浙江省2024年普通高中学业水平考试数学模拟卷(二)（含答案）

浙江省2024年普通高中学业水平考试数学模拟卷(二)(时间:80分钟,满分:100分)一、单项选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.每小题列出的四个备选项中,只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)1.已知集合A={-1,0,1},集合B={x∈N|x2=1},那A∩B=()A.{1} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,1}2.设z=2+i1-i,则zA.32 B.32i C.-32 D.3.在下列函数中,定义域为(0,+∞)的是()A.f(x)=ex B.f(x)=lnx C.f(x)=1x D.f(x)4.“θ=π6”是“cosθ=32”的(A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.如图所示的电路图,同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率是()A.13 B.23 C.12 6.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ=()A.14 B.12 C.1 D7.已知球O的体积为36π,则该球的表面积为()A.6π B.9π C.12π D.36π8.已知3a+27b=6,则a+3b的最大值是()A.23 B.6 C.2 D.229.函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是()A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<010.若p:x<2;q:-1<x<2,则p是q成立的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11.如图,O在△ABC的内部,D为AB的中点,且OA+OB+2OC=0,则△ABC的面积与△AOC的面积的比值为 (A.3 B.4 C.5 D.612.如图,矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直,BD=2,DE=1,点P是线段EF上的动点,则下列说法中错误的是()A.三棱锥A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面面积是9B.直线DP与BC所成角余弦值的取值范围是0,105C.直线DP与平面ACF所成角的取值范围是0,π4D.不存在点P,使得直线DP∥平面ACF二、多项选择题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.每小题列出的四个备选项中,有多个是符合题目要求的,全部选对得4分,部分选对且没有错选得2分,不选、错选得0分)13.图象经过第三象限的函数是()A.y=x2 B.y=x3 C.y=x23 D.y=x14.设α,β是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,()A.若m⊥α,n⊥α,则m∥nB.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥βC.若α∥β,m⊂α,n⊥β,则m⊥nD.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α15.在锐角三角形ABC中,有()A.sinA+sinB>sinC B.sin2A+sin2B>sin2CC.cosA+cosB>sinC D.cos2A+cos2B>sin2C16.函数f(x)=x2+a|x|(a∈R三、填空题(本大题共4小题,共15分)17.若a=log23,b=log34,则ab=,log2a+log2b=.

18.若f(x)=sinωx+π3+12(ω>0)在π,3π2上无零点,则ω的取值范围为.

19.已知a>0,b>0,且a+2b=1,则12b+820.已知向量|a|=1,向量b满足|a-b|+|a+b|=4,则|b|的最小值为.

四、解答题(本大题共3小题,共33分)21.(11分)某班进行了一次数学测试,并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中m的值;(2)估计这次测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);(3)在测试成绩位于区间[80,90)和[90,100]的学生中,采用分层抽样,确定了5人,若从这5人中随机抽取2人向全班同学介绍自己的学习经验,设事件A为“抽取的两人的测试成绩分别位于[80,90)和[90,100]”,求事件A的概率P(A).22.(11分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的投影D在线段AC上,∠ACB=90°,BC=1,AC=CC1=2.(1)证明:AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面ABC所成角为60°,求二面角A1-AB-C的平面角的余弦值.23.(11分)已知函数f(x)=-1ax+1+x-(1)若f(x)是奇函数,求a的值;(2)证明:f(x)在(0,+∞)内有唯一的零点;(3)设f(x)在(0,+∞)内的零点为x0,证明:x0-1>loga2-1a.参考答案1.A解析由于B={x∈N|x2=1}={1},所以A∩B={1}.故选A.2.C解析因为z=2+i1-i=(2+i)(1+i)(1-i3.B解析对于A选项,函数f(x)=ex的定义域为R;对于B选项,函数f(x)=lnx的定义域为(0,+∞);对于C选项,函数f(x)=1x的定义域为{x|x≠对于D选项,函数f(x)=|x|的定义域为R.故选B.4.A解析当θ=π6时,cosθ=cosπ而当cosθ=32时,θ=π6+2kπ或θ=-π6+2kπ,k所以“θ=π6”是“cosθ=32”的充分不必要条件,故选5.B解析根据题意,闭合两个开关所有的可能为(S1,S2),(S1,S3),(S2,S3),其中能形成闭合电路的为(S1,S2),(S1,S3),所以同时闭合两个开关能形成闭合电路的概率为23.故选B6.B解析因为向量a=(1,2),b=(1,0),所以a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),因为(a+λb)∥c,c=(3,4),所以1+λ3=24,解得λ=7.D解析设球的体积为R,则由题可得43πR3=36π,解得R=3,则该球的表面积为4π×32=36π.故选D8.C解析由3a+27b=6有3a+27b=3a+33b≥23a·33b=23a+3b,当且仅当a=3b=1时,等号成立.所以6≥23a+3b,即36≥4×3a+3b,所以9≥3a+39.D解析由函数f(x)=ax-b的图象可知,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,∴0<a<1,排除AB选项;函数f(x)=ax-b图象是由y=ax向左平移所得,∴-b>0,∴b<0.故D选项正确.故选D.10.B解析由x<2不能推出-1<x<2,但-1<x<2可以推出x<2,所以p:x<2是q:-1<x<2的必要不充分条件.故选B.11.B解析∵D为AB的中点,∴OA+OB=2∵OA+OB+2OC=0,∴OC=-OD,∴O是CD∴S△AOC=S△AOD=12S△AOB=14S△ABC,故选12.D解析在△ACF中,AF=CF=BC2+BF2=3,显然有FO⊥AC,sin∠FAC=FOAF=BO以DA,DC,DE为长、宽、高作长方体,如图,则三棱锥A-CDE的外接球即为长方体的外接球,三棱锥A-CDE的外接球被平面ACF所截得的截面是△ACF的外接圆,其面积为πR2=9π8,故A因为平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,ED⊥BD,ED⊂平面BDEF,所以ED⊥平面ABCD,因为BF∥ED,所以BF⊥平面ABCD.因为AD,AB,BC,BD⊂平面ABCD,所以ED⊥AD,ED⊥BD,BF⊥AB,BF⊥BC,因为BD=2,DE=1,所以AD=2,EA=3,DF=5,AF=CF=3,又因为BC∥AD,所以直线DP与BC所成角为∠ADP(或其补角),因为DA·DP=DA·(DE+EP)=DA·(DE+λEF)=λDA·DB=22λcos45°而|DP|2=(DE+λEF)2=1+4λ2,|DA|=2,所以|DP|=1+4λ当λ=0时,cos∠ADP=DA·DP当0<λ≤1时,cos∠ADP=DA·综上,0≤cos∠ADP≤105,故B正确设点D到平面ACF的距离为d,因为AF=FC=3,AC=BD=2,所以S△AFC=12AC·OF=12×2×2=2,又因为S△ABC=12AB由VB-AFC=VF-ABC=13dS△AFC=13FB·S△即2d=1,解得d=22,设直线DP与平面ACF所成角为θ取EF中点G,连接DG,令AC∩BD=O,连接FO,如图,当点P与点G重合时,直线DP∥平面ACF,直线DP与平面ACF所成角θ=0,当点P由点G向点E,F运动时,θ变大,当运动到点E时,因为DE∥BF,所以sinθ=dBF=22,由0≤θ≤π2知当运动到点F时,sinθ=dDF综上知,θ∈0,π4,故C正确;在正方形ABCD中,O为BD中点,而四边形BDEF是矩形,则DO∥GF且DO=GF,即四边形DGFO是平行四边形,即有DG∥FO,而FO⊂平面ACF,DG⊄平面ACF,于是得DG∥平面ACF,当点P与点G重合时,直线DP∥平面ACF,故D错误;故选D.13.BD解析由幂函数的图象可知,在选项A中,y=x2过第一、二象限;在选项B中,y=x3过第一、三象限;在选项C中,y=x23=3x2≥在选项D中,y=x-1过第一、三象限.故选BD.14.ACD解析对选项A,垂直于同一平面的两条直线平行,正确;对选项B,当m∥n时结论未必成立,错误;对选项C,α∥β,n⊥β,故n⊥α,又m⊂α,故m⊥n,正确;对选项D,α⊥β,m⊥β,则m∥α或m⊂α,排除m⊂α,则m∥α,正确.故选ACD.15.ABC解析对于A,根据正弦定理,因为a+b>c可得sinA+sinB>sinC,故A正确;对于B,因为cosC=a2+b2-c22ab>0可得a2+b2>c2,再由正弦定理可得sin2A+sin2对于C,因为0<A,B<π2,所以0<sinA,sinB<1,所以cosA+cosB>cosAsinB+cosBsinA=sin(A+B)=sinC,故C正确对于D,当A=B=C=π3⇒cos2A+cos2B=12<34=sin2C,故D16.BCD解析∵f(-x)=(-x)2+a|-x|=x2+a|∴f(x)为偶函数,当a=0时,f(x)=x2(x≠0),此时图象与B相符;当a<0时,若x>0,则f(x)=x2+ax,此时f(x)单调递增,由偶函数性质可知,f(x)在(-∞,0)内单调递减,图象与C相符当a=1时,f(x)=x2+1|x|,函数图象类似D,当x→+∞时,f(x)故图象不可能为A.故选BCD.17.21解析由换底公式得a=log23=lg3lg2,b=lg4lg3=2lg2lg3,所以ab=lg3lg2·2lg2lg3=2,log2a+log2b=log2(18.0,59∪56,1∪32,179解析因为函数f(x)=sinωx+π3+12(ω>0)在π,3π2上无零点,所以12×2πω>3π2由f(x)=sinωx+π3+12=0,得sinωx+π3=-12,所以ωx+π3=7π6+2kπ(k∈Z)或ωx+π3=11π由ωx+π3=7π6由ωx+π3=11π6由ωx+π3=19π6,得x=17π6ω,因为函数f(x)=sinωx+π3+12(ω>0)在π,3π2上无零点,所以5π6ω>3π2或5π6ω<19.252解析12b+8a+b=12b+162a+2b=12b当且仅当2a+2b2b=32b2即12b+20.3解析由平行四边形性质可得|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2),由基本不等式可得|a+b|2+|a-b|2≥(|a+b|+|a-b|)22,当且仅当|a+b|=|a-b|时,等号成立,所以2(|a|2+|b|2)≥(|a+b|+|a-b|)221.解(1)由频率分布直方图的性质,可得(0.004+0.006+0.020+0.030+0.024+m)×10=1,解得m=0.016.(2)根据频率分布直方图的平均数的计算公式,这次测试成绩的平均数为x=(0.004×45+0.006×55+0.020×65+0.030×75+0.024×85+0.016×95)×10=76.2(分).(3)测试成绩位于[80,90)的频率P1=0.024×10=0.24,位于[90,100]的频率P2=0.016×10=0.16,因为P1∶P2=3∶2,所以确定的5人中成绩在[80,90)内的有3人,分别记为A1,A2,A2,成绩在[90,100]上的有2人,分别记为B1,B2,从5人中随机抽取2人的样本空间Ω={(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2)},共有10个样本点,其中A={(A1,B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2)},即n(A)=6,所以概率为P(A)=61022.(1)证明因为A1D⊥平面ABC,A1