高等数学A1第1章课后习题答案

P21练习1-1

1.设4=(—8,-5)u(5,+a)),屏[一10,3),写出XuB/MMW及

小(ZW)的表达式.

解Jufi=(-oo,3)“5,+8),

力cA=[-10,-5),

/\S=(—oo,—10)”5,4-oo),

J\(J\fi)=[-10,-5).

2.设力、8是任意两个集合，证明对偶律:区画。/。。次.

证明因为

x^(Ar\B)c<^>x^Ar>B

<=>x或x史B

<=>x^Ac或xe"

<=>xeJc2#,

所以(力c8)c=』ci4.

3.设映射K4zA；BuX.证明

证叨因为

yeJ(A^B)^>3x彳更./(XE

o(因为xe/1或xw8)yq/(/)或y/3)

=y^fiA)/5),

所以//^3)=4/)团3).

(2)伍出44)0/伊).

证明因为

y^flAr^)^>Bx^AryB,彳更./(x)=y

o(因为XGZ1=1.x^B)ye.f{A}\A.y^f{B)

=_yq/(4)Ma

所以HNC5)D(/)C/(5).

4求下列函数的自然定义域：

(l)y=j3x+2;

解由3x+220得X*,故函数的定义域为+00).

⑵*占；

解由IT2M得存±1,故函数的定义域为

£>=(-oo,-l)U(-l,l)u(l,+oo).

(3)y=--Vl-x2;

X

解由xM且l-x2>0得函数的定义域Z>=[-1,0)u(0,1].

⑷片号T；

A/4-X2

解由4-产>0得网<2,故函数的定义域为。=(-2,2).

(5)产sin石;

解由xNO得函数的定义。=[0,+oo).

(6)y=tan(r+l);

解由x+lw版■+](左=0,±1,±2,…)，得函数的定义域为

》#左乃+专一1(左=0,±1,±2,••-).

(7)尸arcsin仅一3);

解由g3曰得函数的定义域义[2,4].

(8)J=73-X+arctan—；

解由3TN0且xM得函数的定义域0=(-%0)口。3].

(9)片lnk+1);

解由x+l>0得函数的定义域。=(-1,+8).

1

(10)尸e*.

解由冲0得函数的定义域D=(-oo,0)u(0,+oo).

5.下列各题中，函数｛x)和#)是否相同？为什么？

(1)/(x)=lgx2,g(x)=21gx;

解不同.因为定义域不同.

⑵.危)=%，g(x)=E；

解不同.因为对应法则不同,X<0时,g(X)=T.

(3)/(x)=Vx4-x3,g(x)=xV二T；

解相同.因为定义域、对应法则均相相同.

(4)«x)=l,g(x)=sec~2x—tan2-x.

解不同.因为定义域不同.

7

K-

|sinx|IX3

6设火x)=«匹求奴4)»dR，4-彳),吠-2),

X△

0L3

并作出函数尸d》)的图形.

解旗，)=(sin爸=1,

ooZ

崂闫sin"坐，

.(-9)*呵-£)|=乎,

—.

7.试证下列函数在指定区间内的单调性：

⑴产产-，(—8，1)；

1-X

证明对于任意的Xl,X2W(-8,1),Wl-Xl>0,l-X2>0.

因为当X1<X2时,

=』----=与"2<0,

•,力l-x,l-x2(l-x,)(l-x2)

所以函数尸产在区间(-8,1)内是单调增加的.

1-X

(2)y=x+\nx,(0,+oo).

证明对于任意的x1,X2e(0,+8),当X1<X2时，有

M一%=(X|+In演)一(.巧+Inx2)=(xt-.v2)+In^-<0,

X]

所以函数尸x+lnx在区间(0,+8)内是单调增加的.

8.设兀C)为定义在(-1,/)内的奇函数，若人x)在(0,7)内单调增

加，证明外)在(-/,0)内也单调增加.

证明对于D.tl,X2G(-/,0)且X]<X2,W-Xl,-X2€(0,/)Ji-X1>-X?.

因为/(X)在(0,/)内单调增加且为奇函数，所以

.f[-X2)<f(-X1),-f[X2)<-AV11),

这就证明了对于WX1,X2G(-/*0),有次不)<小2),所以加)在(-1,0)内

也单调增加.

9.设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-/,/)上的，证明：

(1)两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；

证明设尺0=/)+虱。.如果./)和g(x)都是偶函数，则

H-x月<-x)+g(T)=ya)+g(x)="x),

所以尸(X)为偶函数，即两个偶函数的和足偶函数.

如果/)和蛉)都是奇函数,则

"-X)=A-x)+g(-x)=-/(x)-g(x)=-F(x),

所以尸(x)为奇函数，即两个奇函数的和是奇函数.

(2)两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，

偶函数与奇函数的乘积是奇函数.

证明设/如果人X)和其。都是偶函数，则

所以Rx)为偶函数,即两个偶函数的积是偶函数.

如果./(x)和g(x)都是奇函数，则

尸(TL/(T)g(T)=Mx)]|-四)]三/(刈的)=F(X),

所以尸(X)为偶函数，即两个奇函数的积是偶函数.

如果是偶函数，而g(x)是奇函数，则

尸(T>^-x)g(-xA/(x)[-g(x)]=-/U).g(x)=-F(x),

所以尸(X)为奇函数，即偶函数与奇函数的积是奇函数.

10.下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非奇函

数又非偶函数？

(l)y^r2(l-x2);

解因为所以小)是偶函数.

(2g3x2T3；

解|±|/(_X)=3(-X)2-(-X)3=3X2+X3可见小)既非奇函数乂非偶函

数.

1-x2.

(3)产

l+x2>

解因为上加岛=芸小㈤,所以斤)是偶函数・

(4)y=x(x-l)(x+l);

解因为

犬-X)=(—V)(—V—1)(—V+1)=-x(x+1)(x—1)=—/(,<),

所以Hx)是奇函数.

(5)y=sinx-cosx+l;

解lil,A-<)=sin(-v)-cos(-v)+l=-sin.v-cos.v+1可见.及。既非奇函

数又非偶函数.

⑹片£1^2.

解因为/(-劝=贮学^=安贮=/(x),所以./(X)是偶函数.

11.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其

周期：

(l>=cos(x-2);

解是周期函数，周期为/=2兀

(2)y=cos4x;

解是周期函数，周期为/=3.

(3)y=14-sin^T；

解是周期函数，周期为1=2.

(4)y=xcosx;

解不是周期函数.

(5»=sirTx.

解是周期函数，周期为/=加

12.求下列函数的反函数：

(1)片Vx+1;

解由歹=3+1得

『3一1,

所以尸=后？的反函数为

y=xJ-l.

1-x

(2)片

1+x'

解由「早得

1+x

_1-V

X=l+y,

所以片早的反函数为

1+x

l-x

v=-——

1+X

⑶^±^3_从工0)；

CX-\rd

解由片空空得

"cx^d

-dy+b

cy-a

所以看小”的反函数为

■cx+d

-dx+b

v=----------♦

cx-a

(4)尸2sin3t;

解由尸2sin3t得sm3x=所以

rJ,1V

3x=arcsin—,即X=±arcsin4,

232

所以尸2sin3丫的反函数为

歹=garcs呜.

⑸片1+Ink+2);

解由产l+ln(t+2)得hi(x+2)=y-L所以

x+2=e「即X="L2,

所以尸1+ln(计2)的反函数为

尸，」-2.

解由歹=瑞得

所以y=嘉的反函数为

13.设函数加)在数集X上有定义，试证：函数")在X上有

界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界.

证明先证必要性.

设函数人工)在X上有界，则存在.正数M使

]A.v)|<M,即一加勺U

这就证明了八丫)在X上有下界-M和上界

再证充分性.

设函数4D在X上有下界K和上界K2,即

Kig/UXKz.

取Afemax{K|,因2|},则

-M<K^f[x)<K2<M,即次X)|WM

这就证明了./(x)在X上有界.

14.在下列各题中，求由所给函数复合而成的函数，并求这

函数分别对应于给定自变量值X]和X2的函数值：

2

(l)^=w,w=sinx,X\=%x2=y；

解v=sirfx,M=sin2*=(；)2=",y2=sinq=V)2=]

(2)产sin”,u=2x,X|=-,x2=-;

(3)y=y/u,u=l+x2,xi=l,X2=2;

222

解y=yl\+x,y1=Vl+l=V2,_V2=V1+2=75.

(4)尸e”,w=x2,xi=0,X2=l;

H

解必=e02=],y2=e=e.

(5)"〃2，M=err,xi=l,X2=-l.

解y=e2x,y\=e21=e2,j2=e2(_|.

15.设〃)的定义域。=[0,1],求下列各函数的定义域:

⑴/2)；

解由0^v2<l得

的

所以函数4产)的定义域为

[-1,1].

(2)麻血);

解由0<sinx<l得

2〃胫”(2〃+1))(〃=0,±1,±2---),

所以函数/(sinx)的定义域为

[2〃乃,(2〃+1)乃](〃=0,±1,±2---).

(3)危+a)(a>0);

解由0^v+a<l得

-a<>x<\-a,

所以函数/(x+a)的定义域为

(4){x+a)t/(x-aXa>0).

解由0卷+。41且0金一。41得：WxW1-。且4WXS1+a,

当1-6Z<6/,即a>3时,无解；当I-，，'，/,B|0<Q4：时，,a<x<\—a.

因此当0<a4；时函数的定义域为[a,\-a],当a>；时函数无意义.

1田<1

16.设/(x)=(0ixj=l,g(x)=，，求力^任)]和g[/(x)],并作

—1|x|>l

出这两个函数的图形.

1>A'|<11x<0

解他(初=0|eA'|=l,即_/Ig(x)]=«0x=0

—1|ex|>l-1-v>0

|x|<lIe

豆/⑴=/吟e°|x|=l,即g[/(x)]=<1

|x|>le~]

17.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜

角方40。(如图).当过水断面458的面积为

定值So时，求湿周£(£=45+5。+。。)与水深h

之间的函数关系式，并指明其定义域.

解AB=DC=—^,又从!川8C+(BC+2cot40°/)]=So得

sin402

8C=争-cot40。/,所以人至+2-c喊〃

hhsin40

自变量〃的取值范围应由不等式组人>0,^-cot40°A>0确定，

所以，定义域为0<A<7S0cot40°.

18.收敛音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销

售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1

台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.

(1)将每台的实际售价〃表示为订购量x的函数；

解当04M100时，片90.

令0.0l(xo-100)=90-75,得xo=1600.

因此当xN1600时，片75.

当100<r<1600时，

p=90-(.v-100)x0.01=91-0,Olx.

综合上述结果得到

900<x<100

p=^91-0.01x100<x<1600.

75x>1600

(2)将厂方所获的利润P表示成订购量x的函数;

30x0<x<100

解F=(p-60).v=pi.v-0.01x2100<x<1600.

15xx>1600

(3)某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少?

解P=31x1000-0.01x10002=21000(7D).

P30练习1-2

1.观察一般项右如下的数列｛x〃｝的变化趋势，写出它们的极限:

(l)x=—;

解当〃-00时，

22

(2)x„=(-iri；

解当〃时-，x=(-1)"1_^0,lim(-iy」=0.

n〃一＞8n

⑶修=2+3；

解当”-*oo时，X”=2+4-2,lim(2+-!y)=2.

n~n

(4)r=^--

()nn+V

解当〃->00时，x„=-^4=l一一^710,lim^|=l.

〃+1n+\"->8〃+l

(5)x〃=〃(-1)”.

解当〃-00时，必=〃(-1)"没有极限.

cos等

2.设数歹支与｝的-一般项x产一2_.问limx”=?求出N,使

〃/1T8

当〃>%时,必与其极限之差的绝对值小于正数£,当£=0.001时,

求出数N.

解limx=0.

/?TR

|cos^-||

因为|x一0卜——所以\/£・〉0,要使|%〃一0|〈£,只要

nn

[<£,也就是〃〉

n£

因此取N=["则V〃>N,有|XLO|<£・

£

当£=0.001时，7V=[-]=1000.

£

3.根据数列极限的定义证明：

(l)lim^-=0;

〃T8

分析要使

」-0|=4<£，

相〃一

只须〃2>[即”><=•

证明,当〃〉NHt,有

&-。心

1

所以lim=0.

〃一＞30〃,2

3〃+1_3.

(2)lim

＞002n+\~2'

分析要使

|汕-3卜_^3£

'2H+122(2〃+1)4〃'

只须［＜£,即〃＞；.

4/74£

证明因为VG0TN=[j],当〃>N时，有

%

^±1_九£

2/7+1215

所以lim3/7+13

"TOO2/7+12

(3)lim起运=1;

W-H®n

分析要使

＜叱＜"

nnn

只须〃>「.

7

证明因为M>O,mN=["],“'|V〃〉N时，有

£

n

所以lim近运=1.

/!-»Xn

(4)lim0.999--9=1.

n-^o

分析要使

099…9-1|=志<£，

只须福■<£，即〃>1+他］.

1\7匕

证明因为VQ0「N=［l+lg：］,当\/〃>N时；有

|0,99...9-1|<f,

所以limO.999…9=1.

//—>x'，'

〃个

4.limw„=a,证明lim|%目a|.并举例说明:如果数列｛同｝

〃一>8/I—>00

有极限，但数列｛X”｝未必有极限.

证明因为limu产a,所以VQ(UNeN,当〃〉N时，有

71—>00

1"“一水看，

从而

这就证明了lim|%|=|a|.

〃一>8

数列｛除|｝有极限，但数列｛X”｝未必有极限.

例如,lim|(-1尸河，但lim(7)”不存在.

〃一>8Z1T8

5.设数列任“｝有界，又limy〃=0,证明：limx„y„=0.

8n—>oo

证明因为数列X，｝有界，所以存在M使W〃eZ,有M区M

又lim4=0,所以当〃〉M时，有|歹,上名.从而

〃一>00M

当〃>"时，有

区以一01=区M区My”|<M•%=£,

所以limA-v_=0.

00

6.对于数列｛x〃｝,若X2*_i~4a(左->oo),X2*->a(左->8),

证明:xzl->a(w->oo).

证明因为.丫2斤-1->。（上一>00）,X2kTa（kTOO）,所以VQO,

mKi,当”一1>2&-1时,有|触1-水£；

"2,当2左>2任时，有|X2id<£.

WN=max（/L1,2K2},只要〃〉N,就有匕一水心

因此X”->a（〃-^8）.

P38练习1-3

4.求/（》）=工，0（x）=因当x70时的左、右极限，并说明它们

XX

在xf0时的极限是否存在.

证明因为

limf(x)=lim—=lim1=1,

XT。-'X-»0_XXT。-

limf(x)=lim-=lim1=1,

10+XT0+X10+

limf(x)=lim/(x),

X->0-A->0+

所以极限lim/(.v)存在.

XTO

因为

lim欢x)=lim—=lim—=-l,

A->O_x->o_xio-x

lim(p(x)=lim—=lim-=1,

kto+戈->o+XXT0+x

lim奴x)声lim(p{x},

x->0_xfo+

所以极限lim(p(x)不存在.

x->0

5.根据函数极限的定义证明：

(l)lim(3x-l)=8;

XT3

分析因为

|(3x-l)-8|=|3x-9|=3^-3|,

所以要使|(3x—1)-8|<£,只须|x-3K3.

证明因为V£>O「S=+,当0小一3|<3时，有

|(3x-1)-8|<£,

所以lim(3x-1)=8.

X—>3

(2)lim(5x+2)=12;

XT2

分析因为

|(5.v+2)-12|=|5x-10|=5|x-2|,

所以要使|(5X+2)-12|<£,只须|X-2|<；£.

证明因为\/£>035=$,当0<恒-2|<5时，有

|(5.V+2)-12|<£,

所以H(5x+2)=12.

⑶如2三一;

分析因为

IX2-4

~(-4)|=||本+2|平-(-2)|,

x+2飞岁

所以要使I弓-(T)|<£,只须|X-(-2)|<£.

证明因为V£>O,m^£,W|O<|x—(-2)|<5时，有

X2-4

-(-4)\<E,

x+2

所以加

=2.

2

分析因为

|需一2印一2-21=2|1—%，

所以要使|4年-2|<£,只须|x—

12x4-1122

证明因为V£>0,娟=?，'"|0<|x-(-时，有

1-4.?-2|<£

2x+\

所以瞿嘉

=2.

6.根据函数极限的定义证明:

l+x3_1

(l)lim

x->cc

分析因为

I1+x31l+Jf3-x3|_1

3-35

2x322xl2|x|

3

所以要使|1+x1|<£,只须木但即心蠹.

2.x32

证明因为VQOTX=，=,当网>万时，有

V2c

1+x3

2x32\<£,

1+x31

所以lim

—2x32

⑵如L哭肛

分析因为

sinx

/一°n

所以要使

证明因为yh节当x〉X时,有

所以㈣号町

7.当x->2时,片-一丈问5等于多少，使当|x-2|<5时，

[y-4|<0.001?

解由于当12时,卜-2|-0,故可设即l<r<3.

要使

2

|X_4|=|X+2|^-2|<5^-2|<0,001,

只要|x-2|<^^=0.0002.

取应0.0002,则当0<|x-2|<b时,就有/_4|<0.001.

8.当XTOO时，丁=寿1-1,问X等于多少，使当|x|>X时,

ly-l|<0.01?

解要使|宰|-1卜工<0.01,只要冲3=厮.

1JT+31JC+3v0.01

因此可取丫=^/^7.

9.证明函数"AIM当x->0时极限为零.

分析因为

Kv)-O|=|ix|-O|=M=^-O|,

所以要使反卜0|<£,只须x|<£

证明因为对X/GOV应与便当0<|x—0|<我时有

|Ax)-O|=||x|-O|<f,

所以lim|x|=O,

10.证明：若Xf+8及XT-00时，函数人外的极限都存在且都等

于A,则limf(x)=A.

证明因为limf(x)=A,lim/(x)=4,所以X/£>0,

X—>-00x—>+8

mx>o,使当x<—x时，有心)_川<£；

封2>0,使当x>X2时，有]AX)-4|<£,

取Kmax%,上},则、"||x|>X时，有©i|<£,即1im/(x)=4

11根据极限的定义证明：函数/)当XTM时极限存在的充分

必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.

证明先证明必要性.设./(x)f4(xfxo),则V。。，3^0,使当

04-xo|<3时，有

\f{x}-A\<£.

因此当xo-&t<Mo和xo<r<xo+(y时都有

\f\x)-A\<e.

这说明Hx)当xfxo时左右极限都存在并且都等于A.

再证明充分性.设,危o-)如o+)=a则VQO,

34JI>0,使当xo-5<roo时，有|/(x)-/<£；

3&>0,使当xo<x<xo+应时，有

取了min扬，而},则当O<|x-xo|<^时，有xo-3i<x<xo及xo<x<xo+历,

从而有

即麻).4(x->xo).

12试给lllxrs时函数极限的局部仃界件定理，并加以证明。

解Xf8时函数极限的局部有界性的定理：如果/(X”ixf8时

的极限存在，则存在X〉0及M〉0,使当M>X时,]

证明设.危)f4(x-8),则对于》l,mX>0,当时，有

依)-4|<£=1.

所以

火加欧)一4+北次x)-4|+MI<1+|4

这就是说存在X〉0及M>0,使当田>>时,师)|<例，其中用=1+01.

P42练习1-4

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解不一定.

例如，当XTO时,o(x)=2x,3:)=3x都是无穷小，但

..a(x)2

!受丽而，

箭不是无穷小•

2.根据定义证明：

(1)»=立=当X.3时为无穷小;

x+3

证明当冲3时3=|噌/卜》一3|.

因为也>0,三辰£，当0<卜-3|<6时,有

“^^^1中一3苒=£'

所以当X-3时为无穷小.

x+3

(2)j；=xsin-当x->0时为无穷小.

x

证明”'lx=O时|y|=|xUsinL国x-O|.

I大I为DqO「应£,当0<«—0]<5时，有

|ygx|sin4sx-0|<6=£,

X

所以"1x->0时j?=.vsin—为无穷小.

x

3.根据定义证明：函数丁=9为当xfO时的无穷大.问x

x

应满足什么条件，能使帆Al。'？

证明分析

।|=|1±2£|=|2+1|>1-2,

1X11X1|x|

要使『|〉M只须3—2>M,BP|.v|<-^.

|x|A/+2

证明因为V必0,36=需'，使当°<归一°1<方时，有

|亨卜以

所以当x-0时，函数丁=土区是无穷大.

X

取M=1O\则》=、_.当0小_0|<「1_时，阴〉104

104+2104+2

4.求下列极限并说明理由：

〃一HCX

解因为2=2+L而当xfg时,是无穷小，

XXX

所以1加处1=2.

X

(2)H叫了.

x->01-X

解因为'工=1+》(.芹1),而当XTO时x为无穷小，

1-X

所以limF=1.

XT。1-X

6.函数尸85”在(-00,+00)内是否有界？这个函数是否为当

Xf+oo时的无穷大？为什么？

解函数y=xcosx在(-%+⑹内无界.

因为VM〉1,Bx0=2HM]G(-00,4-00),1y(x0)|=>M.

当％f+oo时，y=xcosx不是无穷大。因为

取%〃=2〃肛当〃-oo时，xn—>+co,Iimy(x“)=+8；

n—>oo

取%J=2〃〃+一,当〃-oo时，+oo,limy(x')=00

2〃T8n

7.证明：函数y=Lsin^在区间（0,1］上无界，但这函数不是当

XX

Xf0,时的无穷大.

1.1

解函数y=-sm—在(0,1]内无界.

XJC

]jr

因为VM＞0,3x0=---------------e(0,1],|X^o)1=2加M]+—＞M

2TT[M]+^2

1.1

当Xf+00时，y=-sm—不是无穷大。因为

XX

取%”=------，当〃一＞8时，％“一＞()+,limy(%“)=+8；

A71〃一＞8

2Md——

2

取％“'=」一，当"foe时，％"’一＞()+,limy(xn,)=0o

"T8

8.求函数的图形的渐近线。

4

解因为理中=0.所以y=0为曲线的水平渐近线;

因为上先占=如所以％=±亚为曲线的铅直渐近线;

P49练习1-5

1.计算下列极限:

⑴lim头；

x—2X-3

Q）幼需;

解上噱净喘亲“

⑶物咛筌

=lim5

解lim立*1

Xflx2-lXfl(x-l)(x+l)则会H=°

工

(4)lim43-2/+

x->03X2+2X

32

lim4x-2.v+.v=lim4.v^-2.v+l_

io3X~+2XIO3X4-22

人TOh

22

oX

I-工处主忙工

解iAmATim±2=lim(2x+/;)=2.v.

wA-»oh

⑹蚂*+5

解lim(2---+-^-)=2-lim-4-lim[=2.

XT”Xx*'XT8Xx—>CCX2

⑺蚂事;

2

(8)limx+x

42

X—>00X-3X-1

2.

解limJ：；=0(分子次数低于分母次数,极限为零).

XT®X^-3XZ-1

X+X

或lim./+：—=lim-二>：=0.

XUX4-3X2—1XT8.21

x

⑼蚂至f鬻

lim率6x+8=Hm…住-？=而冬善界.

解2

,v->4X-5X+4.V->4(X-1)(X-4)X->4X-14-13

(10)lim(l+i)(2-4)；

X-HOxX

解lim(l+-)(2-4-)=lim(l+-)-lim(2-4-)=lx2=2.

(11烛呜+&…+导

(12)liml+2+3+；+(〃T)；

n->oo

(〃一1)〃

解1+2+3+^+(H-1)

lim=Hm_2_=1lim=1

〃一>8〃幺〃fx)九一2n->oo〃2

(13)lim(〃+l)(〃+?(〃+3);

"Too5"

解Hm(〃+l)(〃+2)(〃+3)=1(分子与分母的次数相同，极限为

最高次项系数之比).

或(/7+1)(H+2)(H+3)|l23l

LIM=1im(1+)(]+)(1+)=

5〃一＞8nnn5

13

(14)W1-X1-X3);

=-lim(1-v)(-v+2\

解lim(p---3

XTl(l-.v)(l+x+x2)

=—lim—x+2,=—1

•I1+x+x2

2.计算下列极限:

⑴!■等

解因为则照=4=°'所以理/市2.

x2

(2)lim

XT82r+l

解lim1T=8(因为分子次数高于分母次数).

2x4-1

(3)lim(2x3-x+l).

X—>00

解Iim(2x3—x+l)=8(因为分子次数高于分母次数).

XT8

3.计算下列极限：

(l)limx2sin—;

XTOx

解lim.PsinLo(当x->0时:工2是无穷小，而sin，是有界变量).

工一>0xx

(2)limarctanx

KT8X

解limarctan-=lim—•arctan.v=0('1l是无穷小，

xf8Xxx

而arctanx是有界变量).

6若lim/(x)=A/img(x)=3,证明：lim"(x)g(%)]=A3

证明：因为lim/(x)=A,limg(%)=B,所以

/(x)=A+a,\ima=0,g(x)=B+=0,则

/(x)g(x)=(A+a)(3+夕)=A3+(A/3+Ba+a/3},且lim(A,+Ba+a(3)=0

由函数极限与无穷小的关系，得

lim[/U)g(%)]=ABo

P56练习1-6

1.计算下列极限：

⑴lim.；

XTOX

解]而地处=olim典”=0.

XTOXx->0COX

⑵lim也如；

XTOX

解|而咽至=3lim噢=3.

XTOXXTO3XCOS3X

⑶lim吗e

XTOsin5x

解lim嗯』im毕.冬

x-»osm5.vXTO2Xsin5x55

(4)limxcotx；

XTO

解limxcotx=lim^-cosmlimf-limcosx=l.

x-»ox->osinxxfosinxXTO

⑸lim上空盘;

x->oxsmx

解.上空也=|而上萼立=lim笈牛=2lim(蚓户=2.

z2

XTOxsinxzOxktOXA->0X

或lim上幺西=lim纳上=2lim®=2.

ioxsinxioxsmxx->ox

⑹曾如哮。为不等于零的常数).

・X

sin—

解lim2z/sin—=lim-----x=x.

〃T82〃X

F

2.计算下列极限：

(l)lim(l-x)^;

x->0

1.—(-I).—

x(x)

解lim(l-x)=lim[l-i-(-x)]-={lim[l+(_x)](f)}T=«T.

x->0A->0XTO

(2啊(1+2,；

1J_.±

解lim(14-2.v)A=lim(l+2x)2v2=[lim(14-2x)2A]2=e2.

XTOJV->0XTO

(3)lim(l±£)2A-;

X-X»X

解三户=[lim(l+—)A]2=e2.

XTOOx.r->ooX

(4)lim。」•产伏为正整数).

XT8X

解lim(l=lim(l=e-k.

XT8XXf8-X

3.根据函数极限的定义，证明极限存在的准则K

证明仅对xfxo的情形加以证明.

因为limg(x)=A,limh(x)=A,

x->xoXTXQ

所以对任一给定的QO,存在苏0,使得当04-xo|<H寸，恒有

\g(x)-A|<£及\h(x)-A\<e,

即A-e<g(x)<A+£&A-£<h(x)<A+c.

又因为g(x)^f(x)^h(x),所以A-e<f(x)<A+£,

即\f\x)-A\<£,因此lim/(x)=4.

4.利用极限存在准则证明:

(l)limJl+-=1

n

证明因为1<J1+1<1+，,

Vnn

而lim1=1M)=1,

“foo“TOOn

由极限存在准则I,lim、Q=l.

“TOOvn

⑵㈣（含+出+.・.+磊）=】；

证明因为

_^<H(1+

〃^+“乃〃'+不〃」+2乃〃乃，厂+4

22

而lim----=1,lim———=1,

所以limn(—^—----•…------)=1・

〃->8〃幺+乃〃'+2乃〃~+〃乃

(3)数列V2,^2+>/2,^2+V2+V2，.…的极限存在;

证明再=&,xn+1=72+x„(M=1,2,3,•••).

先证明数列｛公｝有界.

当“=1时a=0<2,假定〃乂时XK2,贝I」当〃=左+1时,

x«+i=j2+x&<7^71=2,

所以x〃<2(〃=l,2,3,…)，即数列｛与｝有界.

再证明数列单调增.因为

2+A;,--(x„-2)(x„+1)

Xw+1-xn=yl2+xn-xn

j2+x〃+Xn-y/2+xn+xn

而x〃-2<0,X〃+1〉O,所以X〃+1-X">O,即数列｛x“｝单调增.

因为数列｛»,｝单调增加有上界，所以此数列是有极限的.

(4)lim(l+x=l;

x->0

证明当阳41时，则有

l+r<l+|x|<(l+lx|)n,

l+x>l-M>(l-|x|)w,

从而有l-|x|<Vi+X<l+|x|.

因为lim(l-|x|)=lim(l+|x|)=l,

XT。XT。

根据夹逼准则，有

limVi+x=l.

xf0

(5)limA[—]=1.

io.x

证明因为工-1<山叁，所以1_.”.比1闫.

XXXX

又因为lim(l-x)=lim1=1,根据夹逼准则,有

10+>->0+.D+X

P59练习1-7

1.当XT0时,2XT：2与产―1相比，哪一个是高阶无穷小？

解因为

西为・=!夕全点=°，

所以当Xf0时,工2一工3是高阶无穷小，即X2-X3=O(2X-X2).

2.当x->l时，，无穷小1-X和7(x)是否同阶？是否等价？其中

(l)/(x)=l-x3;

解困为

l-x31-(l-x)(l+x+x2)八..2、,

rlim------=lim-------9------------=lim(l+x+x2)=3,

x->11-Xx->l1—xx->1

所以当Xf1时，l_x和1-1是同阶的无穷小，但不是等价无穷小.

(2)/(x)=|(l-x2).

解因为

J。3)1

lim----------=^lim(l+x)=l,

x->i1-x2H

所以当Xf1时，IT和g(l2)是同阶无穷小，而且是等价无穷小.

3.证明：当x->0时，有：

(1)arctanx〜x;

证明因为

limarctanx=Hm^=1

-v->oxy->otany

所以当XTO时,arctam〜x(提示：令尸arctanx,则XTO时,y->0).

(2)sccx-l-r—.

2

证明因为

..2sin2^2sin4

limsecxzl=21imb3cosx=lim__2=lim(—1)2”

2

XTO1£->OX-COSX10X10X

~XX——

222

2

所以当XfO时，sccx-l~^.

4.利用等价无穷小的性质，求下列极限:

(l)lim哽；

tan3工

解