高考数学分类解析二

高考数学分类点评(二)

(四)概率统计类

<1>产品抽样、分层抽样的分布列，离散型随机变量的数学期

望、方差，产品拒收、接收的概率。

<2>古典概型中概率的计算，利用和事件、交事件、对立事件

及事件的独立性求事件发生的概率，二项分布的分布列及数学期望

与方差、正态分布、标准正态分布的特性。

<3>概率应用使期望收益、期望利润、最大期望成本、费用最

省等，如保险公司最低保费问题、电路正常工作问题、利润与采购

量、需求量与供给量的函数关系的建立，求期望收益、期望利润。

1、从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则

选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为(D)

(A)2(B)W(C)区(D)也

29292929

解：设A表示选到的3名同学中既有男同学又有女同学的事件,

则A所含基本事件数为k=4©+C；oG'o=20x5x(19+9)=20x5x28

基本事件总数〃=僚==20乂7*29

20x5x28_20

尸⑷选①).

20x7x29~29

2、(1-6)6(1+«)4的展开式中X的系数是(B)

(A)-4(B)-3(C)3(D)4

解：(1-Vx)6(l+Vx)4=(1-6A/X+15x-..)(l+4«+6x+...)

则x的系数6+15-24=-3，选(B).

或（1一正）6（1+6）4=［（i-V^）（i+V^）］4（i-V^）2

=（1一幻4（1一五）2=（-4x+……）（l-2«+x）

X的系数1-4=-3,选（B）.

3、将标号为1,2,3,4,5,6,的6张卡片放入3个不同的信封中。

若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放

法共有（）

（A）12种（B）18种（C）36种（D）54种

解答：〃=c：C：=18,C：表示3,4,5,6中任取2个卡号，C；表

示三个信封中任取一个放该2个卡片。则选（B）

4、甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选课程中至

少有1门不相同的选法共有（C）种

（A）6（B）12（C）30（D）36

解法一：c：c：=36表示甲、乙两个人从4门课程中各选修2门的

选法（排D）,C：=6表甲、乙选课程全相同，故所求为36-6=30种.

选（C）

解法二：恰一门不相同选法为C：C；C；=24种，C；=6表甲任选二门

课程，4表乙分别从已选二门及余下二门课程中任选一门课程,

或C：C；C；=24种，两门都不同C：C；=6种，故共30种.选（C）

文科试题是求恰有一门相同的选法，为C：C；C；=24种。

5、-5-丫6）4的展开式中十丫3的系数为6

75

解：（x-Jy-y4x）4=x4y2-4x2y2+6x3y3+•••故系数为6

6、将字母a,a,b,b,c,排成三行两列，要求每行的字母互

不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

解答：将。排第一行第一列，则有

ababacac

cabebacb共4种，故共有3x4=12,或=选（A）。

be,ca,cb,ha

7、6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个

演讲，则不同的演讲次序有

（A）240种（B）360种（C）480种（D）720种

解答：共有c：.5!=4x120=480种，选（C）。

8、某中学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4

本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有（B）

（A）4种（B）10种（C）18种（D）20种

解答：c：+c：=io,故选B。c：表4人中任取2人得画册，余下二

人得集邮册，表4人中任取3人得集邮册，余一人得画册。

9、4位同学每人从甲、乙、丙3门课程中选修1门，则恰有2人

选修课程甲的不同选法共有（B）

（A）l种（B）24种（C）30种（D）36种

解答，c：c；c；=24故选（B）oc：表4人中任选二人选甲，c；表余

下2人中任选1人，C；表该同学在乙、丙中任选一门。

10、若G+L"的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则

X

该展开式中▲的系数为56。

X

8vA

解答:由已知彳导c；=c；=〃-2=6,n=S9TK+l=CgX'x',8—2Z=—2,k=5

故二的系数为cl=4=8x7x6一

------二56

X1x2x3

口、G+.8的展开式中炉的系数为

解答：4+1=4铲（_!_）人=42”产2*,8-2左=2,k=3

2x

一的系数为小2,=423x2=7

1x2x38

12、乒乓球比扫规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一

方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，

胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球

方得1分的概率为0.6,各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一

局比赛中，甲先发球。

（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（2）g表示开始第4次发球时乙的得分，求J的期望。

（1）设A,.表示“第，•次发球甲得1分”的事件，i=l,2,3

5表示“开始第4次发球时甲、乙的比分为1：2”的事件,

则P（A）=p（4）=0.6,P（A3）=0.4

B=A/V）A3+A|A3+A〕A?A3

P⑻=0.6x0.4x0.6+0.4x0.6x0.6+0.4x0.4x0.4

44

=0.352(—)

125

(2)解法1:4可取值0,1,2,3

18

=0)=P(AA2A3)=0.6x0.6X0.4=0.144

125

=1)=P(AA2A3+AWA3+444)

=0.4x().6x0.4+0.6x0.4x0.4+0.6x0.6x0.6

51

=0.408

125

44

始=2)=咽=0.352

125

12

=3)=P(A,A2A3)=0.4X0.4x0.6=0.096

125

EJ=£汨记=z)=0.408+2x0.352+3x0.096

i=0

解法2：设。表示前2次发球乙的得分，则。可取值0,1,2

因为甲发球时乙得分的概率冏=0.4,故。~碓出）

%=2x0.4=0.8

设&表示第3次发球乙的得分，则3可取值0,1

因为乙发球时乙得分的概率P2=0.6,

故％=1x0.6=0.6

则1*2

Eg=E&+砥=0.8+0.6=1.4

（H）求开始第5次发球时，甲得分领先的概率。

22

P（B0）=0.6=0.36P（4）=2x0.4x0.6=0.48P（B2）=0A=0.16

P（4）=06=0.36,C^A]B2+A2Bl+A2B2

P（C）=P（AB2+A2-Bl+A2-B2）

=P（A1-B2）+P（AB1）+P（A2B2）

=p（a）・P（BJ+p（4）.P（BJ+P（A）.P（BJ

=0.48x0.16+0.36x0.48+0.36x0.16

=0.3072

月^C-+A4A3A4++A4A3A4+A]A,A3A4

P(C)=0.6x0.6x0.4x0.4+0.4x0.6x0.4x0.4+0.6x0.4x0.4x0.4

+0.6x0.6x0.6x0.4+0.6x0.6x0.4x0.6

=0.3072

13、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买

乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3O设各车主购买保险相互独

立.(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;

(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车

主数，求X的期望。

解法1：设A表示“车主购买甲种保险”的事件

B表示“车主购买乙种保险但不购买甲种保险”的事件

C表示“车主至少购买甲、乙两种保险中一种保险”的事件

。表示“车主甲、乙两种保险都不购买”的事件

(1)则P(A)=0.5,尸(8)=0.3

故所求概率为：P(C)=P(A+8)=P(A)+P(B)=0.8

(2)D=C,P(D)=l-P(C)=0.2

则X~5(100,0.2)

所以E(X)=100x0.2=20

解法2:(1)(7分)

设A表示“车主购买甲种保险”的事件

8表示“车主购买乙种保险”的事件

贝I]尸(A)=0.5,P(AB)=Q.3

故所求概率为：P(AU5)=P(A)+P(AB)=0.8

(2)(5分)两种保险都不买的概率为

尸(无看)=1-P(AUB)=O.2,则X~5(100,0.2)

所以4X)=100x0.2=20

14、如图，由M到N的电路中有4个元件，分别标为小心,%?，电

流能通过AZZ的概率都是P，电流能通过/的概率为09电流能

否通过各元件相互独立，已知小/中至少有一个能通过电流的概

率为0.999。

(1)求p;

(2)求电流能在M与N之间通过的概率；

(3)J表示小心/口中能通过电流的元件个数，求€的期望.(理科)

解：设4表示电流通过元件T,的事件，(&可用(代替)

A表示(ZZ中至少有一个能通过电流的事件

5表示电流能在M与N之间通过的事件

(1)解法1：4,4,4相互独立

尸(Z)=尸(4.不仄)=p(Qp(Qp(A)

=(1—03=1—0.999=0.00

故p=0.9

解法2:At,A2,A3相互独立

P（A）=P（AU&U4）

=P（A）+P（&）+p（A,）—p（AA2）一尸（AA3）-p（&A3）+p（AA2A3）

=3p_3/7"+〃3

=0.99,（1-p）3=0.001,

故〃=0.9

（2）解法1:B=A4+A4AtA3+A4AiA2A3

P（B）=P（A4+4AA+4A44）

=P（A4）+P（AIAA）+P（AA44）

=尸（4）+尸（4）P（4）P（4）+P（4）P（A）P（4）P（4）

=0.9+0.1x0.9x0.9+0.1x0.1x0.9x0.9

=0.989

解法2：P（B）=P（AA3UA2A3U/14）

=p（A4）+p（&4）+P（A4）-P（A4A3）-P（A,A3A4）-P（A2A3A4）+34444）

=p（A）p（4）+P（A2）P（A3）+P（A4）-「（A）P（&）叱）-2A）P（4）P（A4）

-P（A2）P（4）P（A4）+P（Al）P（A2"（4）?（4）

=2x0.92+0.9-3X0.93+0.94=0.9891

2

解法3:P（A,UA2）="P（A,）+P（A2）-P（A,A2）=0.9+0.9-0.9=0.99

P[（AUA?）&]=0.99x0.9=0.891

P（B）=H（AUA2）4U4]=0.891+0.9-0.891x0.9=0.9891

解法4：p（m=p（444uaE）

=尸（鹏4）+「（44）-尸（猛44）

p（A）p（4）P（4）+P（A3）P（A4）-P（A,）P（A2）P（A3）P（A4）

=o.i3+o.i2-o.i4=0.0109

P(B)=1-P(B)=1-0.0109=0.9891

(3)解法1:依题意“B(4,0.9)

所以超=4x0.9=3.6

4

解法2:pk=P{^=k}=^(0.9)i(0.1)-*,女=0,1,2,3,4

4

所以E&=£kpk=3.6

2=0

15、理(09年第20题)(本小题满分12分)

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人,

其中有3名女工人。先采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随

即抽样)从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

(1)求从甲、乙两组个抽取的人数；

(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

(3)记g表示抽取的3名工人中男工人数，求J的分布列及数学期望。

解(1)由于甲组有10名工人，乙组有5名工人，根据分层抽样

原理，若从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核，则从甲组

抽取2名工人，乙组抽取1名工人。

(2)记A表示事件：从甲组的工人中恰有1名女工人，则

%15

(3)。的可能取值为0,1,2,3.

A,表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i=o,1,2.

3表示事件：从乙组抽取的是1名男工人.

A,.与8独立，z=0,l,2.

__02「1A

p(/o)=p(4同=「(4*但)=本方=王,

P("1)=P(4.B+A.可=p(4"⑻+P(A>P⑻

C；IC；C：C；_28

C*C；%C75'

P(J=3)=尸(&B)=P(4).P㈤磊(嘿

31

尸华=2)=1—[P(舁0)+P(4=l)+P("3)]=不

故J的分布列为

J0123

6283110

p

75757575

Q

EJ=0XPK=0）+1XP（J=1）+2XP（J=2）+3XP《=3）=

或（1）甲组中抽2名工人，乙组中抽1名工人.

⑵所求概率为"等4嘤=0.533

（3）4的取值为0,1,2,3.

18_36

=0.08

叱C；2575225-450

%=1)=生盘.G+且£="=更=出=0373

GC\CjC\75225450--

%=2)=驾：+生&£上=里=四=0.413

GiC；GiC'575225450

c2c2103060

PC=3)=T**=—=一=——0.133

C,QCj1575225450

或p©=3)=i6283110

75-75-75-75

283iw8360-

EJ=OX卷+ix+2x+3x=---=1.0

7575755225

16、某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工

人，其中有6名女工人。现采用分层抽样（层内采用不放回简单随

即抽样）从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核。

（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（2）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（3）求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率。

解：（1）由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原则,

要从甲、乙两组中共抽取4名工人，则应从每组抽取2名工人;

(2)设A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则

c'C'8

方法一:P(A)=^—±-

Gj15

方法二:…干（或一管）4

方法二:,(2336x4+4x6上

1091099015

8

方法四:P(A)

C；c+C：+C；15

(3)设A,表示事件：从甲组抽取2名工人中恰有，•名男工人,

i=O,1,2

吗表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有./名男工人，/=0,1,2

8表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人,

因4与吗独立，i,j=0,l,2KB=A0-B2+A1B,+A2BO>故

方法1：P（8）=P（A）%+A由+42.综）

P(4).P(4)+尸(A)•P(B1)+P(4)•P(B0)

C；C；,C：CC'-C；,clcl31

一—■■•，”.'II—♦>—t-•——i

Gi或Gi或或Gi75

方法2：

,43、2,65"6446/31932798373348、

p=(—x—)+(—x-)Hx-x-x-x4=—(SC----,-----9-------,------)

1091091010997522567520258100

该题材较规范，仍是质量抽验的超几何分布型，文科类难度略

有降低，得分较前二年有所增加.

17、购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若

投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10000元的赔偿

金.假定在一年度内有10000人购买了这种保险，且各投保人是否

出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10000元

的概率为1-0.999".

(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;

(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50000

元，为保证盈利的期望不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单

位：元).

解：设投保的10000人中出险的人数为X,则X服从二项分布

X~

(1)由题意至少有一人出险的概率为P(X21)=l-0.99严，其对立事件

(t)0000

额度概率为0.999时=l-P(X21)=P(X=O)=GJwnp(l-p)i,

1—“=0.999,“=0.001

(2)X的数学期望(平均出险的人数)=10000x0.001=10

y表保险险种的盈利则E(r)=1ooo(V/-iOOOOE(X)-soooo

由题意E(y)N0，则有«-10-5>0,«>15

即每个投保人应缴纳最低保险费为15元.

18、甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲，乙各射击一发

子弹.根据以往的资料知，甲击中8环、9环、10环的概率分别为0.6、

0.3、0.1,乙击中8环、9环、10环的概率分别为0.4、0.4、0.2.

设甲、乙的射击相互独立.

⑴求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；

(2)求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环

数的概率.

解：记4，4分别代表甲击中9,10环;记综员分别表示乙击中8,9

环.A表示一轮比赛中甲击中环数多于乙击中环数，z表示三轮比赛

中甲击中环数多于乙的次数。

(1)A=A4++A2B2

P(A)=P(44)+P(4g)+P(A2乃2)=P(A)P(4)+P(4)(4)+P(482)=0.3

X0.4+0.1X0.4+0.1X0.4=0.2

(2)Z~8(3,0.2),

即P{Z=Z}=C；O.2«(1—O.2)3-

P(Z>2)=P(Z=2)+P(Z=3)=C3().220.8'+C10.230.8°=0.096+().(X)8=0.104

19、某批产品有放回地抽取产品二次，每次随机取1件.假设事件A

“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(1)求从该批产品中任取1件是是二等品的概率p；

(2)若该批产品共100件，从中任意取2件，g表示取出的2件

产品中二等品的件数，求J的分布列.

解：（1）A的对立事件为“取出的2件产品都是二等品"，依题

意1-P2=0.96

〃=0.2（p=-0.2舍去）

（2）〃=0.2即为这批产品的次品率，当这批产品为100件时，

其二等品数为100x0.2=20件，现一次从中任取2件，故二等品的件

数J的可能取值为0,1，2.且P{4=0}=、=生，

Goo495

■=1}=底=提，雄=2}=导=提.

Joo^100

所以4的分布列为

4012

P31616019

495495495

该随机变量&是服从超几何分布，可以证明该分布的极限分布是

二项分布。部分考生用二项分布解答此题，仅是近似值，其误差为

0.002,今后解此类型题目要注意其区别。

20、某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后

以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下作垃圾。

（1）若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y（元）关于当天需求

量n（枝）的函数解析式。

（2）花店记录了100天的玫瑰花需求量，整理如下表。1）设花店在

100天内每天购进17枝玫瑰花，求100天的日利润的平均数。

日需求量n14151617181920

频数10201616151310

2）若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的

频率作为各需求量的发生概率，求当天利润不少于75元的概率。

解：（1）当日需求量〃217时，利润"17x（10—5）=85,

当〃<17时，y=5«-5x(17-n)=10/1-85,

10九一85,〃<17

则有:y=〈八neN

[85,n>17

(2)1)心17时,天数为16+15+13+10=54,利润为85x54。

n=16时,利润为16x75。

n=15时,利润为20x65。

n=14时,利润为10x55。

100天平均利润为:

E(^)=—(54x85+16x75+20x65+10x55)=-x7640=76.4

100100

2）利润不少于75元要求日需求量让16

P(y>75)(16+16+15+13+10)=0.7

注：利润y的分布列为

利润y55657585858585

概率Pk0.100.200.160.160.150.130.10

E(y)=0.54x85+0.16x75+0.20x65+0.1()x55=76.4

P(y>75)=0.16+0.16+0.15+0.13+0.10=0.7

（19）（本小题满分12分）

经销商经销某种农产品，在一个销售季

度内，每售出11该产品获利润500元，未售

出的产品，每1t亏损’300元.根据历史资料，

得到销售季度内市场需隶量的频率分布直方

图，如右图所示.经销商为下一个销售季度

购进了130t该农产品.以X（单位：t,

100《XW150）表示下一个销售季度内的市

场需求量，7（单位：元）表示下一个销售季

度内经销该农产品的利润.

<I）将7表示为X的函数；

（n）根据直方图估计利润7不少于57000元的概率：

（III）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值”.袤三三三各个值，并以需

求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的净.至何工：若需求量

*€[100,110）,则取X=105,且*=105的概率等于需求量落•、二工二0,为频率），求

7的数学期望.

(I)解：当X€[10(),130),T=500%-300(130-%)=800X—39000

当Xe[130,150],7=500x130=65000............3分

800X-39000100<X<130

所以丁=<............4分

65000130<X<150

(II)解：ir>57000

即800X—39000257000得x加20............5分

故利润T不少于57000元O120WXW150,由直方图知需求量

Xe[120,150]的频率为(0.03+0.025+0.015)x10=0.7....7分

所以下一个季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为

0.7............8分

(III)解:X=105,7=45000,X=115,T=53000,X=125,7=61000

X>135,7=65000,依题意可得T的分布列为：

T45000530006100065000

............10分

P0.10.20.30.4

所以KT=45000x0.1+53000x0.2+61000x0.3+65000x0.4=59400

12分

(五)解析几何类

(1)利用双曲线、抛物线、椭圆的定义、焦点、准线及性质、

数量积、数列的综合应用求解参数be/及圆锥曲线一类题型。

(2)利用曲线的性质求直线方程的斜率、线段长度之和、长

度之比、围成平面图形的面积及求最大值、点到点、到线、到面的

距离、验证点在圆锥曲线上、四点共圆等。

(3)动点的轨迹问题，讨论参数取值确定曲线形式及直线方程。

参考近五年尤其是新课改选择、填空及解答证明题。

1、已知圆d+>2=5和点41,2),则过A且与圆。相切的直线与两坐标

轴围成的三角形的面积等于竺

4

解：因为圆的切线垂直于过切点的半径，

而直线OA的斜率仁=2,故

切线斜率％=一；火

切线方程y-2=-1)厂70')

%=°X=，；％=0马=5(__________、

2、已知产是抛物线C:y2=4x的焦点，A,3是。上的两/七处田…

的中点为"(2,2),则的面积等于2T4

解：由点M(2,2)的特殊性知，匕石刁/

当x=4时，y=4,可得出A(4,4),

由中点公式得3(0,0),

S=lxlx4=2

2

22

3、设a>l,则双曲线+—―^=1的离心率e的取值范围是(B)

a(。+1)

(A)(V2,2)(B)(V2,A/5)(C)(2,5)(D)(2，V5)

解：e=/=业+『)[=产：”=仁+*,—区

of+叫ef后，e取值范围应在两个平方根之间，选(B).

4、等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x+y-2=0与x-7丫-4=0,

原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为(A)

(A)3(B)2(C)--(D)-1

32

解法一：图解法，如图，排除(C)、(D)负值，所求直线/倾斜度大,

应选(A).

解法二：设直线/的斜率为左,则由等腰三角形底角相等得：

土土?=二(逆时针方向)代选项攵=3,3=-；<=-2成立，

1+(-1汝1+]-2/2

选(A).

5、已知椭圆C:£+£=l(a>b：>0)的离心率为g,过右焦点F且斜率为

ab~2

2X

6、已知抛物线C：/=2px(p>0)的准线为/,过M(1,O)且斜率为6的直线

法二：由N8Mx=MnNOA8=H,8O=LAB='(AM+MB)=M8,由抛物线定

3622

义，M(1,O)是焦点，g=l,则p=2.

法三：可猜想看p=l,显然不满足条件，当p=2时MN=2,A(-l,-2-\/3).

BD=4=2MN.验证出M(1,O)是中点。

7、已知直线^=Z(x+2)(Z>0)与抛物线。:丁=8%相交于A,8两点，F为C

的焦点,若阿=2|冏，则k=(D)

(A)-(B)—(C)-(D)亚

3333

解法一:如图，F(2,0),准线x=_2/AE|=|Af|

\BE\=\BF\,

则由已知得|44=2忸q

又由相似三角形得|Pq=|必，8为线段AP的中广\

2工y：_2

A(1~,

设乂)，B(X2,y2),由中点公式为—,y2=。

即唔-1,学，因为8点在抛物线。上，故有

手=8(1—1),y；=32,y=4及，==4,%=1.选⑻

解法二:特殊值法,试A(4,40),B(1,272),F(2,0),\BF\=3,

|"=6,满足已知条件，人X技选⑻

解法三：图解法，BP的斜率接近1.(D)最接近1.

8、已知4C,8。为圆。：f+丁=4的两条相互垂直的弦，垂足为用(1,a),

则四边形A8C。的面积的最大值为5

解：四边形面积

S^-BDxAM+-BDxMC

22

=-BDxAC

2

即求AC出。最大值

设E,尸分别为AC,3。中点，则有

OE1+OF2=OM2=3,OE2+AE2=4，OF1+BF2=4

贝ljOE2+OF2+AE2+8产=8,AE2+BF2=5

S=-BDxAC<-(BD2+AC2)=-(4BF2+4AE2)=5-

244

方法二.设E,尸分别为AC,8。中点

S=-BDXAC<-(BD2+AC2)等式成立o4。=3。0。七=0/

24

则OEM歹为正方形.0M=6,OF=OMsin45°=',

AE?=8产"-0产=9,AE2+BF2=5

2

Smax=；(BO?+A0?)=；(钻尸+4A炉)=5.

9、椭圆的中心在原点，焦距为4,一条准线为了=-4,则该椭圆的方程

22

为：(A)—+—=1(B*+F

1612

2222

(C)工+工=1(D)土+匕=1

84124

22

解答：2c=4,c=2,c2=4=af准线1=一>"

贝lj储=&〃=4,选(C)。

10、已知片、F2为双曲线C：/-尸=2的左、右焦点，点P在。上,

\PF]=2\PF2\,贝UCOSN耳P^=

1334

(A)-(B)-(C)-(D)-

4545

22

解答：a=41,b=五,c=yla+b=2,\F]F2\=4由归用=2归国

\PF;\-\PF2\=2a=2y/2,则归用=2血,|尸制=4&,由余弦定理

22

4=（4痣产+（2V2）-2*472•25/2COSZF1PF2

cosNf；P6=；,选（C）

11>正方形ABC。的边长为1,点E在边AB上，点尸在边BC,AE=BF=-O

7

动点P从E出发沿直线向产运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反

射角等于入射角。当点P第一次碰到E时，P」

(A)16(B)14(C)

解答：①解法1：如图，碰撞14次，选（B）

八3八4

tanZl=—>tanZ2=—

43

4八16

x,=—­tanZ2=—

,721

“16、八535

X,=(1----)•tan/]=—x-

■2121428

2349223,

——X—=——=——>1

2838421

答案应为7的倍数，选(B)o

②解法2：

34

tana=—;EH=GHcota=—

43

由对称性EJ=-

3

要经过〃个周期后回到E点，则有为为整数，最小正整数〃=3,由图

3

中EG

到07与边界交点5个。故碰撞后回到E点次数为3x5-1=14次。选（B）。

EBHJ

12、正方形458的边长为1,点E在边AB上，点b在边BC,AE=BF=-

3O

动点P从E出发沿直线向尸运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反

射角等于入射角。当点P第一次碰到E时，P与正方形的边的碰撞次数为

(A)8(B)6(C)4(D)3

解答：①解法1：

如图6次，选(B)

DG=-,DH=-,CI=-,JA

633

tanZAE7=---=-=tanZBEF

632

②解法2：

tan«=—>£//=2为整数，

2

一个周期。

故如图中碰撞6次即可。

13、已知抛物线C：V=4x的焦点为b，直线y=2x-4与C交于A,8两

点，贝hosNAEB=(D)

(A)i(B)3(C)-之(D)一士

5555

解答：p=2,3=\,则焦点为F(1,O),联立V=4x,y=2x-4,

/一5%+4=0得4(4,4),B(l,-2),AB=病,AF=5,BF=2,由余弦定理

.45_25_4411>IK

AB2=AF2+BF2-2-AFBFcosZAFB,则cosNA/5=—一-~~--=一一,故选

2x5x25

Do

14、设向量a、b>c满足时=同=1,a-h=--^(a-c,0—c)=60",贝1]卜|的

最大值等于(A)

(A)2(B)V3(C)V2(D)l

解答：由时=网=1,ab=--^»

«-^=|tz||/?|co/Al=cosfA=-->A=120"。

J\a,bJ2a,b

方法一：由四点共圆，当ZA£>C=48C=9(T,|c|取最大值，同最大

值为2,此时AC为圆直径，可作图表示，故选(A)o

方法二：取a,b夹角的平分线，及a-c,6-c的夹角平分线，则

max|d=2,可.作图表示，故选(A)o

方法二：[a-c)-[b-c)=a-b-(a+b)-c+\(^=--^-(a+/?)-c+|c|2>又

(a-c)-(b-c)=\a-c^b-c|•cos60H<(a-c)2+|Z?-c|2=-^(2-2(a+b)-c+2|c|2)

=•^[1-(a+Z?)-c+|c|2],贝！J有|c|2<2+(a+b)-c<2+\c\,其中,+母=1,

蚪-2阳+1)<0,|c|<2,故选(A),该法较难，仅作参考。

15、设两圆G、。2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1),则两圆心的

距离|CC卜(C)

(A)4(B)4V2(C)8(D)8收解:

由题意设圆心为(x,y),都和两坐标轴相切，x-y-r,过点(4,1)满足

方程：(Gx2)+(上2K2,2_x4.0x,=5-272,々=5+2立，

|C,C2|=V2|X2-X,|=V2-4-V2=8,故选C。

22

16、已知6、居分别为双曲线C:二-匕=1的左、右焦点，点AeC,点

■927

M的坐标为(2,0),AM为/尸港尸2的平分线，则AF,=6。

解答："=9,从=27,c=^]a2+b2=6,设A(x,y),6(—6,0),鸟(6,0),

知(2,0)=>忻徵=8,怩根=4,AM为/片AF2的平分线，贝"时|=2|你|

|A用-四=2|烟-1伤|=|碉=2a=2x3=6,|饲=6。

或：设|4闾=4,(x-6)2+y2=d2,(x+6)2+/=4，(AM是/片AF2的

平分线，闺M=8,M闾=4,则|A同=2|A闾),则24x=31,x=-d2,又