高考真题数列与不等式

2019年高考真题数列与不等式

1.已知各项均为正数的等比数列｛QJ的前4项和为15,且。5=3。3+4勾，则。3=()

A.16

B.8

C.4

D.2

2.不等式\x+l\<5的解集为.

3.已知数歹(J｛厮｝,从中选取第，1项、第。2项、・•・、第*”项伯<〃2<・•・<，m)，若

a)：1<a,-2<---<aim,则称新数列为,外，…，气,为｛厮｝的长度为m的递增子列.规定：数

列｛QJ的任意一项都是｛«„｝的长度为1的递增子列.

(1)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列.

(2)已知数列｛外,｝的长度为P的递增子列的末项的最小值为am。，长度为q的递增子列的末项

的最小值为a”。.若P<q,求证：amo<dnti.

(3)设无穷数列｛aj的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若｛a„｝的长度为s的递增子

列末项的最小值为2s—1,且长度为s末项为2s—1的递增子列恰有2ST个(s=l,2,­••),

求数列｛an｝的通项公式.

4.设等差数列｛厮｝的前几项和为S”，若a.2=-3,S5=-10,则。5=,4的最小值

为.

5.设等差数列｛Q0｝的前九项和为S”，。3=4,a尸S3.数列效”｝满足：对每个neN*,

Sn+b”，Sn+i+bj,,S*+2+b”成等比数列.

(1)求数列｛a„｝，砂”｝的通项公式;

(2)n€N*,证明：C1+C2+•••+c„<2\/n,ncN*.

6.设a,6cR,数列｛斯｝满足ai=Q,厮+尸4+匕，ncN*,则()

A.当时，aio>lO

B.当b=；时，aio>lO

4

C.当b=—2时，aio>lO

D.当b=—4时，aio>lO

{n—3y+420

3rr-y-4^0,则z=3x+2y的最大值是（）

x+y^O

A.—1

B.1

C.10

D.12

8.已知Q=log52,b=log。50.2,C=0.5°2,则Q,b，。的大小关系为（）

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

9.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是恒。

2

（^1«0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头

顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是正1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿

2

长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）

A.165cm

B.175cm

C.185cm

D.190cm

10.已知数列｛%｝(neN*)是等差数列，S”是其前n项和.若a2a5+a8=0，Sg=27,则的值

是.

11.若a〉b,贝)

A.In(a-b)>0

B.3"<3"

C.a3-ft3>0

D.|a|>\b\

八c1(x+1)(2y+l)

12.设立>0,y>0,x+2y=5,则^---=---^的最小值为.

13.若立，"满足|剑Wl-y，且沙2-1,则3工+y的最大值为()

A.-7

B.1

C.5

D.7

14.记S”为等差数列｛%｝的前几项和.已知S4=0,。5=5,则()

A.an=2n-5

B.a„=3n—10

C.Sn=2n~-8n

1,

D.Sn——n"—2n

15.已知数列｛斯｝和｛“J满足ai=l,6i=0,4a„+i=3a,1-6„+4,4b,l+i=36„-an-4.

(1)证明：｛a“+，,｝是等比数列，｛册-，,｝是等差数列.

(2)求｛%｝和｛%｝的通项公式.

3

16.已知。=侬20.2,1)=2°,C=0.2°->则()

A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.b<c<a

17.设｛a”｝是等差数列，｛”,｝是等比数列.己知的=4,加=6,b2=2a2-2,63=2a3+4.

(1)求｛〃｝和｛"｝的通项公式.

Jl,2A<n<2A'+1

(2)设数列｛%｝满足ci=1,

k其中kcN*.

Ibk,n=2

（i）求数列｛。2“（C2--1））的通项公式；

2n

（ii）求X/cGeN*）.

1=1

18.已知Q=log,2,b=logo50.2,C=0.5°2,贝|Q,b,c的大小关系为（）

A.a<c<b

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

（x+y-2^0

19.设变量c,V满足约束条件《则目标函数z=-4，+v的最大值为（）

Iy>-i

A.2

B.3

C.5

D.6

20.定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”.

(1)已知等比数列｛aj(neN*)满足：0204=05,a3-4a2+4ai=0,求证：数列｛斯｝为

“V-数列”.

122

(2)已知数列｛b〃｝SeN*)满足：&i=l,h=二一L，其中为数列｛0｝的前几项和.

»册册+1

①求数列｛“,｝的通项公式；

②设m为正整数，若存在“数列”｛cn｝(zieN*),对任意正整数k,当kWm时，都有

CAWWWC*+I成立，求m的最大值.

21.已知等差数列｛斯｝的公差de(0,可，数列｛，7)满足bn=sin(%),集合S=等|c=bn,尤N*｝.

7T

(1)若ai=],求d使得集合S恰有两个元素.

(2)若集合S恰有三个元素，bn+T=bn,T是不超过7的正整数，求T的所有可能的值.

22.已知数列｛a,,｝中，ai=3,前几项和为Sn.

(1)若｛Qn｝为等差数列，且四=15,求S”.

(2)若｛厮｝为等比数列，且&<12,求公比q的取值范围.

23.如图，已知正方形OABC，其中OA=a(a〉l),函数沙=3/交8c于点P，函数g二1一』交

AB于点Q，当MQ|+|CP|最小时，则a的值为-

24.记S”为等差数列｛与｝的前n项和.若何r0,a2=3ai,则望=

25.记S”为等比数列｛时｝的前n项和.若创=5，al=a6,则$5=.

O

参考答案

1.【答案】C

【解析】解：设等比数列｛a,J的公比为q（q>0）,

则由前4项和为15,且fl5=3a3+4ai,

,旦ai+aiq+aiq-+aiq=15.（«i=l

aiq4=3aiq2+4ait9=2'

<13=22=4，

故选：C.

【知识点】【题型】等比数列的基本量问题

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标III）；2019年全国统一高考数学试卷

（文科）（新课标III）

2.【答案】（-6,4）

【解析】解：由也+1]<5得一5<2+1<5,即一6<工<4,

故答案为：（—6,4）.

【知识点】解绝对值不等式

【来源】2019上海春季高考

3.（1）【答案】1,3,5,6（答案不唯一）

【解析】解：由递增子列的定义可以写出满足题意的递增子列有：1,3,5,6或1,3,5,

9或1,3,6,9或3,5,6,9或1,5,6,9.（答案不唯一）

【知识点】【题型】数列的综合问题

【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）

3.（2）【答案】见解析

【解析】证明：长度为q的递增子列的前p项可以组成长度为。的一个递增子列，

...%0>该数列的第P项》%»（）,

..am0<an@.

【知识点】【题型】数列与不等式的综合问题

【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）

3.（3）【答案】a2n-2n-l,a2n-i=2n,neN*

【解析】解：考虑2s-l与2s这一组数在数列中的位置.

若｛厮｝中有2s,且2s在2s-l之后，则必然是长度为6+1,且末项为2s的递增子列，

这与长度为s的递增子列末项的最小值为2$—1矛盾，」.2s必在2s—1之前.

继续考虑末项为2s+l的长度为s+1的递增子列.

•.•对于数列2/1—1,2n,由于2n在2n—l之前，.•.研究递增子列时，不可同时取2九与2/1—1,

•.•对于1至2s的所有整数，研究长度为s+1的递增子列时，第1项是1与2二选1,第2项是3

与4二选1,•••,第s项是2s—1与2s二选1,

故递增子列最多有2'个.由题意，这s组数列对全部存在于原数列中，并且全在2s+l之前.

「.2,1,4,3,6,5,•••,是唯一构造.

即。2九=2八—1,。2几-.

【知识点】【题型】数列的综合问题

【来源】2019年北京市高考数学试卷(理科)

4.【答案】0-10

【解析】解：设等差数列｛斯｝的前几项和为s”，Q2=-3,S5=-10,

fQi+d=—3

_5x4r八，

!5QI+-^—d=-l0

解得Ql=-4,d=l,

/.Q5=ai+4d=-4+4xl=0,

n(n—l)ri(n—I)1(9\281

S=n(ziH----d=------=~(n——)——-,

n222\2/8

二.n=4或n=5时，S”取得最小值为S4=S5=-10.

故答案为：0,-10.

【知识点】【题型】等差数列的综合问题、【题型】等差数列的基本量问题

【来源】2019年北京市高考数学试卷(理科)

5.(1)【答案】a„=2n-2,ncN*；

bTl-n~+n,TICN*

【解析】解：设数列｛QJ的公差为d,

由题意得出叱=；3

解得Q1=O,d=2,

an=2n-2,neN*,

2

...Sn=n—n,ncN*.

•.•数列｛，?｝满足：对每个"GN=Sn+bnfSn+i+b〃，&+2+b〃成等比数列，

(Sn^i+bny=(S〃+b〃)(S〃+2+b〃),

解得bn=：(Sj+i-SnSm+z),

即bn=TT-\-n，ncN*.

【知识点】【题型】等差与等比数列综合

【来源】2019年浙江省高考数学试卷

5.(2)【答案】见解析

【解析】证明：cn=4/~\Q—(4_i\=[/―(।n,ncN",

V2ony2n(n+1)yn(n+1)

用数学归纳法证明：

①当九=1时，q=0<2,不等式成立；

②假设当n=k(k€N*)时不等式成立，即Q+C2+.••+”<24，

则当冗=k+1时,

。1+。2+•一+必+以+1

<2\/fc+<24+

(fc+1)(fc+2)fc+1

<2\/fc+——T=

=24+2(v^TT-4)

=2，k+l，

即当n=k+1时，不等式也成立，即C1+C2+-一+Q+Q.+I<2Vk+1.

由①②得-----匕7<26对任意几eN*成立.

【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题

【来源】2019年浙江省高考数学试卷

6.【答案】A

【解析】解：对于B,令C+；=0,得力=3，

42

而111

取。1=2，.・.Q2=]，•一，n

,•.当6=?时，oio<10,故B错误；

对于C,令/_/_2=0,得7=2或7=-1,

取ai=2,•••,a„=2<10,

.•.当b=-2时，aw<10,故C错误；

对于D,令，—工—4=0,得工=1^1,

LJ

前1+A/171+7171+717

取回=>a-2=---'•一，a„=<1i0n>

.,.当b=-4时,aio<lO,故D错误;

213

对于A,仞=。~+2^2,°3=(Q2+2+2

2-4-

L

/49319117i

Q4=(Q+Q--+—2--+-=-->1,

216216

%+1一0>0,｛斯｝为递增数列，

11

当时，皿=而+2〉1+[=:,

Q,?.Q?z22

'053

--〉一

a42

的、3

・常>俭）…“1。〉鲁〉。故A正确.

。52，

Q103

荔〉5

故选：A.

【知识点】【题型】数列的综合问题、数列的单调性

【来源】2019年浙江省高考数学试卷；2018-2019学年江西省宜春市高安中学高一（下）期末数

学试卷（理科）（a卷）；2019浙江省

7.【答案】C

'ar—3什4》0

【解析】解：由实数立，沙满足约束条件｛3z-y-4（0作出可行域如图，

联立｛3；-"-4：0>解得4（2,2），

31

化目标函数z=3r+2V为片一'-x+-z,

QI

由图可知，当直线沙=—?刀+52过4（2,2）时，直线在沙轴上的截距最大,

2有最大值：10.

故选：C.

【知识点】简单线性规划

【来源】2019年浙江省高考数学试卷

8.【答案】A

【解析】解：由题意，可知：

a=log52<l,

-J

b=log050.2=logi|=log2-i5=log25>log24=2.

c=0.502<b

」.b最大，a、c都小于L

・"=1砥2=彘，c=°-5°-2

而log25>log24=2>\/2,

11

log25<沟

：.a<c,

：.a<c<b.

故选：A.

【知识点】比较大小之中间数法

【来源】2019天津市高考真题天津卷6

9.【答案】B

【解析】解：头顶至脖子下端的长度为26cm,

说明头顶到咽喉的长度小于26cm,

得1

由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是«0.618,

2

可得咽喉至肚脐的长度小于两42cm,

由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是烫二1,

2

42126

可得肚脐至足底的长度小于«110cm,

0.618

即有该人的身高小于110+68=178cm,

由肚脐至足底的长度大于105cm,

可得头顶至肚脐的长度大于105x0.618x65cm,

即该人的身高大于65+105=170cm,

故选：B.

【知识点】不等式的性质

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）；2019年全国统一高考数学试卷

（理科）（新课标I）；2018-2019学年浙江省镇海中学、杭州二中、嘉兴一中、诸暨中学、效

实中学五校高二下6月月考数学卷；2019高考真题新课标I4

10.【答案】16

【解析】解：设等差数列｛4｝的首项为ai,公差为心

（ai+d）（a1+4d）+ai+7d=0

fai=-5

则Ic9x8Jg

9ai-!——-d=27\d=2

8x7

Ss=8aiH—d=8x（—5）+28x2=16.

故答案为：16.

【知识点】【题型】等差数列的基本量问题、等差数列的求和公式

【来源】2019年江苏省高考数学试卷；2019江苏省

11.【答案】C

【解析】解：取a=0,b=-l,则

In（a-b）=In1=0,排除A；

3"=3°=l>3b=3T=1,排除B；

o

333

a=0>（-l）=-l=b\故C对；

|a|=0<|-1|=1=&,排除D.

故选：C.

【知识点】不等式的性质

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II）

12.【答案】4\/3

【解析】x>0,y>0,x+2y=5,

(x+1)(2y+l)_2xy-\-x-\-2y+l

则

x/xy一回

2g/+6=2®+*

由均值不等式得:

6rT=pI7=2

当且仅当20=-^,即即=3,工+2—5,即《:二；或〈3时，等号成立,

\jxvIy-1Iy—2

（化+1）（2什1）「

故一）r）的最小值为4四.

故答案为4\/3-

【知识点】【题型】均值不等式应用技巧之构造不等式

【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）

13.【答案】C

【解析】解：由\"?<1一"作出可行域如图阴影部分所示，

y^-1

联立｛X-l=0）解得42,T），

令z=3z+y,ft;为g=_3/+z,

由图可知，当直线v=-3z+z过点4时，z有最大值为3x2—1=5.

故选：C.

【知识点】简单线性规划

【来源】2019年北京市高考数学试卷（理科）

14.【答案】A

【解析】解：设等差数列｛斯｝的公差为d，

由Sj=0,Q5=5,得

（4QI+6d=0（Q]=—3

[QI+4d=5，..[d=2，

-5,SJI=TI~—472，

故选：A.

【知识点】【题型】等差数列的基本量问题

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）；2019高考真题新课标I9

15.（1）【答案】见解析

【解析】证明：,.,4g+1=3斯—b〃+4,4&H4-i=3bn—an—4,

4（Q?z+i+b八+i）=2（%,+⑥）f4（Qn+i-b〃+i）=4（Q.〃—6n）+8,

即Q〃+]+b〃+]=—（。八+0），Q??+l—^n+l=^n—〃?+2.

又。1+打=1,ai—6i=l,

｛厮+b,,｝是首项为1,公比为；的等比数列,

｛厮-“,｝是首项为1,公差为2的等差数列.

【知识点】【题型】等差数列的判定、【题型】等比数列的判定

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标II）

15.(2)【答案】即=0+九一］'"尸0—"+2

【解析】解：4a??+1=30n—，?+4①，4，计1=36九—a九—4②,

由①+②可得：Q〃+i+b〃+i=-(Q〃+“J,

由①一②可得：。八+1-'.+1=。〃.—b〃+2,

。九―勾=1+2(71-1)=2n—1；

【知识点】【题型】等差数列的基本量问题

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标H）

16.【答案】B

【解析】解：a=log20.2<log2l=0,

6=2°-2>2°=1>

•.-0<0.2°-3<0.2°=1.

c=0.2°-3e（0.1）,

：.a<c<b,

故选：B.

【知识点】比较大小之中间数法

【来源】2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标I）；2019年全国统一高考数学试卷

（理科）（新课标I）；2019高考真题新课标I3

17.（1）【答案】见解析

【解析】解：设等差数列｛斯｝的公差为d,等比数列｛，,｝的公比为q,

依题意有：

'6q=6+2d（d=3

［6/=12+4d'解倚3=2,

an=4+（n—1）x3=3n+l,

bn=6x2"-i=3x2”.

【知识点】【题型】等差与等比数列综合

【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）

17.（2）【答案】见解析

12A<n<2fc+1

',其中kcN*.

b,n=2k

｛k

nnn

：.a2n（c2„-l）=a2n（bn—1）=（3x2+l）（3x2-l）=9x4-l,

二.数列｛fl2"（C2"-1）｝的通项公式为»2"（C2»-1）=9x4n-l.

2"2n2"n

（ii）£。衿=£［出+/（c；：-l）］=£心+£a2,（c2（-l）

i=li=li=lt=l

£(9x4J)

x3+

2=1

4(1—4。)

=(3x22n-1+5x2n-1)+9x

1-4

=27x22^1+5x2n-1-n-12(neN*).

【知识点】【题型】分组求和、数列通项公式的概念

【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）

18.【答案】A

【解析】解：由题意，可知：

a—logg2<1,

]

6=log0.2=log1-=log-i5-log5>log4=2.

0525222

c=O.5o2<b

」.b最大，Q、c都小于1.

而log.25>log24=2>>/2>

11

：.a<c,

.'.a<c<b.

故选：A.

【知识点】比较大小之中间数法

【来源】2019年天津市高考数学试卷（理科）

19.【答案】C

x+y-2^0

二,2叫作出可行域如图:

{8-1

联立{二/2=0,解得4（T」），

化目标函数？=-4工为v=4c+z,由图可知，当直线?/=4?+z经过点力时，z有最大值为5.

故选：C.

【知识点】简单线性规划

【来源】2019年天津市高考数学试卷(文科)；2019年天津市高考数学试卷(理科)

20.(1)【答案】见解析

【解析】解：设等比数列｛%｝的公比为q,则

由a2a4=。5,。3-4。2+4。1=0,得

(a；q4=aiq」(aj=l

4aiq+4ai=019=2

数列｛a”｝首项为1且公比为正数，

即数列｛%｝为““一数列”.

【知识点】【题型】等比数列的基本量问题、【题型】等比数列的综合问题、【题型】数列的新

定义问题

【来源】2019年江苏省高考数学试卷：2019江苏省

20.(2)【答案】见解析

122

【解析】解：①,.,历=1,~7--7---，

»On®n+l

,1122、

.•.当n=l时，不=广=二一二，.'.与=2，

3]。1。1。2

1122

当n=2时，不="~~=--T-,勾=3,

02。1+。2⑴

1122

当九=3时，三=KTZTTF=二一不，「・b=4，

猜想以=71,下面用数学归纳法证明；

(i)当九=1时，61=1,满足⑥=九，

(ii)假设"=k时，结论成立，即瓦二E,则zi=k+l时，

122

由h=I—I—，得

2bkSk2人中

bk+1-=a+L

2Sk-bk~2.咤_fc

故n=k+1时结论成立，

根据(i)(ii)可知，bn=72对任意的zicN*都成立.

故数列｛%｝的通项公式为bn=n；

②设｛金｝的公比为q,

存在“A1—数列”｛cn｝(neN*),对任意正整数k，当拈时，都有〃WWWck+i成立,

即qkT&Hqk对kWm恒成立，

当k=l时，qZl,当k=2时，\/2^g^2>

h】卜IDA,

当k23,两边取对数可得，丁W丁丁对卜★小有解，

kk—1

ink'Ink'

即

kmaxmin

lure1-lux

令/(工)=---(JC23),则f(x)=

x

当工23时,尸(切<0,此时/3)单调递减,

\nk'1113

.•.当423时,

~k~一3

max

令93)=磐323),则g'(x)=1一

］1—X

令0⑺=1-----111X,则d(X)=—y，

XX-

当时，/(/)<0,即，(①)<0,

「.g⑺在［3,+oo)上单调递减,

hi/Inm

即a23时,k^l—7,则

minm—1

1113him

3、m-1，

下面求解不等式学(粤,

6m—1

化简，得3hin2-(m-1)hi3(0,

3

令h(m)=3him-(m-1)In3,则h'(m)---In3,

m

由得m>3,.•.八(m)在［3,+oo)上单调递减,

又由于九(5)=3hi5-4hi3=In125-In81>0,h(6)=3In6-5In3=hi216-In243<0,

存在m0E(5,6)使得h(mo)=0,

.•.•m的最大值为5.

【知识点】【题型】数学归纳法的应用、【题型】数列与不等式的综合问题、【题型】数列的新

定义问题

【来源】2019年江苏省高考数学试卷；2019江苏省

21.(1)【答案】见解析

【解析】bi=sinai=sin]=1,则&2=sin+d)=cosd,63=cos2d,…，

bn—sina„=sin(：+(n—1)d)—cos(n—l)d,

又因为集合S恰有两个元素，所以cos(k—l)d=l或keN*,t/=1,又因为de(()m，

1、当COS2d=10d=7r(0舍去)，当d=7T今COS(k-l)7F=±1,符合题意，于是d=7T；

27r

2、当cosd=cos2d=>2d+d=27r0d=方(d=2d=>d=0,0舍去)，

o

127r

代入检验cos(k—1)d=_5或1,故d=.也满足题意；

No

,,.27T_„

综上：d=—或d=7r.

o

【知识点】诱导公式、【题型】数列的综合问题

【来源】2019上海春季高考；2019上海市高考真题上海卷21

21.(2)【答案】见解析

【解析】解法一：因为bn+r=b”,为周期数列,

1、当T=1时，bn+i=bn,则｛b｝为常数数列，不符合集合S恰有三个元素，舍去；

2、当T=2时，bn+2=b„,也不符合，舍去；

3、当T=3时,3+3=7,集合S=｛5但也｝,符合题意.

27r7r

4、当T=4时，82+4=，,，则与=sin(。]+(n―1)d)=T=彳=4=>d=],

根据三角函数线一正弦线，可知，取⑸=0时，S={O,1-1},符合；

27r27r

5、当T=5时，，叶5=",，b=sin(QI+(n-1)d)=T=—=5=>d=—,

na5

7Tf.7T7T'I

根据三角函数线一正弦线，可知，取。尸正时，S=|sin—,1-sin—符合;

27r7r

6、当T=6时，吼+6=匕〃，b=sin(<2]+(n—1)d)=>T=—=60d=—，

Tl(to

根据三角函数线一正弦线，可知，取回=0时，S=|乎符合；

、

._..../\_2TF2TF

7、当T=7时，bn+7=bn,6„=sin(ai+(n—1)d)=>T=—=7=>d=—,

根据三角函数线一正弦线，可知，因为Qi+Q2+・・・+Qk=27T,

则蚓+"T).亭=2TT=>A：—+卜(：1)=2，设ai=t7r,

277r7

则kt+W=2=>Jfe住+7JI)=14，根据整除性：

1、k=l=t=2