高考数学练习题

同构备檄建

例毁1.(202()•新课标卷I［文教/2)若2*-2,<3-*-3->',则()

A.ln(y-x+l)>0B.ln(j-x+l)<0C.In|x-^|>0D.In|x-y|<Q

【分析】将已知2、-2><3-工-37按照“左右形式形式相当，一边一个变量”的目的变形,

然后逆用函数的单调性.

【解析】由2、一2>'<3-x-3-y移项变形为2、一3T<2>,-3-丫，设/(x)=2X-3r

易知/(x)是定义在R上的增函数，故由2、一3-、<2>'一3-》，可得x<y,

所以y-x>0=>y-x+l>l,从而ln(y-x+1)>(),故选A.

例散2.(2020•新课标［理数•12)若2"+lo&a=4'+21og/,贝|()

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a<b2

［分析］：h妨+尸=2b2b

4+2logZ?=2log2+logb2=2+log2b,-1

...2"+log«=2rb+log2〃-1,设f(x)=2X+log孑

利用作差法结合fM的单调性即可得到答案.

［解析］：妨+2Z,

4"+210gb=2log/2=2"+log2=2+log2b2-l

：.2"+logg=22h+log独—1,故2"+log4<2"+log2。

设f(x)=2*+k)&x,则f(x)为增函数，所以f(a)<f(2b),所以。<2b.

2ah22bft2

f(a)-f(b)-2+log2<2—(2+log2b)-2+log2Z?-(2+log2b)-

2Z?//

2-2-log2/?,

当。=1时，/(a)—/(加)=2>0,此时/(a)〉/(〃)，有a>62

当人=2时，/(a)-/(/?2)=-l<0,此时/(。)</(加)，有“<从，所以C、D错误.

故选B.

【点评】本题需构造函数，其基本策略是：“左右形式相当，一边一个变量，取左或取

右，构造函数妥当“，我们称之为“同构函数”，然后再利用函数的单调性求值.

城1.(2012•全国联赛)如果cos'Qsin'0<7(cos34sin'0),2M,则优勺取

值范围是.

71571

【答案】(_,一)

44

Q1n

城.图2.(2012•辽宁竞赛)不等式------+—――d—5x>0的解集是

a+iyx+i---------------

(2Y2

【解析】原不等式可化为:+5.77T>J+5X

构造函数/(x)=f+5x,则/'(x)=3x2+5>0,/(x)在R上单增

2

所以——〉*,解之得x<-2或-1〈尤<1

X+1

所以原不等式解集是{乂％<-2或T<x<1}.

双图3.(202()•南通五月模拟•14)已知先［0,2砂，若关于k的不等式

Jsin&-%(sirPacos3。)在(-00,-2］上恒成立，则领取值范围

为.

【分析】本题的实质是含参数6(这里当然是sin。、cose)的不等式恒成立问题，应

抓住已知条件Jsin%Jcosak(sin361-cos3e)的对称结构,构造函数，利用函数的

单调性布列不等式.

【解析】看至4闹瓦而应A(sin3Qcos3(9)想“对称结构”，将它变形为:

ksin30-Jsine>kcos30-Jcos。,

设/(x)=止一r(x)=3kx?=

易知当Z:G(-CO,-2］时，f\x)=3kx2-<0,故/(x)在［0,+oo)单减,

「sinacos。

所留Lin企0,解之得：

['cosfeO4

所以。的取值范围1。,可.

i41

丸图4.(2019・南师附中期中・14)已知函数/。)=3*—3-*,

/(l-21og3/)+/(31og3/-I)>log,t,则r的取值范围是

3

【分析】这里可以发现log；=-log'#(2k)g'E)—(31og'Tl)^

3

/(1-2log3/)+/(31og3Z-l)2log〃移项变形为

3

X

/(31og3r-l)+(31og；T)>(21og；+1)-/(I-21og力，易知f(x)=3-3T是奇

函数，-/(l-21og3r)=/(21og/+l),故进一步变形为

/(31og3r-l)+(31og3r-l)>/(2log,-1)+(2log3z-1),此时，得到一个“左右形

式相当，一边一个变量”的不等式，令F(x)=/(x)+x,问题转化为

F(3log-1)>F(2log^l),只需研究F(x)=/(x)+x的单调性，逆用该函数的

单调性即可.

【解析】•••log'=-log>-(1-2log；)-(31og；-l)

3

•••/(I-2log3r)+/(31og3r-l)2log"可变形为：

3

/(31og3r-l)+(3哨-1)>(21og'-1)-/(I-21ogt)

•••/(x)=3X—3-x是奇函数

.•.-/(l-21og3Z)=/(2k)g.l)

/(31og3r-l)+(31og3/-l)>/(2log3z-l)+(2log.^-1)

令F(x)=/(x)+x=3*—3-*+x,则F\x)=In33'+In3-3"+l>0

二尸(x)单增

...Slog^-l>210§;-1,即log‘20,解之得INI

所以f的取值范围是［1,+8).

双圆5.(202()•南通如皋创新班四月模拟2)已知实数a,Z?e(O,2),且满足

a2-b2-44_2"_4。，则a+b的值为.

4

【分析】将标_昭_4=或_2“_4/?化为：/+2"=(2—勿2+2»,设/0)=/+2，，

则/(x)在(0,2)上递增，由/(a)=/(2-b),得的值.

2a2b2

【解析】由/_。2_4=，一2°-4/；,化简为：a+2=2~+(b-2)

即cr+2"=(2-b)2+22-b,设/(x)=/+2X

则/(x)在(0,2)上递增，因为a,be(0,2)

所以2»e(0,2),且/(a)=/(2一8)，所以a=2—b,即a+b=2.

双圆6.(2020•淮阴中学、姜堰中学12月考・14))已知实数x,x满足xe"=e3,

121

x(inx-2)=/,则xx=_□.

2'212-

【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令In为-2=r，w=e"2,得

到以=e3,研究函数/(x)=xe'的单调性，求出玉"关系，即可求解.

解法一：实数x,x满足=/,x(inx-2)=/,

12I22

2t+2

x>0,x>eflnx-2=r>0,x=e,则

1222

f(x)=xev(x>0),/r(x)=(x+l)e*>0(x>0),

所以/(x)在(0,+a))单调递增，而/(再)=f(t)=e3,

x=t=\nx-2,:.xx=x(\nx-2)=e5.

121222

解析二：对xe*1=/两边取自然对数得：lnx+x=3,

111

对x(inx-2)=/两边取自然对数得：Inx+ln(lnx-2)=5(※)

2222

为使两式结构相同，将(:※)进一步变形为：(lnx2-2)+ln0n及一2)=3

设/(x)=lnx+x,则/'(x)J+l>0

X

所以/(九)在(0,+8)单调递增，/(%)=3的解只有一个.

5

x=Inx-2,：.xx=(inx-2)x--e

I2I222

【点评】两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构

造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.

双@7.设方程x+2*=4的根为加，设方程x+log*=4的根为〃，则

m+n=.

【答案】4

双圆8.已知苏一3〃+5a=1,b3~3b2+5b=5,那么a+b的值是.

【解析】由题意知a3-3a2+5a-3=-2,加一3〃+5b—3=2,

设/(x)=x3—3J^+5X—3,则/(«)=—2,f(h)=2.

因为/(x)图象的对称中心为(1,0),所以a+b=2.

点评：本题的难点在于发现函数的对称性，对于三次函数/。»=以3+加2+次+］其对

称中心为(xo,/(X0)),其中一'(沏)=0.

巩固9.(宿迁,2()18•期中)不等式x6—(x+2)3+X~<x4—(x+2)"+x+2的解集

是.

【分析】直接解显然是不对路的.观察不等式的特征，发现其含有(x+2)、x两个因式，

将不等式转化为“一边一个变量''的形式为：

x-x4(x+2>—(x+2)+(x+2),构造函数y(x)=x3—x2+x,题

目转化为求解/(/)</(x+2)的问题.因为/'(X)=3x2-2x+1,易知

/'(x)=31-2x+1>0恒成立，故/(x)为R上的单调增函数，所以由

/(丁)4,f(x+2)立得：x2<x+2,解之得-14x<2.

【方法点拨】

1.一个式子中出现两个变量，适当变形后，两边结构相同(如例1);

2.两个式子也可适当变形，使其结构相同,然后构造函数，利用函数的单调性解题，或

运用同一方程代入.

专做2应台就备裁，曹看的解不等式型

例做1.(2020•新课标卷/理数-12)已知函数/(x)=|3x+l|-2|x-l|.

(D画出y=/(%)的图像；

(2)求不等式，(x)>/(x+l)的解集.

【分析】(1)略；(2)在同一直角坐标系内作出函数/(X)、/(X+1)的图象，根据图象即

可解出.

【解析】(1)略；

(2)将函数/(*)的图象向左平移1个单位，可得函数/(X+1)的图象，如图所示：

7

由—X—3=5(x+l)—1,解得x=—.

、一、/7、6

所以不等式的解集为|—00,-6|•

I)

FA2-2x,x<2

巩固1.(2020•扬州三检・12)已知函数‘⑴一'&-1x>2'则关于x的不等式

,21

/(l—x)</(2—x)的解集为.

【分析】作出函数/(x)图象，考察动区间［1一％2—对间图象的单调性，易得，当1一%=1

2

即xJ时，y(l-%)=/(2-x),此即为“临界值”，而动区间右移时满足题意，故

2

,11

22

所以不等式/(I一x)</(2—x)的解集为(一oo,?|.

2~x,烂0,

风@2.(2018•全国卷)设函数段)=则满足J(x+l)<7(2x)的x的取值范围是

,1,x>0,

A.(-00,-1](0,+8)

C.(-1,0)(—8,0)

【解析】法一:分类讨论法

fr+1<0,

①当｛即烂一1时，

l2x<0,

Xx+l)</(2x),即为2飞+|)<2-巴

即一(x+l)<-2x,解得x<l.

因此不等式的解集为(一8,-1].

fv+1<0,

②当(B寸，不等式组无解.

(2x>0

(r+l>0,

③当[即一1VE0时，

l2i<0,

/+1)勺3),即为l<2-2x,解得x<0.

因此不等式的解集为(一1,0).

1+1>0,

④当｛即x>0时，火x+l)=l,“

l2x>0,

综上，不等式於+1)勺(2x)的解集为(-00,

0).法二：数形结合法

2菖A<0,

,­W=

,1,x>0,

函数y(x)的图象如图所示.

结合图象知，要使式x+1)勺(2x),

a+1<0,,[x+l>0,

则需,2x<0,或｛

2x<x+1

/.x<0,故选D.

双3.已知，(x)=(x+l)同一3x.若对于任意xGR,总有/(x)g(x+“)恒成立，则常数a的

最小值是.

炉—2x,x>0,

【提示】/a)=tx2_；x,]；o,，作出函数的图象得：

作平行于x轴的直线/与左)图象有三个交点，设最左边与最右边的交点分别为M,N,

如图所示，则。的最小值即为线段MN长的最大值.设直线/的方程为y=t,

可得MN=3*1++4一/=3+(i+f+邛二汴=3+542(1,工。(4一。

<3+5+l+f+4-f=3+10

所以，a的最小值是3十口0

【说明】

1.本题的难点是要能结合函数的图象发现常数“的最小值即为线段MN长的最大值.

2.本题也可使用导数知识解决.

巩固4.已知函数/(x)=x(l-a|x|)+l(a>0),若/(x+a)4/(x)对任意的xeR恒成立,

则实数a的取值范围是.

【解析】设g(x)=x(l-a|x|)(a>()),则/(x+a)〈/(x)og(x+a)<g(x)对任意的

xeH恒成立，意即将g(x)图象上的每一点向左平移a个单位后，所得到的图象不可能

在g(x)的上方.

fx(l-ax),x>0

因为g(x)=x(l-a|x|)=〈

[x(l+ax),x<0

2

如图，由图象得，tz>_,又因为。〉0,故。2血.

双图5.(2020・镇江•高三上学期期末•12)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，

/(x)=x2-4%,则不等式/(%)>x的解集为.

【答案】(-0°,一5)D(5,4-00)

巩固.已知函数/(尤)=则不等式/'(的解集为.

6X\X-2\9/(I)

【答案】［-L+8)

4<3三次备裁逐

例题1.(2020•浙江9)已知a,beR且。厚0,若(*_a)(*-力(户24-6巨0在电0上恒成立，则

()

A.a<0B.a>0C.b<0D.b>0

【分析】本题的实质是考察三次函数的图象，设/(x)=(x-a)(x-份(尢-2。-6),欲满足

题意，从形上看则必须在X>0时有两个重合的零点才可以，对。分(7>0与"<0两种情况

讨论，结合三次函数的性质分析即可得到答案.

【解析】因为所以awo且。NO,设/(x)=(x—a)(x—8)(x-2a—/?),则/(x)

的零点为x,=a,x2-b,x3-2a+h

当a〉0时，则々<匕，为>0，要使/(x)NO,必有2a+b=a,且〃<0,即6=-a,

且&<0,所以b<0；

当。<0时，则x2>x3,x,<0,要使/(x)»0,必有〃<0.

综上一定有b<0.

故选：C

点评：①本题使用了作三次函数示意图的方法——序轴标根法，它是高次不等式的常用解法.

“序轴标根法”又称“数轴穿根法”或"穿针引线法“，所谓序轴就是省去原点和单位，只表示

数的大小的数轴.序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小.为了形象

地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个

点后就不再变方向(自右往左，蛇形穿根，奇(次赛)过偶(次第)不过)，这种画法俗称

“穿针引线法用数轴标根法解不等式的步骤：移项、求根、标根、画线、选解.

②本题要求学生功底扎实，思维层次要高，尤其对于处理函数、不等式等题型数形结合思想教

轴标根法的优势就体现出来,所谓胸有蓝“图”，一路坦途.

巩固1.若函数f(x)=2A3—or2+1(。€R)在(0,+a))内有且只有一个零点，则/(x)在［—1,1］

上的最大值与最小值的和为.

【解析】因为/(。)=1，且由/'(x)=6x2-2a¥=6x(x-la)=0得：x=0或x=」a

33

所以函数/(x)的图象是增-减-增型，且在x=0或x三1a处取得极值

Iaa3a2

|/(-)=2-(-)+1=0

欲使函数在(0,+a))内有且只有一个零点，当且仅当〈,

a

i->0

13

解之得a=3.

当尤£-1,0］时，/(尤)增；xw［0,l］时，/(X)减,

故/Wmax=/(O)=1,/(x)min=min{/(l)J(-l)}=-4,

所以fM在［T,l］上的最大值与最小值的和为-3.

风圆2.已知函数/(尤)的导函数为/'(X)=ar(x+2)。一。)(aw0),若函数/(x)在x=-2处取

到极小值，则实数。的取值范围是.

【答案】(―8,—2)U(0,+8)

巩曲3.若函数/(%)二%2q一《在区间［0,2］上单调递增，则实数。的取值范围是.

一,［x2(x-a),x>a

【解析】/(x)=/\x-a\=<^,

\-x"(x-a),x<a

函数/(x)的一个极值点是x=0,所以以0为界与。比较，进行分类讨论.

①当a>0时，如图一，由/(x)=—3f+2公=0得，*=0或》二"，

,3

欲使函数/⑴二厂卜叫在区间［0,2］上单调递增，只需％=±之2,即此3.

3

②当时，如图二，/(%)=耳%-4在区间［0,2］上单调递增，满足题意.

综上知，实数a的取值范围是(一oo,0］U［3,+oo).

风图4.若函数/(幻=(》-2)2卜一《在区间［2,4］上单调递增，则实数a的取值范围

是.

【答案】(-OO,2］U［5,+OO)

双@5..设函数/(x)=ax,-3x+1(xe7?),若对于任意的xe［-1,1］都有/(x)20成立，则

实数。的值为.

【解析】若x=0,则不论a取何值，/(%)>0显然成立；

,31

当x>0即xe(O,l］时，/'(x)=a。-3x+l20可化为，a>——r

x-JC

-31../、3(1-2%)../、(11

设g(x)=一一一，则g(x)=^>所以g(x)在区间0,一I上单调递增，在区

x2%3尤4［2

间「1J上单调递减，因此g(x)=g「l'=4,从而aN4；

\\2I］m”⑸

当元<0即XE］—1,0)时，/(%)=-3x+l20可化为QW7一y

.z、3(l-2x)

g(x)=：>0n

g(x)在区间［-1,0)上单调递增，因此g(龙)田“=g(-l)=4,从而a<4,综上q=4.

双圆6.已知awR,函数f(x)=,求函数)，=/。)在区间［1,2］上的最小值.

【分析】对右进行讨论，结合函数的一阶导数值判断函数在区间上的单调性,进而求出函数

的最小值.

【解析】设此最小值为m.

①当。W1时，在区间［⑵上J(x)=x3-ax2.

2

因为：f1(x)=3x2-2ax-3Mx--ci)>0,xG(1,2),

3

则f(x)是区间［1,2］上的增函数，所以m=f(1)=1-a..

②当1<a<2时，在区间工］上,/(犬)=x2x-\a>?由/(〃)=0知：m=f{a}=0.

③当a>2时，在区间［1,2］上，/(x)=or2-X3.

「2

/z(x)=2ax-3x2=3x(］。-x).

若。23,在区间(1,2)内F(x)>0,从而f(x)为区间［1,2］上的增函数，

由此得:m=f(1)=a-1.

2

若2<a<3,则1<_a<2

3

22

当1<x<时"/(x)>0,从而/'⑶为区间［1,让的增函数

33

22

当_<x<2时/从而“⑴为区间［22］上的减函数.

33

因此，当2<a<3时,m=f(1)=a-1或m=f(2)=4(a-2).

7

当2<a«_时4(〃-2)<a-1,故m=4(。-2)；

3

7

当—<a<3时，a-\<4(。-2),故加=a-1.

3

1一4,当a<川寸；

0,当l<a42时；

I7

综上所述，所求函数的最小值"2二’4(0—2),当2<a〈I时；

7

。一1,当a〉_时；

I3

双⑥7.已知函数/(九)=尤|尤2—12］的定义域是［0,刈，值域是。卬角，则实数。的取值范

围是

【解析一】易知：当0«xW2,7(x)增；当24xW2小,/(x)减；当x22g\/(x)

增，且f(2)=f(4)=16.

①当0<m《2时，/(x)[0,加]增

12「

-m(m2-12)=atn2,a--in+—e[4,+8)；

m

②当2<〃区4时，。/=16,a=：e[l,4)；

m

12

③当〃z24时，m(/??2-12)=aivr,a-m--c(l,+8)；

m

综上，«>1.

【解析二】仅考虑函数/(幻在x>0时的情况，

[12x-x3,x<2

可知〃幻=〈7函数/⑴在工=2时，取得极大值16.

3

[x-\2xfx22f~

3.令13—12%=16,解得，x=

4.作出函数的图象(如图所

示)，

函数/⑴的定义域为[0,机],值域为[0,am2],分为以下情况考虑：(1)当0<机<2时，函

数的值域为Q讯12-"於)],有皿122)=。〃於，所以。二12一〃？，因为0<<2,所以。>4；

m

(2)当2W/nW4时，函数的值域为[0,16],有2=16,所以。=及,，因为2WmW4,

nr

所以1W〃W4；(3)当〃z>4时，函数的值域为[0,/加层一⑵],有加(加2一12)=〃团2,所以

a=m--,因为m>4,所以a>\\综上所述，实数a的取值范围是。21.

m

当做4撤列奇儒项型

制题1.（新课标1.文科46）数列｛〃“｝满足。“+2+（―1）〃。〃=3〃-1,前16项和为540,则

4=一"

【分析】对〃为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推

公式将奇数项用的表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立的方程，求解即可得

出结论.

n

【解析】an+2+(-\)a=3n-l,

当〃为奇数时，4+2=。”+3"-1；当〃为偶数时，a“+2+a“=3〃-1.

设数列｛小｝的前〃项和为Sn,

S|6=。|+〃2+03+“4+

=%+%+。5…+。15+(%+。4)+…(。]4+。16)

=%+(a[+2)+(4+10)+(a1+24)+(q+44)+(a1+70)

+3]+102)+(4+140)+(5+17+29+41)

=8%+392+92=8卬+484=540,

4=7.

点评：本题综合考查数列的递推公式的应用、数列的并项求和、分类讨论思想和数学计算

能力.

品图1.数列｛4｝满足4+1+(—l)"a"=2〃-1,则其前60项和为.

【辆斤】由a+(-l)Ma=2/j-l,可得a-a=1,a+a=3,a-a=5,a+a=7,

H+1n21324354

a&_a〕7,%_4=11,…，600—499=199

所以a3+a1=2,6f4+a2=8,6t7+a5=2,df8+a6=24,a9+an=2f

。设+a1o=40,…，

所以从第一项起，每四项的和构成以10为首项，16为公差的等差数列

所以｛a｝前60项和为15x10+坨上xl6=1830.

“21

双团2.已知数列｛〃｝的前〃项和为S,S=(-l)na-_,nwN*,则

nnnn

S[+$2+S3+…+S]oo=旦

1

3---1)

双03.设S为数列｛a｝的前n项和,S=(—l)"a—”N*,则

〃n2”

(1)%==；(21S1+S2H----FS1(X)=_U.

【解法一】•..S,,=(T)"%一J,当〃22时，S,i=(-1)"T%-白

两式相减得s「s,i=(—D'q—J—(―1尸%+白，即

a=(—l)"a-(-ir'a+J_

nnM-12〃

当〃是偶数时，a=。+a+J_,所以a即〃是奇数时，。=一\

n

"""-12〃2"2"'

当〃是奇数时，2a“=-a._]+$-,a,z=-2a“+J,即当〃是偶数时，

N乙乙

1

Cl=­r

"2"

•111

,•5+5H---1-S-(-a-_)+(«-_)+••-+(<7-_)_

x111、

(a+a+…+Q)—(Q+Q+•••+Q)_J+_—+_)

24100I3992222100

11111

++•­•+)+(+

'F2423¥252"2222100

1+i

_+••■+

27F2,(K)2222iou不2100

【解法二】=(-l)"«-J_S=(-1)"(S-S)-1

〃n2〃nnrt-12〃

1s=—i,即当〃是奇数时，s=—i

当〃是偶数时，s=s—s

nni

2"w—i2”〃，

当〃是奇数时，S=—S+s-\S=2S+_L=0,即当〃是偶数时，S=0；

nnn-\n-\n2nn

,11

S+S+…+S=-(+++)-2-产[]_]).

121002^-2^-21oojI?2i°°

F

双@4.已知数列｛4｝的前”项和为S,对任意“eN,S=(-1)"。+土〃-3且

«-)0-勺)<°恒成立，则实数，的取值范围是

3

【解析】当"=1时，a=一

211

当〃〉时，S=(—l)"Tq++n-4,所以a=(-l)z+(-\)-a一」1

当〃为偶数时，41=自一1；

3-二，〃为偶数

所以〃

曲-1,〃为奇数

当〃为偶数时，0n=3一

)。一。)<01工、“、，311

又因为/,+,”恒成二，a<t<a所以一_<£<一

n+lnf44

忒05.各项均为正数的数列｛6,｝的前〃项和为S”，且3邑=44+1,则工见《=2・

【解析】•••3S”=%：.3S„,,=anAan(n>2)

两式相减得3(S「S,z)=a“(a"+「a”」)，即3a“=a,,(a,,+|-a-i)

又因为｛a“｝的各项均为正数，所以qM—a.1=3(«>2)

当〃=1时，由3S〃=a/“+i得3sl=3at—a、出,所以。2=3

故生，。4，。6，。8,…是以。2=3为首项，公差为3的等差数列

nx(n-l)3〃(〃+l)

••♦Z%=〃x3+-----------x3=-----------

k=l22

应图6.(2020・滨海中学・14)设数列｛〃｝满足Q=1,a=1,a=4,4=,数列｛〃｝前

n1234彳-〃

n项和是S，对任意的,/(x)=a,,+2x+(a+a-2a)cosx-^4^,

〃T~〃〃+2向

nn+2

若/'(0)=0,当〃是偶教时，s”的表达式是.

解析：r(x)等-(a,-Jinx"，

nn+2

因为/'(0)=0,所以%+2_q+4=0,即上=3,所以数列｛a｝中所有的奇

aaa

0”n+2nn+2

数项成等比数列，所有的偶数项成等比数列，所以当n是偶数时,

1.〃一/)1-1-

I14M1I

<)J2K

S,,的表达式是4------z+=—+

1-4T3x2“1.

4

双圆7.若数列｛aj满足a“+a”|+a„,2=3n-6,且数列｛a“｝的前〃项的和S总满足

S=Arr+Bn+C(其中A、8、C为常数)，则数列以“｝的通项公式是

4=

【答案】a=n-3

双图8.若数列｛a｝满足a+a+a=3〃-6,且a=」，若数列｛a｝单调递增,

n〃"+I〃+22-21«

则ax的取值范围为.

172

【答案】al(-__)

152

专题5+

恻数1.(2020・新课标I•理科21)已知函数/(x)=e、+ax2-x,当启0时，/(x)/_,.

2箝+1,

求。的取值范围.

【分析】遇到於)e“+ga)的形式变形为eqa),其求导后的结果是em(x)y=e2//a)+

厅(%)],其导数方程是多项式形式，所以它的根与指数函数无关，有利于更快捷地解决问题.

【解析】/(%)/x3+1等价于I1x3-ax2+x+1)e_A<1.

22

设函数g(x)-(—x3-ax2+x+1)e-v(x>0)则

2

g'a)=-(2.R-ax14-x+l-Jx2+2ar-l)eT==，x-(2a+3)x+4a+2]e'x

222

=一2x(x-2a-l)(x-2)e~x.

2

(i)若2a+10O,即〃4」，则当工£(0,2)时，g'a)>0.所以g(x)在(0,2)单调

2

递增，而g(0)=1,故当(0,2)时，g(x)>1,不合题意.

(ii)若0<%+1<2,即一则当K£(0,勿+1)U(2,E)时，g'(x)<0;当工£(2〃+1,

2)时,g'(x)>0.所以g(x)在(0,Ml),(2,也o)单调递减，在(为+1,2)单调递增.由于g(0)=l,

7-e2

所以g(x)0当且仅当^(2)=(7-4«)e-2<l,即色------

4

所以当匕¥4a<1时，g(x)Wl.

42

(iii)若2a+l>2,即a-->则gCOWJ3+x+De-*.

22

7—e?113-x

由于0w[-----，+故由(ii)可得(\+x+l)e<1.

427

故当。」时，^(x)<l.

2

,7—e2

综上，。的取值范围是[-----,4-00).

4

点评：

解决形如於)e'+ga)常见结论e'*+l(有时甚至9之32+犬+1),从形的角度看，它揭

2

示了曲线与其切线的位置关系，从数的角度看，它提供了一种将指数型结构转化为多项式

型结构的方法，从而顺利突破难点.

现@1.已知e^l+or对任意1何0,+8)成立，则实数々的取值范围是.

【解析】根据常用不等式e0+l,且y=x+1与>=9,相切于(0,1),又y=ax+1也过点(0,1),

观察图象可知，要使对任意x£[0,+oo)成立，则好1,即实数〃的取值范围为

城.因2.已知士I与对一切正实数x恒成立，则实数/的最大值为.

2x+l

y-4-A-'V--v--I—1

【解析】因为e2x+l,所以,_>~;---=1.则也1,所以r的最大值为1.

2r+12x+1

双@3.已知函数yU)=e“一l—x—or2,当定0时次1巨0恒成立，则实数a的取值范围为

【解析一】由/(1)=厘一1—2ax,又已。+1,所以/(元)=91—1—20^^:一%¥=(1—2〃)工，

所以当1-2壮0,即aS：时/(X)>0(A->0),而负0)=0,于是当近0时次幻羽,满足题意；又中0

时,e*>x+1,所以可得「*>1—x,从而当“>；时/(x)=e"一1—2a%<ex_e'-e-'+2a(e-A—1)

=(1-e-')-(e'-2a),故当xe(0,ln2a)时/(x)<0,而/(0)=0,于是当xG(0,ln2a)时<x)<0,不

合题意.

/-co,-

综上所述，实数a的取值范围为〔"

【解析二】因为e'2x+l,所以当好0时,e'Na^+x+l恒成立，故只需讨论a>0的情形.令尸(x)

=e-v(l+x+ax2)—1,问题等价于PCOWO,由Ff(x)=e-x[—ax2+(2a—1)x]=0得元]=0,©=

2〃一1

a

②当OVaW1时,F(x)在［0,+oo)上单调递减，所以F(x)SF(O)=O恒成立；

2

②当时，因为F(x)在［0眼］上单调递增，所以尸(工2巨尸(0)=0恒成立，此时尸(»士0不恒成

2

卜00,-

立.综上所述，实数a的取值范围是I2J

现⑥4.