高等数学绪论

高等数学高等数学绪论预备知识0.1代数式0.2常用函数0.3数列本章小结

0.1代数式

一、乘法公式

1.平方差公式及其推广

2.二项式展开(完全平方公式及其推广)

由这些展开式可以看出以下规律:

(1)一个二项式的n次方展开式有n+1项.

(2)字母a按降幂排列,字母b按升幂排列,每项的幂次之和都是n.

(3)当n从0开始时,各项系数的变化规律是:

这种二项式系数“三角形”被称为“杨辉三角形”或“贾宪三角形”.由牛顿二项式公式可以直接求出各幂次单项式的系数,即上面展开式中的最后两个式子,其中

(3)由于(x+2y)(x-2y)的结果是x2-4y2,因此它与x4-8x2y2+16y4相乘时不能应用公式.但如果逆用完全平方公式,则可得x4-8x2y2+16y4=(x2-4y2)2,再与x2-4y2相乘就可以应用公式了,即

例0-3已知x+y=4,xy=-12,求(x-y)2的值.

解

二、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式,称为多项式的因式分解.因式分解时应注意以下几个问题:

(1)因式分解是对多项式而言的,因为单项式本身已经是整式的积的形式.

(2)由于因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式,因此因式分解是整式范围内的概念.

(3)因式分解的最后结果应是积,并且要求乘积中的每个因式都不能再分解,如a4-16=(a2+4)(a2-4)就不符合要求.

(4)因式分解与整式乘法既有区别又有联系.从一定意义上讲,它是整式乘法的相反变法,例如

注:因式分解是一种恒等变形,不能看作是运算.

1.提取公因式法

提取公因式法是因式分解的一种基本方法,是指如果多项式的各项有公因式,可以把该公因式提取出来作为多项式的一个因式;提取公因式后的式子放在括号里,作为另一个因式.提取公因式时要彻底,并且要一次完成.当公因式是多项式时,要注意以下变形:

2.公式法

公式法分解因式就是使用平方差公式及其推广公式,以及二项展开式的逆变形对多项式进行分解.使用公式法进行因式分解的关键在于掌握公式的结构特征.记住,公式中的字母可以代表一个数或一个单项式,也可以代表一个多项式.

3.分组分解法

分组分解法的基本思想是把多项式恰当地分组后,用项数较少的多项式的分解方法进行分解.使用分组分解法的关键是正确分组,分组的原则是选择系数成比例的各项进行分组或选择符合公式条件的各项进行分组;必要时要对多项式进行先变形后分组.

4.十字相乘法

由于因式分解和十字相乘都有多种可能,因此往往要经过多次尝试,才能确定一个二次三项式能否分解和怎样分解.在使用过程中,要不断地总结规律,以便减少试验次数.

例0-4把下列各式进行因式分解:

分式的运算有以下几种:

分式的一些概念和性质与分数类似,而与整式区别较大.整式中的字母取任意值时都有意义,而分式只有在分母不等于零时才有意义.在研究分式变形、分式相等、分式方程等与分式有关的问题时,都不要忘记只有在分式有意义的前提下才能考虑这些问题,而这一点恰恰容易被人们所忽视.

例0-6当x取何值时,下列分式的值为零?

分析只有在分式有意义的前提下,才能研究分式的值.因此,只有当分母不为零且分子为零时,分式的值才为零.

0.2常用函数

一、变量、区间与邻域我们在观察某一现象的过程时,常常会遇到各种不同的量,其中有的量在该过程中不起变化,称之为常量;有的量在该过程中是变化的,也就是可以取不同的数值,称之为变量.我们用x、y、z、t等字母代表变量,用a、b、c、k等字母代表常量.

如果变量的变化是连续的,我们常用区间来表示其变化范围.在数轴上,区间是指介于某两点之间的线段上点的全体.区间、不等式及数轴的表示如表0-1所示.

以上我们所说的都是有限区间.除此之外,还有无限区间,分别为:

(1)[a,+∞)={x|x≥a}:表示大于等于a的实数的全体.

(2)(a,+∞)={x|x>a}:表示大于a的实数的全体.

(3)(-∞,b]={x|x≤b}:表示小于等于b的实数的全体.

(4)(-∞,b)={x|x<b}:表示小于b的实数的全体.

(5)(-∞,+∞)={x|x∈R}:表示全体实数.

注意:-∞和+∞分别读作“负无穷大”和“正无穷大”,它们不是数,仅仅是记号.设a、δ∈R,δ>0,数集{x||x-a|<δ,x∈R},即实数轴上和a点的距离小于δ的点的全体,称为点a的δ邻域,记作U(a,δ),点a与数δ分别称为该邻域的中心和半径.有时用U(a)表示点a的一个泛指的邻域.数集{x|0<|x-a|<δ,x∈R}称为点a的去心δ邻域,记作U°(a,δ),即

二、函数的概念

定义0-1如果在某一变化过程中有两个变量x、y,并且对于x在某个变化范围内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的值与它对应,那么y就是x的函数,记作y=f(x),x∈D.其值x称为自变量,x的取值范围D称为函数的定义域,和x的值相对应的y的值称为函数值,函数值的集合称为函数的值域.

1.函数的表示法

(1)解析法:用等式表示两个变量间的函数关系.

(2)列表法:列表表示两个变量间的函数关系.

(3)图像法:用图像表示两个变量间的函数关系.

2.函数的特性

1)单调性在函数有定义的一个区间上,如果对于自变量x的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么函数f(x)在此区间上是增函数,如图0-1(a)所示;如果对于自变量x的任意两个值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么函数f(x)在此区间上是减函数,如图0-1(b)所示.

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数,就说f(x)在此区间上具有单调性,此区间称为f(x)的单调区间.图0-1

2)奇偶性

如果f(x)的定义域关于原点对称,对定义域内任意x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)是奇函数,如图0-2(a)所示;对定义域内任意x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)是偶函数,如图0-2(b)所示.

奇函数的图像关于原点对称(见图0-2(a)),偶函数的图像关于y轴对称(见图0-2(b)).图0-2

3)有界性

图0-3设函数f(x)的定义域为D,数集X⊂D,若存在一个正数M,对X内任意x都有|f⊂(x)|≤M,则称f(x)在X上有界,或称f(x)是X上的≤有界函数,如图0-3所示,否则称f(x)在X上无界,或称f(x)是X上的无界函数.

4)周期性

设函数f(x)的定义域为D,若存在实数T,对D内任意x,都有f(x+T)=f(x),则称函数f(x)为以T为周期的周期函数,其中最小的正数T称为f(x)的最小正周期.图0-3

3.反函数

如果对于函数y=f(x)每一个确定的值f(x0)=y0,自变量x都有一个确定的值x0-和x0-对应,那么就得到一个以y为自变量、以对应的x值为函数值的函数,这个函数称为原来函数的反函数,记作x=f-1(y).我们习惯上用x表示自变量,y表示因变量,把函数y=f(x)的反函数记作y=f-1(x).

反函数具有下列两个特性:

(1)y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、定义域.

(2)y=f(x)与y=f-1(x)的图像关于直线y=x对称.

例如,设函数y=f(x)的图像上任意点为P(a,b),即b=f(a),则a=f-1(b).因此,反函数图像上的任意点可以表示为Q(b,a),如图0-4所示.

函数的定义域和值域,函数图像,函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性等特性,以及反函数,是了解一个函数的最基本要素.下面将主要从这几方面入手,介绍几类最常见的基本初等函数.

图0-4

三、基本初等函数

1.常数函数

常数函数为y=C,其中C为常数,定义域为R.常数函数是偶函数,其图像如图0-5所示.图0-5

2.幂函数

幂函数的形式为y=xα(α是任意实数),其定义域要依α具体是什么数而定.当α=1、2、3、12、-1、-2时,y=xα是最常用的幂函数,如图0-6所示.

常见幂函数的特性如表0-2所示.图0-6

可知x=2时y=0,所以,该函数的定义域为{2},值域为{0}.

基本初等函数与常数函数进行有限次的四则运算,我们称之为简单函数.其中,幂函数和常数函数进行特定的四则运算时,可构成我们中学阶段所学的一些重要函数,如正反比例函数、二次抛物线函数等.

1)正比例函数

函数y=kx(常数k≠0)称为正比例函数.当k>0时,y=kx的图像在第一、三象限,且y随x的增大而增大,如图0-7(a)所示;当k<0时,y=kx的图像在第二、四象限,且y随x的增大而减小,如图0-7(b)所示.图0-7

图0-8

3)一次函数

一次函数y=kx+b的图像是经过点(0,b)而平行于直线y=kx的一条直线,如表0-3所示,因此该直线的单调性与正比例函数中对k值的分析一致.而且,当k=0时,一次函数y=b表示常数函数,为一条平行于x轴的直线.

一次函数y=kx+b中,k称作该直线的斜率,b称作该直线的截距,这种表示法称为斜截式表示法.

例0-8已知一条直线过点(2,5)且斜率为3,试写出该直线的方程.

解由题意可知该直线可用点斜式表示为

即

也可化为一般式,即

4)二次函数

函数y=ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,且a≠0)称作二次函数,其图像为一条抛物线.开口方向、开口大小、对称轴和顶点唯一地确定了一条特定的抛物线,其中常数a的值决定了抛物线的开口方向和开口大小,a、b的值决定了抛物线的对称轴,而a、b、c的值决定了顶点的位置,如表0-4所示.

例0-9确定抛物线y=x2-6x+8的开口方向以及其与x轴的交点坐标.

解由题意可知该抛物线方程的系数a=1>0,开口向上,其与x轴的交点坐标可以通过令

x2-6x+8=0

解方程求得.因式分解得x2-6x+8=(x-2)(x-4)=0,因此两个实根为x1=2,x2=4,即与x轴的两个交点坐标为(2,0)、(4,0).

3.指数函数

指数函数y=ax

(a为常数,且a>0,a≠1),其定义域为(-∞,+∞).当a>1和0-<a<1时,函数呈现不同的单调性,如表0-5所示.

指数函数过点(0,1)和(1,a),且y=a-x与y=ax的图像关于y轴对称.其中,最为常用的是以e=2.7182818…为底数的指数函数,即

y=ex

4.对数函数

对数函数y=logax(a为常数,且a>0,a≠1),它是指数函数y=ax(a为常数,且a>0,a≠1)的反函数,因此其定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).当a>1和0<a<1时,函数呈现不同的单调性,如表0-6所示.

对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图像过点(1,0)和(a,1),与函数y=ax

(a>0,a≠1)的图像关于直线y=x对称.其中以e为底数的对数函数称为自然对数函数,记作y=lnx;以10为底的对数函数称为常用对数函数,记作y=lgx.

例0-10-求下列函数的定义域:

(1)y=logax2;(2)y=loga(4-x).

解(1)因为x2>0,即x≠0,所以该函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

(2)因为4-x>0,即x<4,所以该函数的定义域为(-∞,4).

图0-9

2)任意角的三角函数值的符号

任意角的三角函数sinθ、cosθ和tanθ的值的符号如图0-10所示.图0-10

3)三角函数的主要特征和图像

表0-7列出了以上三个三角函数的定义域、值域、图像以及函数特性.

4)特殊角的三角函数值

一些特殊角的三角函数值是学习者必须熟记的基础知识(见表0-8),在极限计算、函数的线性近似、定积分等内容中都需要用到.

(2)常用的倍角公式为

由此变形的公式为

6.反三角函数图0-11

0.3数列

一、数列的概念1.数列的定义定义0-2按照一定次序排列的一列数称为数列.数列里的每一个数称为这个数列的一项,各项依次称为这个数列的第1项,第2项,…,第n项,…,其中第1项称为首项.

2.数列的通项公式

一个数列{an}的第n项与项数的关系,如果可以用一个公式来表示,这个公式就称为这个数列的通项公式.如数列

的通项公式是

注:并不是所有的数列都有通项公式.