河南省名校联盟高三大联考（2月）文科数学试题

2023届普通高等学校招生全国统一考试河南名校联盟大联考（2月）数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用集合的交集运算求解.【详解】解：因为集合，，所以，故选：D2.已知复数，若z的共轭复数，则实数（）A.1 B.2 C.3 D.【答案】C【解析】【分析】根据复数乘法求出和，与已知对比即可求出b的值.【详解】，，，.故选：C.3.已知三角形数表：现把数表按从上到下、从左到右的顺序展开为数列，则()A.16 B.32 C.64 D.512【答案】A【解析】【分析】先确定在数表中的位置，再根据等比数列通项公式即可求解．【详解】在数表中，第n行有n个数，则前9行共有个数，则是数表第10行从左到右的第5个数，．故选：A4.一组互不相等的样本数据：，…，，，其平均数为，方差为，极差为m，中位数为t，去掉其中的最小值和最大值后，余下数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则下列结论不一定正确的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据平均数、方差、极差、中位数的定义即可逐项分析判断．【详解】对A，平均数受样本中每个数据的影响，故去掉最大值和最小值后，余下数据的平均数可能会改变，故A不一定正确；对B，方差反映数据的离散程度，当去掉数据中的最小值和最大值后，数据的离散程度减小，故方差减小，故B正确；对C，极差为最大值与最小值之差，是原来数据里面任意两个数之间差值的最大值，故去掉最大值和最小值后，新数据的极差必然小于原数据的极差，故C正确；对D，中位数是把数据从小到大依次排列后排在中间位置的数或中间位置的两个数的平均数，因为是对称的同时去掉最小值和最大值，故中间位置的数相对位置保持不变，故新数据中位数保持不变，故D正确．故选：A．5.在《九章算术》中，底面为矩形的棱台被称为“刍童”．已知棱台是一个侧棱相等、高为1的“刍童”，其中，，则该“刍童”外接球的体积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】易知外接球的球心在四棱台上下底面中心连线上，设球心为O，根据几何关系求出外接球半径即可求其体积．【详解】如图，连接AC、BD、、，设AC∩BD＝M，∩＝N，连接MN．∵棱台侧棱相等，∴易知其外接球球心在线段MN所在直线上，设外接球球心为O，如图：易得AC＝4，MC＝2，，，MN＝1，由得，，解得OM＝1，故OC＝，∴外接球体积为．故选：C．6.已知抛物线的焦点为，过作倾斜角为的直线，与抛物线交于，两点，则（）A.4 B. C.8 D.16【答案】C【解析】【分析】根据抛物线方程确定焦点坐标，从而由已知可得直线的方程，再将直线方程与抛物线方程联立即可得交点坐标关系，利用相交弦长公式求解即可.【详解】抛物线的焦点为，又直线的斜率，所以直线的方程为：，设，则，则，所以则.故选：C.7.已知定义在上的函数满足，，，且当时，，则下列说法正确的是（）A.是奇函数但不是偶函数 B.是偶函数但不是奇函数C.既是奇函数又是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数【答案】B【解析】【分析】对a、b进行赋值即可根据奇偶性的定义进行函数奇偶性的判断.【详解】的定义域关于原点对称，因为，，，故令时，，令时，，令，时，，，即，∴是偶函数，又当时，，即不恒为零，故只能为偶函数，不能为奇函数.故选：B.8.已知，，，，则()A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先判断a、b、c范围均为，d>1，则d最大；用作商法可判断a、b大小；用作商法并结合基本不等式可判断a、c大小；从而可得四个数的大小关系．【详解】，，，，，．故选：D．9.已知过点可作出双曲线（，）的两条切线，若两切点都在双曲线C的某一支上，则该双曲线的离心率的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如图所示，点必须在渐近线、轴和双曲线围成的区域，且不能在渐近线、轴和双曲线上.再解不等式得到离心率的范围，【详解】要满足题意，如图所示，点必须在渐近线、轴和双曲线围成的区域，且不能在渐近线、轴和双曲线上.所以必须满足，得故选：D10.已知实数，若，则的最小值为（）A.12 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】构造基本不等式，利用基本不等式即可.【详解】由，，，所以，当且仅当时，取等号，所以的最小值为：12，故选：A.11.已知函数在区间上存在零点，且函数在区间上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正弦函数图象与性质以及整体代换的技巧进行求解.【详解】当时，，因为函数在区间上存在零点，根据正弦函数图象可知，，解得，又函数在区间上的值域为，根据正弦函数图象可知，，解得，所以的取值范围是，故A，C，D错误.故选：B.12.已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设直线l为.取圆O的弦PQ的中点为E，求出其轨迹方程，求出E到直线l距离的最小值.过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，将转化为，即可求其最小值．【详解】由题可知A为(0，1)，且P、A、Q三点共线，设弦PQ的中点为E(x，y)，连接OE，则OE⊥PQ，即OE⊥AE，∴，由此可得E的轨迹方程为，即E的轨迹是以为圆心，为半径的圆，设直线l为，则E到l最小距离为．过P、E、Q分别作直线l的垂线，垂足分别为M、R、N，则四边形MNQP是直角梯形，且R是MN的中点，则ER是直角梯形的中位线，∴，即，即．故选：C．【点睛】本题需充分利用数形结合思想进行简答，问题的关键是求出PQ的中点的轨迹，将要求最小值的式子与点到直线的距离公式联系在一起，数形结合求解最值.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量，，且，则实数______．【答案】1【解析】【分析】求出和的坐标，根据两向量垂直的坐标表示即可求出的值.【详解】∵，，∴，，∵，∴，∴，∴.故答案为：1.14.已知，，则______．【答案】【解析】【分析】利用同角三角函数的平方关系求出sinα，利用二倍角公式展开，带值计算即可.【详解】因为，，所以，∴，故答案为：15.在底面边长为2，侧棱长为3的正三棱柱中，E，F分别为棱BC，AB的中点，点D在棱上，且，若平面与平面AED的交线为l，则l与直线所成角的余弦值为______．【答案】【解析】【分析】根据题意，先找到平面与平面AED的交线，然后建立空间直角坐标系结合空间向量的坐标运算，即可得到结果.【详解】由题意，延长,,相交于点，则直线为平面与平面AED的交线，取中点为，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，故，设，则.设，则.所以，故,故，所以，设l与直线所成角为，则故答案为:16.设函数的定义域为D，若，使得，则称是函数的不动点．若函数在区间上存在不动点，则实数a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】采用换元法令，将问题转化为关于t的方程在上有解，再分离参数即可求出a的范围.【详解】设，由题可知有解，即有解，即有解，即有解，令，则有解，即在时有解.易知在时单调递减，在时单调递增，且，，故，则.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题关键是将对数方程化为指数方程，并采用换元法将问题转化为关于t的二次方程在特定区间上有解的问题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.自限性疾病是指在发展到一定阶段后会自行恢复的疾病．已知某种自限性疾病在不用药物的情况下一般10天后就可康复．现在只有A药物是针对该自限性疾病的药物，为了解A药物对该自限性疾病的作用，研究者在患过该自限性疾病且康复的群体中随机选取了110人作为样本进行调查，并统计相关数据后得到如下的列联表．已知在选取的110人中随机抽取1人，此人为小于10天康复者的概率为，此人为未用药物者的概率为．康复情况用药情况小于10天康复10天后康复合计患病期用A药物30患病期未用药物合计110（1）请完成上面的列联表；（2）依据列联表中的数据，判断能否有99%的把握认为患病期用A药物与小于10天康复有关．附：，．0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）详见解析；（2）有【解析】【分析】（1）根据小于10天康复者的概率为，分得到小于10天康复者和10天后康复者人数，由未用药物者的概率为，得到未用药物者和用药物者的人数，完成列联表；（2）由（1）求得的值，再与临界值表对照下结论.【小问1详解】解：因为在选取的110人中随机抽取1人，此人为小于10天康复者的概率为，所以小于10天康复者为人，则10天后康复者为60人；又此人为未用药物者的概率为，所以未用药物者为人，则用药物者为50人，则列联表如下表：康复情况用药情况小于10天康复10天后康复合计患病期用A药物302050患病期未用药物204060合计5060110【小问2详解】由（1）知：，所以有99%的把握认为患病期用A药物与小于10天康复有关．18.已知正项等比数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）结合，求出，再求出公比q即可；（2）求出，根据等比数列求和公式，利用分组求和的方法即可求出.【小问1详解】,,或，，.【小问2详解】由（1）知，故，∴.19.在四棱锥中，，．（1）若，证明：平面平面ABCD；（2）若直线PB与平面ABCD所成的角为，求四棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】【分析】(1)取AD中点为O，连接PO，OC，证明OP⊥AD及OP⊥OC得OP⊥平面ABCD即可；(2)取AD中点为O，连接OP，OB，BD，证明AD⊥平面POB，得到∠PBO为PB与平面ABCD的夹角，解△PBO，求出OB边上高，从而得到P到平面ABCD的距离，从而可求四棱锥的体积．【小问1详解】取AD中点为O，连接PO，OC．∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵四边形ABCD是菱形，，∴∠ODC=120°，在△ODC中，根据余弦定理得，，又，∴，∴，又AD∩OC=O，AD，OC平面ABCD，∴OP⊥平面ABCD，又∵OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；【小问2详解】取AD中点为O，连接OP，OB，BD，∵PA=PD，∴OP⊥AD，∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，则OB⊥AD，又∵OB∩OP=O，OB，OP平面POB，∴AD⊥平面POB，则∠BOP为二面角PADB的平面角，则∠PBO为PB和平面ABCD的夹角，故∠PBO=30°，且△PBO的OB边上的高h即为P到平面ABCD的距离．又，则在△PBO中，，，又，∴．20.已知椭圆的左、右顶点分别为，，过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与直线交于点P，证明点P在定直线上，并求出该定直线的方程．【答案】（1）（2）证明见解析，定直线为：【解析】【分析】（1）由题知，再利用已知条件求出的值即可；（2）由题知直线与直线的斜率存在，分别联立直线、直线与椭圆方程解出的坐标，根据共线，找出直线与直线的斜率的关系，再联立直线与直线，得出点坐标，化简即可.【小问1详解】由题知椭圆焦点在轴上，左、右顶点分别为，，所以，又过点的直线l与椭圆C交于异于，的M，N两点，当l与x轴垂直时，，所以将代入中，求得：，所以，所以椭圆的标准方程为：.【小问2详解】如图所示：由题知直线与直线的斜率存在，设，，由，消去整理得：，解得：，又是异于，的两点，所以有，同理可得：，又，且共线，所以，化简得：，由题知同号，所以，联立：，所以，将代入点的横坐标，则，所以点在定直线上.21.已知函数，，，．（1）当，时，求函数的极值；（2）若恒成立，求的最小值．【答案】（1）当时，取极小值；（2）.【解析】【分析】（1）当，时，，后利用导数可求出极值；（2）由题可得，令，利用导数研究其在三种情况下的最小值即可.【小问1详解】当，时，，则.，令，则上单调递增；令，则在上单调递减；则当时，取极小值，无极大值；【小问2详解】因恒成立，则恒成立，即.设，则.当，要使恒成立，则，此时；当，若，则，此时不合题意；当，若，则，，此时不合题意；当，令，则在上单调递增；令，则在上单调递减.故，令，，则.令，则在上单调递增；令，则在上单调递减.故.综上所述，的最小值为.【点睛】关键点点睛：本题涉及函数极值与恒成立问题，难度较大.本题（1）问较为基础，（2）为恒成立问题，常转化为最值相关问题，又因本题涉及两个变量，故关键在于找到两变量间关系.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）2