第二章(第一,二,三节)

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。PAGE第页/共页随机变量及其分布第一节随机变量为了更深入地研究随机事件及其概率，我们引进概率论中一个重要的基本概念—随机变量。即将随机实验的结果数量化（或数值化，数字化）.为此,先考察几个随机实验的例子.:投掷一枚匀称的硬币,看见它哪一面向上？实验的样本空间是;若用,则是定义在上的函数,用函数取值就能描述随机实验的结果,因为正面或反面的浮上是随机的,所以或也是随机取到的,因而称此为随机变量;:甲乙两人下一盘棋,看见比赛结果.实验的样本空间是,定义函数,则是定义在上的函数,用函数的取值就能描述随机实验的结果.：记录某电话交换台在一天内接到的呼叫次数，实验的样本空间是，定义当；：从一批灯泡中任取一只，测试其寿命，实验的样本空间是，定义当。我们从上面几个例子看到,用数量来描述实验的所有结果,对我们研究随机实验是方便的.因此,有须要把随机实验结果都转化成数量来表示.这就有须要引入一个重要概念--随机变量.定义1设随机实验的样本空间为,为概率空间.倘若对于每一个样本点，都有决定的实数值与之对应，并且对于随意实数，是随机事件，（即要求是可测函数），有决定的概率，则称这样的实值变量为随机变量，简记为。随机变量，简记为，有的书上称为随机变数。通常用大写英文字母或希腊字母等表示随机变量。例如，上述分离定义于样本空间上的函数都是随机变量。由此可见，随机变量就是定义在样本空间上的一个可测函数。因为在实验中浮上是随机的，所以实数的取值相对于实验来说也是随机的，这就是称它为随机变量的缘故。注重定义在样本空间上的任一个函数，未必是随机变量。引入随机变量以后，随机事件就可以用随机变量的取值来表示了。如在实验中，令“呼叫次数不超过20”；“呼叫次数大于8”；“呼叫次数在之间”，则随机事件可分离表示如下：；；。这样一来，我们所协助的随机事件的概率问题就转化为随机变量取值的概率问题。因此，随机变量及其取值的概率是我们今后学习研究的主要对象。（可测性、可测集、可测函数的概念，在数学上有精决定义；不可测的集合是存在的，数学家已构造出不可测的集合；不可测事件存在性的社会学证实：“深（神）不可测”，“高深莫测”，“奥秘莫测”，“猜不出你想的都是什么”，“股市风险不可预测”等等描述的都是不可测的场合场景。我们通常碰到的大都是可测的。社会智慧的“随机应变”，“见啥人说啥话”，“入乡随俗”，“到什么山唱什么歌”，用概率论的术语就是“随机变量”。深刻领略“随机应变”的内涵和外延，就能理解“随机变量”。第二节随机变量的分布函数研究随机变量，不但要知道它取哪些值，更重的是要控制它在各个范围内取值的概率逻辑。为此，引进分布函数的概念。对普通的随机变量，如何描述它取值的概率逻辑就成为我们下面研究的内容。设为随机变量，则为随机事件，倘若对一切实数，都知道了，那么对取值于一切有限，无限的开，闭，半开，半闭区间内的概率也能用概率的性质计算出来。定义2设为随机变量，对于随意实数，令,，(2.1）称为随机变量的概率分布函数,简称分布函数,记为.就是说,随机变量的分布函数在随意实数处的值等于在区间内取值的概率.例如“2015年某省高考的全体考生”，表示考生的总分数，制定录取线，报志愿时我们需要知道分数分布情况。倘若是考前报志愿，预测的分数分布情况就更重要了。如何决定随机变量的分布函数是概率论的主要问题，为此先研究分布函数的性质。分布函数是定义于实数轴上的实函数.分布函数具有以下基本性质：,(1)取值范围:；（2）单调不减,对于,有;(因为,)，（3）,;事实上，显然存在，记，则有，，；显然，存在，记，则有，，。（4）右延续,对一切实数.(记号:右极限)事实上，显然存在，记，则有，，于是。反之，若定义在上的实函数，若满意以上条件,则一定是某随机变量的分布函数。分布函数还具有下列一些性质:（5）对随意实数,,(2.2)事实上,;(6),(2.3),.其中左极限.分布函数举例例1投掷一颗匀称的骰子,记录其浮上的点数.令,则是一个随机变量.求的分布函数.解只可能取0、1两个值,且按照题意,,,,当时,,;当时,,;当时,,,于是得到随机变量的分布函数为.例2已知随机变量的分布函数为,决定常数;求和.解(1)由分布函数的性质,得,,所以,;(2),.例3某人打靶,圆靶半径为1m.设射击一定中靶,且击中靶上任一与圆靶同心的圆盘的概率与该圆靶的面积成正比.以表示弹着点至靶心的距离,试求机变量的分布函数.解按照题意,可能取[0,1]上的任何实数.,当时,,;当时,,为了决定常数,在中,令,得;又由题设知是必然事件,故;当时,是必然事件,故,总上所述,即得的分布函数为.显然,是一个延续函数.当分布函数在点处延续时,,即,从而有,由上面例题的实际情况,是有可能发生的().这一事实告诉我们,,未必有.随机变量按其取值不同,可分为离散型随机变量和延续型随机变量及其它类随机变量.我们只研究离散型随机变量与延续型随机变量.离散型随机变量及其概率分布离散随机变量的定义如下：定义3若随机变量只可能取有限个或可数个实数值:,则称为离散型随机变量。()取各个可能值的概率,称为离散型随机变量概率分布(或分布律,或分布列).离散型随机变量例子例如,从一批产品中抽取件,抽到的次品数只能取有限个可能值;对目标举行射击,直到击中目标为止,记为所需射击次数,只能取可列个可能值,若每次击中目标的概率为,则,是离散型随机变量的分布律.离散型随机变量的分布律的表示主意:(1)公式法,(2)列表法或矩阵法.,…………或用矩阵表示.离散型随机变量的分布律具有下列基本性质：(1),;(2),事实上,因为是随机变量的所有可能取值,是定义在上,所以,且是互不相容的,利用概率的可加性即有.上式中，当取得有限个可能值时，表示有限项的和；当取得可列无穷多个可能值时，表示收敛级数的和.反之，可以证实,随意一个具有（1）和(2)两条性质的一串数一定是某一个随机变量的分布律。分布律和分布函数可互相决定的主意如下:定理设为离散型随机变量，具有分布律则(1)的分布函数;(事实上,)对随意区间,有;从分布函数,可以决定分布律,.由此可见,离散型随机变量的分布律不但具有分布函数的相同作用,而且它比分布函数更直接且简便地描述了随机变量的取值逻辑.所以,今后我们用分布律来描述离散型随机变量的取值逻辑.例1袋中有1个白球和4个黑球，每次从其中随意取出一个球，看见其色彩后放回，再从中随意取一球，直至取得白球为止，求取球次数的概率分布。解随机变量可能取的值为:1,2,…,设第次取球时得白球,,,按照题意,事件表示“前次取出的球都是黑球，第次才取出白球”；倘若每次取出的球总是黑球，那么无限次的取球，所以的可能值是一切正整数，即＝1,2,3,…,n,…,各次取球实验互相自立,所以的分布律,(=1,2,3,…)例2将3个有区别的球随机地逐个放入编号为1，2，3，4的四只盒中（每盒容纳球的个数不限）。设为有球的盒子的最大号码，试求：（1）随机变量的分布律与分布函数；（2）。解（1）按照题意知，随机变量可能取的值为：1，2，3，4；且；；；，即随机变量的分布律为1234的分布函数为（2）.例3将红、白、黑三只球随机地逐个放入编号为1，2，3的三个盒内（每盒容纳球的个数不限），以表示有球盒子的最小号码，求随机变量的分布律与分布函数.解按照题意知，随机变量可能取的值为：1，2，3;,,,即随机变量的分布律为123的分布函数为