数学-9.3 平行四边形（解析版）

9.3平行四边形同步培优讲练综合一、平行四边形的定义平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.二、平行四边形的性质1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；三、平行四边形的判定1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.对角线互相平分的四边形是平行四边形.一、利用平行四边形性质求解【例1】平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则平行四边形的各边长为()A．，，， B．，，， C．，，， D．，，，【答案】B【解析】

解：可设两边分别为，，由题意可得，解得，所以平行四边形的各边长为，，，，故选：．【例2】如图，在平行四边形中，平分，交边于点，，，则的长为．【答案】8【解析】解：四边形是平行四边形，，，，平分，，，，，，故答案为：8．【例3】若平行四边形的两条对角线长为6和16，则下列长度的线段可作为平行四边形边长的是

A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由题意可知，平行四边形边长的取值范围是：边长，即边长．只有选项在此范围内，故选．【例4】在中，，则（）A．30° B．60° C．90° D．120°【答案】B【解析】解：如图，，，故选B．【例5】如图，在▱ABCD中，AC、BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．12 D．24【答案】B【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，

∴，故选：B．二、已知三点组成平行四边形求点坐标【例1】的顶点坐标分别为、、，则点的坐标为．【答案】【解析】解：四边形是平行四边形，，，设，、、，，，，，，故答案为：．【例2】矩形在平面直角坐标系中的位置如图所置，已知点的坐标为，点为边上一点，且．（1）求直线的解析式；（2）在轴上是否存在点，使得直线平分矩形的面积，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点为矩形的中心，在平面直角坐标系中存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标．

【答案】见解析【解析】∵(10，6)∴，，∴点A(0，6)、点B(10，0)，设直线的表达式为，则，解得，故直线的表达式为；（2）存在，理由：矩形的面积，，则，，设点E(x，0)，则，解得，故点的坐标为(8，0)；（3）点为矩形的中心，由中点公式得，点P(5，3)，而点A(0，6)、点O(0，0)，设点Q(a，b)，①当是边时，由向右平移0个单位向上平移6个单位得到点，同样点向右平移0个单位向上平移6个单位得到点，则，解得；②当是对角线时，由中点公式得：，解得，

故点的坐标为(5，9)或(5，-3)或(-5，3)．【例3】在平面直角坐标系中的位置如图所示（坐标系内正方形网格的单位长度为1）：【答案】(1)见解析；(2)，或【解析】（1）如图所示：（2）

∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，∴将点A向右平移3个单位长度得到点，将点A向左平移3个单位长度得到点，将点B向下移动3个单位，再向右移动2个单位得到点．所以，点D的坐标为：，或．【例4】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像分别交轴，轴于，两点，过点的直线交轴正半轴于点，且BM=2MO．在平面直角坐标系内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请你画出图形，确定点的坐标．【答案】满足条件的点坐标为或或【解析】当时，=6∴B(0，6)

∵BM=2MO，且位于轴正半轴，∴M(0,2)BM=6-2=4，当=0时，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，分三种情况：如图所示：以MB，为边，此时，MB=AC，∴C(3,4)，以BM、为边，此时，MB=AC∴C（3，-4），以AM、为边，此时BC∥AM，BC=AM把B(0,6)向左平移3个单位，再向上平移2个单位即可得到C点∴C(-3，8)，综上，满足条件的点坐标为或或三、平行四边形判定与性质的应用【例1】下列说法不正确的是A．有两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．平行四边形的对角线互相平分 C．平行四边形的对角互补，邻角相等 D．平行四边形的对边平行且相等

【答案】C【解析】解：、平行四边形的判定定理：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项正确；、平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，故本选项正确；、平行四边形的对角相等，邻角互补，故本选项错误；、平行四边形的性质：平行四边形的对边平行且相等，故本选项正确；故选：．【例2】如图，在中，点，分别在边，上，有下列条件：①；②；③；④．其中，能使四边形是平行四边形的条件有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】解：①正确，理由如下：四边形平行四边形，，，又，．又，四边形是平行四边形．②正确，理由如下：，，四边形是平行四边形；④正确；理由如下：四边形是平行四边形，

，，．，．．．，四边形是平行四边形．不能得出四边形是平行四边形，③不正确；能使四边形是平行四边形的条件有3个．故选：．【例3】能判定四边形为平行四边形的题设是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】解：根据平行四边形的判定定理知，只有符合条件．故选：．【例4】下列不能判定四边形是平行四边形的条件是A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】解：、，，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；、，，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；、，，四边形可能是等腰梯形，故本选项符合题意；

、，，四边形是平行四边形，故本选项不符合题意．【例5】已知：如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，，求证：四边形是平行四边形．【答案】见解析【解析】证明：，，，，，在和中，，，，又，四边形是平行四边形．【例6】如图，四边形是矩形，过点作于点，连接，，．（1）求证：；（2）试判断四边形的形状，并说明理由．

【答案】见解析【解析】（1）证明：在矩形中，，又，∴，∵，∴，∴，又，∴，∴，∴；（2）答：四边形为平行四边形，证明：因为，知，又，且，∴，∴四边形为平行四边形．【例7】如图，在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，若．求证：四边形ABCD是平行四边形．

【答案】见解析【解析】证明：∵，∴，，∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴，，∴，∵，，∴四边形ABCD为平行四边形．四、综合性大题【例1】如图，点、、、在一条直线上，，，，交于点．（1）求证：与互相平分；（2）若，，，，求的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：如图，连接、，

，，又，，，，在和中，，，，又，四边形是平行四边形，与互相平分；（2）解：，，，，，，由勾股定理得：．【例2】已知：如图所示，在平行四边形中，、分别是和的角平分线，交、于点、，连接、．（1）求证：、互相平分；（2）若，，，求线段的长．

【答案】见解析【解析】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，、分别是和的角平分线，，，，，，，，，，，即，，四边形是平行四边形．、互相平分；（2），，是等边三角形，，，，，，过点作于点，

在中，，，，，．【例3】．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点B出发，沿射线的方向以每秒的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段上以每秒的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动时间为t（秒）．（1）若四边形是平行四边形，求出满足要求的t的值；（2）若以C，D，Q，P为顶点的四边形面积为，求相应的t的值．【答案】（1）当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2；【解析】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形，∴DQ＝CP，当P从B运动到C时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝22﹣2t∴16﹣t＝22﹣2t解得t＝6

当P从C运动到B时，∵DQ＝AD﹣AQ＝16﹣t，CP＝2t﹣22∴16﹣t＝2t﹣22，解得t＝，∴当t＝6或秒时，四边形PQDC是平行四边形；（2）若点P、Q分别沿BC、AD运动时，即解得t＝（秒）若点P返回时，CP＝2t﹣22，则解得t＝16（秒），此时点Q与点D重合，舍去．故当t＝秒时，以C，D，Q，P为顶点的四边形面积等40cm2；1、已知平行四边形，对角线、，则该平行四边形四条边中最长边a的取值范围是（）A． B． C． D．

【答案】B【解析】解：如图所示：四边形ABCD是平行四边形，AD＞AB，，，在△AOD中，由三角形的三边关系得：4-3＜AD＜4+3，∴1＜AD＜7，当四边相等时易得边长为5，∴5≤AD＜7．故选：B．2、如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】A、∵AB∥CD，∴∠DAB＋∠ADC＝180°，而，∴∠ADC＋∠BCD＝180°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；B、∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；C、∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；D、AB＝DC，AD∥BC无法得出四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

故选：D．3、如图，在四边形中，对角线相交于点下列条件中能够判定这个四边形是平行四边形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选：D．4、下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（）A．AB＝CD，AD＝BC B．AB∥CD，AB＝CDC．AB＝CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC【答案】C【解析】解：A、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；C、四边形中，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定是平行四边形．故本选项符合题意；D、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故本选项不符合题意；故选：C．5、如图，在平行四边形中，为上一点，，且，，则下列选项正确的为（）A．B．

C．D．【答案】B【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABE＝∠BEC＝28°，∵CE＝BC，∴∠EBC＝∠BEC＝28°，∴∠ABC＝56°，∴∠BAD＝∠C＝124°，∠DAE＝56°，∵AB∥DC，∴∠BAE＝∠AED，∵AE＝ED，∴∠D＝∠DAE＝56°，∴∠BAE＝124°−56°＝68°，∴∠AED＝180°−56°−56°＝68°，∴∠AEB＝180°−68°−28°＝84°，故选：B．6、在四边形中，对角线相交于点，给出下列条件：①，；②，；③，；④，．其中能够判定是平行四边形的有．【答案】①③④【解析】

解：如图，①，，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，故①正确；②，，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故②错误；③，，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故③正确；④，，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，故④正确；故答案为：①③④7、如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分∠ABC，连接CE，已知DE＝6，CE＝8，AE＝10．（1）求AB的长；（2）求平行四边形ABCD的面积；【答案】见解析【解析】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=10；（2）∵四边形ABCD是平行四边形．∴CD=AB=10，在△CED中，CD=10，DE=6，CE=8，

∴ED2+CE2=CD2，∴∠CED=90°．∴CE⊥AD，∴平行四边形ABCD的面积=AD•CE=（10+6）×8=128．8、若以A(-0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点要画平行四边形，则第四个顶点不可能在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】解：根据题意画出图形，如图所示：分三种情况考虑：①以CB为对角线作平行四边形ABD1C，此时第四个顶点D1落在第一象限；②以AC为对角线作平行四边形ABCD2，此时第四个顶点D2落在第二象限；③以AB为对角线作平行四边形ACBD3，此时第四个顶点D3落在第四象限，则第四个顶点不可能落在第三象限．故选：C．9、已知以A，B，C，D四个点为顶点的平行四边形中，顶点A，B，C的坐标分别为，则顶点D的坐标为___________．【答案】【解析】解：由图可知，满足条件的点D坐标为

故答案为：10、如图，四边形ABCD中，，点E、F分别在AD、BC上，，过点A、C分别作EF的垂线，垂足为G、H．(1)求证：：(2)连接AC，线段GH与AC是否互相平分？请说明理由【答案】(1)见解析(2)线段GH与AC互相平分，理由见解析【解析】（1）证明：∵AG⊥EF，CH⊥EF，∴∠G＝∠H＝90°，AGCH，∵ADBC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠AEG＝∠DEF，∠CFH＝∠BFE，∴∠AEG＝∠CFH，

在△AGE和△CHF中，，∴△AGE≌△CHF（AAS）；（2）解：线段GH与AC互相平分，理由如下：连接AH、CG，如图所示：由（1）得：△AGE≌△CHF，∴AG＝CH，∵AGCH，∴四边形AHCG是平行四边形，∴线段GH与AC互相平分．11