复变函数与场论简明教程：复变函数的积分

复变函数的积分

3.1复变函数积分的概念3.2柯西-古萨基本定理3.3复合闭路定理3.4原函数与不定积分3.5柯西积分公式3.6解析函数的高阶导数3.7调和函数3.1复变函数积分的概念

1．积分的定义

定义设函数f(z)定义在区域D内，C为D内起点为A

终点为B的一条光滑有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为

A=z0,z1,z2，…,zk－1,zk，…,zn=B

在每个弧段(k=1，2，…，n)上任意取一点ζk(见图3.1)，作和式其中,Δzk=zk－zk－1。记Δsk为弧段的长度，。当n→∞，且δ→0时，若不论对C的分法及ζk的取法如何，Sn有唯一极限，则称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积分，记作若C为闭曲线，则沿此闭曲线的积分记作显然，当C是x轴上的区间a≤x≤b，而f(z)=u(x)时，此积分定义与一元实变函数的定积分定义相同。图3.1

2．积分的计算

（1）若f(z)在区间D内处处连续，令f(z)=u(x,y)+

iv(x,y)，其中u(x,y)及v(x,y)均为D内的连续函数，dz=dx+idy，则容易得到积分计算公式:也就是说，复变函数的积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算。(3.1.2)（2）设光滑曲线C由如下参数方程给出：

z=z(t)=x(t)+iy(t),α≤t≤β

(3.1.3)

参数t增加的方向为C的正方向，

α及β对应于C的起点A

及终点B，并且有当α<t<β时，z′(t)≠0。根据线积分

的计算方法，有(3.1.4)上式右端可以写成于是如下计算积分公式:(3.1.5)若C是由C1,C2,…,Cn等光滑曲线段依次相互连接所组成的按段光滑曲线，则定义(3.1.6)［例1］计算的值，其中积分路径如图3.2所示，分别为：

(1)沿从原点到点z0=1+i的直线段C1；

(2)沿从原点到点z1=1的直线段C2与从z1到z0的直线段

C3所接成的折线。图3.2解(1)直线段C1的方程可写作:

C1∶z=t+it,0≤t≤1

在C1上，z=t－it，dz=(1+i)dt。于是

(2)直线段C2，C3的方程分别为

C2∶z=t,

0≤t≤1

C3∶z=1+it,0≤t≤1

所以有［例2］计算的值，其中积分路径C同上例。解

(1)沿积分路径C1：

(2)沿积分路径C2→C3：［例1］中沿不同路径积分值不同，而［例2］中积分值与路径无关。实际上，把这两个积分按第一种计算方法写成二元实变函数线积分形式：(3.1.7)(3.1.8)［例3］计算，其中C为圆周：|z|=2。

解积分路径的参数方程为

z=2eiθ,0≤θ≤2π

dz=2ieiθdθ

所以［例4］计算，其中C为以z0为中心，r为半径的正向圆周(见图3.3)，

n为整数。图3.3解C的方程可写作

z=z0+reiθ，0≤θ≤2π

所以(3.1.9)

3．积分的性质

从积分的定义可以推得下列与实变函数定积分相类似的性质：(3.1.10)(3.1.11)(3.1.12)(3.1.13)(4)

3.2柯西-古萨基本定理

设f(z)=u+iv在单连通域B内处处解析，且f′(z)在B内连续，C为B内任意一条简单闭曲线（见图3.4）。图3.4根据式(3.1.2)，有由格林公式与柯西-黎曼方程(路线C取正向)得其中，D是C所围的区域。柯西-古萨(Cauchy－Goursat)基本定理若函数f(z)在单连通域B内处处解析，则函数f(z)沿B内的任意一条闭曲线

C的积分为零，即

(3.2.2)

这个定理又称为柯西积分定理。3.3复合闭路定理

设函数f(z)在多连通域D内解析，C为D内的任意一条简单闭曲线，若C的内部完全包含于D，则f(z)在C上及其内部解析，容易得到

现在我们假设C及C１为多连通域D内的任意两条(正向为逆时针方向)简单闭曲线，C１在C的内部，以C及C１为边界的区域D1全包含于D。作两条不相交的弧段，它们依次连接C上某一点A到C１上的某一点A′以及C１上某一点B′(不同于A′)到C上的一点B，而且此两弧段除去它们的端点外全包含于D1(见图3.5)。图3.5由图3.5可见，AEBB′E′A′A及AA′F′B′BFA形成两条位于多连通域D内的简单闭曲线，它们的内部全含于D。于是有将上面两式相加，得即(3.3.1)由式(3.3.1)可得或者(3.3.2)上式说明了一个很重要的闭路变形原理：在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中曲线不经过函数f(z)不解析的点。

复合闭路定理设C为多连通域D内的一条简单闭曲线，C1,C2,…,Cn是在C内部的简单闭曲线，它们互不包含也互不相交，并且以C,C1,C2,…,Cn为边界的区域全含于D(见图3.6)。若f(z)在D内解析，则成的复合闭路(其方向是：C按逆时针进行，

Ck按顺时针进行)。图3.6［例1］计算，其中Γ为包含

a的任一简单闭路，n为整数。

解因为a在闭合曲线Γ内部，故可取很小的整数ρ，使Γ1：|z－a|=ρ在Γ内部(见图3.7)。图3.7为边界的复连通域内解析，由复合闭路定理有再结合本章3.1节的［例4］的结论可得［例2］计算的值，其中Γ为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线。解函数在复平面内除z=0和z=1两个奇点外处处解析。由题意知道，Γ包含这两个奇点。在Γ内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，

C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1(见图3.8)。图3.8根据复合闭路定理，得

3.4原函数与不定积分

定理一若函数f(z)在单连通域B内处处解析，则积分

与连接起点及终点的路径C无关。

由此定理可知，解析函数在单连通域内的积分只与起点z0及终点z1有关。如图3.9所示，有

图3.9如果固定z0，让z1在B内变动，并令z1=z，那么积分

在B内确定了一个单值函数F(z)，即对这个函数，我们有下述定理。定理二若f(z)在单连通域B内处处解析，则函数F(z)

必为B内的一个解析函数，并且F′(z)=f(z)。

这个定理跟微积分学中对变上限积分的求导定理完全类似。同样，我们可以得出类似于微积分学中的基本定理和牛顿-莱布尼兹公式。

定义若函数j(z)在区域B内的导数等于f(z)，即j′(z)=f(z)，则称j(z)为f(z)在区域B内的原函数。

定理二表明是f(z)的一个原函数。

容易证明，f(z)的任意两个原函数相差一个常数。

设G(z)和H(z)是f(z)的任意两个原函数，则

［G(z)－H(z)］′=G′(z)－H′(z)=f(z)－f(z)≡0

所以G(z)－H(z)=c，其中c为任意常数。

定义

f(z)的原函数的一般表达式F(z)+c(其中c为任意常数)称为f(z)的不定积分，记作

(3.4.2)

利用任意两个原函数之差为一常数这一性质，可以推得与牛顿-莱布尼兹公式类似的解析函数的积分计算公式

定理三若f(z)在单连通域B内处处解析，F(z)为f(z)的一个原函数，则

其中z0，

z1为B内的两点。(3.4.3)

证明因为也是f(z)的原函数，所以

当z=z0时，根据柯西－古萨基本定理，得c=－F(z0)，因此

或［例1］求积分的值。

解这里使用了微积分学中的“凑微分”法。［例2］沿区域Im(z)≥0,Re(z)≥0的圆弧|z|=1，计算积分的值。

解函数在所设区域内解析，它的一个原函数为，所以

3.5柯西积分公式

定理若f(z)在区域D内处处解析，C为D内任意一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，则有如下柯西积分公式:(3.5.1)

证明

f(z)在z0连续，则任意给定ε>0，存在一个δ(ε)>0，当|z－z0|<δ时，|f(z)－f(z0)|<ε。设以z0为中心、R为半径的圆周K∶|z=z0|=R全部在C的内部，且R<δ(见图3.10)，那么(3.5.2)由积分估值不等式(3.1.13)，有上式表明不等式左端积分的模可以任意小，只要R足够小。根据闭路变形原理，该积分的值与R无关，所以对所有的R，该积分值都必须为零。因此，由式(3.5.2)即得所要证的柯西积分公式(3.5.1)。图3.10显然，若f(z)在简单曲线C所围成的区域内及C上解析，则柯西积分公式仍然成立。

柯西积分公式表明，可以把一个函数在C内部任一点的值用它在边界上的值来表示。也就是说，若f(z)在区域边界上的值一经确定，则它在区域内部任一点处的值也就确定了。这是解析函数的又一特征。例如，C是圆周z=z0+Reiθ，那么式(3.5.1)成为这表明，一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值。［例］求下列积分(沿圆周正向)的值。解由式(3.5.1)得

3.6解析函数的高阶导数

定理解析函数f(z)的导数仍为解析函数，它的n阶导数为其中C为函数f(z)的解析区域D内围绕z0的任意一条正向简单闭曲线，且其内部全包含于D。

证明设z0为D内任意一点，先讨论n=1的情况，即根据导数的定义由柯西积分公式得从而有上式中最后一个积分的模f(z)在C上解析，故在C上连续，由第一章复变函数的极限和连续性质知道，f(z)在C上有界。即必存在一个正数M，使得在C上有|f(z)|≤M。设d为从z0到曲线C上各点的最短距离(见图3.11)，适当选取Δz，使其满足，则有所以由积分估值不等式可得其中,L为C的长度。若Δz→0，则上式趋于零，所以上式可以进一步写成图3.11我们再利用式(3.6.2)以及推出式(3.6.2)的方法去求极限：便可得到依此类推，用数学归纳法可以证明：［例1］求积分。

解函数f(z)=z3+1在复平面内解析，z0=－1在|z|≤2内，n=3，根据高阶导数公式有

［例2］求积分，其中C为正向圆周：|z|=r>1。

解函数

在z=±i处不解析，且不解析点在C内。在C内分别以z=±i为中心作正向圆周C1，C2

(见图3.12)。图3.12

f(z)在由C，C1和C2所围成的区域内是解析的。由复合闭路定理，有由高阶导数公式可得同样可得所以

3.7调和函数