2024届浙江省绍兴市柯桥区数学八年级第二学期期末学业水平测试试题含解析

2024届浙江省绍兴市柯桥区数学八年级第二学期期末学业水平测试试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．等腰三角形的一个角为50°，则这个等腰三角形的底角为（）A．65° B．65°或80° C．50°或65° D．40°2．如图，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，下列说法正确的是（）A．AC=BD B．AC⊥BD C．AO=CO D．AB=BC3．在有理数中，分式有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．若分式的值为零，则x的值是（）A．±2 B．2 C．﹣2 D．05．如图所示，正方形ABCD的边长为6，M在DC上，且DM=4，N是AC上的动点，则DN+MN的最小值是（）A． B． C． D．6．如图，在▱ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=（）A．70° B．60° C．50° D．40°7．如图，矩形纸片ABCD，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的E处，折痕为PQ，当点E在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点E在BC边上可移动的最大距离为（）A．1 B．2 C．4 D．58．受今年五月份雷暴雨影响，深圳某路段长120米的铁路被水冲垮了，施工队抢分夺秒每小时比原计划多修5米，结果提前4小时开通了列车．若原计划每小时修x米，则所列方程正确的是（）A． B． C． D．9．如图，△ABC顶点C的坐标是（1，-3），过点C作AB边上的高线CD，则垂足D点坐标为（）A．（1，0） B．（0，1）C．（-3，0） D．（0，-3）10．直线不经过【】A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．在，，，，，中分式的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积是（）A．3 B．4C．5 D．6二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，平行四边形ABCD内的一点E到边AD，AB，BC的距离相等，则∠AEB的度数等于____.14．代数式有意义的条件是________．15．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．16．分解因式：____．17．方程的解是_______．18．已知关于x的分式方程＝1的解是非负数，则m的取值范围是_____．三、解答题（共78分）19．（8分）百货商店销售某种冰箱，每台进价2500元．市场调研表明：当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；每台售价每降低10元时，平均每天能多售出1台．（销售利润=销售价-进价）（1）如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的销售利润为______元，平均每天可销售冰箱______台；（用含x的代数式表示）（2）商店想要使这种冰箱的销售利润平均每天达到5600元，且尽可能地清空冰箱库存，每台冰箱的定价应为多少元？20．（8分）化简求值：，其中x=．21．（8分）在平面直角坐标系中，直线（且）与轴交于点，过点作直线轴，且与交于点.（1）当，时，求的长；（2）若，，且轴，判断四边形的形状，并说明理由.22．（10分）某校为了解八年级学生的视力情况，对八年级的学生进行了一次视力调查，并将调查数据进行统计整理，绘制出如下频数分布表和频数分布直方图的一部分．视力频数/人频率4.0≤x＜4.3200.14.3≤x＜4.6400.24.6≤x＜4.9700.354.9≤x＜5.2a0.35.2≤x＜5.510b(1)在频数分布表中，a＝_________，b＝_________；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)若视力在4.6以上(含4.6)均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．23．（10分）如图，在△ABC中，BD、CE分别为AC、AB边上的中线，BD、CE交于点H，点G、F分别为HC、HB的中点，连接AH、DE、EF、FG、GD，其中HA＝BC．（1）证明：四边形DEFG为菱形；（2）猜想当AC、AB满足怎样的数量关系时，四边形DEFG为正方形，并说明理由．24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，以AB为斜边作等腰直角△ABC，使点C落在第一象限，过点C作CD⊥AB于点D，作CE⊥x轴于点E，连接ED并延长交y轴于点F．（1）如图（1），点P为线段EF上一点，点Q为x轴上一点，求AP+PQ的最小值．（2）将直线l进行平移，记平移后的直线为l1，若直线l1与直线AC相交于点M，与y轴相交于点N，是否存在这样的点M、点N，使得△CMN为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．25．（12分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）填写下表：平均数

众数

中位数

方差

甲

8

8

0.4

乙

9

3.2

（2）教练根据这5次成绩，选择甲参加射击比赛，教练的理由是什么？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”或“不变”）．26．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适？为什么？（参考数据：三人成绩的方差分别为S甲2＝0.8、S乙2＝0.4、S丙2＝0.8）

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解题分析】

已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还要用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【题目详解】当50°是等腰三角形的顶角时，则底角为（180°﹣50°）×12=65当50°是底角时也可以．故选C．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．2、C【解题分析】试题分析：由平行四边形的性质容易得出结论．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO；故选C．3、A【解题分析】

判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【题目详解】分母中不含字母，不是分式；分母中含字母，是分式；分母中不含字母，不是分式；分母中不含字母，不是分式；故选A.【题目点拨】本题考查了分式的概念，熟练掌握分式的判断依据是解题的关键.4、C【解题分析】

分式的值为1，则分母不为1，分子为1．【题目详解】∵|x|﹣2＝1，∴x＝±2，当x＝2时，x﹣2＝1，分式无意义．当x＝﹣2时，x﹣2≠1，∴当x＝﹣2时分式的值是1．故选C．【题目点拨】分式是1的条件中特别需要注意的是分母不能是1，这是经常考查的知识点．5、B【解题分析】

连BD，BM，BM交AC于N′，根据正方形的性质得到B点与D点关于AC对称，则有N′D+N′M=BM，利用两点之间线段最短得到BM为DN+MN的最小值，然后根据勾股定理计算即可．【题目详解】连BD,BM,BM交AC于N′，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴B点与D点关于AC对称，∴N′D=N′B，∴N′D+N′M=BM，∴当N点运动到N′时，它到D点与M点的距离之和最小，最小距离等于MB的长，而BC=CD=6，DM=4，∴MC=2，∴BM=.故选：B.【题目点拨】此题考查轴对称-最短路线问题，勾股定理，正方形的性质，解题关键在于作辅助线.6、D【解题分析】

先根据平行四边形的性质得到∠C=70°，再根据DC=DB即可求∠CDB.【题目详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠C=∠A=70°，∵DC=DB，∴∠CDB=180°-2∠C=40°，故选D.【题目点拨】此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形对角相等.7、B【解题分析】

解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得ED=AD=5，在Rt△ECD中，ED1=EC1+CD1，即51=（5-EB）1+31，解得EB=1，如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得EB=AB=3，∵3-1=1，∴点E在BC边上可移动的最大距离为1．故选B．【题目点拨】本题考查翻折变换（折叠问题）．8、A【解题分析】

关键描述语为：提前4小时开通了列车；等量关系为：计划用的时间—实际用的时间.【题目详解】题中原计划修小时，实际修了小时，可列得方程.故选：.【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，从关键描述语找到等量关系是解决问题的关键.9、A【解题分析】

根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行可得CD∥y轴，再根据平行于y轴上的点的横坐标相同解答．【题目详解】如图，∵CD⊥x轴，∴CD∥y轴，∵点C的坐标是（1，-3），∴点D的横坐标为1，∵点D在x轴上，∴点D的纵坐标为0，∴点D的坐标为（1，0）．故选：A．【题目点拨】本题考查了坐标与图形性质，比较简单，作出图形更形象直观．10、B。【解题分析】一次函数图象与系数的关系。【分析】∵，∴∴的图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限。故选B。11、B【解题分析】

根据分式的定义进行判断；【题目详解】，，，，中分式有：，，共计3个.故选：B．【题目点拨】考查了分式的定义，解题关键抓住分式中分母含有字母．12、D【解题分析】

过点D作DH⊥OB于点H，如图，根据角平分线的性质可得DH=DP=4，再根据三角形的面积即可求出结果．【题目详解】解：过点D作DH⊥OB于点H，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH=DP=4，∴△ODQ的面积=．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了角平分线的性质，属于基本题型，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、90°【解题分析】

点E到边AD，AB，BC的距离相等，可知可知AE、BE分别为∠DAB、∠ABC的角平分线，然后根据角平分线的定义及三角形内角和求解即可.【题目详解】依题意，可知AE、BE分别为∠DAB、∠ABC的角平分线，又AD∥BC，所以，∠DAB＋∠CBA＝180°，所以，∠DAB＋∠CBA＝90°，即∠EAB＋∠EBA＝90°，所以，∠AEB＝90°.故答案为：90°.【题目点拨】本题考查了角平分线的判定，平行四边形的性质，三角形内角和等知识，证明AE、BE分别为∠DAB、∠ABC的角平分线是解答本题的关键.14、x≥﹣3【解题分析】

根据二次根式定义：被开放式大于等于零时根式有意义即可解题.【题目详解】解：∵有意义,∴x+3≥0,解得：x≥﹣3.【题目点拨】本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,熟悉二次根式的概念是解题关键.15、135【解题分析】试题分析：如图，连接EE′，∵将△ABE绕点B顺时针旋转30°到△CBE′的位置，AE=1，BE=3，CE=3，∴∠EBE′=30°，BE=BE′=3，AE=E′C=1．∴EE′=3，∠BE′E=45°．∵E′E3+E′C3=8+1=3，EC3=3．∴E′E3+E′C3=EC3．∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=30°．∴∠BE′C=135°．16、（3x＋1）2【解题分析】

原式利用完全平方公式分解即可．【题目详解】解：原式＝（3x＋1）2，故答案为：（3x＋1）2【题目点拨】此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17、【解题分析】

观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【题目详解】解：两边同时乘以得，，解得，，检验：当时，，不是原分式方程的解；当时，，是原分式方程的解．故答案为：．【题目点拨】本题考查了解分式方程：（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．18、m≥1【解题分析】

由分式方程的解为非负数得到关于m的不等式，进而求出m的范围即可．【题目详解】解：分式方程去分母得：m=x+1，

即x=m-1，

由分式方程的解为非负数，得到

m-1≥0，且m-1≠-1，

解得：m≥1，

故答案为m≥1．【题目点拨】本题考查了分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．三、解答题（共78分）19、（1），；（2）应定价2700元.【解题分析】

(1)销售利润=一台冰箱的利润×销售冰箱数量,一台冰箱的利润=售价-进价,降低售价的同时,销售量就会提高,“一减一加”;

(2)根据每台的盈利×销售的件数=5600元,即可列方程求解.【题目详解】解：（1）每台冰箱的销售利润为元，平均每天可销售冰箱台；（2）依题意，可列方程：解方程，得x1=120，x2=200因为要尽可能地清空冰箱库存，所以x=120舍去2900-200=2700元答：应定价2700元.点睛：本题考查了一元二次方程的应用，关键是会表示一台冰箱的利润，销售量增加的部分．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．20、【解题分析】

首先按照乘法分配律将原式变形，然后根据分式的基本性质进行约分，再去括号，合并同类项即可进行化简，然后将x的值代入化简后的式子中即可求解．【题目详解】原式=当时，原式．【题目点拨】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的基本性质是解题的关键．21、（1）BC=1；（2）四边形OBDA是平行四边形，见解析．【解题分析】

（1）理由待定系数法求出点D坐标即可解决问题；（2）四边形OBDA是平行四边形．想办法证明BD=OA=3即可解决问题.【题目详解】解：（1）当m=-2，n=1时，直线的解析式为y=-2x+1，当x=1时，y=-1，∴B（1，-1），∴BC=1．（2）结论：四边形OBDA是平行四边形．理由：如图，∵BD∥x轴，B（1，1-m），D（4，3+m），∴1-m=3+m，∴m=-1，∵B（1，m+n），∴m+n=1-m，∴n=3，∴直线y=-x+3，∴A（3，0），∴OA=3，BD=3，∴OA=BD，OA∥BD，∴四边形OBDA是平行四边形．【题目点拨】本题考查一次函数图象上点的特征，平行四边形的判断等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）60，0.2（2）见解析（3）70%【解题分析】

（1）依据总数=频数÷频率可求得总人数，然后依据频数=总数×频率，频率=频数÷总数求解即可；（2）依据（1）中结果补全统计图即可；（3）依据百分比=频数÷总数求解即可．【题目详解】解：(1)总人数=20÷0.1=1．∴a=1×0.3=60，b=1-0.1-0.2-0.35-0.3=0.2，故答案为60，0.2．（2）频数分布直方图如图所示，（3）视力正常的人数占被调查人数的百分比是×100%=70%．【题目点拨】本题考查了频数分布表和频数分布直方图的综合，解答此类题目，要善于发现二者之间的关联点，用频数分布表中某部分的频数除以它的频率求出样本容量，进而求解其它未知的量．23、（1）证明见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，证明见解析【解题分析】

（1）利用三角形中位线定理推知ED∥FG，ED＝FG，则由“对边平行且相等的四边形是平行四边形”证得四边形DEFG是平行四边形，同理得EF＝HA＝BC＝DE，可得结论；（2）AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，通过证明△DCB≌△EBC（SAS），得HC＝HB，证明对角线DF＝EG，可得结论．【题目详解】（1）证明：∵D、E分别为AC、AB的中点，∴ED∥BC，ED＝BC．同理FG∥BC，FG＝BC，∴ED∥FG，ED＝FG，∴四边形DEFG是平行四边形，∵AE＝BE，FH＝BF，∴EF＝HA，∵BC＝HA，∴EF＝BC＝DE，∴▱DEFG是菱形；（2）解：猜想：AC＝AB时，四边形DEFG为正方形，理由是：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵BD、CE分别为AC、AB边上的中线，∴CD＝AC，BE＝AB，∴CD＝BE，在△DCB和△EBC中，∵∴△DCB≌△EBC（SAS），∴∠DBC＝∠ECB，∴HC＝HB，∵点G、F分别为HC、HB的中点，∴HG＝HC，HF＝HB，∴GH＝HF，由（1）知：四边形DEFG是菱形，∴DF＝2FH，EG＝2GH，∴DF＝EG，∴四边形DEFG为正方形．故答案为（1）证明过程见解析；（2）当AC＝AB时，四边形DEFG为正方形.【题目点拨】本题考查了平行四边形、矩形的判定、菱形的判定、正方形的判定、三角形的中位线性质定理，三角形中线的性质及等腰三角形的性质，其中三角形的中位线的性质定理为证明线段相等和平行提供了依据．24、（1）AP+PQ的最小值为1；（2）存在，M点坐标为(﹣12，﹣1)或(12，8)．【解题分析】

（1）由直线解析式易求AB两点坐标，利用等腰直角△ABC构造K字形全等易得OE＝CE＝1，C点坐标为（1，1）DB＝∠CEB＝90，可知B、C、D、E四点共圆，由等腰直角△ABC可知∠CBD＝15，同弧所对圆周角相等可知∠CED＝15，所以∠OEF＝15，CE、OE是关于EF对称，作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于Q，AK⊥EC于K．把AP+PQ的最小值问题转化为垂线段最短解决问题．（2）由直线l与直线AC成15可知∠AMN＝15，由直线AC解析式可设M点坐标为（x，），N在y轴上，可设N（0，y）构造K字形全等即可求出M点坐标．【题目详解】解：（1）过A点作AK⊥CE，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90，AC＝BC，∵CE⊥x轴，∴∠ACK+∠ECB＝90，∠ECB+∠CBE＝90，∴∠ACK＝∠CBE在△AKC和△CEB中，，△AKC≌△CEB（AAS）∴AK＝CE，CK＝BE，∵四边形AOEK是矩形，∴AO＝EK＝BE，由直线l：y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，可知A点坐标为（0，2），B（6，0）∴E点坐标为（1，0），C点坐标为（1，1），∵∠CDB＝∠CEB＝90，∴B、C、D、E四点共圆，∵，∠CBA＝15，∴∠CED＝15，∴FE平分∠CEO，过P点作PH⊥CE于H，作PG⊥OE于G，过A点作AK⊥EC于K．∴PH＝PQ，∵PA+PQ＝PA+PH≥AK＝OE，∴OE＝1，∴AP+PQ≥1，∴AP+PQ的最小值为1．（2）∵A点坐标为（0，2），C点坐标为（1，1），设直线AC解析式为：y＝kx+b把（0，2），（1，1）代入得解得∴直线AC解析式为：y＝，设M点坐标为（x，），N坐标为（0，y）．∵MN∥AB，∠CAB＝15，∴∠CMN＝15，△CMN为等腰直角三角形有两种情况：Ⅰ．如解图2﹣1，∠MNC＝90，MN＝CN．同（1）理过N点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）理得：SN＝CR，MS＝NR．∴，解得：，∴M点坐标为（﹣12，﹣1）Ⅱ．如解图2﹣2，∠MNC＝90，MN＝CN．过C点构造利用等腰直角△MNC构造K字形全等，同（1）得：MS＝CF，CS＝FN．∴，解得：，∴M点坐标为（12，8）综上所述：使得△CMN为等腰直角三角形