2023年山东省泰安第六中学新校中考数学二模试题（4月份）（解析版）

泰安六中初四数学月考试题

一、选择题(本大题共12小题，满分48分)

1.下列互为倒数的是()

A.3和』B.一2和2C.3和」D.一2和4

332

【答案】A

【解析】

【分析】根据互为倒数的意义，找出乘积为1的两个数即可.

【详解】解：A.因为3x1=1,所以3和2是互为倒数，因此选项符合题意；

33

B.因为一2x2=-4,所以-2与2不是互为倒数，因此选项不符合题意；

C.因为3x(-=所以3和不是互为倒数，因此选项不符合题意；

D.因为-2xg=-l,所以-2和3不是互为倒数，因此选项不符合题意；

故选：A.

【点睛】本题考查了倒数，解题的关键是理解互为倒数的意义是正确判断的前提，掌握“乘积为1的两个

数互为倒数”.

2.下列计算中正确的是()

A.o'-cc'=a9B.(―2a)'=—8/

C.+(-/)=a，D.(-a+2)(-a-2)=7+4

【答案】B

【解析】

【分析】分别根据同底数幕的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幕的除法法则、幕的乘方法则以及平

方差公式逐一判断即可.

【详解】A../=标+3=。6,故本选项错误；

B.(-2«)3=(-2)3a3=-8a3,故本选项符合题意；

C.«'°+(-。2)3=-"0-2'3=一”4,故本选项错误；

D.(-«+2)(-«-2)=(-«)2-22=a2-4,故本选项错误；

故选：B.

【点睛】本题主要考查了同底数幕的乘法法则，积的乘方运算法则，同底数幕的除法法则、暴的乘方法则

以及平方差公式，熟记相关运算法则是解答本题的关键.

3.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）

A爱B国C敬D业

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形的概念对各项分析判断即可得解.

【详解】A.不是轴对称图形，故本选项错误；

B.不是轴对称图形，故本选项错误；

C.不是轴对称图形，故本选项错误；

D.是轴对称图形，故本选项正确.

故选：D.

【点睛】本题考查轴对称图形，理解轴对称图形的概念是解答的关键.

4.如图，直线AB=AC,NA4C=40。，则N1+N2的度数是（）

A.60°B.70°C.80°D.90°

【答案】B

【解析】

【分析】由48=AC,NBAC=40。得NABC=70。，在由4〃乙得4SC+N1+NB4C+N2=180°即可求

解；

详解】解："：AB=AC,NBAC=40。，

/.ZABC=^(180°-ZBAC)=；(180°-40°)=70°,

l{//l2

：.ZABC+Z1+ZBAC+Z2=180°

Zl+Z2=l80°-ZABC-ABAC=180°-70°—40°=70°

故选：B.

【点睛】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键.

5.为有效防控新冠疫情，国家大力倡导全国人民免费接种疫苗.截止至2022年5月底，我国疫苗接种高

达339000万剂次，数据339000万用科学记数法可表示为ax1()9的形式，则。的值是()

A.0.339B.3.39C.33.9D.339

【答案】B

【解析】

【分析】科学记数法的表示形式为“X10"的形式，其中lW|a|<10,〃为整数.确定”的值时，要看把原

数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》10时，〃是正

整数，当原数绝对值<1时，〃是负整数.

【详解】解：339000万用科学记数法可表示为ax1()9,

\a=3.39,

故选B

【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中n

为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

6.如图，内接于。O,NC=46°,连接Q4,则NQ48=()

A.44°B.45°C.54°D.67°

【答案】A

【解析】

【分析】连接03,由2NC=/AO8,求出NAO8,再根据。4=。8即可求出NOAB.

【详解】连接08,如图，

VZC=46°,

・・・ZAOB=2ZC=92°f

：.ZOAB+ZOBA=180°-92°=88°,

*:OA=OB9

：.ZOAB=ZOBAf

・・・ZOAB=ZOBA=1x88°=44°,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，根据圆周角定理的出/AO8=2/C=92。是解答本题的关键.

7.今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，测得其麦穗长（单位：cm）分别

为8,8,6,1,9,9,7,8,10,8,那么这一组数据的方差为（）

A.1.5B.1.4C.1.3D.1.2

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差的计算方法求解即可.

8+8+6+7+9+9+7+8+10+8

【详解】解：这组数据的平均数为:

方差晓=（8-8）、4+（6-8）:（7-8）乜2+（9-8）12+（10-8）2=1

''—10一.

故选：D.

【点睛】本题考查了方差的计算方法，熟练掌握求方差的公式是解题的关键.

8.如图，在口ABCQ中，AD=2,AB=4,ZA=30°,以点A为圆心，AD长为半径画弧交A8于点E,连接

CE,则阴影部分的面积是（）

DC

30°

AEB

A“乃

-3-fB.3--C.4---D.4——

636

【答案】A

【解析】

【分析】利用平行四边形的面积减去扇形面积和三角形面积即可求解.

【详解】过点。作QFLA8于凡

2

,/以点A为圆心，AD的长为半径画弧交A8于点E,

：.AE=AD=2,

又•；AB=4,

BE=AB-AE=2,

CCc_八"304乂。21ryp-A130%X2?1兀

S阴影—SABCD_S扇形ADE_S&BCE~，DFBE-DF-4x1—x2xl-3-y

故选A.

【点睛】本题考查含30。角的直角三角形的性质，平行四边形和三角形的面积公式，扇形的面积公式，不

规则图形面积的求法，掌握相关面积公式和定理是解题的关键.

9.若二次函数>=融2+法+c(awo)的图像如图所示，则一次函数y=ox+b与反比例函数丁=一：在

同一坐标系内的大致图像为()

【解析】

【分析】根据二次函数的图像确定a,b,c的正负，即可确定一次函数y=ax+b所经过的象限和反比例

函数y=—£所在的象限.

X

【详解】解：•••二次函数^=依2+笈+。（。/0）的图像开口向上，对称轴在y轴左边，与y轴的交点在y

轴负半轴，

b

••。>0,----<0,c<0,

2a

；・bX）,-c>0,

一次函数y=的图像经过第一、二、三象限，反比例函数y=-£的图像在第一，三象限，选项

x

C符合题意.

故选：c

【点睛】本题考查二次函数图像与系数的关系，一次函数图像与系数的关系，反比例函数图像与系数的关

系，熟练并灵活运用这些知识是解题关键.

10.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房

九客一房空.”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住：如果一间客房住9

人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于X、），的二元一次方程组正确的是

（）

f7x-7=y（lx+1=y[7x+7=y\lx-l=y

[9（x-l）=y[9（x-l）=y[9x-l=y[9x-l=y

【答案】B

【解析】

分析】设该店有客房X间，房客y人；根据题意一房七客多七客，一房九客一房空得出方程组即可.

【详解】解：设该店有客房x间，房客），人；

lx+7=y

根据题意得：八，

9(x-l)=y

故选：B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用；根据题意得出方程组是解决问题的关键.

11.如图，在矩形ABC。中，AB<BC,连接AC,分别以点A,C为圆心，大于/AC的长为半径画弧，两

弧交于点M,N,直线MN分别交4。，8C于点E,F.下列结论：

①四边形AECF是菱形；

②/AF8=2/ACB；

@AC'EF=CF'CD-,

④若A尸平分NB4C,则C尸=28凡

其中正确结论的个数是()

A.4B.3D.1

【答案】B

【解析】

【分析】根据作图可得且平分AC,设AC与MN的交点为。，证明四边形AEC尸为菱

形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解.判断③，根据角平

分线的性质可得跳'=■?,根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解.

【详解】如图，设AC与"N的交点为O,

根据作图可得MNLAC,且平分AC,

AO-OC,

四边形ABC。是矩形，

.-.AD//BC,

:./EAO=NOCF,

又ZAOE=Z.COF,AO=CO,

:.二AOESF,

:.AE^FC,

AE//CF,

四边形AECF是平行四边形，

MV垂直平分AC,

:.EA=EC,

••・四边形AECE是菱形，故①正确；

②，FA^FC,

•1.ZACB=ZFAC,

：.ZAFB^2ZACB；故②正确；

③由菱形的面积可得gAC・EF=CF-CZ）；故③不正确，

④四边形ABC。是矩形，

:.ZABC=90°,

若AF平分NBAC,FB1AB,FOA.AC,

则BF=FO,

ZBAF=ZFAC,

ZFAC=ZFCA,

■.ZBAF+ZFAC+^FCA=90°,

:.ZACB=30°,

:.FO^-FC,

2

FO=BF,

：.CF=2BF.故④正确；

故选B

【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角

形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键.

12.如图，在矩形ABC。中AB=10,A£>=12，P为矩形内一点，NAPB=90°,连接PO,则PO的最

小值为（）

A.8B.242C.10D.

61

【答案】A

【解析】

【分析】以AB为直径作。，连接。。在矩形A5C0内部交I。于点P,则此时PD有最小值，由矩形

的性质及圆的概念可求解0P的长，利用勾股定理可求解0。的长，进而可求解.

【详解】解：如图，以AB为直径作O,连接。。在矩形A8CD内部交1。于点尸，则此时PD有最小

值，

矩形A8CO中，AB=10,4）=12，

.-.OP=AO=5,ZS4D=90°,

:.OD=ylAO2+AD2=>/52+122=13-

.•.PE>=OD—00=13-5=8,

即BD的最小值为8.

故选：A.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，点与圆的位置关系以及圆周角定理，正确确定P点位置是解

题的关键.

二、填空题（共4小题）

13.计算曲+卜2|xcos45o=.

【答案】3正

【解析】

【分析】根据二次根式的性质、绝对值的意义及特殊角的三角函数值进行化简，继而计算即可.

【详解】^+|-2|xcos45°=272+2x^=3^）

故答案为：3亚.

【点睛】本题考查了实数的混合运算，涉及二次根式的性质、绝对值的意义及特殊角的三角函数值，熟练

掌握知识点是解题的关键.

14.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角。为45°,C点的俯角夕为

58°,BC为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度CO为6加，则甲建筑物的高度为

m.（sin58°®0.85,cos58°®0.53,tan58°®1.60,结果保留整数）.

【答案】16

【解析】

【分析】过。点作DE1A5于点E,则3E=CQ=6,ZADE^45°,ZACB=58°,在RfAADE

中，ZADE=45°,设=则。E=x,BC=x,AB=AE+BE=x+6,在Rt_ABC中，

tanZACB=tan58°=—=^^«1.60,解得xa10,进而可得出答案.

BCx

【详解】解：如图，过。点作于点E,设AE=x,

根据题意可得：AB1BC，DCLBC,

：.ZAED=ABED=ZABC=ZDCB=90°,

四边形8COE矩形，

•••从甲建筑物A点处测得乙建筑物。点的俯角a为45°,C点的俯角/为58°,BC为两座建筑物的水

平距离，乙建筑物的高度8为6,

:.BE=CD=6,ZADE=45°,ZACB=58°,

在mZXAOE中，NADE=45°,

NE4D=90°—Z4DE=45°,

/.AEAD=ZADE,

DE=AE=x,

BC=DE=x，

AB=AE+BE=x+6^

AH

在Rt二ABC中，tanZACB=—

BC

即tan58°=^^®1.60,

X

：.tanZACB=tan58。=丝=±2®1.60

BCx

解得x*10，

经检验x«1()是原分式方程的解且符合题意,

A6=x+6*16(7n).

故答案为：16.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰

三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识.熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关

键.

15.如图，在方格纸中，点P,Q,M的坐标分别记为（0,2）,（3,0）,（1,4）.若MN〃PQ,点N在格

【答案】N（4,2）

【解析】

【分析】根据P,M的坐标得出平移规律，进而求得点N的坐标.

【详解】解：由题意可得:尸（0,2）、M（l,4）,

...点P向右移动了1个单位长度，向上移动了2个单位长度，得到点

把。（3,0）向右移动了1个单位长度，向上移动了2个单位长度得到N（4,2）,

.•.点N的坐标是N（4,2）,

故答案为：N（4,2）.

【点睛】本题考查了平移规律，记住“上加下减，左加右减”是解题的关键.

16.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线丁=-0.2/+8+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮

筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离O”是m.

【答案】4

【解析】

【分析】将y=3.O5代入y=—0.2/+X+2.25中可求出X,结合图形可知x=4,即可求出OH.

【详解】解：当y=3.05时，-0.2/+犬+2.25=3.05，解得：x=l或x=4,

结合图形可知：0H=4m,

故答案为：4

【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值.

17.如图，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,点E为8c的中点，将43E沿AE折叠，使点8落在

矩形内点尸处，连接CF,则CF的长为

【解析】

【分析】连接BF,根据三角形的面积公式求出BH,得到BF,根据直角三角形的判定得到NBFC=90。，根

据勾股定理求出答案.

【详解】解：连接8尸,

•.•BC=6,点E为BC的中点,

，8£=3,

又：48=4,

+BE2=5'

12

，BH=—,

5

E24

则BF=-^,

"；FE=BE=EC,

：.ZBFC=9Q°,

根据勾股定理得，CF7BC2—BF=?,

1Q

故答案为：y.

【点睛】本题考查的是翻折变换的性质和矩形的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前

后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

18.正偶数2,4,6,8,10,按如下规律排列,

2

46

81012

14161820

则第27行的第21个数是.

【答案】744

【解析】

【分析】由题意知，第〃行有〃个数，第八行的最后一个偶数为〃（〃+1）,计算出第27行最后一个偶数,

再减去与第21位之差即可得到答案.

【详解】由题意知，第〃行有"个数，第〃行的最后一个偶数为"（n+D,

，第27行的最后一个数，即第27个数为27x28=756,

...第27行的第21个数与第27个数差6位数，即756-2x6=744,

故答案为：744.

【点睛】本题考查数字类规律的探究，根据已知条件的数字排列找到规律，用含〃的代数式表示出来由此

解决问题是解题的关键.

三、解答题

19.（1）计算：V27-2cos30+（1）-2-|1-73|；

⑵先化简，再求值：二+"]"一3,其中x=百+1

x2-2x+lx2-lx-l

【答案】（1）V3+5

3

（2）-6

x—\

【解析】

【分析】（1）按照立方根，特殊角的三角函数值，负指数，绝对值的运算法则化简，然后合并解题；

（2）按照分式的运算法则化简，再代入数值计算解题.

【详解】（1）解:

=36-石+4—G+1

=>/?>+5>

M%+Dx—3

(2)解:原式=

d)2(X+l)2

xx—3

x~\x—\

3

-7^T-

：X=6+1，

...原式=.

【点睛】本题考查分式的混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键.

20.2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行（以下简称“成都大运

会”）,这是成都第一次举办世界性综合运动会.某校为了解同学们对“成都大运会”竞赛项目的知晓情

况，对部分同学进行了随机抽样调查，结果分为四种类型：A.非常了解；&比较了解；C.基本了解；

D.不了解，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图表.

知晓情况人数

A.非常了解4

总比较了解18

C.基本了解m

D.不了解5

根据图表信息，解答下列问题：

（1）求本次调查的总人数及表中”的值；

（2）求扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数；

（3）“非常了解”的四名同学分别是A，4两名女生，鸟，与两名男生，若从中随机选取两名同学向

全校作交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好选到一名男生和一名女姓的概率.

【答案】（I）40人，13

（2）117°

（3）t

【解析】

【分析】（1）用A对应的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而求出机的值即可；

（2）用360度乘以C对应的人数占比即可得到答案；

（3）列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.

【小问1详解】

解：4+10%=40人，

本次调查的总人数为40人，

，机=40-4一18-5=13；

【小问2详解】

13

解：360°x—=117°,

40

扇形统计图中“C”对应的扇形圆心角的度数为117。；

【小问3详解】

解：列表如下：

4A2Bi打

4(A，A)(A，4)（A，与）

A2(&A)(4,4)(4,Bj

BI(4,A)（耳，4）(ByB2)

B2(%A)(%A)(%4)

由表格可知一共有12种等可能性的结果数，其中满足题意的结果数有8种，

Q7

.••恰好选到一名男生和一名女姓的概率为展

【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，灵活运用所

学知识是解题的关键.

21.如图，在平面直角坐标系X。），中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=A的图象相交于

2）,3两点.

（1）求反比例函数的表达式;

（2）求一A08的面积

（3）在反比例函数第一象限图象上是否存在一点C,使得.ABC的面积是JOB面积的一半，如果存在

请直接写出点C的横坐标

【答案】（1）y=-

X

（2）8（3）存在，点C的横坐标为上巫或士立I.

22

【解析】

【分析】（1）将点A（a,-2）代入一次函数y=2x+4中，求出。的值，进而得到点A的坐标，再根据反比

例函数图象上点的坐标特征，求出攵的值，即可得到答案；

（2）联立一次函数和反比例函数，求出B点坐标，再求出一次函数与x轴的交点。的坐标，然后利用

SAOB=SBOD+S即可求出^AOB的面积；

⑶设直线y=2x+4与y轴相交于点忆求出点M（0,4）,过点。作4〃A8,在点〃的下方取点

N,使得MN=g0M,过点N作4〃AB与反比例函数在第一象限相交于点C,根据平行线的性质可

知，点C到A3的距离是点0到的距离的一半，则S.BC=；SAOB，再得出4：y=2x+2,求出“

与反比例函数在第一象限的交点即为点C坐标；在点M的上方取点P,使得过点尸作

与反比例函数在第一象限相交于点C,同理求出点坐标即可.

/3〃ABC

【小问1详解】

解：一次函数y=2x+4图象经过点A（a,—2）,

2a+4=-2,

解得：。=—3,

A（—3,—2）,

k

反比例函数y=—的图象经过点A（-3,-2）,

X

了.2=—3x（—2）=6,

；・反比例函数的表达式为y=g；

X

【小问2详解】

解：一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=9的图象相交于A,8两点,

X

y=2x+4

联立《6

y=-

X

x=-3fx=1

解得:或4

y=-2[y=6

・•・8(1,6),

设直线y=2x+4与x轴相交于点q,

令y=0,则2x+4=0,

解得：x=—2,

：.OD=2

-SAOB=SBOD+SAQ»=ga>・|yB|+；O»|y/=gx2x6+；x2x2=8.

解：设直线y=2x+4与y轴相交于点M,

令x=0,则y=4,

.•."(0,4),

如图，过点。作在点M的下方取点N,使得,过点N作4〃A3与反比例函数在

第一象限相交于点C,连接AC、BC,此时4到A6的距离是4到AB的距离的一半，即点C到AB的

距离是点O到AB的距离的一半,

QN是OM的中点，

・•.N（0,2）,

l2//AB,且经过点M

l2:y=2x+2,

y-2x+2

联立’6，整理得：X2+X-3=0，

y=-

X

ZO-1-<13_p,-1+J13

解得：x=-------或彳=--------,

22

点C在第一象限，

.・•点C的横坐标为T+J"；

2

如图，在点例的上方取点P,使得=过点P作4〃A8与反比例函数在第一象限相交于点C,

连接AC、BC,此时4到AB的距离是4到A3的距离的一半，即点C到A3的距离是点。到AB的距

离的一半,

y=2x+6

联立v6，整理得：x2+3x—3=0»

尸一

X

解得：*=土百或x=也2，

22

点。在第一象限，

，点C的横坐标为二3■土勺,

2

综上可知，在反比例函数第一象限图象上存在一点C,使得的面积是_403面积的一半，点C的

横坐标为7+8或-3+e.

22

【点睛】本题是一次函数与反比例函数综合题，考查了一次函数的性质，反比例函数的性质，一次函数与反

比例函数的交点，平行的性质等知识，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题关键.

22.为迎接“五一”国际劳动节，某市政府准备购买紫花风和洋红风两种观花树苗，用来美化某大道沿路两

侧景观，在购买时发现，紫花风树苗的单价比洋红风树苗的单价高了50%,用1800元购买紫花风树苗的棵

数比用1800元购买洋红风树苗的棵数少10棵.

(1)问紫花风、洋红风两种树苗的单价各是多少元？

(2)现需要购买紫花风、洋红风两种树苗共120棵，且购买的总费用不超过8700元，求至少需要购买多

少棵洋红风树苗？

【答案】(1)紫花风树苗的单价是90元，洋红风树苗的单价是60元

(2)至少需要购买70棵洋红风树苗

【解析】

【分析】(1)设洋红风树苗的单价是x元，则紫花风树苗的单价是(l+50%)x元，由题意：用180()元购买

紫花风树苗的棵数比用1800元购买洋红风树苗的棵数少10棵.列出分式方程，解方程即可;

(2)设需要购买加棵洋红风树苗，则购买(120-〃?)棵紫花风树苗，由题意：购买的总费用不超过8700元,

列出一元一次不等式，解不等式即可.

【小问1详解】

设洋红风树苗的单价是x元，则紫花风树苗的单价是。+50%)x元，

18001800

由题意得：——一(1+50%).-'

解得：x=60,

经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，

.•.(1+50%)X=L5X=L5X60=90,

答：紫花风树苗的单价是90元，洋红风树苗的单价是60元；

【小问2详解】

设需要购买加棵洋红风树苗，则购买(120-〃。棵紫花风树苗,

由题意得：60/n+90(120-/n)<8700,

解得：〃?270,

答：至少需要购买70棵洋红风树苗.

【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分

式方程和一元一次不等式.

23.如图，AB为1。的直径，弦C。平分—4)8交A8于点F.点E在A8的延长线上，且EF=ED.

(1)求证：QE是；。的切线；

(2)连接BC,若tan/BCO=L,探究线段AB和BE之间的数量关系，并给予证明;

2

(3)在(2)的条件下，若BE=2,求弦8的长.

【答案】(1)见解析(2)AB=3BE,证明见解析

⑶半

【解析】

【分析】(1)连接。o,OC,根据圆周角定理可得NCZ)B=/ACD=LNADB=LNCQB=45°,然后可

22

得/OCF+/CFO=90。，再判断出/OCF=/OQF,即可得出结论；

(2)先证明/BQE=/A,进而得出△EBOS^EDA,得出AE=2OE,DE=2BE,即可得出结论；

(3)勾股定理求得DB，CB,根据(2)的结论求得F3,证明二CBEs_S3,根据相似三角形的性

质得出相似比，代入数值求解即可.

【小问1详解】

证明：如图，连接O。，0C,

•：EF=ED,

：.NEFD=/EDF,

■:NEFD=NCFO,

:・/CFO=/EDF,

・.・CO平分AB为，。的直径，

:.ZCDB=ZACD=-ZADB=-ZCOB=45°,

22

/.COB=90°,

：.OC_LO尸，

.\ZOCF+ZCFO=90o,

*/OC=ODf

：,/OCF=/ODF,

・•・ZODC+ZEDF=90°,即ZODE=90°,

.・・OD1,DE9

•..点。在。。上，

.•.OE是。。的切线；

【小问2详解】

解：线段A3、BE之间的数量关系为：AB=3BE.

证明：:AB为。。直径，

ZADB=90°,

：.ZADO=ZBDE,

'：OA^OD

：.ZADO=ZA,

：.ZBDE=ZA,

而NBED=/DEA,

:.△EBDs^EDA,

.DEBEBD

''~AE^~DE~~DA'

DB=DB，

:.ZA=ZBCD,

tanA=tanZBCD=—,

2

qBD1

RtAABD中，tanA==一>

AD2

OEBE1

~AE~~DE~2'

：.AE=2DE,DE=2BE,

：.AE=4BE,

：.AB=3BE；

【小问3详解】

解：如图,

D

BE=2,

：.AB=3BE=6,

DF=DE=2BE=4,

:.BF=EF—BE=4-2=2,

在中，AD2+BD1=AB1>

AD=2BD，

.ABD1+BD2=36，

BD=(负值舍去),

5

在Rt.30C中，BC=^OB2+OC2=372-

vAC=AC，

NFBC=ZABC=ZADC=45°,NCDB=45°,

：./CDB=NCBF,

又/FCB=NBCD,

:.二CBFsjjDB,

CBBF

'CD-DB'

6加R6

…DBCB~5~X9屈.

CD=--------=----------=-------

BF25

【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，根据正切值求边长，圆周角定理，掌握以上

知识是解题的关键.

24.如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3交坐标轴于8、C两点，抛物线y=o?+bx+3经

过8、C两点，且交x轴于另一点A(-LO).点3为抛物线在第一象限内的一点，过点力作OQ〃C。,

DQ交BC于点、P,交x轴于点Q.

(1)求抛物线的解析式；

(2)设点P的横坐标为相，在点。的移动过程中，存在NOCP=Nr)PC,求出加值；

(3)在抛物线上取点E,在平面直角坐标系内取点凡问是否存在以C、B、E、/为顶点且以CB为边的

矩形？如果存在，请求出点尸的坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3

(2)m=2

(3)存在，此时点尸的坐标为(4,1)或(一5,-2)

【解析】

【分析】(1)根据一次函数的解析式求出点民C的坐标，再利用待定系数法求解即可得;

(2)先根据O3=OC=3求出NOCB=NOBC=NBPQ=ZDPC=45°,从而可得ZDCO=90°,再

根据平行线的判定可得CD〃AB,从而可得点。的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3,由此即可得；

(3)设点F的坐标为尸(s,r),分两种情况：①四边形3CE厂是矩形，②四边形8CEE是矩形，先联立二

次函数和一次函数的解析式求出点E的坐标，再根据矩形的性质求解即可得.

【小问1详解】

解：一次函数y=-x+3,

当X=O时,y=3,即C(0,3),

当y=0时，-》+3=0,解得x=3,即3(3,0),

/、/八、o[a—b+3=0

把A(—I,0,3(3,0)代入丁=改2+笈+3得

[9。+38+3=0

a=-1

解得「C，

b=2

则抛物线的解析式为y=-V+2x+3.

【小问2详解】

解:5（3,0）,C（0,3）,

/.OB-OC-3,

NOCB=ZOBC=NBPQ=ZDPC=45°,

/DCP=/DPC,

.•."CO=90。，

.-.CD//AB,

，点。的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3,

当y=3时，-X2+2%+3=3.解得X=2或X=0（舍去）,

则m=2.

【小问3详解】

解：存在，求解如下：

设点E的坐标为/（sj）,

①当四边形3c即是矩形时，则CE_LBC,

•••直线BC的解析式为y=-x+3,

设直线CE的解析式为y=x+j

把点C（0,3）代入得c=3,

直线CE的解析式为y=x+3,

y=x+3xx=0

联立《解得〈/或〈c（即为点c，舍去）,

y=-JC+2x+3。=4（y=3

”(1,4),

四边形3CE尸是矩形，且3(3,0),C(O,3),£(1,4),

0+53+1

22s=4

，解得,

3+E0+4t=l

l2-2

则此时点尸的坐标为尸（4,D；

②当四边形BCFE是矩形时，则BE1BC,

设直线BE的解析式为y=x+n,

将点B（3,0）代入得：3+〃=0,解得〃=一3,

则直线BE的解析式为y=x-3,

y=x-3x=-2x=3

联立《解得U或，''（即为点8,舍去）,

y———+2x+3[y=-5[y=o

.••£（-2,-5）,

四边形5UE是矩形,且3（3,0）,C（0,3）,£（-2,-5）,

3+s-2+0

2s=-5

,解得《

0+t-5+3t=-2

7T=2

则此时点F的坐标为F（-5,-2）,

综上，存在以C、B、E、尸为顶点且以CB为边的矩形，此时点尸的坐标为（4,1）或（—5,-2）.

【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、矩形的性质等知识点，较难的是题（3）,正确分两种情

况讨论是解题关键

25.问题背景：某学习小组正在研究如下问题：如图1所示，四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形,

且点E、G分别在边BC、CO上，连接。£、BG,点M是BG中点，连接CM,试猜测CM与OE的

数量关系与位置关系，并加以证明.

解决问题：小华从旋转的角度提出一个问题：如图2,将正方形CEEG绕点C顺时针旋转一定角度，其他

条件不变.此时“问题背景”中的结论还成立吗？如果成立，请加以证明；如果不成立，请说明理由.

拓展延伸：小刚提出了一个更加一般化的问题：如图3所示，.ABC*ECGF,且空=色，其他条

BCb

件不变，此时CM与DE又有怎样的数量关系？请直接写出结果.

【答案】问题背景：CM=-DECMA.DE,理由见解析

2f

解决问题：CM=-DECMIDE,理由见解析

2t

b

拓展延伸：CM=——DE,理由见解析

2a

【解析】

【分析】问题背景：由正方形的性质可证得△BCG丝△E8(SAS),可得BG=DE,

NBGC=NDEC,由直角三角形的性质可得CM,NCBM=ZBCM,进而利用互余可得

2

/EHC=90°,即可证得结论；

解决问题：延长CM至H,使得=交DE于K，连接用，可证

△BMC四△GMH(SAS),