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文档简介

4.6一元二次方程

根与系数的关系

16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。韦达是第一个有意识地和系统地使用字母表示数的人，并且对数学符号进行了很多改进。是他确定了符号代数的原理与方法，使当时的代数学系统化并且把代数学作为解析的方法使用。因此，他获得了“代数学之父”之称。

学习目标：1.理解并掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a、b、c之间的关系。2.能够根据根与系数的关系定理和方程的一个根，求方程的另一个根及待定字母系数3.能够利用根与系数的关系定理，求代数式的值。4.能够根据方程两根的关系求方程中待定字母的值

1.一元二次方程的一般形式是什么？3.一元二次方程的根的情况怎样确定？2.一元二次方程的求根公式是什么？填写下表：方程两个根两根之和两根之积a与b之间关系a与c之间关系猜想：如果一元二次方程的两个根分别是、，那么，你可以发现什么结论？已知：如果一元二次方程的两个根分别是、

。求证：推导:

如果一元二次方程的两个根分别是、，那么：这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理。1.下列方程中，两根的和与两根的积各是多少？返回目标1：理解并掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x1,x2与系数a、b、c之间的关系。解：原方程整理得：4x2-2x+1=0

∵b2-4ac=4-16=-12＜0∴方程无解

归纳总结：一元二次方程根与系数关系应用前提：1、必须把方程转化成一般形式2、方程必须有根，即2.已知一元二次方程的的一个根为1，求方程的另一根及m的值。目标2.能够根据根与系数的关系定理和方程的一个根，求方程的另一个根及待定字母系数3、已知方程的两个根为x1,x2；不解方程，求下列各式的值（1）X12+X22

（2）

（3）（x1－x2）2

解：由根与系数的关系的：目标3.能够利用根与系数的关系定理，求代数式的值。

求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入.4.已知方程的两个实数根是且

求k的值。解：由根与系数的关系得

X1+X2=-k，X1×X2=k+2

又X12+X2

2=4

即(X1+X2)2-2X1X2=4K2-2(k+2）=4K2-2k-8=0

∵△=K2-4k-8当k=4时，△＜0当k=-2时，△＞0∴k=-2解得：k=4或k=－2目标4：能够根据方程两根的关系求方程中待定字母的值

2.应用一元二次方程的根与系数关系时，首先要把已知方程化成一般形式.3.应用一元二次方程的根与系数关系时，要特别注意，方程有实根的条件，即当且仅当

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