北师大版数学七年级下册《期中考试卷》及答案

北师大版数学七年级下学期

期中测试卷

学校班级姓名成绩

一.选择题

1.下列各式运算正确的是()

A.3y3・5尸=匕严B.(ab5)2=ab10

C.(a3)2=(a2)3D.(-x)4«(-x)6=-x10

2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的有()

A.(xH—)(-x■—)B.(-2+m)(-m-2)

22

C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+y2)

3.如图，在下列给出的条件下，不能判定AB〃DF的是()

A.ZA+Z2=180°B,ZA=Z3C.Z1=Z4D.Z1=ZA

4.甲、乙两人同时从A地到B地，甲先骑自行车到达中点后改为步行，乙先步行到中点后改骑自行车.已知

甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同.则甲、乙两人所行的路程与所用时间的关系图正确的是

()(实线表示甲，虚线表示乙)

5.给出下列说法，正确的有().

(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

(2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交;

(3)相等的两个角是对顶角；

(4)在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补

A.0个B.1个C.2个D.3个

6.如图，已知/1=/2,AC=AD,增加下列条件：①AB=AE；②BC=ED；®ZC=ZD；(4)ZB=ZE.其中能

使AABC丝z^AED的条件有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

7.如图①,在边长为4cm正方形ABCD中，点P从点A出发,沿AB—BC的路径匀速运动,到点C停止.过

点P作PQ〃BD,PQ与边AD（或边CD）交于点Q,PQ的长度y（cm）与点P的运动时图象如图②所示.当P

运动2.5s时,PQ的长为（）

D.3也cm

8.如图，已知AB〃EG,BC〃DE,CD〃EF,则x、y、z三者之间的关系是（）

C.y-x=zD.y-x=x-z

填空题

9.计算（—8）2°”

10.有一个正方形花园，如果它的边长减少2米,那么花园面积将减小24平方米，请你求出原来花园的面积为

一平方米.

2米

・■-1

花园

2米：24平方米

11.若4f-（所1）◎+9y2是完全平方式，则a=.

12.如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分NBEF,AB〃CD.若Nl=74。,则N2的度数为

度.

13.如图，在aABC中，ZA=50°,NC=72。,BD是AABC的角平分线,DE是AB边上的高，NBDE的度数是

度.

14.一种树苗栽种时的高度为0cm,为研究它们的生长情况,测得数据如表;

栽种以后的

年

1234

数n/年

高度h/cm105130155180

则按照表中呈现规律，栽种年后，树苗能长到280cm.

15.如图，已知四边形ABCO中，AB=10厘米，BC=8厘米，C£>=12厘米，ZB=NC,点E为AB的中

点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运

动.当点Q的运动速度为_____厘米/秒时,能够使ABEP与ACPQ全等.

I)

A

三.解答题

16.尺规作图：如图，点P是△ABC内部一点，求作直线PQ〃BC（不写作法，保留作图痕迹）.

C

17.计算题

⑴(3舞)2(2凉)+卜9a如)

(2)(2a+")(Z?-24)-(a-3〃y

(3)(m-2n+3)(m+2n-3)

(4)20182-2017x2019(用乘法公式计算)

（5）化简求值：［（》+2»-（%+＞）（3尸丫）-5丁］+2%，其中x=-2,y=l.

18.完成推理填空：如图，已知AB〃CD,GH平分/AGM,MN平分NCMG,请说明GH_LMN的理由.

所以/AGF+=180°(),

因为GH平分/AGF,MN平分/CMG(),

所以Nl=—ZAGF,Z2=—ZCMG(),

22

得/1+N2=L(/AGF+NCMG)=,

2

所以GH±MN().

19.如图，已知CD±AB于点D,DE〃AC交BC点E,EF±AB于点F,DG〃BC交AC于点G,且NDEF=

NBEF,求证：ZGDC=ZGCD.

A

20.BD、CE分别是AABC的边AC、AB上的高,P在BD的延长线上，且BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,

求证：(1)AP=AQ；

(2)AP±AQ.

21.如图所示A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑

摩托车按同路从A地出发驶往B地.如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程

S与该日下午时间t之间的关系.

(1)甲乙两人中先出发,先出发小时.

(2)甲乙两人中,先到达B地,先到小时.

(3)分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度.

(4)乙出发大约用多长时间就追上甲？

22.对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式,例如图1可以得到

(a+b)2=a2+lab+h2,请解答下列问题:

(1)图2所表示的数学等式为；

⑵利用⑴得到的结论，解决问题：若。+人+。=12,。2+匕2+,2=60,求出?+公+征的值；

(3)如图3,将两个边长分别为。和〃正方形拼在一起，民C,。三点在同一直线上，连接AE,EG,若两正方

形的边长满足。+8=15,。。=35求阴影部分面积.

23.探索发现：如图是一种网红弹弓实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2,

弹弓的两边可看成是平行的，即AB〃CD.各活动小组探索/APC与NA,NC之间的数量关系.已知

AB〃CD,点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：ZAPC=ZA+ZC.

(1)请你按照智慧小组作的辅助线完成证明过程.

⑵①在图2中，猜测/APC与/A,ZC之间数量关系,并完成证明.

②如图3,已知AB〃CD,则角a、仇丫之间的数量关系为.(直接填空)

(3)善思小组提出：如图4,图5.AB〃CD,AF,CF分别平分NBAP,NDCP

①在图4中,猜测/AFC与/APC之间的数量关系,并证明.

②在图5中，/AFC与/APC之间的数量关系为.(直接填空)

答案与解析

一.选择题

1.下列各式运算正确的是()

A.3y3・5尸=匕产B.(ab5)』abi。

C.侬尸:侬尸D,(-x)%(-x)6=-xi。

［答案］C

［解析］

［分析］

根据同底数基的乘法、积的乘方法则以及塞的乘方法则进行计算即可.

［详解］A选项,3y3・5^=15丫7,故本选项错误：

B选项，(ab5『=a2bw,故本选项错误；

C选项，)，故本选项正确；

D选项，(7)4・(7)6=/),故本选项错误；

故选：C.

［点睛］此题主要考查同底数事的乘法、积的乘方以及事的乘方,熟练掌握运算法则，即可解题.

2.下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的有()

A.(x+—)(-x--)B.(-2+m)(-m-2)

22

C.(-a+b)(a-b)D.(x2-y)(x+_/)

［答案］B

［解析］

分析］

根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数,即可得出答案.

［详解］A、原式=-(x+；)(x+；),只有相同项,没有相反项,无法运用平方差公式计算,故本选项错误；

B、(-2+m)(-m-2),m与-m互为相反数,-2与-2相等，故能进行平方差公式计算，故此选项正确；

C、(-a+b)(a-b),-a与a,b与-b都为互为相反数,故无法进行平方差公式计算,故此选项错误；

D、(x2-y)(x+y2),此题中没有互为相反数的项,故无法进行平方差公式计算,故此选项错误.

故选:B.

［点睛］此题考查平方差公式,根据组成平方差公式的前提是两式必须一项相同，另一项互为相反数是解题的

关键.

3.如图，在下列给出的条件下，不能判定AB〃DF的是()

［答案］D

［解析］

［分析］

根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可.

［详解］A、：/人+/2=180°，,AB〃DF,故本选项错误;

B、；NA=N3,，AB〃DF,故本选项错误；

C、：Nl=/4,；.AB〃DF,故本选项错误；

D、=.♦.AC〃DE,故本选项正确.

故选：D.

［点睛］点评：本题考查的是平行线的判定,熟知平行线的判定定理是解答此题的关键.

4.甲、乙两人同时从A地到B地，甲先骑自行车到达中点后改为步行，乙先步行到中点后改骑自行车.已知

甲、乙两人骑车的速度和步行的速度分别相同.则甲、乙两人所行的路程与所用时间的关系图正确的是

()(实线表示甲，虚线表示乙)

［答案］D

［解析］

根据题意可得：甲先骑自行车到达中点后改为步行，即先快后慢；乙先步行到中点后改骑自行车，即先慢后

快.故选D.

5.给出下列说法，正确的有().

(1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

(2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交；

(3)相等的两个角是对顶角；

(4)在同一平面内，若两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补

A.0个B.1个C.2个D.3个

［答案］C

［解析］

［分析］

(1)根据平行线的性质即可判断：

(2)根据两条直线的位置关系即可判断；

(3)根据对顶角的定义即可判断；

(4)根据平行线的性质即可判断.

［详解］(1)两条直线被第三条直线所截,同位角相等；这种说法错误,前提条件是两条直线平行.

(2)平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交,则它与另一条也相交；这种说法正确.

(3)相等的两个角是对顶角；这种说法错误，相等的角不一定是对顶角.

(4)在同一平面内，若两个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补,这种说法正确.

故选：C

［点睛］本题考查了平行线的性质，对顶角的定义、两条直线位置关系、补角的定义.

6.如图，已知N1=N2,AC=AD,增加下列条件:①AB=AE；②BC=ED；③NC=ND；@ZB=ZE.其中能

使AABC丝4AED的条件有()

A.4个B.3个C.2个D.1个

［答案］B

［解析］

［分析］

先由Nl=/2得到NCAB=/DAE,然后分别利用“SAS”、“ASA”和“AAS”对各添加的条件进行判断.

［详解］解：；/1=N2,

.\ZCAB=ZDAE,

VAC=AD,

.•.当AB=AE时，可根据“SAS”判断AABC也4AED；

当BC=ED时，不能判断AABC丝ZXAED；

当/C=/D时,可根据“ASA”判断△ABCg4AED；

当/B=NE时,可根据“AAS”判断△ABCZ4AED.

故选:B.

［点睛］本题考查了全等三角形的判定：三条边分别对应相等的两个三角形全等；两边及其夹角分别对应相等

的两个三角形全等；两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等；两角及其中一个角的对边对应相等的

两个三角形全等.

7.如图①,在边长为4cm正方形ABCD中，点P从点A出发,沿AB-BC的路径匀速运动,到点C停止.过

点P作PQ〃BD,PQ与边AD（或边CD）交于点Q,PQ的长度y（cm）与点P的运动时图象如图②所示.当P

运动2.5s时,PQ的长为（）

A.5叵cmB.也cmC.472cmD.372cm

［答案］D

［解析］

［分析］

根据图象知：P点运动2s时,PQ与BD重合,得出P点运动速度是2cm/s,从而得出当P运动2.5s时,P点运

动的路程是5cm,此时P在BC边上,CP,为3cm,从而计算PQ的长度.

［详解］解：由②知：P点运动2s时,PQ与BD重合，且四边形ABCD的边长为4cm

；.P点运动速度是2cm/s

当P运动2.5s时,P点运动的路程是5cm，此时P在BC边上

/.CPi=3cm

又：PQ〃BD

/.CQi=3cm

Eg=A/32+32=30cm

故答案为：D

图①

［点睛］本题考查动点的函数图象问题,结合图形与图象获取P的运动速度是解题关键.

8.如图，已知AB〃EG,BC〃DE,CD〃EF,则x、y、z三者之间的关系是（）

A.x+y+z=180°B.x-z=yC.y-x=zD.y-x=x-z

［答案］B

1解析］

［分析］

延长AB交DE于H,依据平行线的性质，即可得到NABC=/DEG,即x=z+y,进而得到x-z=y.

［详解］如图所示,延长AB交DE于H,

VBC/7DE,

，/ABC=NAHE=x,

：CD〃EF,AB//EG,

ZD=ZDEF=z,NAHE=NDEG=z+y,

NABC=NDEG,即x=z+y,

..x-z=y,

故选：B.

［点睛］此题考查平行线的性质,解题关键是掌握平行线性质定理：两直线平行，内错角相等.

填空题

(1\2012

9.计算(—8)如,x(-l)20'2

［答案］一三

O

［解析］

［分析］

通过积的乘方公式的逆用："少=卜活)"，将指数变成相同，再进行计算即可.

/1\2012\2011「-)2011.

［详解］解：(-8)2011x|-x(-l)2012=(-8)201'x|-x-xl=(-8)x-x-=——

181\8J88_88

故答案为：—。

8

［点睛］本题考查积乘方公式的逆用，掌握将指数化为相同再运用公式是解题关键.

10.有一个正方形花园，如果它的边长减少2米,那么花园面积将减小24平方米，请你求出原来花园的面积为

.平方米.

［答案］49

［解析］

［分析］

设原来正方形共园的边长为x米,根据正方形的面积公式结合题意可得关于x的方程,解方程即可求得答案.

［详解］设原来正方形花园的边长为X米,则有

(x-2)2=x2-24,

解得:x=7,

所以原正方形花园的面积为72=49平方米，

故答案为49.

［点睛］本题考查了完全平方公式的应用，弄清题意,找准等量关系列出方程是解题的关键.

11.若孙+9丁是完全平方式，则a=.

［答案］13或-11

［解析］

［分析］

根据完全平方公式：。2±2,力+。2=(0±与2进行分类讨论即可.

［详解］解：；4x2—(a—l)Ay+9y2=(2x)2—(a—l)xy+(3y)2

/.-(a-l)xy=±2x2xx3^

—(a—1)=±12解得：ci=13,a=—11

故答案为：13或-11.

［点睛］本题考查完全平方公式参数问题,掌握完全平方公式的展开特点与分类讨论是解题关键.

12.如图，直线EF分别交AB、CD于点E、F,EG平分NBEF,AB〃CD.若N1=74。,则/2的度数为一

度.

A/B

［答案］53°

［解析］

［分析］

根据AB〃CD,Nl=74。得出再根据EG平分NBEF得出NBEG=工NBFE,从而计算N2.

2

［详解］解：VAB/7CD./1=74。

...ZB£F=180°-74°=106°(两直线平行，同旁内角互补)

又：EG平分/BEF

/BEG==4BFE=53。

2

/.N2=ZBEG=53。(两直线平行，内错角相等)

故答案为：53°.

［点睛］本题考查平行线和角平分线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补、内错角相等是解题关键.

13.如图，在aABC中，ZA=50°,/C=72。,BD是AABC的角平分线,DE是AB边上的高，/BDE的度数是

［答案］61°

［解析］

［分析］

先根据/A=50。，/C=72。计算出NABC的度数，再根据BD是4ABC的角平分线得出

再根据DE是AB边上的高从而求算/BDE.

2

［详解］解：VZA=50°,ZC=72°

ZABC=180°-50°-72°=58°

又：BD是4ABC的角平分线

ZDBA^-ZCBA=29°

2

又：DE是AB边上的高

...ZBZ)E=180°—90°—29°=61°

故答案为：61°.

［点睛］本题考查三角形内角和、角平分线的性质、三角形高的定义.转化相关的角度是解题关键.

14.一种树苗栽种时的高度为0cm,为研究它们的生长情况，测得数据如表；

栽种以后的

年

1234

数n/年

高度h/cm105130155180

则按照表中呈现规律，栽种年后，树苗能长到280cm.

［答案］8.

［解析］

［分析］

根据表格寻找规律:每过一年,树高度增加25cm,从而寻找树苗高度h与栽种的年数n之间的关系,再进行求

解.

［详解］解：根据题意和表中的数据可知：树苗高度h与栽种的年数n之间的关系式为：0=80+25〃

.•.当280时，代入得：〃=8

故栽种8年后,树苗能长到280cm

故答案为：8.

［点睛］本题考查规律问题,正确寻找出树苗高度h与栽种的年数n之间的关系是解题关键.

15.如图，已知四边形A3CO中，AB=10厘米，8c=8厘米，8=12厘米，ZB=NC,点E为A3的中

点.如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运

动.当点。的运动速度为厘米/秒时,能够使ABEP与gCPQ全等.

［解析］

［分析］

分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度.

［详解］解：设点P运动的时间为t秒,则BP=3t,CP=8-3t,

;点E为AB的中点，43=10厘米，

；.AE=BE=5厘米，

VZB-ZC,

①当BE=CP=5,BP=CQ时，△8「£与4CQP全等，

此时,5=8-3t,

解得t=l,

/.BP=CQ=3,

此时，点Q的运动速度为37=3厘米/秒；

②当BE=CQ=5,BP=CP时,△BPE与小CQP全等，

此时，3t=8-3t,

4

解得t二；,

3

，点Q的运动速度为

415

5：—=—厘米/秒；

34

故答案为：3厘米/秒或竺厘米/秒.

4

［点睛］本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等.

三.解答题

16.尺规作图：如图，点P是△ABC内部一点，求作直线PQ〃BC（不写作法，保留作图痕迹）.

［答案1见解析

［解析］

［分析］

过P作BC的垂线，已P为圆心,PC为半径作圆，延长CP交圆于D,分别已C、D为圆心大于PC的长作半径

交于Q点，连接PQ即可.

［详解］解：如图

［点睛］本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的

性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作

图拆解成基本作图，逐步操作.

17.计算题

⑴卜3a2“（2加）+卜9。号）

⑵（2a+0）（0-2a）-（a-3。）-

(3)(m-2n+3)(m+2n-3)

(4)20182-2017x2019(用乘法公式计算)

(5)化简求值：［(x+2y)2-(x+y)(3x-y)-5y2］+2x,其中x=-2,y=1.

［答案］⑴一2。/；⑵-5a2_86+6"；⑶加2一4〃2+12“一9；(4)1；(5)3.

［解析］

［分析］

(1)先将积的乘方计算,再计算单项式的乘除法；

(2)先分别计算平方差和完全平方公式,再合并同类项；

(3)将式子整理成平方差公式的一般形式,再进行计算；

(4)将2017x2019变为(2018-1)(2018+1),再利用平方差公式计算；

(5)利用完全平方公式、多项式乘以多项式、多项式除以单项式先将式子化简，再求值.

［详解］解:⑴原式=9。方x(2加))

=lSa5b4^(-9ab2)

=-2ab2

(2)原式=(h+2a)(b—2a)—(a—3b)~

=b2-4a2-(a2-6ab+9b2)

=b2-4a2-a2+6ab-9b2

=—5ci~-Sh~+6cib

⑶原式=［加一(2〃一3)］+(2〃-3)］

=m2—(2n—3)*"

=rrr-4/72+12H-9

⑷原式=2018?—(2018—1)(2018+1)

=20182-(20182-l)

⑸原式=［f+4盯+4y2_(3%2+2孙_y2)_5y2卜2x

—(-2x~+2>^y)+2%

=-%+>

将x=-2,y=l代入：

原式=3

［点睛］本题考查单项式乘除法、平方差公式、完全平方公式以及整式的化简求值，掌握相关的公式以及运算

法则是解题关键.

18.完成推理填空：如图，已知AB〃CD,GH平分/AGM,MN平分NCMG,请说明GH_LMN的理由.

所以ZAGF+=180°(),

因为GH平分NAGF,MN平分NCMG(),

所以Nl=—ZAGF,Z2=—ZCMG(),

22

得/1+/2=工(NAGF+/CMG)=,

2

所以GH1MN().

［答案］/CMG；两直线平行，同旁内角互补；已知；角平分线的定义；90°；垂直的定义.

［解析］

分析］

根据平行线的性质(两直线平行，同旁内角互补)、以及角平分线的定义去转化角度即可.

［详解］解：因为AB〃CD(已知)，

所以NAGF+NCMG=180°(两直线平行，同旁内角互补),

因为GH平分NAGF,MN平分NCMG(已知),

所以Nl='NAGF,/2=!NCMG(角平分线的定义),

22---------------------------------

得/1+/2=工(NAGF+/CMG)=90°,

2

所以GH_LMN(垂直的定义).

［点睛］本题考查平行线的性质以及角平分线的定义.掌握两直线平行，同旁内角互补是解题关键.

19.如图，已知CD±AB于点D,DE〃AC交BC点E,EF±AB于点F,DG〃BC交AC于点G,且NDEF=

NBEF,求证：ZGDC=ZGCD.

［答案1见解析

［解析］

［分析］

依据CD_LAB,EF1AB,即可得出CD〃EF,进而得到N1=/DEF,Z2=ZBEF,再根据NDEF=NBEF,即可得

出N1=N2,依据平行线的性质，即可得到N1=/GCD,Z2=ZGDC,等量代换可得NGDC=NGCD.

［详解］证明：VCD±AB,EF1AB,

；.CD〃EF,

N1=NDEF,Z2=ZBEF,

又：NDEF=NBEF,

；・Nl=/2,

VDE/7AC,DG〃BC,

AZ1=ZGCD,Z2=ZGDC,

，ZGDC=ZGCD.

［点睛］此题考查平行线的性质，解题关键在于掌握两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.

20.BD、CE分别是AABC的边AC、AB上的高,P在BD的延长线上，且BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB,

p

BC

求证：（1）AP=AQ；

（2）AP±AQ.

［答案］详见解析

［解析］

［分析］

（1）由于BD±AC,CE1AB,可得/ABD=NACE,又有对应边的关系,进而得出△ABPgZ\QCA;

⑵在⑴的基础上，证明/PAQ=90。即可.

［详解］解：（1）：BD_LAC,CE_LAB（已知），

ZBEC=ZBDC=90°,ZABD+ZBAC=90°,ZACE+ZBAC=90°

ZABD=ZACE

在AABP和AQCA中

［BP=AC

••1—iBD--ICE

.,.△ABP^AQCA（SAS）

；.AP=AQ

（2）由（1）可得NCAQ=/P

：BD_LAC（已知），即/P+NCAP=90。

ZCAQ+ZCAP=90°,

即ZQAP=90°,

AAP±AQ

考点：全等三角形的判定与性质.

21.如图所示A、B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑

摩托车按同路从A地出发驶往B地.如图所示，图中的折线PQR和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程

S与该日下午时间t之间的关系.

（D甲乙两人中,先出发，先出发小时.

(2)甲乙两人中先到达B地,先到小时.

(3)分别求出乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度.

(4)乙出发大约用多长时间就追上甲？

［答案］(1)甲，1;(2)乙,2；(3)摩托车的速度为50千米〃卜时，甲骑自行车在全程的平均速度是12.5千米/小时;

(4)0.5小时.

［解析］

［分析］

(I)根据函数图象和题意可以解答本题：

(2)根据函数图象可以得到甲和乙哪一个先到达B地，先到多长时间；

(3)根据函数图象中的数据可以分别求得乙骑摩托车的速度和甲骑自行车在全程的平均速度；

(4)根据函数图象中的数据可以计算出乙出发大约用多长时间就追上甲.

［详解］解：(1)由图可知，

甲先出发,先出发2-1=1小时；

(2)由图可知，乙先到达B地,先到5-3=2小时;

(3)摩托车速度为：50X3-2)=50千米/小时，甲骑自行车在全程的平均速度是：50X5-1)=12.5千米/小时；

(4)设乙出发大约x小时就追上甲，

20+((50-20)-?(5-2)］x=50x,

解得,x=0.5

答：乙出发大约0.5小时就追上甲.

［点睛］此题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用数形结合的思想解

答.

22.对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如图1可以得到

(a+h)2=a2+lab+〃，请解答下列问题：

(1)图2所表示的数学等式为；

⑵利用⑴得到的结论，解决问题：若。+人+。=12,。2+匕2+,2=60,求出?+公+征的值；

(3)如图3,将两个边长分别为〃和b的正方形拼在一起，8,C,。三点在同一直线上,连接AE,EG,若两正方

形的边长满足。+8=15,次?=35求阴影部分面积.

［答案］⑴(a+6+c)2=a2+/；2+c2+2"+2历+2ac；(2)42：⑶S阴影=95

［解析］

［分析］

(1)根据面积的不同求解方法,可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积,另

一种是大正方形的面积，可得等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)利用(1)中的乘法公式,进行变形得出答案即可；

(3)利用S阴所:正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积-三角形EGF的面积-三角形AED的面积求解.

［详解］(1)由图可得，(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

故答案为：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；

(2)由(1)可得：ab+bc+ac=J［(a+b+c)2-(a2+b2+c2)］=；［122-60］=42；

(3)S阴影=@2+b2——(a-b)a--b2

=a2+b2---a2H-ab---b2

222

(a2+b2+ab)

［(a+b)2-ab］

=；1152-35］

=95.

［点睛］此题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一

图形的面积.

23.探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2,

弹弓的两边可看成是平行的，即AB〃CD.各活动小组探索/APC与NA,/C之间的数量关系.已知

AB〃CD,点P不在直线AB和直线CD上，在图1中，智慧小组发现：NAPC=/A+/C.

(1)请你按照智慧小组作的辅助线完成证明过程.

(2)①在图2中，猜测/APC与/A,ZC之间的数量关系,并完成证明.

②如图3,已知AB〃CD,则角a、伉丫之间的数量关系为.(直接填空)

(3)善思小组提出：如图4,图5.AB〃CD,AF,CF分别平分NBAP,/DCP

①在图4中,猜测NAFC与NAPC之间的数量关系，并证明.

②在图5中，/AFC与/APC之间的数量关系为.(直接填空)

［答案I⑴见解析；⑵①/APC+NA+/C=360。；理由见解析；②01+供尸180。；理由见解析；

(3)①/AFC=；NAPC；理由见解析；②/AFC=180。-JNAPC；理由见解析；

［解析］

［分析］

探索发现：由平行线的性质得出NAPQ=NA,由PQ〃AB,AB〃CD,推出PQ〃CD,得出NAPQ=NC,推出

ZAPQ+ZCPQ=ZA+ZC,即可得出结论：

类比思考①过点P作PQ〃AB,延长BA至I」M,延长DC至ljN,由平行线的性质得出/APQ=/PAM,由

PQ〃AB,AB〃CD,推出PQ〃CD,得出NAPQ=NPCN,则NAPQ+NCPQ+NPAB+NPCD=360。，即可得出结

果；

②过点M作MQZ/AB,由平行线的性质得出a+/QMA=180。，由MQ〃AB,AB〃CD,推出MQ〃CD,得出

ZQMD=y,即可得出结果；

解决问题①过点P作PQ〃AB,过点F作FM〃AB,由平行线的性质得出/APQ=/BAP,NAFM=NBAF,由

角平分线的性质得出NBAF=NPAF,即/AFM=yZBAP,由PQ〃AB,FM〃AB,AB〃CD,推出

PQ〃CD,FM〃CD,得出ZCPQ=ZDCP,ZCFM=ZDCF,由角平分线的性质得出ZDCF=ZPCF,即

ZCFM=—ZDCP,推出/APC=/BAP+/DCP,ZAFC=—(ZBAP+ZDCP),即可得出结果；