弹性力学简明教程九章改

第一节有关概念及计算假定第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节矩形薄板的单三角级数解第七节矩形薄板的差分解第八节圆形薄板的弯曲第九节圆形薄板的轴对称弯曲习题的提示和答案例题第九章薄板弯曲问题教学参考资料§9-1有关概念及计算假定定义

薄板是厚度板面尺寸的物体。薄板的上下平行面，称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。比较薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用─薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用─平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用─

梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用─杆件的拉压问题；

薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。特点

当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板弹性曲面。

小挠度薄板─这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：定义(3)在内力中，仅由横向剪力与横向荷

载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位

移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度；1.垂直于中面的线应变可以不计。 取，由，得

故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。

本章研究小挠度薄板的弯曲问题。

根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：计算假定弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力2.次要应力分量远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力，与梁相似，也分为三个数量级：∴为次要应力，略去它们引起的形变，即得

由于是更次要的应力。略去它引起的形变，即得薄板弯曲问题的物理方程为

(1)

在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。

说明：⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。⑶从计算假定1、2，得出

故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。这两个假定统称为克西霍夫直法线假定。

因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。由于故3.中面的纵向位移可以不计，即

实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。

类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述三个计算假定，并应用这三个计算假定,简化空间问题的基本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。 1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这三个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题§9-2弹性曲面的微分方程

本节从空间问题的基本方程出发，应用三个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法

薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：

4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。

2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。

1.取挠度w(x,y)为基本未知函数。

具体推导如下：

1.取挠度为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，

2.将，用表示。应用几何方程及计算假定2，∴对积分，

又由计算假定3，故得： 3.主要应变用表示。应用其余三个几何方程，并代入式(a)得：(b)4.主要应力用表示。应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：(c)5.次要应力用表示。应用空间平衡微分方程的前两式（其中纵向体力），有代入式(c)，并对z积分，得：其中∵上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件

由此求出及，代入得到6.更次要应力用表示。应用第三个平衡微分方程，有代入式(d)，并对z积分，得则下板面的边界条件求出，故更次要应力为将薄板的每单位面积内的体力和面力均归入到上板面的面力中，记为7.导出求解w的基本方程。由上板面边界条件（属于静力平衡条件）得出在A域中求w的方程(f)(g)为薄板的抗弯刚度求w方程

说明：⑴在三个计算假定下，纵向位移u,v；主要应变；主要应力；沿z向均为线性分布，故它们在中面处为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛物线分布；均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三次曲线分布。⑵按位移求解薄板弯曲问题，只取w为基本未知函数。在导出求w的基本方程中应用了三个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似。⑶从上述推导过程可见,空间问题的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分方程都已考虑并满足（其中应用了3个计算假定）；并且在的大边界（板面）上，三个应力边界条件也已精确满足。⑷只有板边的边界条件尚未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。思考题

试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同。§9-3薄板横截面上的内力

⑵在板边（小边界）上，要用内力的边界条件代替应力的边界条件。⑴薄板是按内力设计的；

薄板内力，是薄板每单位宽度的横截面上,应力向中面合成的主矢量和主矩。求薄板内力的目的：薄板内力

求内力：取出的六面体，x面上，有应力，，y面上，有应力，，。其中，，=

沿z为直线分布，在中面为0；

，沿z为二次分布。

x面面积上，应力的主矢量和主矩为：x面内力─合成主矢量称为横向剪力,─合成主矢量为0,合成主矩称为扭矩,─合成主矢量为0,合成主矩称为弯矩,类似地，求出y面面积上的内力：y面内力弯矩扭矩横向剪力

内力均为单位宽度上的主矢量和主矩，∴其量纲均应降低了一次长度量纲。

xyz内力符号(e)(f)中面内力平衡条件

考虑上图的中面平衡条件，可得：内力的正负号规定，根据应力符号确定:正的应力方向的主矢量为正;正的应力×正的矩臂的力矩方向为正。将前两式代入后式，得再将用来表示，同样可以得到挠曲面微分方程：§9－4

边界条件

扭矩的等效剪力薄板的边界条件：上下板面（大边界）已精确地满足了

3个应力边界条件。边界条件板边（小边界）的边界条件尚未考虑,

这是求解挠曲线微分方程的边界条件。

板边为小边界，可以应用圣维南原理来简化边界条件。

可看成是中面的挠曲微分方程,或中面的平衡方程。边界条件——

将板边的边界条件归结为中面的位移边界条件或中面的内力边界条件。

薄板板边的边界条件分为三类：

1.固定边─若为广义固定边，则其中为给定的约束位移。若完全固定，则有：固定边(a)2.简支边─若为广义简支边，则其中，分别为给定的约束位移和弯矩。若，则一般的简支边条件为简支边因为：所以第二个条件可以简化。因简支边故有：∴简支边的条件为：若简支边有弯矩作用，则有：3.自由边─若为一般的自由边，则上式边界条件共有3个，与四阶微分方程不相对应。经过约二十年后，基尔霍夫指出，薄板板边上的扭矩可化为等效的横向剪力。自由边在EF=dx微分段上，总扭矩，化为E、F上等效的一对力，分别向下（E）和向上（F）；

在FG=dx微分段上，总扭矩，化为F、G上等效的一对力，分别向下（F）和向上（G）。上图中，取出板边AB（y面），

扭矩的等效剪力在F点，合成向下的集中力：再化为宽度上的分布剪力：故AB边界总的分布剪力为

而在A，B两端，还有两个未被抵消的集中剪力：

用挠度表示为∴自由边的边界条件成为同样，BC边界总的分布剪力为

而在C，B两端，还有两个未被抵消的集中剪力：

用挠度表示为∴自由边的边界条件成为自由边交点的角点条件─在角点B，集中力为

若B点有支承，阻止挠度的发生，则有

若B点无支承，应无集中力，有：角点条件

角点集中力的正负号及方向，根据扭矩确定，见习题9-3。

固定边是位移边界条件，自由边是内力边界条件，简支边是混合边界条件。§9－5四边简支矩形薄板的重三角级数解

小挠度薄板的弯曲问题，已经归结为求解挠度w，w应满足挠曲面微分方程和板边的边界条件。求w条件

对于四边简支的矩形板，边界条件为(b)四边简支

纳维将w表示为重三角级数，

其中m，n为正整数。代入边界条件(b)，边界条件全部满足。(c)将q(x,y)也展为重三角级数，再代入微分方程(a)，得(d)将q代入上式，比较两边系数，得利用三角函数的正交性质求出对式(d)分别对x，y积分可得由此可知，将

代入式(e)

，得

讨论：

1、当为均布荷载时

当m或n为偶数时：

则：

当m或n为奇数时：

将

代入式(e)

，得

在板中点有最大挠度，即对于方板：只取级数第一项：若取级数前四项：得到精确解：与只相差2%

最大弯矩也发生在板的中点对于四边简支的混凝土板，可根据上述的最大弯矩（单位长度）进行配筋计算。

2、当q为集中荷载F，作用于一点时，可用代替q，并且只在处的

微分面积上存在，其余区域q=0，根据中值定理，式（f）中的积分为纳维解答是用多种正弦波形的叠加来表示挠度w的。对于各种形式的荷载q

，均可方便地求出解答。它的主要缺点是，只能适用于四边简支的薄板。§9－6矩形薄板的单三角级数解

设矩形板的两对边为简支边，其余两边为任意边界。两对边简支其中是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了的简支边条件,

莱维采用单三角级数表示挠度，两对边简支

将q/D也展开为单三角级数，两对边简支代入上式并比较两边的系数，可得将式(a)代入挠曲面微分方程，得两对边简支将上式对x积分，利用三角函数的正交性质，求得将代入式（c）可得将代入式（d）得出求的常微分方程其中为式(d)的特解，由q(x,y)的具体形式确定；其余四项为齐次方程的通解。将代入式(a)，得w解，其中系数由其余两边界条件来确定。式(f)的解为讨论：受均布荷载时,四边简支板的解答。此时常微分方程(f)右边的积分为：从而得到常微分方程(f)的特解：因为X为板的对称轴，所以w是y的偶函数，所以式(e)中的将式(e)代入式(a)：系数可根据两边的边界条件确定：对于方板：可见，级数中只取两项，就能得到精确解。

矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。从求解薄板弯曲问题来看，两者比较如下：适用性

四边简支两对边简支，另两边可任意求解

简便较困难，须求解系数

收敛性慢快应用

局限于四边简支可推广应用到其他各种边界纳维解法莱维解法2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三角级数解，用于解决各种边界条件的薄板问题。3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静力（弯曲）问题中得到了广泛的应用，而且可以推广应用于薄板的动力、稳定问题，以及能量法中。1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载，如何应用莱维法求解？2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载，如何应用莱维法求解？思考题

应用差分法求解薄板弯曲问题，是比较简便的。

首先将挠曲面微分方程变换为差分方程,插分方程

§9－7矩形板的差分解

对点，即固定边和简支边附近的w值，如下图所示。若AB为简支边，对于o

点，若AB为固定边，则对于o点，(a)固定边(b)简支边9-11

对于自由边的情形，边界点是未知数，须列式(a)的差分方程，其中涉及边界外一、二行虚结点的w值，用自由边的边界条件来表示，所以求解时比较麻烦。

对于具有支承边（简支边，固定边）的矩形板，每一内结点的w值为未知数，对每一内结点应列式(a)的方程。其中涉及边界点和边界外一行虚结点的w值，如式(b)或(c)所示。例1四边简支的正方形薄板，，受到均布荷载的作用，试取的网格，如图，用差分法求解薄板中心点的挠度和应力（取）。21210121209-12网格精确解答案:例2

同上题，但四个边界均为固定边。网格精确解答案:

总之，对于具有支承边的矩形板，采用差分法求解是十分简便有效的，取较少的网格便可求得精度较好的挠度值w。而由w求内力时，∵对近似解w求导数后会降低精度，所以须适当地加密网格。

对于的正方形薄板，受均布荷载作用，试取的网格，分别求解下列边界问题的中心点挠度，并进行比较：（1）四边简支；（2）三边简支，一边固定；思考题（3）两对边简支，另两对边固定；（4）两邻边简支，另两邻边固定；（5）一边简支，三边固定；（6）四边固定。§9－8圆形薄板的弯曲

圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。1.挠曲面微分方程仍为其中圆板方程

将对x，y的导数变换为对的导数(P65,(4-5))，并代入，得2.内力公式即内力公式参照公式（4-5）的做法，取

同样，得出

类似地，横截面上的总剪力为3.边界条件

⑵设为简支边，则⑴设为固定边，则边界条件

故简支边条件简化为

若简支边界有力矩荷载M，则边界条件为

因为：

所以：⑶设为自由边，则说明：由于圆板边界是光滑连续的闭曲线，故在将分布扭矩转换为等效横向剪力后，不存在集中力

若圆板的荷载q和边界条件均为轴对称，则薄板的挠度和内力必然也为轴对称。∴有§9－9圆形薄板的轴对称弯曲轴对称弯矩1.挠曲面微分方程的全解为：通解的系数由边界条件来确定。其中特解为边界条件挠曲面微分方程为2.内力计算3.边界条件，设边⑵为简支边，则⑴为固定边，则边界条件⑶为自由边，则例题：边界固定的圆板受均布荷载作用。或设，代入挠曲面微分方程特解为边界条件可求得：所以：

对于无孔板，则除2个外边界条件外，还应考虑挠度和内力在的有限值条件，有：边界条件∴得边界条件由边界条件：解得：边界条件边界条件取半径为的圆盘，列平衡方程：或由公式求出例题：边界固定的圆板受集中荷载作用。特解：边界条件

无孔板，根据有限值条件，有：所以：由边界条件：求得：所以：与实际不符！

实际上，在集中力作用处内力无确定值，故不能求出处的内力。边界条件所以由：有：但是对没有要求！

仅有挠度在处为有限值的条件：边界条件求得：由边界条件：取半径为的圆盘，列平衡方程：

对于有孔板，由内外边界共4个边界条件来确定。边界条件

是轴对称弯曲的一般解，可以应用于一切轴对称弯曲问题。

上述的轴对称解答：第九章例题例题1例题2例题3例题4例题5例题固定边椭圆板的边界方程为

Oabyx受均布荷载作用，如图，试求其挠度和内力。例题1由，显然。因此，从方向解：固定边的边界条件是(a)(b)导数的公式可推出，为了满足边界条件(a)，可以令便可满足式(a)的边界条件。对于均布荷载，将式(c)代入方程得出，并从而得因此，只需取(c)

根据位移w,由公式（9-10）可求出弯矩

读者可以检验，最大和最小弯矩为

当时，便由上述解得出圆板的解答，若令则椭圆板成为跨度为的平面应变问题的固端梁。

四边简支矩形板，如图，受有分布荷载的作用，试用重三角级数求解其挠度。例题2由§9－5知解：将代入上述积分式，由三角函数的正交性，及得到代入，得挠度的表达式为

四边简支矩形板，如图，在的直线上，受有线分布荷载F的作用，F为单位长度上的作用力。试用重三角级数求解其挠度。yxabOFa例题3解：板中的荷载只作用在的线上，对荷载的积分项只有在此线上才存在，其余区域上的积分全为0，在的线上，荷载强度可表示为代入系数的公式，(n=1,3,5…)得出挠度为四边简支矩形板，受静水压力作用，，如图，试用单三角级数求解其挠度。xyaO例题4自由项，即解：应用莱维法的单三角级数求解，将代入书中§9－6式(d)右边的代入式(d)，方程的特解可取为从而得到和挠度的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于轴，应为的偶函数，由此，。于是的表达式为在的边界，有简支边条件

将挠度代入边界条件，记得解出从而得挠度解答

发生在薄板的中心点的挠度为与板上作用有均布荷载的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的1/2。又由的条件，求出最大挠度为对于方板：均布荷载作用：

例题5

设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。MMOzrRRr

解：本题属于圆板的轴对称问题，可引用§9－9中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解，于是挠度为代入内力公式，得内外边界的四个边界条件为将挠度及内力代入边界条件，求出，最后得解答如下：

（一）本章学习重点及要求

1、杆件受到纵向（平行于杆轴）荷载的作用，这是杆件的拉压问题；杆件受到横向（垂直于杆轴）荷载的作用，这是梁的弯曲问题。

与此相似，薄板受到纵向（平行于板面）荷载的作用，这是平面应力问题；薄板受到横向（垂直于板面）荷载的作用，这就是薄板的弯曲问题。薄板的弯曲，可以认为是梁的弯曲的推广，是双向的弯曲问题。第九章教学参考资料

但读者不可简单地将板的弯曲看成是纵、横梁弯曲的迭加。否则，这会重复板的弯曲理论发展史中的错误。2、与平面问题和空间问题不同的是，除了前述的弹性力学的五个基本假定之外，在薄板弯曲问题中，根据其内力和变形的特征，又提出了三个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。这点与材料力学的解法相似。因此，常将薄板和壳体的理论归入高等材料力学。但由于其应用的数学工具较为复杂，所以这些内容又称为实用弹性力学。3、薄板弯曲问题属于空间问题。薄板弯曲理论，是从空间问题的基本方程和条件出发，应用薄板的三个计算假定进行简化，并按位移法导出薄板弯曲问题的基本方程和边界条件的。最后归结的基本未知函数（挠度w）和相应的方程、边界条件都只含（x,y）两个自变量，因此，薄板弯曲问题也属于二维问题。5、对于圆形薄板，类似于极坐标中的平面问题，可以建立相应的圆板弯曲问题的方程。对于轴对称圆板的弯曲问题，其中只包含一个自变量，其方程为常微分方程，它的通解已经求出。4、对于矩形薄板，基本的解法是纳维法和莱维法。

（二）本章内容提要1.薄板小挠度弯曲问题的基本方程和边界条件，是从空间问题的基本方程和边界条件出发，引用三个计算假定进行简化，并由按位移求解的方法导出的。2.在薄板弯曲问题中，取挠度为基本未知函数，它应满足：区域内的弹性曲面微分方程固定边边界条件或简支边边界条件或自由边边界条件

薄板横截面上的内力公式为：弯矩扭矩剪力3.四边简支矩形板的重三角级数解（纳维解法）4.两对边简支矩形板的单三角级数解（莱维解法）其中为特解，并由其余两边界的条件求出系数5.薄板弯曲问题的差分法是:o点的差分公式为：固定边边界条件（x边界o点）简支边边界条件（x边界o点）6.圆形薄板弯曲问题的基本方程是：其中固定边边界条件简支边边界条件自由边边界条件7.圆板轴对称弯曲的一般解是其中由边界条件确定。

（三）板的分类

不同厚度的板具有不同的内力和变形特征。按板的厚度，可以分为：

1.厚板—其板厚与板面尺寸之比，约为

即三个方向的几何尺寸接近于同阶大小。因此，空间问题的各物理量也为同阶大小，均应考虑而不宜忽略。2、薄板—大约为又按抗弯刚度的大小分为：小挠度薄板—这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是，（1）由于具有一定的