必修五正弦定理第一课时

1.1正弦定理〔第一课时〕【学习目标】1.能推导正弦定理,能用自己的语言说明正弦定理与锐角三角函数之间的关系；2.把握正弦定理的结构特征，从中感受数学式子的对称美与和谐美；3.能正确运用定理解根本类型的三角形问题，初步体会正弦定理在解三角形中的作用。4.通过经历正弦定理的推导过程，体会由特殊到一般的研究方法。【学习重点】正弦定理的推导与初步运用【学习过程】一、学习准备1.以前我们已学过了三角形的有关知识。想一想，在三角形中，角与角之间有什么关系？边与边之间有什么关系？边与角关系之间又有什么样的关系呢？cbCcbCaAB图1.1-1如图1.1—1在中，、、所对的边为，a、b、c，为直角，那么SinA=，SinB=SinC=。利用这些关系能解决三角形中的哪些问题？3.在实际工作中我们还会遇到许多其他的测量问题，而这些问题仅用锐角三角函数就不够了，如：〔1〕怎样在航行途中测量出海上两个岛屿之间的距离？〔2〕怎样测量底部不能到达的建筑物的高度？〔3〕怎样在水平飞行的飞机上测量出飞机下方山顶的海拔高度？这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识。从今天这节课开始我们就来学习这些知识，当你学了这些知识后以上问题也就可以很快解决了！二、学习探究1．正弦定理的探究我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的关系，其实质就是角增大边也随着增大，这种关系能否用具体的数量关系来准确量化呢？由于我们不容易直接得到一般三角形中边和角的量化关系，所以我们运用先特殊后一般的研究方法，按照“直角三角形—锐角三角形—钝角三角形”的顺序予以探究。探究一：在直角三角形中，你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗？在“学习准备”2中，把三个关系式进行变形得：，,由此可得：探究二：在锐角三角形中，以上关系式是否仍然成立吗？在锐角ΔABC中，过C做CD⊥AB于D，那么|CD|==，即，同理得，故有。〔请你先独立思考探究填写答案，然后看教材第3页图1.1-2及有关表达进行核对〕●想一想如要论证，如何作高呢？探究三：在钝角三角形中，以上结论成立吗？你能否根据“探究二”的思路和方法进行推导？〔提示：画张图，按“探究二”的思路和方法进行探究〕在钝角ΔABC中，∠B为钝角，过C做CD⊥AB交AB的延长线D，那么|CD|==，即，故有。BDＯCBDＯCA2.正弦定理从上面的探究过程，我们可得以下定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比，即用文字语言描述就是：。想一想：⑴以下有关正弦定理的表达正确的选项是正弦定理只适用于直角三角形；②正弦定理只适用于解用锐角三角形；③正弦定理只适用于解钝角三角形；④在某一个确定的三角形中，各边与它所对角的正弦的比是一个定值。⑵正弦定理的特点是什么？它刻画了三角形边和角的什么关系？它的变式有哪些？它的推论有哪些？⑶从方程的观点看：三个方程，每个含有四个量，可以知其几求其一？⑷向量是一种解决角与长度问题的重要工具，那么能不能用向量法推导正弦定理呢？如果能，你如何构造向量证明？〔链接2〕3．正弦定理的初步应用三角形的边和角分别叫做三角形的元素，我们把三角形的一局部元素求其它元素的过程叫做解三角形。下面我们通过一些例题的学习来看正弦定理在解解三角形中的运用。题型一:两角和任意一边，求出其他两边和一角例1．在.思路启迪：此题中元素有哪些？要求未知元素需要利用那些结论？解：●解题反思此题的解题过程中用到了哪些知识？正弦定理的主要作用是什么？三角形的两角和任一边，求其他两边和另一个角解题的步骤是什么？●变式练习1.教材P4“练习”第1题；2．在中,,那么.题型二:三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角例2．〔1〕在解三角形；〔2〕解三角形。思路启迪：解三角形的含义是什么？这里的是什么？要求的是什么？由最先能求出的是什么？再结合三角形中大边对大角考虑解的情况，然后再求其余元素。解：●解题反思1．比照例2〔1〕与〔2〕，你认为什么时候解是唯一的？什么时候解是不确定的呢？2．三角形有解的几何意义是什么？无解，有一解、两解的几何意义是什么？〔链接3〕3．通过上面问题，你对使用正弦定理有什么想法？●变式练习：1.教材P4“练习”第2题.2.解三角形。3.解三角形.思考：假设改为那么三角形有无解？假设有，请求出其解，假设没有请说明理由。【学习反思】1．正弦定理主要反映了三角形中边与角之间怎样一种关系？它是怎样推导出来的？2．正弦定理的在三角形中的根本作用是什么？3.利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢？〔链接4〕4．在三角形的任意两边与其中一边的条件下运用正弦定理要注意什么问题？5.本课中你学到了哪些解题方法与解题策略?定理的推导和解题中有哪些数学思想？【学习评价】自我测评一：1．在中，，那么是〔〕A．直角三角形；B．等腰三角形；C．锐角三角形；D．钝角三角形2在中，角，那么角A的值是〔〕A.B.C.D.或3．在△ABC中,4．在那么c=.5．ABC中，A=60°，，那么=.6．在中，，解三角形。自我测评二：1．在ΔABC中，，那么〔〕A.B.C.D.2.在ΔABC中，，那么〔〕A.B.C.D.3．在ΔABC中，，那么边c的长为。4.在ΔABC中，角A,B,C的对边分别为a、b、c，假设，求角A的大小。●感受与认识：1.在本测评中，易错的题目有错因为2.你不明白或还需要进一步探求的问题是什么?【学习链接】链接1：等比常数是C，它是直角三角形的斜边，也是三角形外接圆的直径。链接2：阅读材料《用向量法论证正弦定理》C证明：过点A作，由向量的加法可得那么AB∴∴，即同理，过点C作，可得从而类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。链接3：三角形有解的几何意义是，根据条件能构成三角形。无解是指由条件不能构成三角形；只有一解表示由条件只能构成一个三角形，有两个解表示能根据条件构成两个三角形。链接4：〔1〕三角形的任意两角及其一边可以求其他边；〔2〕三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值。【参考答案】例1．解：，∴由得