新教材选择性5.3.2极大值与极小值课件（22张）

5.3.2极大值与极小值学习目标1.借助函数的图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.通过极值与极值点概念的学习提升数学抽象的核心素养,借助函数极值的求法

提升逻辑推理、数学运算的核心素养.

1|函数极值、极值点的概念一般地,若存在δ>0,当x∈(x1-δ,x1+δ)时,都有①

f(x)≤f(x1)

,则称f(x1)为函数f(x)的

一个极大值,称x1为函数f(x)的一个极大值点.

一般地,若存在δ>0,当x∈(x2-δ,x2+δ)时,都有②

f(x)≥f(x2)

,则称f(x2)为函数f(x)的

一个极小值,称x2为函数f(x)的一个极小值点.函数的极大值、极小值统称为函数的极值,函数的极大值点、极小值点统称为函

数的极值点.2|函数的极值与导数的关系xx1左侧x1x1右侧f'(x)③

f'(x)>0

f'(x)=0④

f'(x)<0

f(x)↗极大值f(x1)↘xx2左侧x2x2右侧f'(x)⑤

f'(x)<0

f'(x)=0⑥

f'(x)>0

f(x)↘极小值f(x2)↗3|可导函数在某点处取得极值的必要条件与充分条件 可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的必要条件是f'(x0)=0.可导函数y=f(x)在x=x0处取得极值的充分条件是f'(x)在x=x0两侧的附近区域内异

号.

判断正误,正确的画“√”,错误的画“✕”.M的速度v与时间t的函数关系式为v(t)=3t,则函数v(t)没有极值.

(√)提示:函数v(t)=3t在其定义域内单调递增,故v(t)无极值.q(单位:C)关于时间t(单位:s)的函数为q=2t2+3t,则此函数无极

大值.

(√)提示:此函数为图象开口向上的二次函数,故只有极小值,无极大值.3.函数的极大值一定大于极小值.

(

✕)提示:极值是函数的局部性质,若极大值和极小值不相邻,则极大值不一定大于极

小值.4.在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.

(√)提示:由极值的概念可知,可导函数在极值点x=x0处的切线的斜率k=f'(x0)=0,所以

切线与x轴平行或重合.f(x)在(a,b)内有极值,则f(x)在(a,b)内一定不单调.

(√)提示:根据极值的概念,极值点两边导数不同号,所以函数不单调.

1|利用导数解决函数的极值问题情境“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”说的是庐山的高低起伏,错落有致.

在群山之中,各个山峰的顶端,虽然不一定是群山的最高处,但它却是其附近的最

高点.那么,在数学上,这种现象如何来刻画呢?1.函数的极大(小)值是不是函数在定义域中的最大(小)值呢?提示:极值是一个局部概念,由概念知极值只是某个点的函数值与它附近点的函

数值比较是大或小,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.2.函数的极大(小)值是不是唯一的?提示:函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或其定义域内的极大值或

极小值可以不止一个.3.函数的极大值是否一定大于函数的极小值?提示:一个函数的极大值未必大于其极小值,如图所示,x1是函数f(x)的极大值点,x4

是函数f(x)的极小值点,但f(x1)<f(x4),因此函数的极大值与极小值之间无确定的大

小关系.f(x)的极值的步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求函数的导数f'(x);(3)令f'(x)=0,求出此方程全部的根;(4)列表:方程的根将整个定义域划分成若干个区间(如果根中含有参数,则需根据

参数的范围分类划分区间),把x,f'(x),f(x)在每个区间内的变化情况列在一个表格

内;(5)判断得结论:若导数在根x0附近左正右负,则函数在x0处取得极大值;若左负右

正,则取得极小值.2.有关含参函数的极值问题,一般有两类:(1)求含参函数的极值,要根据f'(x

以下几个方面:①方程f'(x)=0有无实数根;②方程f'(x)=0的实数根是否在定义域内;③方程f'(x)=0的实数根之间的大小.进而列表得到函数的极值.(2)由极值求参数的值或取值范围,解题的切入点是极值存在的条件:极值点处的

导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下:①求函数的导函数f'(x);②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数.注意:求出参数后,一定要验证是否满足题目的条件.

(2020江苏扬州部分高中高二下期中联考)已知函数f(x)=x-alnx(a∈R).(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极值.思路点拨(1)求f'(x)

求切线的斜率k

由点斜式得切线方程.(2)对a分类讨论

确定f'(x)的符号

结合f(x)的单调性写出其极值.解析

(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).当a=2时,f(x)=x-2lnx,f'(x)=1-

(x>0),因为f(1)=1,f'(1)=-1,所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.(2)f'(x)=1-

=

,x>0,故①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值.②当a>0时,令f'(x)=0,解得x=a,当x∈(0,a)时,f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f'(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.综上,当a≤0时,函数f(x)无极值;当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-alna,无极大值.

求函数的极值时的注意事项:(1)要注意运用分类讨论思想和数形结合思想;(2)区间内的单调函数没有极值;(3)导数为零的点不一定是极值点.(2)(2020江苏淮安六校联盟高三三模)若函数f(x)=

在区间(0,2)上有极值,则实数a的取值范围为

.思路点拨(1)由题意知f'(1)=0且f(1)=10,由此可求得a,b,注意检验极值的存在条件.(2)f(x)在(0,2)内有极值,等价于f'(x)=0在(0,2)内有实根.解析

(1)因为f(x)=x3+ax2+bx+a2,所以f'(x)=3x2+2ax+b,x∈R,又函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极小值10,所以f'(1)=3+2a+b=0且f(1)=1+a+b+a2=10,解得a=4,b=-11或a=-3,b=3.当a=4,b=-11时,f'(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),此时x=1是函数f(x)的极小值点;当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2,此时x=1不是函数的极小值点,舍去,∴a=4,b=-11,∴a+b=-7.(2)由f(x)=

得f'(x)=-

,x∈R.当x>a+1时,f'(x)<0,所以函数f(x)单调递减;当x<a+1时,f'(x)>0,所以函数f(x)单调递增,要使函数f(x)=

在区间(0,2)上有极值,只需0<a+1<2,即-1<a<1,所以实数a的取值范围为(-1,1).答案(1)-7(2)(-1,1)

解决利用极值求函数中的参数问题时,要注意f'(x0)=0是x0为极值点的必要不充分

条件,由f'(1)=0及f(1)=10求出a,b的值后,注意检验极值的存在条件,防止漏掉检验

导致解题错误.2|利用函数的极值解决函数的综合问题

比较复杂的函数的综合问题,常常在高考压轴题中出现,涉及函数的图象与

合问题时,可通过极值的正用和逆用、分类讨论、数形结合等思想方法,进行有

方法.

(2021江苏连云港高三上期中调研)已知函数f(x)=

+x+lnx-3,a∈R.(1)当a=2时,求函数f(x)的极值;(2)求函数f(x)的零点个数.思路点拨(1)求导,根据函数的单调性可得极值.(2)令f(x)=0,分离参数得a=3x-xlnx-x2,令g(x)=3x-xlnx-x2,利用导数判断g(x)的单调

性,进而画出图象,结合图象求解.解析

(1)当a=2时,f(x)=

+x+lnx-3(x>0),f'(x)=-

+1+

=

=

,令f'(x)>0,得x>1,令f'(x)<0,得0<x<1,所以f(x)在x=1处取得极小值,极小值为f(1)=2+1-3=0,无极大值.(2)令f(x)=

+x+lnx-3=0,得a=3x-xlnx-x2,设g(x)=3x-xlnx-x2(x>0),则g'(x)=2-lnx-2x,设M(x)=2-lnx-2x(x>0),则M'(x)=-

-2<0,所以M(x)在(0,+∞)上单调递减,即g'(x)在(0,+∞)上是减函数,令g'(x)=0,得x=1,所以在x∈(0,1)上有g'(x)>0,在x∈(1,+∞)上有g'(x)<0,所以g(x)在x=1处取得极大值,极大值为g(1)=3-1=2,当x→0时,g(x)→0,当x→+∞时,

g(x)→-∞,所以g(x)的图象如图所示:

由图象知,当a=2或a≤0时,g(x)的图象与直线y=a有一个交点,即函数f(x)的零点个

数为1,当a∈(0,2)时,g(x)的图象与直线y=a有两个交点,即函数f(x)的零点个数为2;当