全国高中数学赛课一等奖作品教学设计模板一

全国高中数学赛课一等奖作品教学设计精品模板

（一）

目录

全国高中数学褰课T奖作品：1教案：《方程的根与函数的零点》.doc

全国高中数学褰课T奖作品：3教案：用二分法求方程的近似解.doc

全国高中数学褰课T奖作品4教案：向量的加法.doc

全国高中数学褰课T奖作品5教案：向量加法运算及其几何意义.doc

全国高中数学赛课T奖作品儆案:大小.doc

全国高中数学赛课T奖作品7教窠：二元一次格式.doc

全国高中数学赛课T奖作品8教案：分步原理与分类原理.doc

全国高中数学褰课一等奖作品9教窠：等比数列.doc

全国高中数学褰课一等奖作品10教案:独立性检验的基本思想doc

全国高中数学褰课一等奖作品11教案：导数的综合应用.doc

全国高中数学褰课一等奖作品12教案:懿的概念doc

全国高中数学褰课T奖作品13教案：等比数列的前n项和公式.doc

全国高中数学褰课T奖作品1儆集：函数的表示法.doc

"全国高中数学褰课T奖作品15教案:归纳推理doc

全国高中数学褰课T奖作品1儆案:函数y=Asin（3x+（p）.doc

全国高中数学褰课T奖作品17教案：函数的单调性.doc

全国高中数学褰课T奖作品18教案：几何概型的教学设计.doc

全国高中数学褰课T奖作品19教宗:函数的奇偶性.doc

u全国高中数学褰课T奖作品20稣：又擞函数二doc

全国高中数学褰课T奖作品23:《古doc

，，全国高中数学褰课T奖作品22教案:《平面向量（第一课）》.doc

全国高中数学寒课T奖作品23教案：《曲线与方程》.doc

全国高中数学褰课一等奖作品2雌：《椭圆旗^舫程》.doc

课题：3.1.1方程的根与函数的零点

教材：普通高中课程标准实验教科书数学必修1

(人民教育出版社A版)第三章函数的应用

一、教学目标

1.结合方程根的几何意义，理解函数零点的定义；

2.结合零点定义的探究，掌握方程的实根与其相应函数零点之间的等价

知识与技能关系；

3.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在

区间的方法.

1.通过化归与转化思想的引导，培养学生从已有认知结构出发，寻求解

决棘手问题方法的习惯；

2.通过数形结合思想的渗透，培养学生主动应用数学思想的意识；

过程与方法3.通过习题与探究知识的相关性设置，引导学生深入探究得出判断函数

的零点个数和所在区间的方法；

4.通过对函数与方程思想的不断剖析，促进学生对知识灵活应用的能

力。

1.让学生体验化归与转化、数形结合、函数与方程这三大数学思想在解

决数学问题时的意义与价值；

情感、态度与价值观2.培养学生锲而不舍的探索精神和严密思考的良好学习习惯；

3.使学生感受学习、探索发现的乐趣与成功感。

二、教学国国点与难点

教学重点零点的概念及零点存在性的判定。

教学难点探究判断函数的零点个数和所在区间的方法.

三、教学的方法与手段

授课类型：新授课教学方法：启发式教学、探究式学习

教学课件：自制Powerpoint课件多媒体设备：计算机

四、教学过程

【环节一：揭示意义，明确目标】揭示本章意义，指明课节目标

教师活动：用屏幕显示第三章函数的应用

3.1.1方程的根与函数的零点

教师活动：这节课我们来学习第三章函数的应用。通过第二章的学习，我们已经认识了指数

函数、对数函数、幕函数、分段函数等函数的图象和性质，而这一章我们就要运

用函数思想，建立函数模型，去解决现实生活中的一些简单问题。为此，我们还

要做一些基本的知识储备。方程的根，我们在初中已经学习过了，而我们在初中

研究的“方程的根”只是侧重“数”的一面来研究，那么，我们这节课就主要从

“形”的角度去研究“方程的根与函数零点的关系”。

教师活动：板书标题(方程的根与函数的零点)。

【环节二：巧设疑云，轻松渗透】设置问题情境，渗透数学思想

教师活动：请同学们思考这个问题。用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？

(1)X2-2X-3=0；(2)lnx+2x—6=0.

学生活动：回答，思考解法。

教师活动:第二个方程我们不会解怎么办？你是如何思考的？有什么想法？我们可以考虑将

复杂问题简单化，将未知问题已知化，通过对第一个问题的研究，进而来解决第

二个问题。对于第一个问题大家都习惯性地用代数的方法去解决，我们应该打破

思维定势，走出自己给自己画定的牢笼！这样我们先把所依赖的拐杖丢掉，假如

第一个方程你不会解，也不会应用判别式，你要怎样判断其实根个数呢？

学生活动：思考作答。

教师活动：用屏幕显示函数旷=1—2%-3的图象。

学生活动：观察图像，思考作答。

教师活动：我们来认真地对比一下。用屏幕显示表格，让学生填写f—2x-3=0的实数根

和函数图象与x轴的交点。

学生活动：得到方程的实数根应该是函数图象与x轴交点的横坐标的结论。

教师活动：我们就把使方程成立的实数x称做函数的零点.

【环节三：形成概念，升华认知】引入零点定义，确认等价关系

教师活动：这是我们本节课的第一个知识点。板书(一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),

使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点).

教师活动：我可不可以这样认为，零点就是使函数值为0的点？

学生活动：对比定义，思考作答。

教师活动：结合函数零点的定义和我们刚才的探究过程，你认为方程的根与函数的零点究竟

是什么关系？

学生活动：思考作答。

教师活动：这是我们本节课的第二个知识点。板书(方程的根与函数零点的等价关系)。

教师活动：检验一下看大家是否真正理解了这种关系。如果已知函数y=f(x)有零点，你怎

样理解它？

学生活动：思考作答。

教师活动：对于函数y=f(x)有零点，从“数”的角度理解，就是方程f(x)=0有实根，从“形”

的角度理解，就是图象与x轴有交点。从我们刚才的探究过程中，我们知道，方

程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点也是等价的关系。所以函数零点实际上是

方程f(x)=0有实根和图象与x轴有交点的一个统一体。

在屏幕上显示：函数y=f(x)有零点

方程f(x)=0有实数根O函数y=f(x)的图象与x轴有交点

教师活动：下面就检验一下大家的实际应用能力。

【环节四：应用思想，小试牛刀】数学思想应用，基础知识强化

教师活动：用屏幕显示求下列函数的零点.

丫1[(x-4)(x+l),x<4

(l)y=3-;(2)y=log2x;(3)^=-;(4)y=<^八、/

x[一(尤-4)(1-6),x>4

学生活动：由四位同学分别回答他们确定零点的方法。画图象时要求用语言描述4个图象的

画法；

教师活动：根据学生的描述，在黑板上作出图象(在接下来探究零点存在性定理时，图象会

成为同学们思考问题的很好的参考)。

教师活动：我们已经学习了函数零点的定义，还学习了方程的根与函数零点的等价关系，在

这些知识的探究发现中，我们也有了一些收获，那我们回过头来看看能不能解决

lnx+2x—6=0的根的存在性问题？

学生活动：可受到化归思想的启发应用数形结合进行求解。

教师活动：用屏幕显示学生所论述的解题过程。这种解法充分运用了我们前面的解题思想，

将未知问题转化成已知问题，将一个图象不会画的函数转化成了两个图象都会画

的函数，利用两个函数图象的交点解决实根存在性问题。看来我们的探究过程是

非常有价值的。

教师活动：如果不转化，这个问题就真的解决不了么？现在最棘手的问题是y=lnx+2x—6

的图象不会画，那我们能不能不画图象就判断出零点的存在呢？

【环节五：探究新知，思形想数】探究图象本质，数形转化解疑

教师活动：我们看到，当函数图象穿过x轴时，图象就与x轴产生了交点，图象穿过x轴这

是一种几何现象，那么如何用代数形式来描述呢？用屏幕显示y=1-2x-3的

函数图象，多次播放抛物线穿过x轴的画面。

学生活动：通过观察图象，得出函数零点的左右两侧函数值异号的结论.

教师活动：好！我们明确一下这个结论，函数y=f(x)具备什么条件时，能在区间(a,b)上

存在零点？

学生活动：得出f(a)・f(b)〈0的结论。

教师活动：若f(a)•f(b)<0,函数y=f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？

学生活动：可从黑板上的图象中受到启发，得出只有在［a,b］上连续不断的函数，在满足

f(a)・f(b)<0的条件时，才会存在零点的结论。

【环节六：归纳定理，深刻理解】初识定理表象，深入理解实质

教师活动：其实同学们无形之中已经说出了我们数学中的一个重要定理，那就是零点存在性

定理。这是我们本节课的第三个知识点。板书(三、零点存在性定理)。

教师活动：用屏幕显示函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有

f(a)•f(b)<0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.

即存在cG(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.

教师活动：这个定理比较长，找个同学给大家读一下，让大家更好地体会定理的内容。

学生活动：读出定理。

教师活动：大家注意到了么，定理中，开始时是在闭区间［a,b］上连续，结果推出时却是在

开区间(a,b)上存在零点。你怎样理解这种差异？

学生活动：思考作答。

教师活动：虽然我们已经得到了零点存在性定理，但同学们真的那么坦然么？结合黑板上的

图象，再结合定理的叙述形式，你对定理的内容可有疑问？

学生活动：通过观察黑板上的板书图象，大致说出以下问题：

1.若函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)•£")<(),则f(x)在区间(a,b)内

会是只有一个零点么？

2.若函数y=f(x)在区间［a,b］上连续,且f(a)•f(b)>0,则f(x)在区间(a,b)内

就一定没有零点么？

3.在什么条件下，函数y=f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？

教师活动：那我们就来解决一下这些问题。

学生活动：通过黑板上的图象举出反例，得出结论。

1.若函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)•f(b)〈O,则只能确定f(x)在区

间(a,b)内有零点，有几个不一定。

2.若函数y=f(x)在区间［a,b］上连续，且f(a)•f(b)〉O,则f(x)在区间(a,b)内

也可能有零点。

3.在零点存在性定理的条件下，如果函数再具有单调性，函数y=f(x)在区间(a,b)

上可存在唯一零点。

【环节七：应用所学，答疑解惑】把握理论实质，解决初始问题

教师活动：现在我们不用画出图象也能判断函数零点是否存在，存在几个了。那解决

Inx+2x—6=0的根的存在性问题应该是游刃有余了。

用屏幕显示判断下列方程是否有实根，有几个实根？(2)lnx+2x-6=0

学生活动：通过对零点存在性的探究和理解，表述该问题的解法。

【环节八：归纳总结，梳理提升】总结基础知识，提升解题意识

教师活动：本节课的知识点已经在黑板上呈现出来了，但最重要的，也是贯穿本节课始终，

起到灵魂作用的却是三大数学思想，即化归与转化的数学思想,数形结合的数学

思想，函数与方程的数学思想.数学思想才是数学的灵魂所在，也是数学的魅力所

在，对我们解决问题起着绝对的指导作用。愿我们每个同学在今后的学习中体味、

感悟、应用、升华！

【环节九：理论内化，巩固升华】整理思想方法，灵活应用解题

1.函数f(x)=x(x2-16)的零点为()

A.(0,0),(4,0)B.0,4C.(-4,0),(0,0),(4,0)D.-4,0,4

2.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x)在(0,+8)上有一个零点，则f(x)的零点

个数为()

A.3B.2C.1D.不确定

3.已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下对应值表：

X1234567

f(x)239-711-5-12-26

那么函数在区间［1,6］上的零点至少有()个

A.5个B.4个C.3个D.2个

4.函数f(x)=-x3-3x+5的零点所在的大致区间为()

A.(-2,0)B.(1,2)C.(0,1)D.(0,0.5)

【环节十：布置作业，举一反三】延伸课堂思维，增强应用意识

已知Ax)=,-2x-3|-«,求a取何值时能分别满足下列条件.

①有2个零点;②3个零点;③4个零点.

五、板书设计

方程的根与函数的零点

一、函数零点的定义：对于函数y=f(x),使方程f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.

二、方程的根与函数零点之间的等价关系

屏幕L-L

0X

r口\

三、零点存在性定理

用二分法求方程的近似解

教学设计

一、本节课内容分析与学情分析

1、本节课内容分析

本节课的主要任务是探究二分法基本原理，给出用二分法求方程

近似解的基本步骤，使学生学会借助计算器用二分法求给定精确度的

方程的近似解。通过探究让学生体验从特殊到一般的认识过程，渗透

逐步逼近和无限逼近思想(极限思想)，体会“近似是普遍的、精确

则是特殊的"辩证唯物主义观点。引导学生用联系的观点理解有关内

容，通过求方程的近似解感受函数、方程、不等式以及算法等内容的

有机结合，使学生体会知识之间的联系。

所以本节课的本质是让学生体会函数与方程的思想、近似的思

想、逼近的思想和初步感受程序化地处理问题的算法思想。

2、本节课地位、作用

“二分法”的理论依据是“函数零点的存在性（定理）”，本节

课是上节学习内容《方程的根与函数的零点》的自然延伸；是数学必

修3算法教学的一个前奏和准备；同时渗透数形结合思想、近似思想、

逼近思想和算法思想等。

3、学生情况分析

学生已初步理解了函数图象与方程的根之间的关系，具备一定的

用数形结合思想解决问题的能力，这为理解函数零点附近的函数值符

号提供了知识准备。但学生仅是比较熟悉一元二次方程解与函数零点

的关系，对于高次方程、超越方程与对应函数零点之间的联系的认识

比较模糊，计算器的使用不够熟练，这些都给学生学习本节内容造成

一定困难。

二、教学目标

根据教材内容和学生的实际情况，本节课的教学目标设定如下：

1、通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法

是求方程近似解的一种方法，会用二分法求某些具体方程的近似解,

从中体会函数与方程之间的联系，体会程序化解决问题的思想。

2、借助计算器用二分法求方程的近似解，让学生充分体验近似

的思想、逼近的思想和程序化地处理问题的思想及其重要作用，并为

下一步学习算法做知识准备.

3、通过探究、展示、交流，养成良好的学习品质，增强合作意

识。

通过具体问题体会逼近过程，感受精确与近似的相对统一。

三'教学重点'难点

重点：二分法原理及其探究过程，用二分法求方程的近似解

难点：对二分法原理的探究，对精确度、近似值的理解

四、教学方法与教学手段

教学方法：“问题驱动”和启发探究式教学方法

学法指导：分组合作、互动探究、搭建平台、分散难点

教学手段：计算机、投影仪、计算器

五、教学过程

（-）设置情景，提出问题

问题1：你会求哪些类型方程的解？

小组讨论有哪些方程不会求解？

并让学生把所提问题归纳并板书到黑板上

问题2：能不能求方程的近似解？

（二）互动探究，获得新知

以求方程x，+3x-1=0的近似解（精确度0.1）为例进行探究

探究1:怎样确定解所在的区间？

(1)图像法

(2)试值法复习：〈1〉方程的根与函数零点的关系

〈2〉根的存在性定理

探究2：怎样缩小解所在的区间？

李咏主持的幸运52中猜商品价格环节，让学生思考：

(1)主持人给出高了还是低了的提示有什么作用？

(2)如何猜才能最快猜出商品的价格？

问题3：为什么要取中点，好处是什么？

探究3：区间缩小到什么程度满足要求？

问题4：精确度0.1指的是什么？与精确到0.1一样吗？

二分法的定义：

对于在区间[a,加上连续不断且满足/(a)•/(。)<0的函数

y=/(x)，

通过不断地把函数/(%)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个

端点

逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.

用二分法求零点近似值的步骤：

给定精确度£,用二分法求函数/(幻的零点近似值的步骤如下：

1、确定区间b],验证/(a)・/(b)<0,给定精确度£；

2、求区间(a,b)的中点c；

3、计算/（c）：

（1）若/（c）=0，则，就是函数的零点；

（2）若/（a）・/（c）<0,则令b=c（此时零点/GQC））；

（3）若/（c）・/S）〈O,则令a=c（此时零点为G（C,3）;

4、判断是否达到精确度£：

即若|a-6<£,则得到零点零点值。（或。）；否则重复步骤2〜

4.

（三）例题剖析，巩固新知

例：借助计算器用二分法求方程lnx+2x-6=0的近似解（精确度

0.01）

两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解

缩小区间的方法和过程，教师点评.同时演示用计算机程序进行

计算.

（四）知识迁移，应用生活

（1）猜商品价格

（2）从上海到美国旧金山的海底电缆有15个接点，现在某接

点发生故障，需及时修理，为了尽快断定故障发生点，一般至少需要

检查接点的个数为一个

（五）检验成果，深化理解

1.方程4>2x-11=0的解在下列哪个区间内？你能给出一个满

足精确度为0.1的近似解吗？

A（0,1）B（1,2）C⑵3）D（3,4）

说明：二分法也能求方程的精确解

2.下列函数的图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零

点的是()

ABCD

思维升华：在零点的附近连续且f(a)・f(b)〈O

(六)课堂小结，回顾反思

本节课你学到了哪些知识？

有哪些收获？

六、教学反思

•以问题为教学出发点

•注重与现实生活中案例相结合

•注重学生参与知识的形成过程

•恰当地利用现代信息技术

七、课外作业

1.书面作业⑴第92页习题3.1A组3、4、5

(2)求2x+3x=7的近似解(精确度0.1)

2.知识链接第91页阅读与思考“中外历史上的方程求解”.

3.思考如图所示在区间仅，加上有多个零点,还能否用二分

法求方程

八、板书设计

课题：3、例题分析：投影：

1、提出问题：4、抽象概括：

2、问题探索5、练习：

5.2向量的加法

教学目标

1.知识目标

掌握向量的加法定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作出两

个向量的和向量；掌握向量加法的运算律，并会用它们进行向量计算。

2.能力目标

使学生经历向量加法法则的探究和应用过程，体会数形结合、分类讨论等数

学思想方法，进一步培养学生归纳、类比、迁移能力，增强学生的数学应用意识

和创新意识。

3.情感目标

注重培养学生积极参与、大胆探索的精神以及合作意识；通过让学生体验成

功，培养学生学习数学的信心。

教学重点、难点

重点：向量加法的两个法则及其应用；

难点：对向量加法定义的理解。

突破难点的关键是抓住实例，借助多媒体动画演示，不断渗透数形结合的思

想，使学生从感性认识升华到理性认识。

教学方法

结合学生实际，主要采用“问题探究”式教学方法。通过创设问题情境，使

学生对向量加法有一定的感性认识；通过设置一条问题链，引导学生在自主学习

与合作交流中经历知识的形成过程；通过层层深入的例题与习题的配置，引导学

生积极思考，灵活掌握知识，使学生从“懂”到“会”到“悟”，提高思维品质，

力求把传授知识与培养能力融为一体。

采用计算机辅助教学，通过直观演示体现形、动、思于一体的教学效果，优

化课堂结构，提高教学质量。

教学过程

教学

教学内容师生互动设计意图

环节

一、复习旧知：

我们已经学过向量。教师提问，学生重温旧知，为学习新

(1)什么是向量？思考回答。知识做铺垫。

复既有大小又有方向的量叫向量，一般用有向线段表

习示

引(2)什么是平行向量？

入方向相同或相反的非零向量叫平行向量，零向量与

任意向量平行

(3)如果两个向量要相等，必须具备什么条件？

长度相等且方向相同的向量叫相等向量

(4)向量和数的区别在哪里？

二、新课讲授：

1.设置情境，提出问题

向量和数有区别吗？数可以做加法，而且对于任意

使学生对本节课所必

两个数x+y=y+x；(x+y)+z=x+(y+z)即学生回答求合备的基础知识有一个

力的方法，引出清晰准确的认识，分

交换律和结合律。那么对于向量，是否和数一样可

平行四边形法散教学难点。

以相加，而且满足这两个运算律呢？这就是本节课

则

要讨论的问题。

问题设在学生的“最

近发展区”内，可引

卢海发学生的积极思维，

教师利用多媒使学生根据新的学习

体演示两向量任务主动提取已有知

相加。识。

台北

类比物理学中力的合

香港成，引出向量的加法

使学生认识到数学与

物理间的紧密联系，

实例：兄弟俩同拉一只箱子，两人用力分别是fl,f2,

进一步培养学生的数

合力记为F。问：怎样求合力F?(学生回答)

学应用意识和探索创

新能力。

以fl,f2为邻边作评选四边形，则从作用点出发的对

角线就是合力F

物理学中求合力的过程实际就是求向量的加法。若

令fl=a,f2=1,贝ijF=a+B

1.平行四边形法则

现在请同学们拿出纸和笔，自己随意画两个向量，

记为6,长度、位置和方向由你们自己定。

教师巡视，抽取三种特殊画法，请同学们展示

画在黑板上。引导学生类比实数加

请同学们思考：怎么样用平行四边形法则去求法的运算律，得出向

量加法的运算律，培

a,b的和向量？

养学生的类比'迁移

能力，

请三位同学板演。请学生解释当向量。力不在同一

起点的时候，怎样求和向量。（只解释1,2两个图形）

（学生板演，如果做法不完善，可让其他同学补充）

多媒体演示：平行四边形法则的步骤。

例1.如图，已知向量a,b求作向量a+b

作法：1.在平面内任取一点A

2.以点A为起点，。力为邻边作平行四边形

ABCD,则a+b=AC

教师引导学生观察利用平行四边形求和时两向

量的位置：起点相同。从而得到平行四边形法则的

特点，为了便于记忆，浓缩为七个字：起点相同，过

起点。

问：两向量相加的结果是一个数还是一个向量？

第三位同学画的是两个向量同向的情况，听听从学生熟悉的实际问

他的解释。发现是两个向量首尾相连的结果，是不题引入，并借助多面

是对于任意不共线的向量都可以用首尾相连的方式体辅助作用，让学生

求得和向量呢？在具体、直观的问题

2.三角形法则中观察、体验，形成

先看下生活中的例子：过去由于大陆和台湾没有直对向量加法概念的感

航，乘飞机要先从上海到香港，再从香港到台湾，性认识，为突破难点

这两次位移的合成结果是什么？（从上海到台湾）奠定基础。

如果把这三点分别记为A,B,C,则怎样用一个数

学式子来表示上述问题？（学生回答）引出三◎形

法则：

例：已知向量a,b求作向量a+b

作法：1.在平面内任取一点A

2.作AB=a,BC=1

3.则a+b=AC

三角形法则的特点是什么？首尾相连首尾连。

（解释含义）进一步培养学生良好

刚才解决了两个同向向量的问题，如果两个向量反的学习习惯。

向德情况呢？请同学们自己在草稿纸上画一画。通过多媒体动画演

（学生展示）示，使静态的知识以

平行四边形法则和三角形法则的区别在哪里？鲜活的面容呈现在学

同学们能不能说出平行四边形法则和三角形法则的生的面前，既帮助学

区别？（强调三角形法则的特点。简记为：首尾相生理解定义，又渗透

连，首尾连。）了数形结合'分类讨

当两个向量不共线时，两个法则都适用。论思想。

其实两个法则有统一的一面动画演示）在比较中掌握知识，

为灵活应用公式打下

a+b和b+a相等吗？因为两个图形正好能拼成一

基础。

个平行四边形。多媒体显示经过平移，恰好构成平

行四边形的过程。

由此得出向量加法的交换律：

a+b=b+a

如果3=0,则a+0=0+a=a

刚才举得例子都是两个向量相加，如果是三个

向量相加呢？如图。

二'

如果多一个向量C,怎么求三个向量的

和？向量相加满足结合律吗？对向量加法定义的理

解是本节课的难点，

结合律：（a+b）+c=a+（b+c）

通过层层深入的问题

你能用图形进行验证吗？（同桌之间可以相互讨

设置，将难点化解在

论），有了结合律以后，多个向量相加就可以按照任

三个符合学生实际而

概意的组合，任意的顺序进行了。

学生独立完成，又令学生迫切想解决

念例.化简：

2教师用多媒体的问题中。

形

演示。及时巩固新知识。

成（l）AB+CD+BC

熟悉求两个向量的和

学生练习，在整向量的几何作图技

（）（）（）

2M4+BN+AC+CB个练习过程中，能，并通过例题总结

教师做好课堂求和作和的方法和技

巡视，加强对学巧。

⑶A6+（80+CA）+OC

生的个别指导

例2告诉我们，首尾相连首尾连，反过来，

一个向量也可以拆成多个首尾相连的向量之

学生讨论，互相

和

启发、补充。教

变式：如图：在任意四边形中，可以拆

ABCD师完善结论。

成哪几个向量相加？若E,F分别是AD,BC的中点，

你能否证明AB+DC=2EF.

学生动手验证,

教师演示

向量的拆分，不仅开

阔了学生的思路，而

学生自己提出且再一次体现了向量

问题，互相启是沟通几何与代数的

三、例题探究，变式引申发、补充。教师桥梁。

完善。

例3.(多媒体)如图，。为正六边

形ABCDEF的中心，求出下列向量：

(1)OA+OC;(2)5C+F£;(3)OA+FE

巩固所学知识，进一

步完善认知结构，并

且使学生对自己的学

习进行自我评价。

(学生回答，教师提问：依据是什么？适时点评)

对于例1这个图形，你能设计出一个问

题让别的同学解答吗？

变式：如图，正六边形AOBCDE中，

0A-a,OB-b.

用标将丽，而表示出来

五、课堂小结.O注重数学思想方法的

学生思考，讨论提炼，可使学生逐渐

1.向量加法的平行四边形法则，要

补充，师生共同把经验内化为能力。

点：起点相同，过起点。

完善。师生共

向量加法的三角形法则，要点：

2.探。

首尾相连，首尾连。

3.向量加法满足交换律和结合律，

即a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c)。

4.有关向量加法的运算通常利用它的几

何意义转化为几何运算，这体现了以形助数

的思想。

书面作业要求作业分为两个层次，

所有学生都要既巩固所学，又为学

练

完成，研究与思有余力的同学留出自

习

考只要求学有由发展的空间，培养

反

余力的同学完学生的创新意识和探

馈

成。索精神，同时为下节

课内容作好准备

《2.2.1向量加法运算及其几何意义》教案

一、教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形

法则作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会

用它们进行向量运算.

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽

象为数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决

问题的能力.

情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，

激发学生的学习热情.培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质.

二、重点与难点

重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量

的和向量.

难点：理解向量的加法法则及其几何意义.

三、教法学法

教法运用了“问题情境教学法"、"启发式教学法”和"多媒体辅助教学法

学法采用以"小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式.

四、教学过程

新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、

体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程.基于此，我设定了5个教学环节:

一'创设情境引入课题

师：在前一节课中我们学习了一个新的量一一向量，今天就让我们共同来探

究向量的加法运算，首先，请看课件.（出示）

师：他是谁？

生：丁俊晖.

师：对，著名的台球神童一一丁俊晖？大家请

看他好像遇到了难题？（出示）你能不能帮助他解

决啊？

活动设计：学生参与讨论（教师提问，学生

回答：翻袋进球）

再来看另一个问题：在两岸通航之前，要

从我们郑州到达祖国的宝岛台湾，我们需要从

新郑机场乘飞机抵达香港，然后转机才能到达,

如今通航后呢？我们可以直接到达，节省了大

量的时间和金钱.

无论是台球还是飞机，从最初的位置到达

最终的位置都是经历了两次位移，如果从作用

效果角度来看，这两次位移的作用效果就等于从起点到终点的一次位移，在物理

上，我们就把这次位移称作是之前两次位移之和.

同学们，请思考问题L

【问题1】位移求和时，两次位移的位置关系是什么？如何作出它们的和

位移?

——两次位移首尾相连，其和位移是由起点指向终点.

学生活动：学生讨论，自主探究

位移是个物理量，如果抛开它的物理属性，它正是我们研究的一一向量.那

么，受到位移求和的启发，能否找到求解向量之和的方法呢？

于是，我们顺利的进入了本节课的第二个环节：

二、实践探究总结规律

我首先提出了问题2：

【问题2】如图所示，对于向量。和b如何求解它们的和呢？

活动设计：小组探究、代表汇报又

和物理中的位移求和问题有所不同的是，在数学中任意两个向a

量相加时，他们未必是首尾相连的啊，应该如何处理呢？

对于这个问题我没有急于给出问题的答案，而是鼓励学生大胆试验和探究，

我深入学生中与他们交流，了解学生思考问题的进展过程，帮助他们突破思维的

障碍，投影学生的解题过程，纠正出现的错误，规范书写的格式.

最终，由他们自己得出问题的答案：

生：“在平面内任取一点。，平移。使其起点为点0,

平移匕使其起点与a向量的终点重合，再连接向量。的

起点与向量匕的终点

此时，教师鼓励学生自己给出定义：

加法的定义：已知向量。涉，在平面内任取一点0,

作。A=则向量08叫做向量的和.记作：a+b.即

a+b=OA*A.

向量加法的法则：和的定义给出了求向量和的方法，称为向量加法的三角形

法则.

加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何

中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征.

至此，已经了解了加法定义与三角形法则，同时，我们也应该注意到在物理

中矢量合成时的平行四边形法则.

我创设了情景："观察小猴过河的动画短片

对于平行四边形法则学生已经非常熟悉，他们关心的是两个法则之间的联系

与区别，于是，我提出了问题4.

【问题3】平行四边形法则有何特点？

生：是平移两个向量至共起点.

【问题4］想想你遇到过一些可以用向量求和来解释生活现象吗？

活动设计：学生以小组为单位讨论，小组汇报比比谁的例子最多，最贴切.

完成了这个探究，接着，我进入第三个环节.

三、类比联想探究性质

首先我设计了问题5:

【问题5］请类比实数加法的性质完成表格，并通过画图的方法验证你的结

论.

活动设计：师生探究、课件演示

通过和实数加法性质进行类比，学生很容易得出向量加法的性质，对于交换

律的验证我让学生通过画图自己动手验证，而对于结合律的验证，则由师生借助

于多媒体共同完成.

至此，本节课的概念教学已经完成，于是我引导学生进入第四环节：

四、数学运用深化认识

在这个环节，我设置了2道例题和2道练习.

接下来，为了检验对于概念的理解和掌握，我设置了一道例题来强化概念：

例1：如图，已知a、b,作出a+Z?

**

-----.

/二实数的加漳*〒向量的加法

性a+b=b-\-aa+b=b+a

质

(a+b)+c=a+@+c)(a+b)+c=a+(。+c)

通过例1学生会看到三角形法则对共线向量的求和仍然是适用的，反映了三

角形法则具有广泛的适用性.

例2：根据图示填空

(1)a+b=；(2)c+d=；

(3)a+d+b=；(4)DE+CD+AC=_；

(5)AB+BC+CD+DE^.

在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角

形法则推广到n个向量相加的形式.即&A+A&+44+…+4-4,=44

例3：长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，一艘船从长

江南岸A点出发，以每小时4公里的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的

速度为向东每小时3公里.

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；（保留两位有

效数字）

（2）求船实际航行的速度大小与方向.（用与江水速度间的夹角表示，精

确到度）

五、回顾反思拓展延伸

本环节有课堂小结和作业布置两部分内容：

课堂小结：

【问题6］同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是

什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

新课程理念尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以，对于课堂小结我

设置一个开放性的问题，期望通过这个问题使学生体验学习数学的快乐，增强学

习数学的信心.

作业布置：

在布置作业环节中，设置了两组练习，一组必做题，一组探究题，这样可以

使学生在完成基本学习任务的同时，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，

使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满

的学习兴趣.

（1）作业：P66习题2.2的1.2.3.

（2）拓展探究：当在数轴上表示两个共线向量时，它们的加法与数的加法

有什么关系？

课题：不等关系——比较大小

教材：北师大版普通高中课程标准实验教科书（必修5）

授课教师：新余市第四中学黄良友

教学目标：

1.知识目标：①掌握比较两个实数大小的方法一一差值比较法

②理解不等关系的传递性

③能够运用比较实数大小的方法比较两实数的大小

2.能力目标：通过对具体问题的分析，培养学生的分析归纳能力,培养学

生代数变形的能力，