人教版九年级数学课时练习：21.3　实际问题与一元二次方程 平均增长率问题

/21.3实际问题与一元二次方程平均增长率问题一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似,列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答〞七个步骤。〔1〕设：设未知数,有直接和间接两种设法,因题而异；〔2〕找：找出等量关系；〔3〕列：列出一元二次方程；〔4〕解：求出所列方程的解；〔5〕验：检验方程的解是否正确,是否符合题意；〔6〕答：作答。二、典型题型平均增长率问题增长率问题经常用公式,a为基数,b为增长或下降后的数,x为平均增长率或降低率,“n〞表示n次增长或下降。例题1、某中学连续三年开展植树活动．第一年植树500棵,第三年植树720棵,假设该校这两年植树棵数的年平均増长率相同．〔1〕求这两年该校植树棵数的年平均增长率；〔2〕按照〔1〕的年平均增长率,预计该校第四年植树多少棵？【分析】〔1〕设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x,根据第一年及第三年的植树棵数,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论；〔2〕根据第四年植树的棵数=第三年植树的棵数×〔1+增长率〕,即可求出结论．【解答】解：〔1〕设这两年该校植树棵数的年平均增长率为x,根据题意得：500〔1+x〕2=720,解得：x1=0.2=20%,x2=﹣2.2〔不合题意,舍去〕．答：这两年该校植树棵数的年平均增长率为20%．〔2〕720×〔1+20%〕=864〔棵〕．答：该校第四年植树864棵．【点评】此题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是：〔1〕找准等量关系,正确列出一元二次方程；〔2〕根据数量关系,列式计算．例题2、某公司今年1月份的生产本钱是400万元,由于改良技术,生产本钱逐月下降,3月份的生产本钱是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产本钱的下降率都相同．〔1〕求每个月生产本钱的下降率；〔2〕请你预测4月份该公司的生产本钱．【分析】〔1〕设每个月生产本钱的下降率为x,根据2月份、3月份的生产本钱,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其较小值即可得出结论；〔2〕由4月份该公司的生产本钱=3月份该公司的生产本钱×〔1﹣下降率〕,即可得出结论．【解答】解：〔1〕设每个月生产本钱的下降率为x,根据题意得：400〔1﹣x〕2=361,解得：x1=0.05=5%,x2=1.95〔不合题意,舍去〕．答：每个月生产本钱的下降率为5%．〔2〕361×〔1﹣5%〕=342.95〔万元〕．答：预测4月份该公司的生产本钱为342.95万元．【点评】此题考查了一元二次方程的应用,解题的关键是：〔1〕找准等量关系,正确列出一元二次方程；〔2〕根据数量关系,列式计算．例题3、某地2019年为做好“精准扶贫〞,投入资金1280万元用于异地安置,并规划投入资金逐年增加,2019年在2019年的根底上增加投入资金1600万元．〔1〕从2019年到2019年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？〔2〕在2019年异地安置的具体实施中,该地方案投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励,规定前1000户〔含第1000户〕每户每天奖励8元,1000户以后每户每天奖励5元,按租房400天计算,求2019年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．【分析】〔1〕设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据2019年及2019年该地投入异地安置资金,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其正值即可得出结论；〔2〕设2019年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论．【解答】解：〔1〕设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意得：1280〔1+x〕2=1280+1600,解得：x1=0.5=50%,x2=﹣2.5〔舍去〕．答：从2019年到2019年,该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．〔2〕设2019年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励,根据题意得：8×1000×400+5×400〔a﹣1000〕≥5000000,解得：a≥1900．答：2019年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．【点评】此题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是：〔1〕找准等量关系,正确列出一元二次方程；〔2〕根据各数量之间的关系,列出关于a的一元一次不等式．三、综合练习一．选择题〔共15小题〕1．某市从2019年开始大力开展“竹文化〞旅游产业．据统计,该市2019年“竹文化〞旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化〞旅游收入到达2.88亿元,据此估计该市2019年、2019年“竹文化〞旅游收入的年平均增长率约为〔〕A．2% B．4.4% C．20% D．44%2．我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,那么平均每次下调的百分率是〔〕A．8% B．9% C．10% D．11%3．某县为解决大班额问题,对学校进行扩建,方案用三年时间对全县学校进行扩建和改造,2019年县政府已投资5亿元人民币,假设每年投资的增长率相同,预计2019年投资7.2亿元人民币,那么每年投资的增长率为〔〕A．20%、﹣220% B．40% C．﹣220% D．20%4．近年来某市不断加大对城市绿化的经济收入,使全市绿地面积不断增加,从2019年底到2019年底的城市绿化面积变化如下图,那么这两年绿地面积的年平均增长率是〔〕A．10% B．15% C．20% D．25%5．某商场3月份的销售额为160万元,5月份为250万元,那么该商场这两个月销售额的平均增长率为〔〕A．20% B．25% C．30% D．35%6．某种药品经过两次降价后,价格下降了19%,那么该药品平均每次降价的百分比为〔〕A．10% B．15% C．20% D．25%7．某工厂一月份生产零件100万个,假设二、三月份平均每月的增长率为20%,那么该工厂第一季度共生产零件〔〕A．300万个 B．320万个 C．340万个 D．364万个8．某种童鞋原价为100元,由于店面转让要清仓,经过连续两次降价处理,现以64元销售,两次降价的百分率相同,那么每次降价的百分率为〔〕A．19% B．20% C．21% D．22%9．某文具10月份销售铅笔100支,11、12两个月销售量连续增长,假设月平均增长率为x,那么该文具店12月份销售铅笔的支数是〔〕A．100〔1+x〕 B．100〔1+x〕2 C．100〔1+x2〕 D．100〔1+2x〕10．2019年海南房价不断攀升,某楼盘年初的均价是1万/m2,经过两次调价后,年底均价为1.69万/m2,那么平均每次提价的百分率是〔〕A．10% B．20% C．30% D．40%11．为保护森林,中华铅笔厂准备生产一种新型环保铅笔．随着技术的成熟,由刚开始每月生产625万支新型铅笔,经两次技术革新后,上升至每月生产900万支新型铅笔,那么每次技术革新的平均增长率是〔〕A．22% B．20% C．15% D．10%12．某电动自行车厂三月份的产量为1000辆,由于市场需求量不断增大,五月份的产量提高到l210辆,那么该厂四、五月份的月平均增长率为〔〕A．12.1% B．20% C．21% D．10%13．某城市2019年底已有绿化面积500公顷,经过努力,绿化面积以相同的增长率逐年增加,到2019年底增加到605公顷．假设按照这样的绿化速度,那么该市2019年底绿化面积能到达〔〕A．657.5公顷 B．665.5公顷 C．673.5公顷 D．681.5公顷14．某种衬衫的价格经过连续两次的降价后,由每件150元降到96元,那么平均每次降价的百分率是〔〕A．10% B．15% C．20% D．30%15．临工集团某机械制造厂制造某种产品,原来每件产品的本钱是20190元,由于提高生产技术,所以连续两次降低本钱,两次降低后的本钱是16200元．那么平均每次降低本钱的百分率是〔〕A．8% B．9% C．8.1% D．10%二．解答题〔共7小题〕16．“在线教育〞指的是通过应用信息科技和互联网技术进行内容传播和快速学习的方法．〞互联网+〞时代,中国的在线教育得到迅猛开展．根据中国产业信息网数据统计分析,2019年中国在线教育市场产值约为1600亿元,2019年中国在线教育市场产值在2019年的根底上增加了900亿元．〔1〕求2019年到2019年中国在线教育市场产值的年平均增长率；〔2〕假设增长率保持不变,预计2019年中国在线教育市场产值约为多少亿元？17．2019年5月14日﹣﹣﹣5月15日．“一带一路〞国际合作顶峰论坛在北京成功举办,顶峰论坛期间及前夕,各国政府、地方、企业等达成一系列合作共识、重要举措及务实成果．中方对其中具有代表性的一些成果进行了梳理和汇总,形成顶峰论坛成果清单．清单主要涵盖政策沟通、设施联通、贸易畅通、资金融通、民心相通5大类,共76大项、270多项具体成果．我市新能源产业受这一利好因素,某企业的利润逐月提高．据统计,2019年第一季度的利润为2019万元,第三季度的利润为2880万元．〔1〕求该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率；〔2〕假设第四季度保持前两季度利润的平均增长率不变,该企业2019年的年利润总和能否突破1亿元？18．李师傅去年开了一家商店,今年1月份开始盈利,2月份盈利2400元,4月份的盈利到达3456元,且从2月到4月,每月盈利的平均增长率都相同．〔1〕求每月盈利的平均增长率；〔2〕按照这个平均增长率,预计5月份这家商店的盈利将到达多少元？19．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计,七年级时有48人次获奖,之后逐年增加,到九年级毕业时累计共有183人次获奖,求这两年中获奖人次的平均年增长率．20．淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病,牵动了全校师生的心,该校开展了“献爱心〞捐款活动．第一天收到捐款10000元,第三天收到捐款12100元．〔1〕如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率；〔2〕按照〔1〕中收到捐款的增长速度,第四天该校能收到多少捐款？21．随着阿里巴巴、、京东、小米等互联网巨头的崛起,催生了快递行业的高速开展．据调查,杭州市某家小型快递公司,今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．〔1〕求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；〔2〕如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件,那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能,请问至少需要增加几名业务员？22．某楼盘2019年2月份准备以每平方米7500元的均价对外销售,由于国家有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格连续两个月进行下调,4月份下调到每平方米6075元的均价开盘销售．〔1〕求3、4两月平均每月下调的百分率；〔2〕小颖家现在准备以每平方米6075元的开盘均价,购置一套100平方米的房子,因为她家一次性付清购房款,开发商还给予以下两种优惠方案以供选择：①打9.8折销售；②不打折,送两年物业管理费,物业管理费是每平方米每月1.5元,小颖家选择哪种方案更优惠？〔3〕如果房价继续回落,按此平均下调的百分率,请你预测到6月份该楼盘商品房成交均价是否会跌破4800元/平方米,请说明理由．参考答案一．选择题〔共15小题〕1．C．2．C．3．D．4．A．5．B．6．A．7．D．8．B．9．B．10．C．11．B．12．D．13．B．14．C．15．D．二．解答题〔共7小题〕16．解：〔1〕设2019年到2019年中国在线教育市场产值的年平均增长率为x,根据题意得：1600〔1+x〕2=1600+900,解得：x1=0.25=25%,x2=﹣2.25〔舍去〕．答：2019年到2019年中国在线教育市场产值的年平均增长率为25%．〔2〕〔1600+900〕×〔1+25%〕=3125〔亿元〕．答：预计2019年中国在线教育市场产值约为3125亿元．17．解：〔1〕设该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为x,根据题意得：2019〔1+x〕2=2880,解得：x=0.2=20%或x=﹣2.2〔不合题意,舍去〕．答：该企业从第一季度到第三季度利润的平均增长率为20%．〔2〕2019+2019×〔1+20%〕+2880+2880×〔1+20%〕=10736〔万元〕,10736万元＞1亿元．答：该企业2019年的年利润总和突破1亿元．18．解：〔1〕设该商店的每月盈利的平均增长率为x,根据题意得：2400〔1+x〕2=3456,解得：x1=20%,x2=﹣2.2〔舍去〕．〔2〕由〔1〕知,该商店的每月盈利的平均增长率为20%,那么5月份盈利为：3456×〔1+20%〕=4147.2〔元〕．答：〔1〕该商店的每月盈利的平均增长率为20%．〔2〕5月份盈利为4147.2元．19．解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x,根据题意得：48+48〔1+x〕+48〔1+x〕2=183,解得：x1==25%,x2=﹣〔不符合题意