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第四章根轨迹分析法

本章的主要内容根轨迹的基本概念根轨迹的绘制准则特殊根轨迹绘制利用根轨迹分析闭环系统性能4.1引言

1848年，W．R伊凡思（Evans）在“控制系统的图解分析”一文中，提出了根轨迹分析法，它的基本思想是：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根据系统的开环零点和极点，借助于若干条绘图法则，绘制出闭环特征根随参数从变化时的轨迹。利用根轨迹法可以分析闭环系统的稳定性，计算（或估算）闭环系统的暂态和稳态性能指标，确定闭环系统的某些参数对于系统性能的影响以及对闭环系统进行校正等。

利用根轨迹法，可以：分析系统的性能（稳定性、稳态性能、响应的快速性）确定系统的结构和参数校正装置的综合4.1.1根轨迹

如图所示二阶系统-特征方程为：闭环传递函数：系统开环传递函数为：特征根为：[根轨迹]：当系统开环传递函数中某个参数（如根轨迹增益）在某一范围内（如）连续变化时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹，称为根轨迹。特征根为：①当Kg=0时，s1=0,s2=-2,是开环传递函数的极点②当Kg=0.64时，s1=-0.4,s2=-1.6③当Kg=1.0时，s1=-1,s2=-1④当Kg=2时，s1=-1+j,s2=-1-j⑤当Kg=10时，s1=-1+3j,s2=-1-3j⑥当Kg=∞时，s1=-1+∞j,s2=-1-∞j[讨论]：4.1.2根轨迹方程（1）负反馈系统的根轨迹方程-系统开环传递函数为：系统闭环特征方程为：

所有满足上式的闭环特征根连接起来，即是闭环系统的根轨迹，因此这个方程就是根轨迹方程，相应的根轨迹称为1800根轨迹。根轨迹方程可以分解为幅值方程和相角方程如下：幅值方程：

相角方程：

或：

为便于记忆，相角方程可以表示为:（2）幅值方程、相角方程的几何意义根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨迹和等相角根轨迹，可以证明等幅值根轨迹和等相角根轨迹是正交的。从绘制根轨迹图的角度来看，根轨迹上的任意一点只要满足相角方程，即可画出根轨迹了，可以说相角方程是根轨迹的充分必要条件。而幅值方程的作用主要用来确定已知点对应的增益。根轨迹上的点S（闭环极点）幅值满足：相角满足：时，负反馈系统的根轨迹称为根轨迹，正反馈系统的根轨迹就称为根轨迹。

相角方程是根轨迹的充分必要条件，而幅值方程的作用主要用来确定已知点对应的增益。（

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