数学-专项15 分式方程的实际应用（带答案）

2022-2023学年人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编专题15分式方程的实际应用考试时间：120分钟试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021八上·玉林期末）自带水杯已成为人们良好的健康卫生习惯.某公司为员工购买甲、乙两种型号的水杯，用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同，已知甲种水杯的单价比乙种水杯的单价多15元.设甲种水杯的单价为元，则列出方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【完整解答】解：设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x-15）元根据题意列出方程得：.故答案为：A.【思路引导】设甲种水杯的单价为x元，则乙种水杯的单价为（x-15）元，根据“用720元购买甲种水杯的数量和用540元购买乙种水杯的数量相同”列出方程并解之即可.2．（2分）（2021八上·芜湖期末）某灾区恢复生产，计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，因此提前一天完成任务，问实际种了几天？现设实际种了天，则可列出方程（）A． B．C． D．【答案】A【完整解答】设实际种了天，则原计划需要天，根据题意，得．故答案为：A．【思路引导】根据计划在一定时间内种60亩蔬菜，实际播种时每天比原计划多种3亩，列方程即可。3．（2分）（2021八上·西城期末）某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主

任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】解：由题意得：王老师花费20元买了本笔记本，则可列方程为，故答案为：C．

【思路引导】根据题意，设王老师花费20元买了本笔记本，即可列出方程。4．（2分）（2021八上·承德期末）某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等．设原计划每天生产x吨化肥，那么适合x的方程是（）A．= B．C． D．【答案】C【完整解答】原计划生产120吨的时间为，实际生产180吨的时间为.那么所列方程为.故答案为：C.

【思路引导】根据题意得出原计划生产120吨的时间为，实际生产180吨的时间为.即可列出方程。5．（2分）（2021八上·怀柔期末）2021年6月，怀柔区政府和内蒙古自治区四子王旗政府签订了《2021年东西部协作协议》，在乡村振兴、产业合作、消费帮扶、就业帮扶、教育和健康帮扶方面，按计划推动

工作落实．在产业合作过程中，怀柔区为四子王旗提供设备和技术支持．运送设备使用大货车，技术人员乘坐面包车．已知怀柔区与四子王旗相距600千米，若面包车的速度是大货车的1.2倍，两车同时从怀柔区出发，大货车到达四子王旗比面包车多用小时．求大货车和面包车的速度．设大货车速度为x千米/小时，下面是四位同学所列的方程：①国国：；②佳佳：；③富富：；④强强：．其中，正确的序号是（）A．①② B．①③ C．①④ D．②③【答案】C【完整解答】解：设大货车速度为x千米/小时，则面包车的速度为1.2x千米/小时，总路程均为600千米，根据题意可得：，变形为：，，∴①④符合题意，故答案为：C．【思路引导】先求出，再变形求解即可。6．（2分）（2021八上·道里期末）八年级学生去距学校15km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了30min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度．若设骑车同学的速度为x千米/时，则所列方程时（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】解：设骑车同学的速度为x千米/时，汽车的速度是2x千米/时，根据题意列方程得，，故答案为：C．

【思路引导】根据题意，设骑车同学的速度为x千米/时，汽车的速度是2x千米/时，可列出方程。7．（2分）（2019七下·苍南期末）

商家常将单价不同的A，B两种糖混合成“什锦糖”出售，记“什锦糖”的单价为：A，B两种糖的总价与A，B两种糖的总质量的比．现有两种“什锦糖”：一种是由相同千克数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”甲，另一种是由相同金额数的A种糖和B种糖混合而成的“什锦糖”乙．若B种糖比A种糖的单价贵40元/千克，“什锦糖”甲比“什锦糖”乙的单价贵5元/千克，则A种糖的单价为()A．50元/千克 B．60元/千克 C．70元/千克 D．80元/千克【答案】B【完整解答】解：设A、B两种糖的单价为x、y,“什锦糖”甲混合时所谓的相同质量是m,“什锦糖”乙混合时所谓的相同金额是n,“什锦糖”甲单价为a,“什锦糖”甲单价为b,则：

,

把y=40+x代入上式解得：x=60.

故答案为：B【思路引导】根据题意设单价、数量和金额等未知量，注意有些未知量是为解题需要，但设而不求，分别计算两种情况下的“什锦糖”单价，结合已知的单价关系，解出x即可。8．（2分）（2022·北部湾）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边村的宽度应是多少米?设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（）A． B．C． D．【答案】D【完整解答】解：设边衬的宽度为x米，根据题意，得.

故答案为：D.【思路引导】设边衬的宽度为x米，则装裱后整幅图画的宽为（1.4+2x）米，长为（2.4+2x）米，然后根据宽与长的比是8∶13就可列出方程.9．（2分）（2022·宜宾）某家具厂要在开学前赶制540套桌凳，为了尽快完成任务，厂领导合理调配，加强第一线人力，使每天完成的桌凳比原计划多2套，结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳？设原计划每天完成套桌凳，则所列方程正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【完整解答】解：设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，根据原计划完成的时间实际完成的时间=3天得：，故答案为：C.【思路引导】设原计划每天完成x套桌凳，则实际每天完成(x+2)套，原计划需要的天数为天，实际需要的天数为天，然后根据提前3天完成任务就可列出方程.10．（2分）（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产万只口罩，根据题意可列方程为（）A． B．C． D．【答案】D【完整解答】解：设原计划每天生产x万只口罩，则实际每天生产（x+0.2）万只口罩，

根据题意得：.

故答案为：D.【思路引导】设原计划每天生产x万只口罩，得出实际每天生产（x+0.2）万只口罩，再根据原计划用的天数-实际用的天数=5，列出方程，即可得出答案.二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）

11．（2分）（2022七下·乐清期末）一房屋设计图原房间窗户面积为3m2，地面面积为18m2，该住户要求把房间的窗户和地面都增加相同的整数面积（单位：m2）的方式加强采光效果，并使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近，则增加的面积为m2．【答案】5【完整解答】解：设增加的面积为xm2（x为整数），根据题意得

解之：x=4.5，

∵使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近，

∴x≈5.

故答案为：5.

【思路引导】设增加的面积为xm2（x为整数），再根据使窗户面积与地面面积的比值尽可能接近，可得到关于x的方程，解方程求出整数x的值.12．（2分）（2022七下·温州期末）小明家购进一台扫拖一体机器人．该机器人识别出小明家需要扫地和拖地的面积均为60平方米，小明让机器人对识别的面积先扫地再拖地，发现拖地的时间比扫地的时间多100分钟，且扫地的速度是拖地的3倍．若拖地的速度为每分钟x平方米，则可列方程为．【答案】【完整解答】解：设拖地的速度为每分钟x平方米，

由题意，得：.

故答案为：.

【思路引导】设拖地的速度为每分钟x平方米，由“拖地的时间比扫地的时间多100分钟，且扫地的速度是拖地的3倍”，可列分式方程为，即可解决问题.13．（2分）（2022·江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为．【答案】

【完整解答】解：根据题意可知乙每小时采样（x-10）人，根据题意，得．故答案为：．

【思路引导】根据“甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等”列出方程即可。14．（2分）（2022·郯城模拟）某校举行“停课不停学，名师陪你在家学”活动，计划投资9000元建设几间直播教室，为了保证教学质量，实际每间建设费用增加了20%，并比原计划多建设了两间直播教室，总投资追加了3000元，根据题意，则原计划每间直播教室的建设费用是．【答案】500元【完整解答】解：设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据题意得：，解得：x=500，经检验：x=500是原方程的解，所以，原计划每间直播教室的建设费用是500元，故填：500元．

【思路引导】设原计划每间直播教室的建设费用是x元，则实际每间建设费用为1.2x元，根据“实际比原计划多建设了两间教室”列出方程并解之即可.15．（2分）（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。设自行车的速度为x千米时，则根据题意可列方程为【答案】【完整解答】解：设自行车的速度为x千米每时，则汽车的速度为3x千米每时，

由题意，得：.

故答案为：.

【思路引导】

设自行车的速度为x千米每时，则汽车的速度为3x千米每时，由”半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达“，可列分式方程为.16．（2分）（2022七下·）甲、乙两人加工某种零件，若单独工作，则乙比甲多用12天才能完成.若两人合作，8天可以完成，设甲单独完成工作需要x天，则可得方程.【答案】【完整解答】解：设甲单独完成工作需要x天，根据题意题意得

.

故答案为：.

【思路引导】此题的等量关系为：乙单独完成的工作时间=甲单独完成的工作时间+12；8×（甲的工作效率+乙的工作效率）=1，据此列方程即可.17．（2分）（2021八下·乐山期中）甲、乙二人从同一地点同时出发沿相同路线去往同一目的地，甲一半路程以速度a行驶，一半路程以速度b行驶；乙一半时间乙速度a行驶，一半时间乙速度b行驶，问谁先到达目的地？（）下列结论：①甲先到；②乙先到；③甲、乙同时到达；④无法判断.其中正确的结论是．（只需填入序号）【答案】②【完整解答】解：设总路程为1，甲走完全程用的时间为m，乙走完全程用的时间为n，

甲：，

乙：，整理得

甲到达用的时间更多，所以乙先到。

【思路引导】本题需要根据甲乙各自路程、速度、时间的关系，整理出各自到达目的地用的总时间，然后进行比较，具体计算过程中运用到了分式的运算、偶次幂的非负性，要学会用做差的方法进行比较大小。18．（2分）（2022八下·江油开学考）城际铁路开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时.某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同.如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？设由北京到天津的平均速度是每小时x千米，则可列方程为.

【答案】【完整解答】解：设这次试车时，由北京去天津时平均每小时行驶x千米，则返回是每小时行驶（x+40）千米.预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时，则北京与天津之间的距离是（x+40）千米.根据题意，得.故答案为：.【思路引导】设这次试车时，由北京去天津时平均每小时行驶x千米，则返回时每小时行驶（x+40）千米，则北京与天津之间的距离是(x+40)千米，根据题意可得由北京到天津的行驶时间为，然后根据比预计时间多用了6分钟就可列出方程.19．（2分）某次列车平均提速，用相同的时间，列车提速前行驶，提速后比提速前多行驶.设提速前列车的平均速度是.根据题意分别列出下列四个方程：①；②；③；④.则其中正确的方程有.(填序号)【答案】①③④【完整解答】解：提速前列车平均速度是xkm/h，所以提速后列车平均速度是(x+v)km/h，依题意得：①；③；④.故其中正确的方程有①③④.

故答案为：①③④.【思路引导】提速前列车平均速度是xkm/h，可表示出提速后列车平均速度，抓住关键词：“相同的时间”，可得到.可对①；②③④作出判断；由此可得到正确的方程.20．（2分）（2020七下·上城期末）2020年某企业生产医用口罩，为扩大产量，添置了甲、乙两条生产线.甲生产线每天生产口罩的数量是乙生产线每天生产口罩数量的2倍，两生产线各加工6000箱口罩，甲生产线比乙生产线少用5天.则甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为.【答案】1800

【完整解答】解：设乙生产线每天生产x箱口罩，则甲生产线每天生产2x箱口罩，依题意，得：，解得：x=600，经检验，x=600是原分式方程的解，且符合题意，∴2x=1200.600+1200=1800（箱），答：甲、乙两生产线每天共生产的口罩箱数为1800，故答案为：1800.

【思路引导】此题等量关系为：乙生产线生产6000箱口罩用的时间-甲生产线生产6000箱口罩用的时间=5；甲生产线每天生产口罩的数量=乙生产线每天生产口罩数量×2；设未知数，列方程，然后求出方程的解；然后求出甲、乙两生产线每天共生产的口罩的箱数.三．解答题（共10题，满分60分）21．（5分）（2022八下·九江期末）某商家用3000元购买了一种商品，面市后供不应求，第二次又用5400元购买了这种商品，所购商品的数量比第一次多50件，但单价涨了20%．若销售这种商品每件定价都是50元，所有商品全部售完后，商家共赢利多少元？【答案】解：设第一次购买单价，则第二次为元，依题意得：解得经检验：是原方程的解．第一次赢利：（元）第二次赢利：（元）两次一共赢利：元答：商家共赢利4100元．【思路引导】先求出，再解方程求解即可。22．（5分）（2022·烟台）

扫地机器人具备敏捷的转弯、制动能力和强大的自主感知、规划能力，深受人们喜爱．某商场根据市场需求，采购了A，B两种型号扫地机器人．已知B型每个进价比A型的2倍少400元．采购相同数量的A，B两种型号扫地机器人，分别用了96000元和168000元．请问A，B两种型号扫地机器人每个进价分别为多少元？【答案】解：设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，依题意得：，解得：x＝1600，经检验，x＝1600是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣400＝2×1600﹣400＝2800．答：每个A型扫地机器人的进价为1600元，每个B型扫地机器人的进价为2800元．【思路引导】设每个A型扫地机器人的进价为x元，则每个B型扫地机器人的进价为（2x﹣400）元，根据题意列出方程求解即可。23．（5分）（2022八下·邗江期末）核酸检测时采集的样本必须在4小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效.A、B两个采样点到检测中心的路程分别为30千米、36千米.A、B两个采样点的送检车有如下信息：信息一：B采样点送检车的平均速度是A采样点送检车的1.2倍；信息二：A、B两个采样点送检车行驶的时间之和为2小时.若B采样点从开始采集样本到送检车出发用了2.6小时，则B采样点采集的样本会不会失效？【答案】解：设A采样点送检车的平均速度为x千米/小时，则B采样点送检车的平均速度为1.2x千米/小时，依题意得：，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，B采样点送检车的平均速度为1.2x=36(千米/小时)，∴B采样点送达检测中心需要时间为：36÷36=1(小时)，∴2.6+1=3.6<4，∴B采样点采集的样本不会失效.

【思路引导】设A采样点送检车的平均速度为x千米/小时，则B采样点送检车的平均速度为1.2x千米/小时，A采样点送检车行驶的时间为小时，B采样点送检车行驶的时间为小时，然后根据时间之和为2小时列出方程，求出x的值，然后求出B采样点送检车的平均速度，利用路程÷速度=时间可得B采样点送达检测中心需要时间，然后加上2.6，将其结果与4进行比较即可判断.24．（5分）（2022·铜仁）科学规范戴口罩是阻断遵守病毒传播的有效措施之一，某口罩生产厂家接到一公司的订单，生产一段时间后，还剩280万个口罩未生产，厂家因更换设备，生产效率比更换设备前提高了40%.结果刚好提前2天完成订单任务.求该厂家更换设备前和更换设备后每天各生产多少万个口罩？【答案】解：设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩（1+40%）x万只，依题意得：，解得：x=40，经检验，x=40是原方程的解，且符合题意.答：该厂家更换设备前每天生产口罩40万只，更换设备后每天生产口罩56万只.【思路引导】设该厂家更换设备前每天生产口罩x万只，则该厂家更换设备后每天生产口罩(1+40%)x万只，更换设备前生产280万个所需的天数为天，更换设备后所需的天数为天，然后根据提前2天完成列出方程，求解即可.25．（5分）（2022八下·建邺期末）小明去图书馆借书，到达后发现借书卡没带，于是他跑步回家，拿到借书卡后骑车返回图书馆.已知图书馆离小明家1650m，小明骑车时间比跑步时间少5.5min，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，求小明跑步的平均速度.【答案】解：设小明跑步的平均速度为xm/min.由题意得，解得：答：小明跑步的平均速度为100m/min.【思路引导】设小明跑步的平均速度为xm/min，则骑车的平均速度为1.5m/min，跑步所用的时间为，骑车所用的时间为，然后根据骑车时间比跑步时间少5.5min列出方程，求解即可.26．（5分）

随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？【答案】解：设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元。【思路引导】根据两种类型的净化器的台数是相同的，可列出方程，解出价格。27．（6分）（2018八上·大石桥期末）某市公交快速通道开通后，为响应市政府“绿色出行”的号召，家住新城的小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距上班地点18千米，他用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他用自驾车的方式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米，他从家出发到达上班地点，乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的.小王用自驾车方式上班平均每小时行驶多少千米？【答案】解：设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米由题意得：，解得x=27，经检验x=27是原方程的解.【思路引导】根据乘公交车方式所用时间是自驾车方式所用时间的，等量关系是：乘公交车方式所用时间等于自驾车方式所用时间的，设小王用自驾车方式上班平均每小时行驶x千米，乘公交车方式所用时间为，自家车所用时间为，所以列方程为：，解方程，检验作答即可。28．（6分）（2017八上·宜城期末）某农资公司购进甲、乙两种农药，乙种农药的单价是甲种农药单价的3倍，购买250元甲种农药的数量比购买300元乙种农药的数量多15，求两种农药单价各为多少元？【答案】解：设甲农药的单价为x元，乙农药的单价为3x元，根据题意，得，解这个方程，得x=10，

经检验，x=10是所列方程的根，∴3x=3×10=30（元），答：甲、乙两种农药品的单价分别为10元、30元【思路引导】设甲农药的单价为x元，乙农药的单价为3x元，根据购买250元甲农药的数量比购买300元乙农药的数量多15件列出方程，求出方程的解即可得到结果．29．（7分）（2022八下·乾县期末）某商场计划购进甲、乙两种商品，已知一件甲种商品的进价与一件乙种商品的进价之和为20元，用50元购进甲种商品的件数与用150元购进乙种商品的件数相同．（1）（3分）求甲种、乙种两种商品的进价分别是多少元？（2）（4分）商场计划购进甲、乙两种商品共80件，且此次进货的总资金不超过1000元，已知甲种商品的售价为12元，乙种商品售价为25元，试问该商场如何进货可使这两种商品全部售完后所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）解：设甲种商品进价x元/件，则乙种商品进价为（20－x）元/件，

由题意，得：，

解得：x＝5，

经检验x＝5是原方程的解，且符合题意，

∴20－x＝15．

答：甲，乙两种商品的进价分别是5元/件，15元/件．（2）解：设购进甲种商品y件，则购进乙种商品（80－y）件，总利润为z元，

由题意，得：z＝（12－5）y＋（25－15）（80－y）＝－3y＋800，

，

∴，

∵在中，，

∴z随着y的增大而减小，

∴当y＝20时，有最大利润元，80－y＝60，

答：该商场进货甲种商品20件，乙种商品60件，可使利润最大，最大利润是740元．【思路引导】（1）设一件甲种商品的进价是x元/件，则乙种商品进价为（20-x