，且其右焦点8(5,0),则双曲线C的

方程为()

A.二-£=1B.片-片=1C,《-片=1D,£=1

4316991634

【答案】B.

【解析】因为所求双曲线的右焦点为F,(5,0)且离心率为"£=9,所以c=5,。=4,。2=02-〃=9所

a4

以所求双曲线方程为=故选8.

169

【考点定位】双曲线的标准方程及其简单几何性质.

【名师点睛】本题主要考查学生利用双曲线的简单几何性质求双曲线的标准方程和运算求解能力，由离

心率和其右焦点易得〃，，值，再结合双曲线/，2=。2一"可求，此题学生易忽略右焦点信息而做错，属

于容易题.

4.1高考新课标1,理5】已知M（%,%）是双曲线C：、-y2=|上的一点，冗，得是，上的两个焦点，

若仞5<0,则为的取值范围是（）

（A）旦（B）（-区旦

3366

（C）（一逑，逑）（D）（一述，巫）

3333

【答案】A

【解析】由题知石（Y◎/（指曾），三一页=】，所以说•诬=（―/一0-尢）八相一看「兑）

=x：+v：-3=3i?-l<0,解得一直<：<走，故选A，上上

定位】双曲线的标准方程；向量数量积坐标表示；一元二次不等式解法.

【名师点睛】本题考查利用向量数量积的坐标形式将表示为关于点M坐标的函数，利用点M

在双曲线上，消去看,根据题意化为关于“的不等式，即可解出治的范围，是基础题，将M4・MF?表

示为M的函数是解本题的关键.

5.1高考湖北，理8】将离心率为弓的双曲线G的实半轴长〃和虚半轴长。（OH加同时增加加（加>0）个单

位长度，得到离心率为e的双曲线Cz,则（）

对任意的力，e>e

A.0,t213,当a>力时,q>s；当a<力时,et<e2

C.对任意的a,"e]<e2D.当〃>人时,et<e2;当a<8时,e]>e2

【答案】D

2

yl（a+m）-+（b+m）1,b+m.2

【解析】依题意，「〃丁=jl+g）2,%==1l+（），

a+mva+m

_3bb+mab+bm-ab-amm（b-a）

因为-------=-----;----;----==----由于m>0,67>0,b>0,

aa+ma（a+in）a（a+in）

所以当时，0<-<l,0〈竺竺<1,-①,（与<（叱）2,所以，<；

aa+maa+maa+m

、］，,DU.b.b+mb+m匚uz力、2,b+m

当。<分时，—>1j----->1f而一>----|所以(一)>(-----x)29所以

aa+maa+maa+m

所以当〃>/?时，et<e2;当a<力时，et>e2.

【考点定位】双曲线的性质，离心率.

【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法,分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要

统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论.

6.【高考四川，理10】设直线/与抛物线>2=4x相交于A,B两点，与圆(x-5『+y2=r2(r>o)相切于

点M,且M为线段AB的中点.若这样的直线/恰有4条，则r的取值范围是()

(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)

【答案】D

【解析】

显然当直线/的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线/的斜率存在时，设斜率为k.设

»=4x,

A(x,,),B(x2,y2),X,x2,M(x0,y0),则,相减得(y+%)(%-%)=4(%-々)・由于工尸工,，所以

入土&•上二三=2,即仅=2.圆心为C(5,O),由CM_LA8得=—1,织=5-%，所以

2x,-x2xQ-5

2=5-xn,x0=3,即点M必在直线x=3上.将v=3代入F=4x得y2=12,，-28<%<.因为点M在

圆(x-5『+y2=r~(r>())上，所以(X。-5)2+%2=产,产=%2+4<12+4=16.又.％2+4>4(由于斜率不

存在，故％工0,所以不取等号)，所以4<%2+4<i6,;.2<r<4.选D.

【考点定位】直线与圆锥曲线，不等式.

【名师点睛】首先应结合图形进行分析.结合图形易知，只要圆的半径小于5,那么必有两条直线(即

与x轴垂直的两条切线)满足题设，因此只需直线的斜率存在时，再有两条直线满足题设即可.接下来

要解决的问题是当直线的斜率存在时，圆的半径的范围是什么.涉及直线与圆锥曲线的交点及弦的中点

的问题，常常采用“点差法在本题中利用点差法可得，中点必在直线x=3上，由此可确定中点的纵

坐标为的范围，利用这个范围即可得到，的取值范围.

02

y~

7.1高考重庆，理10】设双曲线，=1（a>0.A>0）的右焦点为1,过尸作4尸的垂线与双曲线交于

a

BC两点，过自，分别作4G,四的垂线交于点ZZ若。到直线初的距离小于a+77寿，则该双曲线

的渐近线斜率的取值范围是()

A、(-1,0)(0,1)B、(一8,—1)(1,4-00)

C、(-72,0)(0,扬D\(—00,-V2)(V2,+oo)

【答案】A

【解析】由题意由双曲线的对称性知D在x轴上，设D（x,0）,由

a

J。£

b4b4

得义q=-i,解得1=，所以c-x==4TC，所以

c-xaaz(c-a)a2(c-a)

64、、L、/,C

—-<C—Q—b——―V1—r*0<-<1，因此新近线的斜率取值范围是（一L0）U（0J），选工

【考

点定位】双曲线的性质.

【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于c的不等式，根据已知条件

和双曲线中“也C的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于4/的不等关系，解不等式可得所

求范围.解题中要注意椭圆与双曲线中A,C关系的不同.

22

8.【高考天津,理6】已知双曲线£=1（“>0力>0）的一条渐近线过点（2,6）,且双曲线的一个

焦点在抛物线丁=4近x的准线上，则双曲线的方程为（）

222222

(A)土-上=1(B)--1(C)—~y^=\(D)—X-y^=1

212828213443

【答案】D

【解析】双曲线］=1（«>0,6>0）的渐近线方程为y=±gx,由点（2,6）在渐近线上，所以

,双曲线的一个焦点在抛物线V=4V九准线方程x=-疗上，所以。=而，由此可解得

a2

7

"2力=6所以双曲线方程为十=1,故选D.

3

【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.

【名师点睛】本题主要考查双曲线的定义、标准方程及几何性质，同时也学生的考查运算能.把双曲线

的几何性质与抛物线的几何性质相结合，找出双曲线中a也c的关系，求出双曲线方程，体现圆锥曲线

的统一性.是中档.

9.【高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在)，轴上且渐近线方程为卜=±2》的是()

2222

(A)/工=1(B)—-/=1(C)(D)y2--=\

44-44

【答案】C

【解析】由题意，选项A8的焦点在A轴，故排除A,B,。项的渐近线方程为《-/=0,即、=±2犬，

4

故选C.

【考点定位】1.双曲线的渐近线.

【名师点睛】双曲线确定焦点位置的技巧：/前的系数是正，则焦点就在X轴，反之，在.'轴；在双曲

吟-圻的渐近线方程中5浮易混淆，只要根据双曲线，小।的渐近线方程是

//。，便可防止上述错误.

10.1高考浙江，理5】如图，设抛物线y?=4x的焦点为尸，不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,

C,其中点A,8在抛物线上，点。在)轴上，则A8CF与AACF的面积之比是()

BF\+\|BF|2+I

C.D.J_L-

AF\+i|呵+1

【答案】A.

【解析】

【考点定位】抛物线的标准方程及其性质

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同

高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点

的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不

能遗漏相应平面几何知识的复习.

11.【高考新课标2,理11】已知4,8为双曲线£•的左，右顶点，点”在£"上，A4股为等腰三角形，

且顶角为120°,则£的离心率为（）

A.石B.2C.73D.V2

【答案】D

22

【解析】设双曲线方程为工上=l（a>0,6>0）,如图所示，|阴=NA5M=120°,过点例作

a2b2

MNLx轴，垂足为N,在RtABMN中,=\MN\=^a,故点M的坐标为M（2a,6a）,代入双

曲线方程得“2=6-2,即,2=2/,所以e=0,故选D.

【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质.

【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M的坐标,

利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题.

12.【高考北京，理10】已知双曲线5-丁=1（”>0）的一条渐近线为4+y=o,贝［=.

【答案】g

O

【解析】双曲线二-V=1（。>0）的渐近线方程为y=±—x芯x+y=0=>y=-Mxa>0,

优a99

则一工=->/3,a=—

a3

【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给

渐近线方程求参数.

【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用

双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利

用已知渐近线方程，求出参数a的值.

【高考上海，理5】抛物线V=2px（p>0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,贝=.

【答案】2

【解析】因为抛物线上动点到焦点的距离为动点到准线的距离，因此抛物线上动点到焦点的最短距离为

顶点到准线的距离，即勺l,p=2.

【考点定位】抛物线定义

【名师点睛】标准方程中的参数P的几何意义是指焦点到准线的距离；P>0恰恰说明定义中的焦点F

不在准线/上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常常用到，特别是具体的标准方程中应找到相

当于P的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形

可以直观地看出抛物线的顶点'对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.

v-22

【高考湖南，理13】设F是双曲线C:「一v与=1的一个焦点，若C上存在点P,使线段P厂的中点恰

a"b~

为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.

【答案】75.

【解析】

试题分析：根据对称性，不妨设矩轴端点为（0：6）,从而可知点（-，二o）在双曲线上，

J更=】=哼£=在

a*6*a

【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.

【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进

行

等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，=。2+。2,焦点坐标，渐近线方程等性

质，

也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.

13.【高考浙江，理9】双曲线1-y2=】的焦距是,渐近线方程是.

【答案】2^3,y=±—x.

2

【解析】由题意得：a=&•,b—\,c=y［cr+b~=V2+1=V3,焦距为2c=26，

渐近线方程为y=±-x=+^-x.

a2

【考点定位】双曲线的标准方程及其性质

【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其焦距，渐近线等相关概念，属于容易题，根据条件

中

的双曲线的标准方程可以求得a,b,c,进而即可得到焦距与渐近线方程，在复习时，要弄清各个圆

锥

曲线方程中各参数的含义以及之间的关系，避免无谓失分.

14.【高考新课标1,理14】一个圆经过椭圆王+或=1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆

164

的标准方程为.

【答案】(x-|)2+y2=^

【解析】设圆心为(a,0),则半径为4-a,则(4一a)2=/+22,解得。=3，故圆的方程为

2

/3丁225

(%——V+y~=—.

24

【考点定位】椭圆的几何性质；圆的标准方程

【名师点睛】本题考查椭圆的性质及圆的标准方程，本题结合椭圆的图形可知圆过椭圆的上下顶点与左

顶点(或右顶点)，有圆的性质知，圆心在x轴上，设出圆心，算出半径，根据垂径定理列出关于圆心

的方程，解出圆心坐标，即可写出圆的方程，细心观察圆与椭圆的特征是解题的关键.

15.【高考陕西，理14】若抛物线y=2px(p>0)的准线经过双曲线》2-9=［的一个焦点，则

P=•

【答案】2及

【解析】抛物线)，=2px(〃>0)的准线方程是工=一与，双曲线V—=1的一个焦点双-血,0),因

为抛物线y2=2℃(p>0)的准线经过双曲线/一/=］的一个焦点，所以一_^=一后，解得夕=2上，

所以答案应填：20.

【考点定位】双曲线的几何性质和抛物线标准方程

【名师点睛】本题主要考查的是抛物线的简单几何性质和双曲线的简单几何性质，属于容易题.解题时

要注意抛物线和双曲线的焦点落在哪个轴上，否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是抛物线

的准线方程和双曲线的焦点坐标，即抛物线y2=2px(P>0)的准线方程是x=-K,双曲线=-4=1

2ab-

(a>0,b>0)的左焦点耳(—c,0),右焦点F2(C,0),其中02=/+/.

【高考上海，理9】已知点P和Q的横坐标相同，P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为

双曲线C1和C2.若C1的渐近线方程为y=土瓜,则C2的渐近线方程为.

【答案】y-±^-x

2

【解析】由题意得：C1：3x：-『=ZC*0),设20j),则尸(工2>),所以3x：-4F=2,即G的新

【考点

+出

X'=士--X

近线方程为‘2

定位】双曲线渐近线

【名师点睛】(1)已知渐近线方程y=mx,若焦点位置不明确要分，〃或〃?=@讨论.(2)与双曲线

ab

丫2v2r2v2h

--当=1共渐近线的可设为±--21=2(2^0);(3)若渐近线方程为y=±-x,则可设为

ab6rZra

X2y2

=A(A^O);(4)相关点法求动点轨迹方程.

22

16.【高考山东，理15】平面直角坐标系wy中，双曲线G:1-3=1(“>0]>0)的渐近线与抛物线

ab

C2：/=2py(p〉0)交于点若AOAB的垂心为G的焦点，则G的离心率为

【答案】-

2

【解析】设OA所在的直线方程为y=?x，则08所在的直线方程为y=-?x,

aa

bxH

x

y=-尸a

解方程组4a传：”,,所以点A的坐标为

2Pb2

52=2py

y=^a~

抛物线的焦点f的坐标为：(0卷.因为F是A48c的垂心，所以&。/砥,.=-1

(2pb2P

所以，—2a12।b?5

a2ph

,,,,2c2,从93

所以，e-=r=l+r=—ne=—.

a2a242

【考点定位】1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.

【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的

把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角膨的垂心的概念以及两直线垂直的条

件是突破此题的关键.

17.【江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线右支上的一个动点。若点p

到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为.

【答案】显

2

【解析】设P(x,y),(x21),因为直线x-y+l=0平行于渐近线x-y=。，所以点P到直线x-y+l=0的距离

恒大于直线x-y+1=0与渐近线x-y=0之间距离，因此c的最大值为直线无-》+1=0与渐近线X-产。之

间距离，为=

【考点定位】双曲线渐近线，恒成立转化

【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突

(1)与双曲线1=1共渐近线的可设为

破口.与渐近线有关的结论或方法还有:=A(2。0)⑵

a2b2

若渐近线方程为i”则可设为,方—3)双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长。；

(4)=方＞0)的一条渐近线的斜率为2==.可以看出，双曲线的渐近线和离心

率的实质都表示双曲线张口的大小.另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或

极限位置.

18.【高考新课标2,理20](本题满分12分)

已知椭圆＜7:9/+丫2=加2(,”＞0),直线/不过原点o且不平行于坐标轴，/与C有两个交点A,B,线段

AB的中点为M.

(I)证明：直线OM的斜率与/的斜率的乘积为定值；

(II)若/过点(生,〃/)，延长线段0M与C交于点尸，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时/

3

的斜率，若不能，说明理由.

【答案】(I)详见解析；(II)能，4-5或4+J7.

【解析】(I)设直线/:y=Ax+匕(ZHO,6H0),A*],%),B(x2,y2),M(xu,yM).

2222

将y="代入9/+y=得(％?+9)x+2kbx+b-m=0,故xM='+""=——，

2攵+9

yv=-+b=^~.于是直线。”的斜率4a=&=一2,即ka次=一9.所以直线。U的斜率

k+9X1,k

与，的斜率的乘积为定值.

（II）四边形QTP3能为平行四边形.

因为直线/过点（二：物），所以，不过原点且与C有两个交点的充要条件是k>0,k士3.

由；I：，得8/的方程为］-=-2x.设点尸的横坐标为小.由<>=一'工得」=1”—,即

k.•»•»9\*+81

［9广+厂=叭

斗=产.将点（'m）的坐标代入直线7的方程得方=也公，因此々=四边形

3JM+9333（六+9）

±hn

OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段0P互相平分，即4=2处.于是

3JX+9

2,，叫-3）.解得匕=4_将，幺=4+J7.因为k>O,k产3,i=l,2,所以当/的斜率为

3（K+9）'

4-J7或4+J7时，四边形0AP8为平行四边形.

【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系.

【名师点睛】（I）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取''点差法”或“韦达定理”两种方法求解：

设端点A,B的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB的中点和直线/的斜率；设直线/的方程同时和椭

圆方程联立，利用韦达定理求弦A3的中点，并寻找两条直线斜率关系；（II）根据（I）中结论，设直线

0M方程并与椭圆方程联立，求得M坐标，利用巧,=2/以及直线/过点（£,⑼列方程求Z的值.

19.【江苏高考，18］（本小题满分16分）

22n>

如图，在平面直角坐标系X%中，已知椭圆0+?=1,>6>0）的离心率为学，且右焦点尸到左

准线/的距离为3.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过尸的直线与椭圆交于4B两点、,线段48的垂直平分线分别交直线/和48于

点P,C,若P12AB,求直线48的方程.

y

a

r2

【答案】（1）y+/=l（2）y=x—l或y=-x+l.

【解析】

试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为也，二是右焦点F到左准线

2

I的距离为3,解方程组即得（2）因为直线AB过F,所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键

就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，

解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交

点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB解出直线AB斜率，写出直线AB方程.

试题解析：（1）由题意，得£=立且c+《=3,

a2c

解得a=夜，c=l,则分=1,

所以椭圆的标准方程为三+丁=1.

2-

（2）当ABLx轴时，AB=0,又CP=3,不合题意.

当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=k（x-l）,A（X1,yJ,B（X2,^2）,

将AB的方程代入椭圆方程，得（1+2公卜2—4%，+2（%2-1）=0,

2k-±2k。—k、

则。C的坐标为且

1+2左2'1+2左2,

1+2A:

AB=/（矢一%）2+（为一《『二《+』）（"苦）2=:）•

若％=0,则线段AB的垂直平分线为）'轴，与左准线平行，不合题意.

k1弋

从而-O'故直线PC的方程为尹w%：x—血

5标+22|3MF1|J1+X

则P点的坐标为，从而PC=

I耳1+21网1+2六]

2|3k：+1|病涯4仍1+产J

因为PC=LAB,所以，解得得=±1.

」|ll+2k”1+2标

此时直线-0方程为丁=x-1或J=-x+1

【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系

【名师点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法：根据条件确定关于a,b,c的方程组，解出

〃，从而写出椭圆的标准方程.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与

椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题常

常用“点差法”解决，往往会更简单.

22万

20.【高考福建，理18】已知椭圆E：=+4=l(a>0>0)过点(0,扬，且离心率为先.

a~b-2

(I)求椭圆E的方程；

(II)设,直线x=Any-1,(m?R)交椭圆E于A,B两点，

o

判断点G(-10)与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.

4

22C

【答案】(|)二+上=1；(II)G(-？，0)在以AB为直径的圆外.

424

【解析】解法一：(|)由已知得

Ib=6,,>0

!Ia=2

I,解得口=血,

\a21/_

]a2=h2+c2,卜=0

所以椭圆E的方程为《+丫=1.

42

(II)设点A(X]y1),B(x2,y2),AB中点为H(x0,y0).

ix=my-1

由1X?y2得(m?+2)y2-3=0,

iT+T=1

所以丫|+丫2=^^，%丫2=^^，从而丫。=工3・

m+2m+2m+2

22

所以GH『=(Xo+》2+y；rmyo+^y+yj=(m+l)y0+|my0+^|.

442lo

|AB『_(X|-々)2+(y-y?)2_(m?+l)(x-yj2

44

_(m2+l)[(y+y?)2-4yly?]

=(m2+l)(y2-y%),

40

AB/5,2,、255m23(m2+l)2517m2+2八

故|GH|———my°+(m-+I)>，1ITT^7^~~-+—=----；——>0

m2+21616(m2+2)

所以|GH|>幽，故G(--,0)在以AB为直径的圆外.

24

解法二：(I)同解法一.

.99

(11)设点A(x,y।),B(9,y2)，，则GA=(%+1x),GB=(/+T%)•

ix=tny-1

由y2得(m?+2)y2-2，町，-3=0,所以丫1+丫2==^,%丫2==^

i—=1m+2m+2

I42

9+VM=(my|+》(my2+；)+%%

从而GAWB=（X+G）（W

22

=画+1"+河犷力）+1|=就而一3(m+1)12517W+2八

-------1——>0

m2+21616(m2+2)

所以co须A,GB>（）,又GA,GB不共线，所以E>AGB为锐角.

o

故点G（-二，0）在以AB为直径的圆外.

4

【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系.

【名师点睛】本题通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心

到点G的距离并和半径比较得解；也可以构造向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系：

G4-G8<0o点G在圆内；G4・G8>0。点G在圆外；GA-G8=0o点G在圆上，本题综合性较高，

较好地考查分析问题解决问题的能力.

21.【高考浙江，理19】已知椭圆二+丁=1上两个不同的点A,8关于直线,)=3+人对称.

22

(1)求实数〃?的取值范围；

(2)求A4O8面积的最大值(。为坐标原点).

【答案】(1)①＜一如或加＞四；(2)旦.

332

x2,

—+y~=11

试题分析：(1)可设直线AB的方程为y=-^x+b,从而可知.2有两个不同

m1,

y=---x+b

m

的解，再由A8中点也在直线上，即可得到关于团的不等式，从而求解；(2)令/=工，可

m

将AAOB表示为f的函数，从而将问题等价转化为在给定范围上求函数的最值，从而求解.

X-1

—+V2=1

试题解析：(1)由题意知"2W0,可设直线AB的方程为y=-'x+O,由＜2

m1,

y=---x+b

tn

消去y,得('+4)x2一丝x+82_]=0,,直线y=一_-x+b与椭圆上+y?=l有两

2〃广mm2

个不同的交点，A=-2及+2+£＞0,①，将AB中点M(卫2，-?2)代入直线

m"m~+2m+2

方程y=勿优+■!■解得/?=一,②。由①②得/nv-XS或〃;(2)令

22犷33

-2r4+2r+-

则-----------2,且0到直线AB

t2+-

2

t2+-

的距离为4=/2,设A4O8的面积为SQ),

〃+1

S(t)=-\AB\d=-,l-2(t2--)2+2<—,当且仅当J=_L时，等号成立，故A4O8

22V222

面积的最大值为注.

2

【考点定位】1.直线与椭圆的位置关系；2.点到直线距离公式；3.求函数的最值.

【名师点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系等知识点，在直线与椭圆相交背景下求三南形面积

的

最值，浙江理科数学试卷在2012年与2013年均有考查，可以看出是热点问题，将直线方程与椭圆方程

耳关

立消去一个字母后利用韦达定理以及点到直线距离公式建立目标函数，将面积问题转化为求函数最值问

题，是常规问题的常规考法，应熟练掌握，同时，需提高字母运算的技巧.

,2、万

22.【高考山东，理20】平面直角坐标系xoy中，已知椭圆。:与+方=l(a>6>0)的离心率为三，左、

右焦点分别是耳，工，以耳为圆心以3为半径的圆与以旦为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.

(I)求椭圆C的方程；

(II)设椭圆£:匚+二=1,P为椭圆C上任意一点，过点P的直线)，=去+〃?交椭圆E于4,3两

4a-4b-

点，射线P。交椭圆E于点Q.

)求将的值

|。尸|

(ii)求AA8Q面积的最大值.

v-2

【答案】(I)—+/=1;(II)(i)2;(ii)673.

4

【解析】

试题分析：（D根据隔园的定义与几何性质列方程组确定。力的值，从而得到桶扇。的方程；（口）（D设

\00\

尸（%”），谒=/，由题意知。（一，三「/”），然后利用这两点分别在两上椭圆上确定/的直5）

11'=kx+m

设出埠内）出（七通），利用方程组八：i•:结合韦达定理求出弦长只身，选将LOzlB的面积表示

।----F—=1

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