概率论 gltj-3 简明教程

第三章多维随机变量及其分布在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的r.v.来描述.例如用温度和风力来描述天气情况.通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维r.v.及其取值规律—多维分布.钢的成分.要研究这些r.v.之间的联系,就§3.1二维随机变量及其分布定义

设为随机试验的样本空间，则称(X,Y)为二维r.v.或二维随机向量讨论：二维r.v.作为一个整体的概率特性其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性之间的关系§3.1二维随机变量及其分布二维随机变量的联合分布函数定义设(X,Y)为二维r.v.对任何一对定义了一个二元实函数F(x,y)，称为二维r.v.(X,Y)的分布函数，即(记为)的概率实数(x,y),事件§3.1二维随机变量及其分布分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy§3.1二维随机变量及其分布联合分布函数的性质xy(x,y)xy①§3.1二维随机变量及其分布xyxy§3.1二维随机变量及其分布固定x,对任意的y1<y2,固定y,对任意的x1<x2,F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)对每个变量单调不减②对每个变量右连续③F(x,y1)

F(x,y2)F(x1,y)

F(x2,y)§3.1二维随机变量及其分布F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事实上对于任意a<b,c<d④–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)F(b,d)abcd§3.1二维随机变量及其分布例1设讨论F(x,y)能否成为二维r.v.的分布函数？解xyx+y=1•(0,0)•(2,0)•(2,2)•(0,2)故F(x,y)不能作为某二维r.v.的分布函数.§3.1二维随机变量及其分布注意对于二维r.v.xyac(a,c)(a,+

)(+

,+

)(+,c)§3.1二维随机变量及其分布二维随机变量的边缘分布函数xyxxyy由联合分布函数边缘分布函数,逆不真.§3.1二维随机变量及其分布例2设随机变量(X,Y)的联合分布函数为其中A,B,C为常数.确定A,B,C

；求X和Y的边缘分布函数；求P(X>2)§3.1二维随机变量及其分布解(1)(2)§3.1二维随机变量及其分布(3)可以将二维r.v.及其边缘分布函数的概念推广到n维r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数§3.1二维随机变量及其分布定义若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型r.v.要描述二维离散型r.v.的概率特性及其与每个r.v.之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布二维离散型r.v.及其概率特性§3.1二维随机变量及其分布联合分布律设(X,Y)的所有可能的取值为则称为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布也简称概率分布或分布律显然，§3.1二维随机变量及其分布二维离散r.v.的联合分布函数已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之,由分布函数也可求出其联合分布律§3.1二维随机变量及其分布二维离散r.v.的边缘分布律由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.§3.1二维随机变量及其分布x1xi

XY

(X,Y)的联合分布律y1yj§3.1二维随机变量及其分布1x1xi

pi•p1•pi•p•jp•1p•jyjy1XY

联合分布律及边缘分布律§3.1二维随机变量及其分布的求法⑴利用古典概型直接求；⑵利用乘法公式§3.1二维随机变量及其分布例3

某校新选出的学生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.解

X与Y的可能取值分别为0,1与0,1,2.求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.由乘法公式§3.1二维随机变量及其分布或由古典概型相仿有§3.1二维随机变量及其分布故联合分布律与边缘分布律为010123/156/151/153/152/150XYpi•p•j1/32/316/158/151/15§3.1二维随机变量及其分布例4二元两点分布XYpijp•jpi•1010p00qpqpq1p+q=1，0<p<1§3.1二维随机变量及其分布内容回顾1.与一维情形相对应,引入了多维随机变量的概念二维随机变量及其联合分布、边缘分布函数随机变量联合分布函数的性质离散型随机变量及其概率分布离散型随机变量的联合分布、边缘分布连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度的性质2.注意联合分布和边缘分布的关系:由联合分布可以确定边缘分布;但由边缘分布一般不能确定联合分布.二维连续r.v.及其概率特性定义

设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有则称(X,Y)为二维连续型r.v.,

f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数,简称概率密度函数简记p.d.f.§3.1二维随机变量及其分布联合密度与联合分布函数的性质除d.f.的一般性质外还有下述性质从而有12对每个变元连续,在的连续点处3§3.1二维随机变量及其分布P(X=a,-<Y<+

)=0P(-<X<+,Y=a)=0若G是平面上的区域，则P(X=a,Y=b)=04§3.1二维随机变量及其分布边缘分布函数与边缘d.f.与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.§3.1二维随机变量及其分布例5设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解(1)即有例5设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解(2)将看作是平面上随机点的坐标,即有其中为平面上直线及其下方的部分,如图.于是例5设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(2)例5设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(2)例5设二维随机变量具有概率密度(1)求分布函数(2)求概率解于是(2)例6设r.v.(X,Y)的联合d.f.为其中k为常数.求常数k;

P(X+Y1),P(X<0.5);

联合分布函数F(x,y);

边缘d.f.与边缘分布函数§3.1二维随机变量及其分布y=x10xy解令D(1)§3.1二维随机变量及其分布x+y=1y=x10xy(2)0.5x+y=1y=x10xyy=x10xy0.5§3.1二维随机变量及其分布的分段区域y=x10xyD§3.1二维随机变量及其分布当0

x<

1,0

y<

x时，1(3)当x<0或y<0时,

F(x,y)=0当0

x<1,x

y<1时，v=u10uv§3.1二维随机变量及其分布当x

1,0

y<1时，v=u10uv1当x

1,y

1时，§3.1二维随机变量及其分布当0

x<1,y

1时，v=u10uv1F(x,y)=0,x<0或y<0y4,0

x<1,0

y<

x，2x2y2–y4,

0

x<1,x

y<1，2x2–x4,0

x<1,y

1，y4,x

1,0

y<1，1,x

1,y

1，§3.1二维随机变量及其分布(4)=0,x<0，2x2–x4,0

x<

1,1,x

10,y<0y4,0

y<

1,

1,y

1=§3.1二维随机变量及其分布也可直接由联合d.f.求边缘d.f.,再积分求边缘分布函数.例如v=u10uv1§3.1二维随机变量及其分布常用连续型二维随机变量分布

G是平面上的有界区域,面积为A

若r.v.(X,Y)的联合d.f.为则称(X,Y)服从区域G上的均匀分布区域G上的均匀分布，记作U(G)§3.1二维随机变量及其分布则

G1

G,设G1的面积为A1,若(X,Y)服从区域G上的均匀分布,边平行于坐标轴的矩形域上的均匀分布的边缘分布仍为均匀分布§3.1二维随机变量及其分布例7设(X,Y)~G上的均匀分布,

f(x,y);

P(Y>X2);(X,Y)在平面上的落点到y

轴距离小于0.3的概率.求§3.1二维随机变量及其分布解

(1)y=x10xy1G(2)y=x2§3.1二维随机变量及其分布(3)y=x10xy10.3§3.1二维随机变量及其分布例8设服从单位圆域上的均匀分布,求和的边缘概率密度.解当或时,从而当时,于是我们得到的边缘概率密度例8设服从单位圆域上的均匀分布,求和的边缘概率密度.解于是我们得到的边缘概率密度由和在问题中地位的对称性,将上式中的改就得到的边缘概率密度成若r.v.(X,Y)的联合为则称(X,Y)服从参数为

1,

12,

2,

22,

的正态分布,记作(X,Y)~N(

1,

12;

2,

22;

),其中

1,

2>0,-1<<1.二维正态分布§3.1二维随机变量及其分布二维正态分布图§3.1二维随机变量及其分布二维正态分布剖面图§3.1二维随机变量及其分布正态分布的边缘分布仍为正态分布§3.1二维随机变量及其分布令B为正定矩阵再令,则二维正态联合d.f.为推广§3.1二维随机变量及其分布例9设二维随机变量的概率密度试求关于的边缘概率密度函数.解利用函数及奇偶函数的积分性质得注:此例说明,边缘分布均为正态分布的二维随机变量,其联合分布不一定是二维正态分布.

思考题某中外合资公司准备通过考试招工200名，其中180名正式工，20名临时工.报考人数为1684名,考试满分为300分.阅卷后人事部门公布如下信息：平均成绩是178分，270以上的高分有32名.考生小王的成绩是233分，他能否被录取？如被录取能否是正式工？§3.1二维随机变量及其分布§3.2

二维r.v.的条件分布设二维离散型r.v.(X,Y)的分布若则称为在X=xi的条件下,Y的条件分布律二维离散r.v.的条件分布律

§3.2二维r.v.的条件分布若则称为在Y=yj的条件下X的条件分布律类似乘法公式类似于全概率公式例1把三个球等可能地放入编号为1,2,3的三个盒子中,每盒可容球数无限.记X为落入1号盒的球数,Y为落入2号盒的球数，求(1)在Y=0的条件下，X的分布律；(2)在X=2的条件下，Y的分布律.§3.2二维r.v.的条件分布解先求联合分布，其联合分布与边缘分布如下表所示XYpij01230123000000pi•1p•j§3.2二维r.v.的条件分布X0123将表中第一行数据代入得条件分布(1)§3.2二维r.v.的条件分布(2)当X=2时，Y只可能取0与1.将表中第三列数据代入下式Y01得Y的条件分布§3.2二维r.v.的条件分布解例2已知一射手每次击中目标概率为p(0<p<1),射击进行到击中两次为止.令X表示首次击中目标所需射击次数,Y表示总共射击次数.求

的联合分布律、条件分布律和边缘分布律.由题设知故X与Y的边缘分布律分别为§3.2二维r.v.的条件分布的联合分布律为§3.2二维r.v.的条件分布当时,X的条件分布律为当时,Y的条件分布律为§3.2二维r.v.的条件分布二维连续型随机变量的条件分布和条件密度当X连续时,条件分布不能用来定义,因为,来定义.而应该用§3.2二维r.v.的条件分布xy-

yy设xy-

yy§3.2二维r.v.的条件分布若f(x,y)在点(x,y)连续,fY(y)在点y处连续且fY(y)>0,则称为Y=y时，X的条件分布函数,记作定义§3.2二维r.v.的条件分布称为Y=y的条件下X的条件p.d.f.类似地,称为X=x的条件下Y的条件分布函数;为X=x的条件下Y的条件p.d.f.称§3.2二维r.v.的条件分布注意对每一fY(y)>0的y处,只要符合定义的相仿论述.仅是x的函数,y是常数,条件,都能定义相应的函数.类似于乘法公式：§3.2二维r.v.的条件分布类似于全概率公式类似于Bayes公式例3已知(X,Y)服从圆域x2+y2

r2上的均匀分布,求r解

x-r=§3.2二维r.v.的条件分布同理，边缘分布不是均匀分布！§3.2二维r.v.的条件分布当–r<y<r时，

y—这里y是常数，当Y=y时，当–r<x<r时，—这里x是常数，当X=x时，

x§3.2二维r.v.的条件分布例4已知求解§3.2二维r.v.的条件分布同理，例5设求解y=x11§3.2二维r.v.的条件分布当0<x<1时，y=x11当0<y<1时，yy=x11x§3.2二维r.v.的条件分布设随机变量Z服从参数为1的指数分布，引入随机变量：求(X,Y)的联合分布律和联合分布函数.思考题§3.2二维r.v.的条件分布内容回顾二维随机变量的定义、联合分布函数、边缘分布函数和条件分布函数二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律二维连续性随机变量的联合密度函数、边缘密度函数和条件密度函数二维随机变量的独立性随机变量函数的分布§3.3随机变量的独立性—将事件独立性推广到r.v.设(X,Y)为二维r.v.若对任何实数x,y都有则称r.v.X和Y相互独立

两个r.v.的相互独立性定义§3.3随机变量的独立性由定义知二维r.v.(X,Y)相互独立X与Y

独立即连续型二维随机变量(X,Y)相互独立,则边缘分布完全确定联合分布对一切i,j有离散型X与Y

独立对任何x,y有§3.3随机变量的独立性二维连续r.v.(X,Y)相互独立例1已知(X,Y)的联合分布律为试确定a,b，使得X与Y相互独立解先求出(X,Y)关于X和Y的边缘分布律§3.3随机变量的独立性由即由即§3.3随机变量的独立性例2已知(X,Y)的联合d.f.为(1)(2)讨论X,Y是否独立？§3.3随机变量的独立性解(1)由图知边缘d.f.为11显然，故X,Y相互独立(2)由图知边缘d.f.为显然，故X,Y不独立11§3.3随机变量的独立性例3已知(X,Y)在区域讨论U,V是否独立？上服从均匀分布，随机变量解§3.3随机变量的独立性1120xy所以(U,V)的联合分布律和边缘分布律为故随机变量U,V不相互独立§3.3随机变量的独立性取有证对任何x,y有X,Y为相互独立命题§3.3随机变量的独立性故将代入即得事实上,设X与Y的d.f.分别为fX(x),fY(y),则因此，§3.3随机变量的独立性判断独立的一个重要命题设X,Y为相互独立的r.v.u(x),v(y)为连续函数,则U=u(X),V=v(Y)也相互独立.即独立r.v.的连续函数仍独立.若X,Y为相互独立的r.v.则aX+b,cY+d也相互独立；X2,Y2也相互独立.随机变量相互独立的概念可以推广到n维随机变量若则称r.v.X

1,X

2,,X

n

相互独立.由命题知§3.3随机变量的独立性若两随机变量相互独立,且又有相同的分布,不能说这两个随机变量相等.如XP-110.50.5YP-110.50.5X,Y相互独立，则X-11-110.250.25Ypij0.250.25故不能说X=Y.注意由左表易得：§3.3随机变量的独立性§3.4二维r.v.函数的分布已知r.v.(X,Y)的概率分布,g(x,y)为已知的二元函数。转化为(X,Y)的事件问题方法求Z=g(X,Y)的概率分布§3.4二维r.v.函数的分布当(X,Y)为离散r.v.时,Z也离散离散型二维r.v.的函数§3.4二维r.v.函数的分布例1设二维r.v.(X,Y)的概率分布为XYpij-112-10求的概率分布解

根据(X,Y)的联合分布可得如下表格：PX+YX

-YXYY/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2-101120-1213210-10-2010-10-1/20§3.4二维r.v.函数的分布故得PX+Y-2-1012PX-Y-10123§3.4二维r.v.函数的分布PXY-2-101PY/X-1-1/201设

X~B(n1,p),Y~B(n2,p),且独立，具有可加性的两个离散分布设

X~P(

1),Y~P(

2),且独立，则X+Y~B(n1+n2,p)则X+Y~P(

1+

2)

§3.4二维r.v.函数的分布X~P(

1),Y~P(

2),则Z=X+Y

的可能取值为0,1,2,

,Poisson分布可加性的证明内容回顾二维随机变量的定义、联合分布函数、边缘分布函数和条件分布函数二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律和条件分布律二维连续性随机变量的联合密度函数、边缘密度函数和条件密度函数二维随机变量的独立性二维离散型随机变量函数的分布问题已知r.v.(X,Y)的d.f.数，g(x,y)为已知的二元函数。求Z=g(X,Y)

的d.f.方法从求Z的分布函数出发,将Z的分布函数转化为(X,Y)的事件二维连续r.v.函数的分布其中§3.4二维r.v.函数的分布的几何意义：Dz§3.4二维r.v.函数的分布其中(1)和的分布：Z=X+Y设(X,Y)的联合d.f.为f(x,y),则•z•zx+y=z或§3.4二维r.v.函数的分布或即特别地，若X,Y相互独立，则或或称之为函数

fX(z)与fY

(z)的卷积

§3.4二维r.v.函数的分布•z•zx+y=z解法一从分布函数出发(必须掌握)x+y=z(1)当z<0时，1yx1§3.4二维r.v.函数的分布(2)当0

z<1时，yx