初中数学正弦综合强化练习4

初中数学正弦综合强化练习4

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一、单选题

1.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边0A在x轴上，点A(10,0),

则人的值等于()

D.50

2.如图，AABC的顶点是正方形网格的格点，贝Isin8的值为()

3.如果放AABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的正弦、余弦值是

()

A.都扩大为原来的3倍B,都缩小为原来的;

C.没有变化D.不能确定

4.如图，在RQABC中，CD是斜边4B上的高,44二45。，则下列比值中不等于

sinA的是()

ACDnBD「CBcCD

A.B.C.D.

ACCBABCB

5.如图，在四边形ABC。中，E,尸分别是AB,AO的中点，若

EF=2、BC=5,CD=3,则$inC等于()

D

E

-------

6.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BC=4,AC=3,则sin6=()

B

7.如图，正方形ABCD和正△AEF都内接于。O,EF与BC、CD分别相交于点G、

H,则笑的值是（）

E。・

YD

A.理B.V2C.73D.2

2

8.如图，AABC的三个顶点都在边长为1的格点图上，则sinA的值为（）

A

//

//

//B

/

C

A"B'f。.竽D.1

二、填空题

9.如图，在圆内接四边形ABC。中，若/80£>=NA,贝ijsinC=

B.

O

10.如图所示，Z4O8是放置在正方形网格中的一个角，则sinNAOB的值是

11.在中，ZC=90°,AC=5£,AB=10,则/8=.

12.如图，。。是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F,G,H,ED与。。相交

于点M,则sin/MFG的值为.

13.如图1,E为矩形ABCQ边AO上的一点，点P从点B沿折线8E--OC运动

到点C时停止.点。从点B沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是

2cm/s.若P、。同时开始运动，设运动时间为/（s）,的面积为），（cn?）,已知

y与，的函数关系图象如图2,则sinNEBC=

4

垂足为点£1.若sin/ADEug,4)=4,则

A8的长为.

D

15.如图，在矩形ABC。中，AB=3,BC=4,点尸是A£＞边上一点，BP平分

NDBA.贝UsinNDBP的值是.

16.如图，中，ZACB=90°,。是AC上一点，连接BO,将AABC沿BD翻

4

折，点C落在A3边的点C'处，连接CC'.若45=15,sinA=-,则CC'长.

三、解答题

17.如图，。。过口ABC。的顶点A,D,C,边AB与。。相切于点A,边8c与。。相

交于点H.

⑴求证：AB=AH,

Q

(2)若40=J万，sin/B4H=—.求。。的半径.

18.如图，已知。。的半径OC垂直于弦4B,点P在。C的延长线上，AC平分

ZPAB.

(1)求证：出是。。的切线；

3

⑵若必=20,sinP=-,求PC.

19.如图是某飞机模型的示意图，其中4E为固定支架，机身C。可以绕点E旋转调节

摆放角度.经测量，支架AE的长为30cm,旋转点E到机头。的距离为40cm,且支

架AE与底座AB的夹角/BAE=70。.己知当与底座A2的夹角为30。时，模型摆放

最稳定，求此时机头。到底座48的距离.(结果精确到1cm,参考数

据：sin70cM).94,cos70°~0.34,tan70°~2.75,据H.73,底座厚度忽略不计)

4

20.在“LBC中，NC=90。，sinA=-,8c=20,求AABC的周长和面积.

21.如图，已知A8是圆。直径，过圆上点C作C£>J_A8,垂足为点D连结OC,

过点B作8E〃OC,交圆。于点E,连结AE,CE,BD=\,AB=6.

(1)求sin/ABE的值.

(2)求CE的长.

22.如图，四边形ABCZ)中，对角线AC,BO有交点，且NABC+/4OC=90。.点E

与点C在B£>同侧，连接BE,CE,DE,若AABDsMBE.

(1)求证：DCA.CE；

(2)若黑=初。=20山8=33,求ABDE的面积

oCo1O

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

由菱形的性质和锐角三角函数可求点C(6,8),将点C坐标代入解析式可求k的值.

【详解】

解：如图，过点C作CELQ4于点E,

••,菱形0ABe的边。4在x轴上，点4(10,0),

**•OC=OA=10,

4CF

VsinZCOA=-=—.

5OC

ACE=8,

OE=>/CO2-CE2=6

.•.点C坐标(6,8)

；若反比例函数y="(氏>0,x>0)经过点C,

X

/.Z=6x8=48

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数性质，反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，锐角三角函

数，关键是求出点C坐标.

2.B

【解析】

【分析】

根据勾股定理列式求出AB,再根据锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解.

【详解】

答案第1页，共21页

解：由勾股定理得，AB=V32+32=372，

所以，sinB=-^j==与.

故选：B.

【点睛】

本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦

为邻边比斜边，正切为对边比邻边.

3.C

【解析】

【分析】

根据相似三角形的判定定理、正弦、余弦的概念解答.

【详解】

三角形各边长度都扩大为原来的3倍，

，得到的三角形与原三角形相似，

，锐角A的大小不变，

锐角A的正弦、余弦值不变，

故选：C.

【点睛】

三角形的形状没有改变，边的比值没有发生变化.

4.D

【解析】

【分析】

利用锐角三角函数定义判断即可.

【详解】

在MAA8C中，sinA=—,

AB

CD

在RtAACD中，sinA=——，

AC

vZA+ZB=90°,ZB+NBCD=90。,

:.乙\=4BCD,

在RtABCD中,sin/BCD=sinA=,

BC

答案第2页，共21页

故选：D.

【点睛】

此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键.

5.C

【解析】

【分析】

连接80,根据三角形中位线定理求出E凡根据勾股定理的逆定理得到NBOC=90。，根据

正弦的定义计算即可.

【详解】

连接8。，

尸分别是的中点,

EF=-BD,

2

,/EF=2,

：.BD=2EF=4,

又：BC=5,CD=3,

/.BD-+CD1=BC2,

...△8CC是直角三角形，ZBZX7=90°,

..一BD_4

・・sinC=-=—.

BC5

故选：C.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形

的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键.

6.A

【解析】

【分析】

答案第3页，共21页

先利用勾股定理求出斜边AB,再求出sinB即可.

【详解】

.在RtAABC中，/C=90。，BC=4,AC=3,

•*,AB=VBC2+AC2=5/3?+4。=5，

.._AC3

・•sinBa=-----=-.

AB5

故答案为A.

【点睛】

本题考查的知识点是锐角三角函数的定义，解题关键是熟记三角函数的定义.

7.C

【解析】

【分析】

连接AC、BD、OF,由角平分线性质解得NOAF=30。，再根据等边对等角性质，解得

/OFA=/OAF=30。，继而得到NCOF=60。，再根据60。的正弦值解得FI的值，从而得

到EI的值，继而得到器=彩=3，再解得GH的值即可解题.

【详解】

如图，连接AC、BD、OF,

设。0的半径是r,

则OF=r,

〈AO是NEAF的平分线,

・・・NOAF=60°：2=30。，

VOA=OF,

AZOFA=ZOAF=30°,

.\ZCOF=30o+30o=60°,

.,.FI=r«sin60°=^r,

2

答案第4页，共21页

・・.EF=3X2=6〃，

2

VAO=201,

AOI=-r,CI=r--r=-r,

222

.GHCl\

..---=---=一,

BDCO2

：.GH=-BD=-x2r=r,

22

.EFgrr-

・・==73，

GHr

即则空的值是

GH

故选：c.

【点睛】

本题考查正多边形与外接圆的综合，涉及角平分线的性质、正方形的性质、正弦等知识,

是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键.

8.B

【解析】

【分析】

根据网格的特点，找到8点所在网格的顶点。，连接30,通过勾股定理的逆定理判断

是直角三角形，进而根据正弦的定义求得sinA的值.

【详解】

如图，连接8。，

C

根据网格的特点可知:

答案第5页，共21页

AD=^联+展=2亚,AB=[f+¥=回,BD=4f+f=&，

AD2+BD2=]O,AB2=W,

■■■△ABD是直角三角形,

.-.ZA£>B=90o,

BD拉方

/.sinA=

AB-710-5

故选B

【点睛】

本题考查了求一角的正弦，网格中证明三角形是直角三角形，勾股定理以及勾股定理的逆

定理的应用，证明是△43。是直角三角形解题的关键.

9.显

2

【解析】

【分析】

根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到2/80。+/80庆180。，于是得到/C=T

NBOD=60°,从而可得结论.

【详解】

解：：NC=；NBO。，ZBOD=ZA,ZC+ZA=180°,

：.^ZBOD+ZBOD=180°,

：.ZBOD=nO0,

：.ZC=1ZBOD=60°,

R

二sinZC=sin600=—

2

故答案为：B.

2

【点睛】

本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理和求正弦值，熟练掌握圆内接四边形的对角

互补是解题的关键.

10.—

2

答案第6页，共21页

【解析】

【分析】

由题意可知，要求出答案首先需要构造出直角三角形，连接AB,设小正方形的边长为1,

可以求出OA、OB、AB的长度，由勾股定理的逆定理可得AABO是直角三角形，再根据

三角函数的定义可以求出答案.

【详解】

连接AB如图所示：

设小正方形的边长为1,

AOA2=32+1=10,BA?=32+1=10,OB2=42+22=20,

.,.△ABO是直角三角形，

•■/ACR_BA而&

••sinNAOB---------,—=—,

OBV202

故答案为：也.

2

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的逆定理和正弦函数的定义，熟练掌握技巧即可得出答案.

11.60°

【解析】

【分析】

利用正弦定义计算即可.

【详解】

答案第7页，共21页

AC_56

*：sinB=

ZB=60°,

故答案为：60°.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形，关键是掌握正弦定义.

12.—

5

【解析】

【分析】

如图(见解析)，先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、

圆的切线的性质可得NA=NADC=90°,OHLAD,OGLCD,从而可得四边形ADGE和

四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得EG=4),OH=DG,设正方形ABCD

的边长为2a,从而可得EG=2a,DG=a,然后在中，根据正弦三角函数的定

义可得sinNZ)EG=l5,最后根据圆周角定理可得NMFG=/£)EG,由此即可得出答案.

5

【详解】

如图，连接EG、HF

由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O

•••四边形ABCD是正方形

:.ZA=ZADC=90°

由圆的切线的性质得：OHLADOGA.CD

四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形

：.EG=AD,OH=DG

设正方形ABCD的边长为2a,则AQ=2a

EG=2a

：.。。的半径为gEG=a

:.DG=OH=a

在HAOEG中，DE=dEG?+DG?=舄

:.sinZDEG=-=-^=—

DE45a5

答案第8页，共21页

由圆周角定理得：ZMFG=NDEG

则sinNMFG=sinZDEG=—

5

故答案为：百

【点睛】

本题考查了圆的切线的判定与性质、圆周角定理、正弦三角函数、正方形的性质等知识

点，熟练掌握圆的切线的判定与性质是解题关键.

13.且

4

【解析】

【分析】

根据图象可以得到BC的长度，作辅助线EF，8c于点凡由于EF=CO的长，从而可以得

至ijsin/EBC的值.

【详解】

解：由图象可知，BC=BE=8x2=16,

作EFL3c于点F,作于点如下图所示，

由图象可知，三角形P8Q的最大面积为32&,

.•.比竺=位用=32应，

22

解得EF=4夜，

..EF4方不

••sinEBC=-------=,

BE164

答案第9页，共21页

故答案为：也.

4

【点睛】

本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想，找出所求

问题需要的条件.

14.3

【解析】

【分析】

在RfAADE中，由正弦定义解得4E=华，再由勾股定理解得。E的长，根据同角的余角

相等，得到sinNA£>E=sinNEC。，最后根据正弦定义解得CD的长即可解题.

【详解】

解：在用&£)£中，

...„AE4

sm/.ADE==—

AD5

,/AZ)=4

/.A-E1=6—

5

...DE=VAD2-AE2=^42-(y)2=y

-DEIAC

ZADE+ZEDC=NEDC+ZECD=90°

;.ZADE=/ECD

DE4

sin4ADE=sin/ECD=——=-

CD5

:.CD=DE»=3

4

在矩形ABC。中，

AB=CD=3

故答案为：3.

【点睛】

本题考查矩形的性质、正弦、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是

解题关键.

15.在

5

答案第10页，共21页

【解析】

【分析】

如图所示，过点P作PE_LBO于E,先利用勾股定理求出BD=5,然后根据角平分线的性

质的得到以=PE,设AP=PE=x,则尸£>=AO-AP=4-x,由S“BD=；BD.PE=；PD.AB,得

到g.5x=g（4-x>3,由此求解即可.

【详解】

解：如图所示，过点尸作尸于E,

•••四边形ABC。是矩形，

NBAD=90°,AD=BC^4

BD='JAD2+AB2=5，

•.•82平分/。84PEVBD,NBAP=90。,

：.PA=PE,

设AP=PE^x,贝ljPD=AD-AP=4-x,

•••S：=gBDPE=gpDAB，

.­.l-5x=l（4-x）.3,

.3

..x=-,

2

3

:.AP=PE=一,

2

・•・BP=yjAB2+AP2=—,

2

・./nRD_PE_后

••sinz_DDP-----，

BP5

故答案为：q.

【点睛】

本题主要考查了矩形的性质，角平分线的性质，勾股定理，求正弦值，正确作出辅助线构

答案第II页，共21页

造直角三角形是解题的关键.

16.国

5

【解析】

【分析】

先利用正弦值、勾股定理求出BC=12,AC=9,再根据翻折的性质、勾股定理求出A。、

CD、8。的长，然后根据等面积法求出0C的长，由此即可得出答案.

【详解】

如图，设8。与CC的交点为点0,

4

•.•在RAABC中，ZACB=90°,AB=\5,sinA=一,

.岑)，即空」，

AB5155

解得8c=12,

AC=yjAB2-BC2=9>

由翻折的性质得：BC'=BC=12,CD=CD,ZBC'D=NACB=90。，

AC=AB-BC=15-12^3,

设仞=x,则C'O=CD=AC—AD=9—x,

在Rt^ACD中,AC'2+CD2=AD2,即3、+(9-=x2,

解得x=5,

/.A£)=5,CD=4,

在RRBCD中,BD=4BC2+CEr=4710-

又BC=BC,CD=CD,

，应)是cc的垂直平分线，

:.BDLCC',CC'=2OC,

SR,.BCD=^BCCD=^BDOC,Qp|xl2x4=^x4>/i0OC,

解得。c=迎，

5

:.CC'=2OC=^^-,

5

故答案为：丝叵.

5

答案第12页，共21页

A

D

BC

【点睛】

本题考查了正弦三角函数、勾股定理、翻折的性质、垂直平分线的判定与性质等知识点，

熟练掌握翻折的性质和等面积法是解题关键.

17.(1)详见解析

(2)。0的半径为917.

O

【解析】

【分析】

(1)根据平行四边形的性质得到根据圆内接四边形的性质得到乙

等量代换得到根据等腰三角形的判定定理证明结论；

(2)连接A0延长分别交C。和。。于点P、F,连。尸、0D,过A作AQLBC于点。，

根据切线的性质得到进而证明根据等腰三角形的性质进而证明

ZBAH=ZDOP,根据正弦的定义以及勾股定理列式计算，得到答案.

(1)

证明：•.•四边形4BCD是平行四边形，

NB=ND,

•••四边形AHCZ)内接于。0,

ZAHC+ZD=ISO°,

"：乙44C+乙4HB=180。，

NAHB=ND,

：.ZAHB=ZB,

：.AB=AH；

(2)

解：连接A。延长分别交CO和。。于点尸、F,连。尸、0D,过A作AQLBC于点Q,

答案第13页，共21页

'：AD//BC,

・・・AQJ_A。，

〈AB与。。相切于点A,

：.AF.LABf

：.ZQAD=ZBAFf

；・NBAQ=NFAD,

u

：AB=AHf

：.ZBAH=2ZBAQf

•・・O4二。。，

：.ZD0P=2ZFADf

：.ZBAH=ZDOPf

Q

VsinZB/AH=—,

17

*••sinDOP=----二—，

OD17

设。尸二8。，DO=\7a,

•••0P=NOD1—DP，=]5a,

AP=17a+15a=32a,

在R/A4DP中，A^AP^DP2,即（JF7）2=（32〃）2+（84）2,

解得：a二;，

o

117

；♦QO的半径为Z）O=17xg=—.

88

【点睛】

本题考查的是切线的性质、平行四边形的性质、解直角三角形，掌握圆的切线垂直于经过

切点的半径是解题的关键.

答案第14页，共21页

18.(1)见解析;

(2)PC=10

【解析】

【分析】

(1)连接OP,利用角平分线的性质以及等腰三角形的性质得到N(MP=90。，即可求证；

3OA

(2)根据三角函数的定义可得：sinP=m=3R，设OP=5x,OA=3x,根据勾股定理求解

即可.

(1)

解：连接

•.Q=0C

.'.ZOCA^ZOAC

：AC平分NB42

，ZPAC=ZBAC

；0C垂直于弦AB

/8AC+NOC4=90。

：.ZPAC+ZOAC=9Q°

：.0A±PA,且。4是半径

...以是。。的切线

(2)

••・030A

.sinP=-=---

50P

...设0P=5x,0A=3x

'：0P2-OA2=AP2=400

.'.x—5

，0A=0C=15,OP=25

答案第15页，共21页

：.PC=OP-0C=10

【点睛】

此题考查了切线的判定，勾股定理，三角函数的定义，角平分线的性质以及等腰三角形的

性质，解题的关犍是掌握并灵活运用相关性质进行求解.

19.机头。到底座A8的距离是48cm.

【解析】

【分析】

根据题意结合锐角三角函数关系得出EF、DM的长即可得出答案.

【详解】

解：如图所示，过点。作于N,过点于F,作于M,

4470。；B;

FN

图②

•.■Z£4F=70°,A£=30cm,

:.EF=AE-sin70°=30x0.94=28.2(cm),

•.­DE=40cm,ADEN=30°,

:.DM=DE-sin300=20(cm),

故DN=28.2+20a48(cm),

答：机头。到底座AB的距离是48cm.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的应用，正确选择锐角三角函数关系是解题关键.

20.A4?C的周长为60,面积为150

【解析】

【分析】

BC4

由sinA=二二=，先求解A人再利用勾股定理求解AC,从而可得三角形的周长与面积.

AB5

【详解】

答案第16页，共21页

204

=解得：AB=25,经检验：AB=25符合题意；

AB5

AC=yjAB2-BC2=V252-202=15,

:.C=AB+BC+AC=25+20+15=60,7S=-AC»BC=-xl5x20=150.

A/IOC22

【点睛】

本题考查的是锐角的正弦的含义，利用锐角的正弦求解三角形的边长，勾股定理的应用，

掌握锐角的正弦的含义是解题的关键.

21.⑴且

3

⑵同

【解析】

【分析】

(1)先根据题意求得OA、OB、OC、OD、C£＞的长，根据平行线的性质可得

NBOC=NABE,再根据正弦的定义求得sinNBOC,进而即可解答；

(2)连接OE并延长交圆。于点F,然后连接FC、AC、BC,即EF=AB=6,然后根据平

行线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质证得△AQCS^ECF,最后运用相似三角形

的性质解答即可.

(1)

解：'：AB=6,

.'.OA=OB=OC=3,

■:BD=\,

：.OD=OB-BD=3-l=2,AD=AB-BD=6-\^5,

,：CDA.AB,

答案第17页，共21页

由勾股定理可得：

CD=sloC2-OD2=」乎一吸=y/5'

・•・si•n//BoOnCr=CD=——，

OC3

■:BE//OC,

ZBOC=ZABEt

：.sinZABE=sinZBOC=—.

3

⑵

解：连接OE并延长交圆。于点F,然后连接FC、AC、BC,HPEF=AB=6,

二Z£CF=90°,ZCAB=ZCEB,

：.ZADC^ZECF=90°,

在RSADC中，由勾股定理可得：

AC=>JAD2+CD2=卜+（灼2=病

BE//OC,

：.ZOCE=ZCEB,

:.NCAB=NOCE,

,/OE=O