方程与不等式：方程与不等式（组）的综合应用（含不定方程）（答案版）

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页2021全国中考真题分类汇编（方程与不等式）方程与不等式（组）的综合应用（含不定方程）一、挑选题1.（2021•重庆市A）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解是正整数，则所有满意条件的整数a的值之和是（）A.5 B.8 C.12 D.15【答案】B【解析】【分析】先计算不等式组的解集，按照“同大取大”原则，得到解得，再解分式方程得到，按照分式方程的解是正整数，得到，且是2的倍数，据此解得所有符合条件的整数a的值，最后求和．【详解】解：解不等式①得，，解不等式②得，不等式组的解集为：解分式方程得收拾得，则分式方程的解是正整数，，且是2的倍数，，且是2的倍数，整数a的值为-1,1,3,5,故选：．2.（2021•重庆市B）关于x的分式方程+1＝的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满意条件的整数a的值之和是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【分析】由关于y的一元一次不等式组有解得到a的取值范围，再由关于x的分式方程+1＝的解为正数得到a的取值范围，将所得的两个不等式组成不等式组，决定a的整数解，结论可求．【解答】解：关于x的分式方程+1＝的解为x＝．∵关于x的分式方程+1＝的解为正数，∴a+4＞0．∴a＞﹣4．∵关于x的分式方程+1＝有可能产生增根2，∴．∴a≠﹣1．解关于y的一元一次不等式组得：．∵关于y的一元一次不等式组有解，∴a﹣2＜0．∴a＜2．综上，﹣4＜a＜2且a≠﹣1．∵a为整数，∴a＝﹣3或﹣2或0或1．∴满意条件的整数a的值之和是：﹣3﹣2+0+1＝﹣5．故选：A．3.（2021•山东省聊城市）若﹣3＜a≤3，则关于x的方程x＋a＝2解的取值范围为（）A.﹣1≤x＜5 B.﹣1＜x≤1 C.﹣1≤x＜1 D.﹣1＜x≤5【答案】A【解析】【分析】先求出方程的解，再按照﹣3＜a≤3的范围，即可求解．【详解】解：由x＋a＝2，得：x＝2-a，∵﹣3＜a≤3，∴﹣1≤2-a＜5，即：﹣1≤x＜5，故选A．二．填空题1.（2021•江苏省苏州市）若2x+y＝1，且0＜y＜1，则x的取值范围为0＜x＜．【分析】由2x+y＝1得y＝﹣2x+1，按照k＝﹣2＜0可得，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，将y＝0和y＝1代入解析式，可得答案．【解答】解：由2x+y＝1得y＝﹣4x+1，按照0＜y＜3可知，当y＝0时，x取得最大值，当y＝1时，x取得最小值，所以0＜x＜．故答案为：0＜x＜．2.（2021•遂宁市）已知关于x，y的二元一次方程组满意，则a的取值范围是____．【答案】．【解析】【分析】按照题目中方程组的的特点，将两个方程作差，即可用含a的代数式表示出，再按照，即可求得的取值范围，本题得以解决．【详解】解：①-②，得∵∴，解得，故答案为：．3.（2021•重庆市A）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并按照时节对三种饮料的价格作了适当的调节，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增强，A饮料增强的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增强的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为_____________．【答案】【解析】【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分离为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+，B饮料的销售额为，C饮料销售额：，可求，六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比计算即可【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分离为2y、y．六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m，A饮料增强的销售占六月份销售总额的A饮料销售额为3xy+，A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，B饮料的销售额为B饮料的销售额增强部分为∴C饮料增强的销售额为∴C饮料销售额：∴∴六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量∴A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比故答案为4.（2021•重庆市B）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为155元．【分析】按照题意决定B盲盒各种物品的数量，设出三种物品的价格列出代数式，解代数式即可．【解答】解：∵蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱；∴B盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22﹣2﹣3﹣1﹣1﹣3﹣2＝10（个），∵B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2，∴B盒中有多接口优盘10×＝5（个），蓝牙耳机有5×＝3（个），迷你音响有10﹣5﹣3＝2（个），设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本价分离为a元，b元，c元，由题知：，∵①×2﹣②得：a+b＝45，②×2﹣①×3得：b+c＝55，∴C盒的成本为：a+3b+2c＝（a+b）+（2b+2c）＝45+55×2＝155（元），故答案为：155．5.（2021•北京市）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线．在一天内，A生产线共加工a吨原材料，加工时光为（4a+1）小时；在一天内，B生产线共加工b吨原材料，加工时光为（2b+3）小时．第一天，该企业将5吨原材料分配到A，B两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时光相同，则分配到A生产线的吨数与分配到B生产线的吨数的比为．第二天开工前，该企业按第一天的分配结果分配了5吨原材料后，又给A生产线分配了m吨原材料，给B生产线分配了n吨原材料．若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时光相同，则的值为．【答案】①.2∶3②.【解析】【分析】设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得，然后求解即可，由题意可得第二天开工时，由上一问可得方程为，进而求解即可得出答案．【详解】解：设分配到生产线的吨数为x吨，则分配到B生产线的吨数为（5-x）吨，依题意可得：，解得：，∴分配到B生产线的吨数为5-2=3（吨），∴分配到生产线的吨数与分配到生产线的吨数的比为2∶3；∴第二天开工时，给生产线分配了吨原材料，给生产线分配了吨原材料，∵加工时光相同，∴，解得：，∴；故答案为，．三、解答题1.（2021•湖北省荆州市）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整数解，请用配主意解关于x的方程x2+2ax+a+1＝0．【分析】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整数解为﹣2，于是将a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配主意解方程即可．【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整数解为﹣2，将a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，配方，得（x﹣2）2＝5．直接开平方，得x﹣2＝±．解得x1＝2+，x2＝2﹣．2.（2021•长沙市）为欢庆伟大的中国共产党成立100周年，发扬红色传统，传承红色精神，某小学举行了主题为“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”的党史知识比赛，一共有25道题，满分100分，每一题答对得4分，答错扣1分，不答得0分．（1）若某参赛学生惟独一道题没有作答，最后他的总得分为86分，则该参赛学生一共答对了多少道题？（2）若规定参赛者每道题都必须作答且总得分大于或等于90分才可以被评为“学党史小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才干被评为“学党史小达人”？【答案】（1）一共答对了22道题；（2）至少需答对23道题．2.（2021•河北省）已知训练场球筐中有A、B两种品牌的乒乓球共101个，设A品牌乒乓球有x个．（1）淇淇说：“筐里B品牌球是A品牌球的两倍．”嘉嘉按照她的说法列出了方程：101﹣x＝2x．请用嘉嘉所列方程分析淇淇的说法是否准确；（2）据工作人员透露：B品牌球比A品牌球至少多28个，试通过列不等式的主意说明A品牌球最多有几个．【分析】（1）解嘉嘉所列的方程可得出x的值，由x的值不为整数，即可得出淇淇的说法不准确；（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，按照B品牌球比A品牌球至少多28个，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）嘉嘉所列方程为101﹣x＝2x，解得：x＝33，又∵x为整数，∴x＝33不合题意，∴淇淇的说法不准确．（2）设A品牌乒乓球有x个，则B品牌乒乓球有（101﹣x）个，依题意得：101﹣x﹣x≥28，解得：x≤36，又∵x为整数，∴x可取的最大值为36．答：A品牌球最多有36个．3.（2021•四川省成都市）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域本来天天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位举行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位天天多处理7吨生活垃圾．（1）求每个B型点位天天处理生活垃圾的吨数；（2）因为《条例》的施行，垃圾分类要求提高，在每个点位天天将少处理8吨生活垃圾，同时因为市民环保意识增强，该区域天天需要处理的生活垃圾比本来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才干当日处理完所有生活垃圾？【分析】（1）每个B型点位天天处理生活垃圾x吨，按照“天天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位举行初筛、压缩等处理”，可列方程，即可解得答案；（2）设需要增设y个A型点位才干当日处理完所有生活垃圾，《条例》施行后，每个A型点位天天处理生活垃圾37吨，每个B型点位天天处理生活垃圾30吨，按照题意列出不等式：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，可解得y的范围，在求得的范围内取最小正整数值即得到答案．【解答】解：（1）设每个B型点位天天处理生活垃圾x吨，则每个A型点位天天处理生活垃圾（x+7）吨，按照题意可得：12（x+7）+10x＝920，解得：x＝38，答：每个B型点位天天处理生活垃圾38吨；（2）设需要增设y个A型点位才干当日处理完所有生活垃圾，由（1）可知：《条例》施行前，每个A型点位天天处理生活垃圾45吨，则《条例》施行后，每个A型点位天天处理生活垃圾45﹣8＝37（吨），《条例》施行前，每个B型点位天天处理生活垃圾38吨，则《条例》施行后，每个B型点位天天处理生活垃圾38﹣8＝30（吨），按照题意可得：37（12+y）+30（10+5﹣y）≥920﹣10，解得y≥，∵y是正整数，∴符合条件的y的最小值为3，答：至少需要增设3个A型点位才干当日处理完所有生活垃圾．4.（2021•四川省广元市）为增强学生体质，丰盛学生课余活动，小学决定添置一批篮球和足球．甲、乙两家商场以相同的价格出售同种品牌的篮球和足球，已知篮球价格为200元/个，足球价格为150元/个．（1）若小学计划用不超过3550元的总费用购买这款篮球和足球共20个，且购买篮球的数量多于购买足球数量的．小学有哪几种购买计划？（2）若甲、乙两商场各自推出不同的优惠计划：甲商场累计购物超过500元后，超出500元的部分按90%收费；乙商场累计购物超过2000元后，超出2000元的部分按80%收费．若小学按（1）中的计划购买，小学到哪家商场购买花费少？【答案】（1）有三种计划，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）小学购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．【解析】【分析】（1）设小学购买篮球x个，购买足球（20-x）个，按照“小学计划用不超过3550元的总费用购买”和“购买篮球的数量多于购买足球数量的”列出不等式组，求解即可；（2）设小学购买篮球x个，购买足球（20-x）个，分离计算出在甲，乙两商场的费用列出不等式求解即可．【详解】解：（1）设小学购买篮球x个，购买足球（20-x）个，按照题意得，解得，∵x是整数，∴x=9，10或11∴20-x=12，10或9故有三种计划，为：①购买9个篮球，11个足球；②10个篮球，10个足球；③11个篮球，9个足球；（2）设小学购买篮球x个，购买足球（20-x）个，在甲商场花费：元；在乙商场花费：元；∴要使小学到甲商场花费最少，则有：解得，∵，且x是整数，∴x=9,即：小学购买9个篮球，11个足球到甲商场购买花费少；购买10个篮球，10个足球和11个篮球，9个足球到乙商场购买花费少．5.（2021•泸州市）某运输公司有A、B两种货车，3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨．（1）请问1辆A货车和1辆B货车一次可以分离运货多少吨？（2）目前有190吨货物需要运输，该运输公司计划安顿A、B两种货车将所有货物一次运完(A、B两种货车均满载)，其中每辆A货车一次运货花费500元，每辆B货车一次运货花费400元．请你列出所有的运输计划，并指出哪种运输计划费用最少．【答案】（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分离运货20吨和15吨；（2）共有3种租车计划，计划1：租用A型车8辆，B型车2辆；计划2：租用A型车5辆，B型车6辆；计划3：租用A型车2辆，B型车10辆；租用A型车8辆，B型车2辆最少．【解析】【分析】（1）设1辆A货车和1辆B货车一次可以分离运货x吨和y吨，按照“3辆A货车与2辆B货车一次可以运货90吨，5辆A货车与4辆B货车一次可以运货160吨”列方程组求解可得；（2）设货运公司安顿A货车m辆，则安顿B货车n辆．按照“共有190吨货物”列出二元一次方程组，结合m，n均为正整数，即可得出各运输计划．再按照计划计算比较得出费用最小的数据．【详解】解：（1）1辆A货车和1辆B货车一次可以分离运货x吨和y吨，按照题意可得：，解得：，答：1辆A货车和1辆B货车一次可以分离运货20吨和15吨；（2）设安顿A型车m辆，B型车n辆，依题意得：20m+15n=190，即，又∵m，n均为正整数，∴或或，∴共有3种运输计划，计划1：安顿A型车8辆，B型车2辆；计划2：安顿A型车5辆，B型车6辆；计划3：安顿A型车2辆，B型车10辆．计划1所需费用：5008+4002=4800(元)；计划2所需费用：5005+4006=4900(元)；计划3所需费用：5002+40010=5000(元)；∵4800＜4900＜5000，∴安顿A型车8辆，B型车2辆最省钱，最省钱的运输费用为4800元．6．（2021•四川省眉山市）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，决定从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于小学球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．（1）足球和篮球的单价各是多少元？（2）按照小学实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，小学最多可以购买多少个篮球？【分析】（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，按照数量＝总价÷单价，结合用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设小学可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，利用总价＝单价×数量，结合购买足球和篮球的总费用不超过15500元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，依题意得：＝2×，解得：x＝60，经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，∴2x﹣30＝90．答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．（2）设小学可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，依题意得：90m+60(200﹣m)≤15500，解得：m≤．又∵m为正整数，∴m可以取的最大值为116．答：小学最多可以购买116个篮球．.7.（2021•江苏省无锡市）为了提高广大职工对消防知识的学习热烈，增强职工的消防意识，某单位工会决定组织消防知识比赛活动，本次活动拟设一、二等奖若干名，并购买相应奖品．现有经费1275元用于购买奖品，且经费所有用尽，已知一等奖奖品单价与二等奖奖品单价之比为4：3．当用600元购买一等奖奖品时，共可购买一、二等奖奖品25件．（1）求一、二等奖奖品的单价；（2）若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件，则共有哪几种购买方式？【分析】（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，按照数量＝总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出x的值，再将其代入4x，3x中即可求出结论；（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，利用总价＝单价×数量，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数且4≤m≤10，即可得出各购买计划．【解答】解：（1）设一等奖奖品单价为4x元，则二等奖奖品单价为3x元，依题意得：+＝25，解得：x＝15，经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，∴4x＝60，3x＝45．答：一等奖奖品单价为60元，二等奖奖品单价为45元．（2）设购买一等奖奖品m件，二等奖奖品n件，依题意得：60m+45n＝1275，∴n＝．∵m，n均为正整数，且4≤m≤10，∴或或，∴共有3种购买计划，计划1：购买4件一等奖奖品，23件二等奖奖品；计划2：购买7件一等奖奖品，19件二等奖奖品；计划3：购买10件一等奖奖品，15件二等奖奖品．8.（2021•呼和浩特市）为了促进学生加强体育锻炼，某中学从去年开始，每周除体育课外，又开展了“足球俱乐部1小时”活动，去年小学通过采购平台在某体育用品店购买A品牌足球共花费2880元，B品牌足球共花费2400元，且购买A品牌足球数量是B品牌数量的1.5倍，每个足球的售价，A品牌比B品牌便宜12元．今年因为参加俱乐部人数增强，需要从该店再购买A、B两种足球共50个，已知该店对每个足球的售价，今年举行了调节，A品牌比去年提高了5%，B品牌比去年降低了10%，倘若今年购买A、B两种足球的总费用不超过去年总费用的一半，那么小学最多可购买多少个B品牌足球？解：设去年A足球售价为x元/个，则B足球售价为元/个由题意得： ∴经检验，是原分式方程的解且符合题意∴A足球售价为48元/个，B足球售价为60元/个设今年购进B足球的个数为a个，则有∴∴最多可购进33个B足球9.（2021•内蒙古通辽市）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售价比乙种消毒液的零售价多6元，该单位以零售价分离用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液．（1）求甲、乙两种消毒液的零售价分离是每桶多少元？（2）因为疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共300桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的．因为购买量大，甲、乙两种消毒液分离获得了20元/桶、15元/桶的批发价．求甲种消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？【分析】（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，按照数量＝总价÷单价，结合该单位以零售价分离用900元和720元采购了相同桶数的甲、乙两种消毒液，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，按照购进甲种消毒液的桶数不少于乙种消毒液桶数的，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，设所需资金总额为w元，按照所需资金总额＝甲种消毒液的批发价×购进数量+乙种消毒液的批发价×购进数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．【解答】解：（1）设乙种消毒液的零售价为x元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶，依题意得：＝，解得：x＝24，经检验，x＝24是原方程的解，且符合题意，∴x+6＝30．答：甲种消毒液的零售价为30元/桶，乙种消毒液的零售价为24元/桶．（2）设购买甲种消毒液m桶，则购买乙种消毒液（300﹣m）桶，依题意得：m≥（300﹣m），解得：m≥75．设所需资金总额为w元，则w＝20m+15（300﹣m）＝5m+4500，∵5＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝75时，w取得最小值，最小值＝5×75+4500＝4875．答：当甲种消毒液购买75桶时，所需资金总额最少，最少总金额是48