2023-2024学年北师大版选择性必修第一册 第二章 3-2抛物线的简单几何性质 作业

第二章3.2抛物线的简单几何性质A级必备知识基础练1.若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定2.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为23,则点P到抛物线的焦点F的距离为()A.4 B.5 C.6 D.73.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+12y2+3的最小值是(A.2 B.3 C.4 D.04.[2023安徽宿州泗县第一中学高二期末]抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过点F作倾斜角为π3的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,AK⊥l,垂足为K,若△AFK的面积是3,则p的值为(A.1 B.2 C.3 D.35.抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是()A.1 B.2 C.0 D.无数个6.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线x23-y23=1相交于A,B两点,若7.若抛物线的顶点在原点,开口向上,F为焦点,M为准线与y轴的交点,A为抛物线上一点,且|AM|=17,|AF|=3,求此抛物线的标准方程.B级关键能力提升练8.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A.(6,+∞) B.[6,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)9.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=p2的距离为1,则p的值为(A.1 B.1或3 C.2 D.2或610.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则|FA|+|FB|+|FC|的值为()A.1 B.2 C.3 D.411.已知抛物线的方程为y2=2px(p>0),O为坐标原点,A,B为抛物线上的点,若△OAB为等边三角形,且面积为483,求p的值.C级学科素养创新练12.(多选题)已知斜率为3的直线l经过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F,与抛物线C交于A,B两点(点A在第一象限),与抛物线C的准线交于点D,若|AB|=8,则以下结论正确的是()A.1|AF|+1C.|BD|=2|BF| D.F为AD的中点

参考答案3.2抛物线的简单几何性质1.C设PF的中点M(x0,y0),作MN⊥y轴于点N(图略).设P(x1,y1),则|MN|=x0=12(|OF|+x1)=12p2+x1=12.A3.B4.A根据抛物线的定义可知,|AF|=|AK|,又直线AF的倾斜角为π3,AK⊥l,故△AKF是等边三角形.又△AFK的面积是3,设|AF|=m,则12m2sin60°=3,解得m=2.故可得|AF|=|AK|=2,因为∠KFO=∠所以|EF|=12|KF|=1,故2|OF|=p=15.B6.6设抛物线的焦点坐标F0,p2,准线方程为y=-p2,代入x23-y23=1得|x|=3+p24.要使△ABF7.解设所求抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),设A(x0,y0),由题意知M0,-p2,∵|AF|=3,∴y0+p2=3,∵|AM|=17,∴x02+y0+p22=17,∴x02=8,代入方程x02=2py0得,8=2p3-p2,解得p=2或p=4.∴所求抛物线的标准方程为x2=4y8.D9.B设A(xA,yA),B(xB,yB).因为|AF|+|BF|=4,由抛物线性质得xA+p2+xB+p2=4,即xA+xB=4-p.因为线段AB的中点到直线x=p2的距离为1,所以xA+xB2-p2=1,所以10.C依题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),又焦点F12,0,准线x=-12,所以x1+x2+x3=3×12=32,则|FA|+|FB|+|FC|=x1+12+x2+12+x3+12=(x1+x2+x3)+3211.解设A(x1,y1),B(x2,y2).∵|OA|=|OB|,∴x12+y12=x22+y22.又y12=2px1,y22=2px2,∴x22-x12+2p(x2-x1)∴x1+x2+2p≠0.∴x2-x1=0,即x1=x2.根据抛物线对称性可知点A,B关于x轴对称,由△OAB为等边三角形,不妨设直线OB的方程为y=33x,由y=33x,y2=2px,解得B(6p,23p),∴|OB|=(6p)2+(23p)2=43p,∵△12.BCD根据题意作出示意图,如图所示,过点A,B分别作准线的垂线,垂足分别为A1,B1.由直线l的斜率为3,∠OFB=60°,则∠FDA1=30°.设|BD|=x,则在Rt△DBB1,Rt△DAA1中,|BB1|=x2,|AA1|=4+x2,所以|BB1|=|BF|=x2,|AA1|=|A