2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第三章 3-2空间向量运算的坐标表示及应用 作业

第三章3.2空间向量运算的坐标表示及应用A级必备知识基础练1.[2023福建厦门外国语学校高二期末]已知a=(1,2,-y),b=(x,1,2),且2b∥(a-b),则()A.x=13,y=B.x=12,y=-C.x=2,y=-1D.x=1,y=-12.如图,边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,DA·BDA.-2 B.-1 C.1 D.23.已知点A(1,-1,2),B(2,-1,1),C(3,3,2),又点P(x,7,-2)在平面ABC内,则x的值为()A.11 B.9 C.1 D.-44.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2AB=2,E为棱AB的中点,F为线段BB1上的一点,且A1C⊥EF,则B1FFB=A.10 B.12 C.15 D.205.给出下列命题:①若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b;②空间任意两个单位向量必相等;③若空间向量a,b,c满足a·c=b·c,则a=b;④在正方体ABCD-A1B1C1D1中,必有BD=⑤向量a=(1,1,0)的模为2.其中假命题的个数是()A.1 B.2 C.3 D.46.(多选题)已知空间向量a=(-2,-1,1),b=(3,4,5),则下列结论正确的是()A.(2a+b)∥aB.5|a|=3|b|C.a⊥(5a+6b)D.a与b夹角的余弦值为-37.已知点A(-1,3,5),B(2,1,4),C(1,0,-2),且ABCD是平行四边形,则点D的坐标为.

8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.9.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是BB1的中点,G是AB1的中点.(1)试建立适当的坐标系,并确定E,F,G三点的坐标;(2)求证:A1C⊥EF.B级关键能力提升练10.[2023江苏淮安高二期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB,M为PC上一动点,PM=tPC,若∠BMD为钝角,则实数t可能为()A.15 B.1C.13 D.11.设x,y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(2,-4,2),且a⊥c,b∥c,则|a+b|=()A.22 B.10 C.3 D.412.已知向量a=(1,2,2),b=(-2,1,1),则向量b在向量a上的投影向量为()A.-29,-49,-49 B.29C.-23,13,13 D.23,-13.已知空间向量a=(3,0,1),b=(-2,1,n),c=(1,2,3)且(a-c)·b=2,则a与b的夹角的余弦值为()A.21021 B.-21021 C.72114.(多选题)已知空间三点A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),则下列说法正确的是()A.AB·AC=3C.|BC|=23 D.cos<AB,AC15.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上存在一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为.

16.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点O为底面ABCD的中心,点P在侧面BB1C1C的边界及其内部运动.若D1O⊥OP,则△D1C1P面积的最大值为.

17.[2023吉林油田高级中学高二开学考试]已知空间中三点的坐标分别为A(3,0,-1),B(3,1,0),C(5,0,-2),且a=AB,b=AC.(1)求向量a与b夹角的余弦值;(2)若ka+b与a-b互相垂直,求实数k的值.C级学科素养创新练18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DB∥AC,(2)是否存在实数α,β,使得AC=αAB+βBC成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,说明理由.

参考答案3.2空间向量运算的坐标表示及应用1.Ba=(1,2,-y),b=(x,1,2),则a-b=(1-x,1,-y-2),2b=(2x,2,4),由2b∥(a-b),可得2(1-x2.B以点D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(0,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1),故DA=(1,0,0),BD1=(-1,-1,1),则DA·3.B由题意可知,A(1,-1,2),B(2,-1,1),C(3,3,2),P(x,7,-2),则AP=(x-1,8,-4),AB=(1,0,-1),AC=(2,4,0),因为点P在平面ABC内,并设未知数a,b,则AP=aAB+bAC,(x-1,8,-4)=a(1,0,-1)+b(2,4,0),即x-1=a+2b,4.C以点E为坐标原点,EC,EB以及过点E且与AA1同向的方向分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.则E(0,0,0),C32,0,0,A10,-12,2,设F0,12,λ,由A1C⊥EF,知A1C·EF=32,12,-2·0,12,λ=0,解得λ=18,故B5.C在①中,若空间向量a,b满足|a|=|b|,向量a与b方向不一定相同,故①是假命题;在②中,空间任意两个单位向量的模必相等,但方向不一定相同,故②是假命题;在③中,若空间向量a,b,c满足a·c=b·c,则向量a与b不一定相等,故③是假命题;在④中,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,由向量相等的定义得必有BD=B1在⑤中,由模的定义得向量a=(1,1,0)的模为2,故⑤是真命题.故选C.6.BCD对于A选项,2a+b=(-1,2,7),不存在λ,使得2a+b=λa,故A错误;对于B选项,5|a|=5×4+1+1=56,3|b|=3×对于C选项,5a+6b=(8,19,35),a·(5a+6b)=-2×8-1×19+1×35=0,则a⊥(5a+6b),故C正确;对于D选项,|a|=4+1+1=6,|b|=32+42+52=52,a·所以cos<a,b>=a·b|a故选BCD.7.(-2,2,-1)点A(-1,3,5),B(2,1,4),C(1,0,-2),设D(x,y,z),∵ABCD是平行四边形,得AD=∴(x+1,y-3,z-5)=(-1,-1,-6),∴x+1=-1,y-3=-18.解(1)因为a∥b,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以a+c与b+c所成角的余弦值cos<a+c,b+c>=5-12+39.(1)解以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则E1,12,0,F1,1,12,G1,12,12.(2)证明依题意可得A1(1,0,1),C(0,1,0),则A1C=(-1,1,-1),EF=0,12所以A1C·EF=0+12-110.D分别以AB,AD,AP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设PA=1,M(x,y,z),故P(0,0,1),C(1,1,0),PM=(x,y,z-1),PC=(1,1,-1),由PM=tPC可知,x=t,y=t,z-又因为∠BMD为钝角,所以MB·MD由B(1,0,0),D(0,1,0),可知MB=(1-t,-t,t-1),MD=(-t,1-t,t-1),MB·MD=-t(1-t)-t(1-t)+(t-1)2<0,整理得3t2-4t+1<0,解得13<t<111.C因为b∥c,所以存在λ∈R使得b=λc,所以1=2λ,y=-4λ,因为a⊥c,所以x-2+1=0,解得x=1,所以a=(1,1,1),所以a+b=(2,-1,2),所以|a+b|=4+1+4=3.12.B因为a=(1,2,2),b=(-2,1,1),所以a·b=-2×1+2×1+2×1=2,所以向量b在向量a上的投影数量为a·b|a|=222+22+12=23,设向量b在向量a上的投影向量为m,则m=λa(λ>0)且|m|=23,所以m=(λ,2λ,2λ),所以λ2+4λ13.Ba-c=(3,0,1)-(1,2,3)=(2,-2,-2),因为(a-c)·b=-4-2-2n=2,解得n=-4,即b=(-2,1,-4).所以cos<a,b>=a·b|a14.AC∵A(-1,0,1),B(-1,2,2),C(-3,0,4),∴AB=(0,2,1),AC=(-2,0,3),BC=(-2,-∵AB·AC=0×(-2)+2×0+∵不存在实数λ,使得AB=λAC,故AB∵|BC|=(-2)2+∵cos<AB,AC>=AB15.-12,12,1设M(x,y,z),AB=(-1,1,0),AM=(x,y,z-1),由题意知,AM=λAB,∴(x,y,z-1)=λ(-1,1,0),x=-λ,y=λ,z=1,则M(-λ,∴CM=(-λ-1,λ-2,4)∵CM⊥AB,∴(-λ-1)·(-1)+(λ-2)·1+4×0=0,解得λ=12,∴点M的坐标为-116.5以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则D1(0,0,2),O(1,1,0),C1(0,2,2),设P(x,2,z),其中0≤x≤2,0≤z≤2,D1O=(1,1,-2),OP=(x-1,1,∵D1O⊥OP,∴D1O·OP=0,即x-1+1-2z=0,∴x=2z,∴P易知△C1D1P为直角三角形,当边C1P取最大值时,△C1D1P面积有最大值,C1P=(2z,0,|C1P|=∵0≤2z≤2,∴0≤z≤1,当z=1时,|C1P|有最大值∴S△17.解(1)a=AB=(0,1,1),b=AC=(2,0,-1),所以cos<a,b>=a·b(2)因为ka+b=(2,k,k-1),a-b=(-2,1,2),且ka+b与a-b互相垂直,所以2×(-2)+k+2(k-1)=0,解得k=2