《一元二次方程》经典60题

朽木易折，金石可镂。千里之行，始于足下。第页/共页中考数学提分冲刺真题精析：一元二次方程一、解答题（共60小题）1．（2014•自贡）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）2．（2014•重庆）为丰盛居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参加集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一审阅览室设施和书籍，这样，只需参加户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在200户的基础上增强了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．3．（2014•扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．4．（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？5．（2014•无锡）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：．6．（2014•乌鲁木齐）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从此年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）7．（2014•遂宁）解方程：x2+2x﹣3=0．8．（2014•随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．按照市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）9．（2014•十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分离为x1，x2，且满意（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．10．（2014•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分离在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分离是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．12．（2014•梅州）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．13．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．14．（2014•黄石）解方程：．15．（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．16．（2014•葫芦岛）有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静学生解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤开始浮上错误的．（2）用配主意解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）（2014•衡阳）小学去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增强到7200平方米，求这两年的年平均增长率．18．（2014•河北）嘉淇学生用配主意推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：因为a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第步开始浮上错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是．用配主意解方程：x2﹣2x﹣24=0．19．（2014•防城港）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵情况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，预计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：（1）从此年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果确切到0.1%）20．（2014•鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．21．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．（2013•自贡）用配主意解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．23．（2013•淄博）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．24．（2013•漳州）解方程：x2﹣4x+1=0．25．（2013•义乌市）解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．26．（2013•徐州）（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．27．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，哀求出k的值；若不存在，请说明理由．28．（2013•无锡）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式组：．（2013•上海）解方程组：．（2013•山西）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．31．（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于随意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．32．（2013•日照）（1）计算：．（2）已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满意|x1|=x2，求实数m的值．33．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？34．（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．35．（2013•兰州）（1）计算：（﹣1）2013﹣2﹣1+sin30°+（π﹣3.14）0（2）解方程：x2﹣3x﹣1=0．36．（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．（2013•黄石）解方程组：．（2013•杭州）当x满意条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．（2013•广州）解方程：x2﹣10x+9=0．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．41．（2013•达州）选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成彻低平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：按照上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值．42．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．（2012•淄博）一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．（2012•永州）解方程：（x﹣3）2﹣9=0．45．（2012•无锡）（1）解方程：x2﹣4x+2=0（2）解不等式组：．46．（2012•温州）（1）计算：；（2）解方程：x2﹣2x=5．（2012•遂宁）解方程：x2+4x﹣2=0．48．（2012•绵阳）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，哀求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．49．（2012•乐山）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分离为x1与x2，求代数式x1•x2﹣x12﹣x22的最大值．50．（2012•黄石）解方程组：．51．（2012•菏泽）（1）先化简，再求代数式的值．，其中a=（﹣1）2012+tan60°．（2）解方程：（x+1）（x﹣1）+2（x+3）=8．（2012•巴中）解方程：2（x﹣3）=3x（x﹣3）．（2012•安徽）解方程：x2﹣2x=2x+1．54．（2011•武汉）解方程：x2+3x+1=0．55．（2011•无锡）（1）解方程：x2+4x﹣2=0；（2）解不等式组．56．（2011•遂宁）解方程：x（2x+1）=8x﹣3．57．（2011•上海）解方程组：．58．（2011•清远）解方程：x2﹣4x﹣1=0．59．（2011•聊城）解方程：x（x﹣2）+x﹣2=0．60．（2011•黄石）解方程：．

真题精析：一元二次方程参考答案与试题解析一、解答题（共60小题）1．（2014•自贡）解方程：3x（x﹣2）=2（2﹣x）考点：解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有专题：因式分解．分析：先移项，然后提取公因式（x﹣2），对等式的左边举行因式分解．解答：解：由原方程，得（3x+2）（x﹣2）=0，所以3x+2=0或x﹣2=0，解得x1=﹣，x2=2．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的主意，这种主意简便易用，是解一元二次方程最常用的主意．2．（2014•重庆）为丰盛居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参加集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一审阅览室设施和书籍，这样，只需参加户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参加的户数在200户的基础上增强了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有专题：应用题．分析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；（2）按照“自愿参加的户数在200户的基础上增强了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．解答：解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，按照题意得：30000﹣x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；（2）按照题意得：200（1+a%）×150（1﹣a%）=20000收拾得：a2+10a﹣3000=0，解得：a=50或a=﹣60（舍去），所以a的值是50．点评：本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中收拾出等量关系和不等关系，难度不大．3．（2014•扬州）已知关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有分析：按照根的判别式令△=0，建立关于k的方程，解方程即可．解答：解：∵关于x的方程（k﹣1）x2﹣（k﹣1）x+=0有两个相等的实数根，∴△=0，∴[﹣（k﹣1）]2﹣4（k﹣1）×=0，收拾得，k2﹣3k+2=0，即（k﹣1）（k﹣2）=0，解得：k=1（不符合一元二次方程定义，舍去）或k=2．∴k=2．点评：本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．4．（2014•新疆）如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有专题：应用题．分析：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后按照矩形的面积公式列出方程．解答：解：设AB的长度为x，则BC的长度为（100﹣4x）米．按照题意得（100﹣4x）x=400，解得x1=20，x2=5．则100﹣4x=20或100﹣4x=80．∵80＞25，∴x2=5舍去．即AB=20，BC=20．答：羊圈的边长AB，BC分离是20米、20米．点评：本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，按照题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．5．（2014•无锡）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：．考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元一次不等式组．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；（2）分离求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．解答：解：（1）方程变形得：（x﹣6）（x+1）=0，解得：x1=6，x2=﹣1；（2），由①得：x≥3；由②得：x＞5，则不等式组的解集为：x＞5．点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及一元一次不等式组，熟练控制运算法则是解本题的关键．6．（2014•乌鲁木齐）某工厂使用旧设备生产，每月生产收入是90万元，每月另需支付设备维护费5万元，从此年1月份起使用新设备，生产收入提高且无设备维护费，使用当月生产收入达100万元，1至3月份生产收入以相同的百分率逐月增长，累计达364万元，3月份后，每月生产收入稳定在3月份的水平．（1）求使用新设备后，2月、3月生产收入的月增长率；（2）购进新设备需一次性支付640万元，使用新设备几个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润？（累计利润是指累计生产收入减去就设备维护费或新设备购进费）考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：（1）设每月的增长率为x，那么2月份的生产收入为100（1+x），三月份的生产收入为100（1+x）2，按照1至3月份的生产收入累计可达364万元，可列方程求解．（2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，按照不等关系可列不等式求解．解答：解：（1）设每月的增长率为x，由题意得：100+100（1+x）+100（1+x）2=364，解得x=0.2，或x=﹣3.2（不合题意舍去）答：每月的增长率是20%．（2）设使用新设备y个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润，依题意有364+100（1+20%）2（y﹣3）﹣640≥（90﹣5）y，解得y≥12．故使用新设备12个月后，该厂所得累计利润不低于使用旧设备的累计利润．点评：本题考查理一元二次方程的应用和解题能力，关键是找到1至3月份的生产收入累计可达100万元和不等量关系可列方程和不等式求解．7．（2014•遂宁）解方程：x2+2x﹣3=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：看见方程x2+2x﹣3=0，可因式分解法求得方程的解．解答：解：x2+2x﹣3=0∴（x+3）（x﹣1）=0∴x1=1，x2=﹣3．点评：解方程有多种主意，要按如实际情况举行挑选．8．（2014•随州）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．按照市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）考点：一元二次方程的应用；分段函数．菁优网版权所有专题：销售问题．分析：（1）按照分段函数可以表示出当0＜x≤5，5＜x≤30时由销售数量与进价的关系就可以得出结论；（2）由销售利润=销售价﹣进价，由（1）的解析式建立方程就可以求出结论．解答：解：（1）由题意，得当0＜x≤5时y=30．当5＜x≤30时，y=30﹣0.1（x﹣5）=﹣0.1x+30.5．∴y=；（2）当0＜x≤5时，（32﹣30）×5=10＜25，不符合题意，当5＜x≤30时，[32﹣（﹣0.1x+30.5）]x=25，解得：x1=﹣25（舍去），x2=10．答：该月需售出10辆汽车．点评：本题考查了分段函数的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时求出分段函数的解析式是关键．9．（2014•十堰）已知关于x的一元二次方程x2+2（m+1）x+m2﹣1=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根分离为x1，x2，且满意（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，求实数m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有专题：判别式法．分析：（1）若一元二次方程有两实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围；（2）由x1+x2=﹣2（m+1），x1x2=m2﹣1；代入（x1﹣x2）2=16﹣x1x2，建立关于m的方程，据此即可求得m的值．解答：解：（1）由题意有△=[2（m+1）]2﹣4（m2﹣1）≥0，收拾得8m+8≥0，解得m≥﹣1，∴实数m的取值范围是m≥﹣1；（2）由两根关系，得x1+x2=﹣（2m+1），x1•x2=m2﹣1，（x1﹣x2）2=16﹣x1x2（x1+x2）2﹣3x1x2﹣16=0，∴[﹣2（m+1）]2﹣3（m2﹣1）﹣16=0，∴m2+8m﹣9=0，解得m=﹣9或m=1∵m≥﹣1∴m=1．点评：本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数关系，利用两根关系得出的结果必须满意△≥0的条件．10．（2014•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分离在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分离是一元二次方程x2﹣14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．（1）求A、B两点的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．考点：一元二次方程的解；一次函数综合题；正方形的性质；相似三角形的判定．菁优网版权所有专题：综合题．分析：（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB==10，按照线段垂直平分线的性质得到AC=AB=5．再由两角对应相等的两三角形相似证实△ACD∽△AOB，由相似三角形对应边成比例得出=，求出AD=，得到D点坐标（﹣，0），按照中点坐标公式得出C（3，4），然后利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；（3）分两种情况举行研究：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=x+8，设M（x，x+8），再按照BM=5列出方程（x+8﹣8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐标；②当点Q与点A重合时，先求出AM的解析式为y=x﹣，设M（x，x﹣），再按照AM=5列出方程（x﹣）2+（x﹣6）2=52，解方程即可求出M的坐标．解答：解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，得x1=6，x2=8，∵OA＜OB，∴A（6，0），B（0，8）；（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，∴AB==10，∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，∴AC=AB=5．在△ACD与△AOB中，，∴△ACD∽△AOB，∴=，即=，解得AD=，∵A（6，0），点D在x轴上，∴D（﹣，0）．设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意知C为AB中点，∴C（3，4），∵D（﹣，0），∴，解得，∴直线CD的解析式为y=x+；（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长．∵AC=BC=AB=5，∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=x+8，设M（x，x+8），∵B（0，8），BM=5，∴（x+8﹣8）2+x2=52，化简收拾，得x2=16，解得x=±4，∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=x﹣，设M（x，x﹣），∵A（6，0），AM=5，∴（x﹣）2+（x﹣6）2=52，化简收拾，得x2﹣12x+20=0，解得x1=2，x2=10，∴M3（2，﹣3），M4（10，3）；综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（10，3）．点评：本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类研究及方程思想是解题的关键．11．（2014•南充）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．考点：根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有专题：代数综合题．分析：（1）若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac＞0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围，进而得出m的最大整数值；（2）按照（1）可知：m=1，继而可得一元二次方程为x2﹣2x+1=0，按照根与系数的关系，可得x1+x2=2，x1x2=1，再将x12+x22﹣x1x2变形为（x1+x2）2﹣3x1x2，则可求得答案．解答：解：∵一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴△=8﹣4m＞0，解得m＜2，故整数m的最大值为1；（2）∵m=1，∴此一元二次方程为：x2﹣2x+1=0，∴x1+x2=2，x1x2=1，∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是控制一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．控制根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．12．（2014•梅州）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．考点：根的判别式；一元二次方程的解；根与系数的关系．菁优网版权所有专题：判别式法．分析：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得到a的值，再按照根与系数的关系求出另一根；（2）写出根的判别式，配方后得到彻低平方式，举行解答．解答：解：（1）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得，1+a+a﹣2=0，解得，a=；方程为x2+x﹣=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1•x1=﹣，x1=﹣．（2）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．点评：本题考查了根的判别式和根与系数的关系，要记牢公式，灵便运用．13．（2014•泸州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根．（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=28，求m的值；（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，求这个三角形的周长．考点：根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：代数几何综合题．分析：（1）利用（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，求得m的值即可；（2）分7为底边和7为腰两种情况分类研究即可决定等腰三角形的周长．解答：解：（1）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0的两实数根，∴x1+x2=2（m+1），x1•x2=m2+5，∴（x1﹣1）（x2﹣1）=x1•x2﹣（x1+x2）+1=m2+5﹣2（m+1）+1=28，解得：m=﹣4或m=6；当m=﹣4时原方程无解，∴m=6；（2）①当7为底边时，此时方程x2﹣2（m+1）x+m2+5=0有两个相等的实数根，∴△=4（m+1）2﹣4（m2+5）=0，解得：m=2，∴方程变为x2﹣6x+9=0，解得：x1=x2=3，∵3+3＜7，∴不能构成三角形；②当7为腰时，设x1=7，代入方程得：49﹣14（m+1）+m2+5=0，解得：m=10或4，当m=10时方程变为x2﹣22x+105=0，解得：x=7或15∵7+7＜15，不能组成三角形；当m=4时方程变为x2﹣10x+21=0，解得：x=3或7，此时三角形的周长为7+7+3=17．点评：本题考查了根与系数的关系及三角形的三边关系，解题的关键是熟知两根之和和两根之积分离与系数的关系．14．（2014•黄石）解方程：．考点：高次方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：先把方程组的第二个方程举行变形，再代入方程组中的第一个方程，即可求出x，把x的值代入方程组的第二个方程，即可求出y．解答：解：，由方程x﹣2y=2得：4y2=15x2﹣60x+60（3），将（3）代入方程5x2﹣4y2=20，化简得：x2﹣6x+8=0，解此方程得：x=2或x=4，代入x﹣2y=2得：y=0或，即原方程组的解为或．点评：本题考查了解高次方程的应用，解此题的关键是能得出关于x定的一元二次方程，题目比较好，难度适中．15．（2014•怀化）设m是不小于﹣1的实数，使得关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值；（2）求+﹣m2的最大值．考点：根与系数的关系；根的判别式；二次函数的最值．菁优网版权所有专题：代数综合题．分析：（1）首先按照根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系，求出符合条件的m的值；（2）把利用根与系数的关系得到的关系式代入代数式，仔细化简，结合m的取值范围求出代数式的最大值．解答：解：∵方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，∴m＜1，结合题意知：﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1解得：m1=，m2=（不合题意，舍去）∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．点评：此题考查根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac来求出m的取值范围；解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．16．（2014•葫芦岛）有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．小静学生解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”（1）小静的解法是从步骤⑤开始浮上错误的．（2）用配主意解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）考点：解一元二次方程-配主意．菁优网版权所有专题：阅读型．分析：（1）移项要变号；（2）移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．解答：解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始浮上错误的，故答案为：⑤；（2）x2+2nx﹣8n2=0，x2+2nx=8n2，x2+2nx+n2=8n2+n2，（x+n）2=9n2，x+n=±3n，x1=2nx2=﹣4n．点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能准确配方，题目比较好，难度适中．17．（2014•衡阳）小学去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增强到7200平方米，求这两年的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：设这两年的年平均增长率为x，按照题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．解答：解：设这两年的年平均增长率为x，按照题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．答：这两年的年平均增长率为20%．点评：考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，普通形式为a（1+x）2=b，a为起始时光的有关数量，b为终止时光的有关数量．18．（2014•河北）嘉淇学生用配主意推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：因为a≠0，方程ax2+bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第四步开始浮上错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配主意解方程：x2﹣2x﹣24=0．考点：解一元二次方程-配主意．菁优网版权所有专题：阅读型．分析：第四步，开方时出错；把常数项24移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解答：解：在第四步中，开方应该是x+=±．所以求根公式为：x=．故答案是：四；x=；用配主意解方程：x2﹣2x﹣24=0解：移项，得x2﹣2x=24，配方，得x2﹣2x+1=24+1，即（x﹣1）2=25，开方得x﹣1=±5，∴x1=6，x2=﹣4．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣配主意．用配主意解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成彻低平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．19．（2014•防城港）我市市区去年年底电动车拥有量是10万辆，为了缓解城区交通拥堵情况，今年年初，市交通部门要求我市到明年年底控制电动车拥有量不超过11.9万辆，预计每年报废的电动车数量是上一年年底电动车拥有量的10%，假定每年新增电动车数量相同，问：（1）从此年年初起每年新增电动车数量最多是多少万辆？（2）在（1）的结论下，今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是多少？（结果确切到0.1%）考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．菁优网版权所有专题：增长率问题．分析：（1）按照题意分离求出今年将报废电动车的数量，进而得出明年报废的电动车数量，进而得出不等式求出即可；（2）分离求出今年年底电动车数量，进而求出今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率．解答：解：（1）设从此年年初起每年新增电动车数量是x万辆，由题意可得出：今年将报废电动车：10×10%=1（万辆），∴[（10﹣1）+x]（1﹣10%）+x≤11.9，解得：x≤2．答：从此年年初起每年新增电动车数量最多是2万辆；（2）∵今年年底电动车拥有量为：（10﹣1）+x=11（万辆），明年年底电动车拥有量为：11.9万辆，∴设今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是y，则11（1+y）=11.9，解得：y≈0.082=8.2%．答：今年年底到明年年底电动车拥有量的年增长率是8.2%．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，分离表示出今年与明年电动车数量是解题关键．20．（2014•鄂州）一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0．（1）若方程有两实数根，求m的范围．（2）设方程两实根为x1，x2，且|x1﹣x2|=1，求m．考点：根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有专题：判别式法．分析：（1）按照关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，得出m≠0且（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，求出m的取值范围即可；（2）按照方程两实根为x1，x2，求出x1+x2和x1•x2的值，再按照|x1﹣x2|=1，得出（x1+x2）2﹣4x1x2=1，再把x1+x2和x1•x2的值代入计算即可．解答：解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2=0有两个实数根，∴m≠0且△≥0，即（﹣2m）2﹣4•m•（m﹣2）≥0，解得m≥0，∴m的取值范围为m＞0．（2）∵方程两实根为x1，x2，∴x1+x2=2，x1•x2=，∵|x1﹣x2|=1，∴（x1﹣x2）2=1，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1，∴22﹣4×=1，解得：m=8；经检验m=8是原方程的解．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．21．（2014•北京）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（m≠0）．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．考点：根的判别式．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）先计算判别式的值得到△=（m+2）2﹣4m×2=（m﹣2）2，再按照非负数的值得到△≥0，然后按照判别式的意义得到方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性决定正整数m的值．解答：（1）证实：∵m≠0，△=（m+2）2﹣4m×2=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，而（m﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0，x﹣1=0或mx﹣2=0，∴x1=1，x2=，当m为正整数1或2时，x2为整数，即方程的两个实数根都是整数，∴正整数m的值为1或2．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．22．（2013•自贡）用配主意解关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0．考点：解一元二次方程-配主意．菁优网版权所有分析：此题考查了配主意解一元二次方程，解题时要注重解题步骤确实切应用，把左边配成彻低平方式，右边化为常数．解答：解：∵关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程，∴a≠0．∴由原方程，得x2+x=﹣，等式的两边都加上，得x2+x+=﹣+，配方，得（x+）2=﹣，当b2﹣4ac＞0时，开方，得：x+=±，解得x1=，x2=，当b2﹣4ac=0时，解得：x1=x2=﹣；当b2﹣4ac＜0时，原方程无实数根．点评：本题考查了配主意解一元二次方程．用配主意解一元二次方程的步骤：（1）形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成彻低平方式；第四步，直接开方即可．（2）形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．23．（2013•淄博）关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣8x+9=0有实根．（1）求a的最大整数值；（2）当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求的值．考点：根的判别式；解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有分析：（1）按照一元二次方程的定义和根的判别式得到△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，然后在次范围内找出最大的整数；（2）①把a的值代入方程得到x2﹣8x+9=0，然后利用求根公式法求解；②因为x2﹣8x+9=0则x2﹣8x=﹣9，然后把x2﹣8x=﹣9整体代入所求的代数式中得到原式=2x2﹣=2x2﹣16x+，再变形得到2（x2﹣8x）+，再利用整体思想计算即可．解答：解：（1）按照题意△=64﹣4×（a﹣6）×9≥0且a﹣6≠0，解得a≤且a≠6，所以a的最大整数值为7；（2）①当a=7时，原方程变形为x2﹣8x+9=0，△=64﹣4×9=28，∴x=，∴x1=4+，x2=4﹣；②∵x2﹣8x+9=0，∴x2﹣8x=﹣9，所以原式=2x2﹣，=2x2﹣16x+，=2（x2﹣8x）+，=2×（﹣9）+，=﹣．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法以及整体思想．24．（2013•漳州）解方程：x2﹣4x+1=0．考点：解一元二次方程-配主意．菁优网版权所有专题：计算题；配主意．分析：移项后配方得到x2﹣4x+4=﹣1+4，推出（x﹣2）2=3，开方得出方程x﹣2=±，求出方程的解即可．解答：解：移项得：x2﹣4x=﹣1，配方得：x2﹣4x+4=﹣1+4，即（x﹣2）2=3，开方得：x﹣2=±，∴原方程的解是：x1=2+，x2=2﹣．点评：本题考查了用配主意解一元二次方程、解一元一次方程的应用，关键是配方得出（x﹣2）2=3，题目比较好，难度适中．25．（2013•义乌市）解方程（1）x2﹣2x﹣1=0（2）=．考点：解一元二次方程-配主意；解分式方程．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）方程常数项移到右边，两边加上1，左边化为彻低平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：（1）移项得：x2﹣2x=1，配方得：x2﹣2x+1=2，即（x﹣1）2=2，开方得：x﹣1=±，则x1=1+，x2=1﹣；（2）去分母得：4x﹣2=3x，解得：x=2，经检验x=2是分式方程的解．点评：此题考查了解一元二次方程﹣配主意，以及解分式方程，利用配主意解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移到右边，然后两边加上一次项系数以一半的平方，左边化为彻低平方式，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．26．（2013•徐州）（1）解方程：x2﹣2x=1；（2）解不等式组：．考点：解一元二次方程-配主意；解一元一次不等式组．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）方程两边都加上1，配成彻低平方的形式，然后求解即可；（2）先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：（1）x2﹣2x+1=2，（x﹣1）2=2，所以，x1=1+，x2=1﹣；（2），解不等式①得，x≥﹣2，解不等式②得，x＜，所以，不等式组的解集是﹣2≤x＜．点评：（1）考查了配主意解一元二次方程，配主意的普通步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．挑选用配主意解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．（2）主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．27．（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，哀求出k的值；若不存在，请说明理由．考点：根与系数的关系；根的判别式．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：（1）按照已知一元二次方程的根的情况，得到根的判别式△≥0，据此列出关于k的不等式[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，通过解该不等式即可求得k的取值范围；（2）假设存在实数k使得≥0成立．利用根与系数的关系可以求得，然后利用尽全平方公式可以把已知不等式转化为含有两根之和、两根之积的形式≥0，通过解不等式可以求得k的值．解答：解：（1）∵原方程有两个实数根，∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+2k）≥0，∴4k2+4k+1﹣4k2﹣8k≥0∴1﹣4k≥0，∴k≤．∴当k≤时，原方程有两个实数根．（2）假设存在实数k使得≥0成立．∵x1，x2是原方程的两根，∴．由≥0，得≥0．∴3（k2+2k）﹣（2k+1）2≥0，收拾得：﹣（k﹣1）2≥0，∴惟独当k=1时，上式才干成立．又∵由（1）知k≤，∴不存在实数k使得≥0成立．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注重数值的正负与不等号的变化关系．28．（2013•无锡）（1）解方程：x2+3x﹣2=0；（2）解不等式组：．考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组．菁优网版权所有分析：（1）求出b2﹣4ac的值，代入公式求出即可；（2）先求出两个不等式的解集，再按照找不等式组解集的逻辑找出即可．解答：解：（1）x2+3x﹣2=0，∵b2﹣4ac=32﹣4×1×（﹣2）=17，∴x=，x1=，x2=﹣；（2）∵解不等式①得：x≥4，解不等式②得：x＞5，∴不等式组的解集为：x＞5．点评：本题考查了解一元二次方程和解不等式组的应用，主要考查学生的计算能力．29．（2013•上海）解方程组：．考点：高次方程．菁优网版权所有分析：先由②得x+y=0或x﹣2y=0，再把原方程组可变形为：或，然后解这两个方程组即可．解答：解：，由②得：（x+y）（x﹣2y）=0，x+y=0或x﹣2y=0，原方程组可变形为：或，解得：，．点评：此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组．30．（2013•山西）解方程：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7．考点：解一元二次方程-配主意．菁优网版权所有分析：按照配主意的步骤先把方程转化成标准形式，再举行配方即可求出答案．解答：解：（2x﹣1）2=x（3x+2）﹣7，4x2﹣4x+1=3x2+2x﹣7，x2﹣6x=﹣8，（x﹣3）2=1，x﹣3=±1，x1=2，x2=4．点评：此题考查了配主意解一元二次方程，控制配主意的普通步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方是解题的关键，是一道基础题．31．（2013•厦门）若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于随意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”，并说明理由．考点：根与系数的关系；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式．菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型；新定义．分析：（1）求出原方程的根，再代入|x1|+|x2|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；（2）由条件x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程建模，设c=mb2+n，就可以表示出c，然后按照公式法就可以求出其根，再代入|x1|+|x2|就可以得出结论．解答：解：（1）不是，解方程x2+x﹣12=0得，x1=3，x2=﹣4．|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程；（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n，当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0时，m=﹣，∴c=﹣b2．∵是偶系二次方程，当b=3时，c=﹣×32．∴可设c=﹣b2．对于随意一个整数b，c=﹣b2时，△=b2﹣4ac，=4b2．x=，∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．点评：本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时按照条件特征建立模型是关键．32．（2013•日照）（1）计算：．（2）已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满意|x1|=x2，求实数m的值．考点：根的判别式；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；根与系数的关系；异常角的三角函数值．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）原式第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用异常角的三角函数值化简，最后一项利用零指数幂法则计算，即可得到结果；（2）将方程收拾为普通形式，按照方程有解得到根的判别式的值大于等于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集得到m的范围，按照两根满意的关系式，利用绝对值的代数意义化简，即可求出满意题意m的值．解答：解：（1）原式=+（﹣2）﹣2×+1=﹣1；（2）原方程可变形为：x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵x1、x2是方程的两个根，∴△≥0，即4（m+1）2﹣4m2≥0，∴8m+4≥0，解得：m≥﹣，又x1、x2满意|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，即△=0或x1+x2=0，由△=0，即8m+4=0，得m=﹣，由x1+x2=0，即：2（m+1）=0，得m=﹣1，（不合题意，舍去），则当|x1|=x2时，m的值为﹣．点评：此题考查了根的判别式，以及实数的运算，弄清题意是解本题的关键．33．（2013•南充）关于x的一元二次方程为（m﹣1）x2﹣2mx+m+1=0．（1）求出方程的根；（2）m为何整数时，此方程的两个根都为正整数？考点：解一元二次方程-公式法；一元二次方程的解．菁优网版权所有分析：（1）利用求根公式x=解方程；（2）利用（1）中x的值来决定m的值．解答：解：（1）按照题意，得m≠1．∵a=m﹣1，b=﹣2m，c=m+1，∴△=b2﹣4ac=（﹣2m）2﹣4（m﹣1）（m+1）=4，则x1==，x2=1；（2）由（1）知，x1==1+，∵方程的两个根都为正整数，∴是正整数，∴m﹣1=1或m﹣1=2，解得m=2或3．即m为2或3时，此方程的两个根都为正整数．点评：本题考查了公式法解一元二次方程．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．34．（2013•乐山）已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．考点：根的判别式；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）先计算出△=1，然后按照判别式的意义即可得到结论；（2）先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，然后分类研究：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．解答：（1）证实：∵△=（2k+1）2﹣4（k2+k）=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）解：一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k=0的解为x=，即x1=k，x2=k+1，∵k＜k+1，∴AB≠AC．当AB=k，AC=k+1，且AB=BC时，△ABC是等腰三角形，则k=5；当AB=k，AC=k+1，且AC=BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1=5，解得k=4，所以k的值为5或4．点评：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．35．（2013•兰州）（1）计算：（﹣1）2013﹣2﹣1+sin30°+（π﹣3.14）0（2）解方程：x2﹣3x﹣1=0．考点：解一元二次方程-公式法；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；异常角的三角函数值．菁优网版权所有分析：（1）先计算负整数指数幂、零指数幂以及异常角的三角函数值，然后计算加减法；（2）利于求根公式x=来解方程．解答：解：（1）原式=﹣1﹣++1=0；（2）关于x的方程x2﹣3x﹣1=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣3，常数项c=﹣1，则x═=，解得，x1=，x2=．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法．利于公式x=来解方程时，需要弄清晰公式中的字母a、b、c所表示的含义．36．（2013•荆州）已知：关于x的方程kx2﹣（3k﹣1）x+2（k﹣1）=0（1）求证：无论k为任何实数，方程总有实数根；（2）若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1﹣x2|=2，求k的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．菁优网版权所有分析：（1）决定判别式的范围即可得出结论；（2）按照根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，继而按照题意得出方程，解出即可．解答：（1）证实：①当k=0时，方程是一元一次方程，有实数根；②当k≠0时，方程是一元二次方程，∵△=（3k﹣1）2﹣4k×2（k﹣1）=（k+1）2≥0，∴无论k为任何实数，方程总有实数根．（2）解：∵此方程有两个实数根x1，x2，∴x1+x2=，x1x2=，∵|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，∴（x1+x2）2﹣4x1x2=4，即﹣4×=4，解得：=±2，即k=1或k=﹣．点评：本题考查了根的判别式及根与系数的关系，属于基础题，这些用到的知识点是需要我们熟练记忆的内容．37．（2013•黄石）解方程组：．考点：高次方程．菁优网版权所有分析：先由第二个方程得：x=③，再把③代入①得：2×（）2﹣y2=，求出y1、y2，再代入③即可．解答：解：，由②得：x=③，把③代入①得：2×（）2﹣y2=﹣，化简得：9y2+y+5=0，即：（3y+）2=0解得：y1=y2=，代入③得：x1=x2=，∴原方程组的解为．点评：此题考查了高次方程，关键是利用代入法把高次方程转化成低次方程，注重结果有两种情况．38．（2013•杭州）当x满意条件时，求出方程x2﹣2x﹣4=0的根．考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组．菁优网版权所有分析：通过解一元一次方程组求得2＜x＜4．然后利用求根公式x=求得方程x2﹣2x﹣4=0的根，由x的取值范围来取舍该方程的根．解答：解：由求得，则2＜x＜4．解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+，x2=1﹣，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，符合题意∴x=1+．点评：本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法，解一元一次不等式组．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．39．（2013•广州）解方程：x2﹣10x+9=0．考点：解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有分析：分解因式后得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．解答：解：x2﹣10x+9=0，（x﹣1）（x﹣9）=0，x﹣1=0，x﹣9=0，x1=1，x2=9．点评：本题啊扣除了解一元一次方程和解一元二次方程的应用，关键是能把解一元二次方程转化成解一元一次方程．40．（2013•防城港）已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m．求m，n的值．考点：根与系数的关系．菁优网版权所有分析：利用根与系数的关系知﹣2+m=﹣1，﹣2m=n，据此易求m、n的值．解答：解：∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根﹣2，m，∴，解得，，即m，n的值分离是1、﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系，属于基础题．解题过程中，需要熟记公式x1+x2=﹣，x1•x2=．41．（2013•达州）选取二次三项式ax2+bx+c（a≠0）中的两项，配成彻低平方式的过程叫配方．例如①选取二次项和一次项配方：x2﹣4x+2=（x﹣2）2﹣2；②选取二次项和常数项配方：，或③选取一次项和常数项配方：按照上述材料，解决下面问题：（1）写出x2﹣8x+4的两种不同形式的配方；（2）已知x2+y2+xy﹣3y+3=0，求xy的值．考点：配主意的应用．菁优网版权所有分析：（1）按照配主意的步骤按照二次项系数为1，常数项是一次项系数的一半的平方举行配方和二次项和常数项在一起举行配方即可．（2）按照配主意的步骤把x2+y2+xy﹣3y+3=0变形为（x+y）2+（y﹣2）2=0，再按照x+y=0，y﹣2=0，求出x，y的值，即可得出答案．解答：解：（1）x2﹣8x+4=x2﹣8x+16﹣16+4=（x﹣4）2﹣12；x2﹣8x+4=（x﹣2）2+4x﹣8x=（x﹣2）2﹣4x；（2）x2+y2+xy﹣3y+3=0，（x+y）2+（y﹣2）2=0，x+y=0，y﹣2=0，x=﹣1，y=2，则xy=（﹣1）2=1；点评：本题考查了配主意的应用，按照配主意的步骤和彻低平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2举行配方是解题的关键，是一道基础题．42．（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．考点：根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有专题：计算题．分析：（1）按照方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解决定出k的值，经检验即可得到满意题意k的值．解答：解：（1）按照题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为彻低平方数，则k的值为2．点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．43．（2012•淄博）一元二次方程的某个根，也是一元二次方程的根，求k的值．考点：一元二次方程的解．菁优网版权所有专题：计算题．分析：利用配主意求出方程x2﹣2x﹣=0的解，将求出的解代入x2﹣（k+2）x+=0中，得到关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．解答：解：x2﹣2x﹣=0，移项得：x2﹣2x=，配方得：x2﹣2x+1=，即（x﹣1）2=，开方得：x﹣1=±，解得：x1=，x2=﹣，△=（k+2）2﹣9≥0，即k≥1或k≤﹣5，①按照题意把x=代入x2﹣（k+2）x+=0得：（）2﹣（k+2）+=0，解得：k=；②把x=﹣代入x2﹣（k+2）x+=0得：（﹣）2+（k+2）+=0，解得：k=﹣7，综上所述，k的值为﹣7或．点评：此题考查了一元二次方程的解法，以及一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．44．（2012•永州）解方程：（x﹣3）2﹣9=0．考点：解一元二次方程-直接开平主意．菁优网版权所有分析：这个式子先移项，变成（x﹣3）2=9，从而把问题转化为求9的平方根．解答：解：移项得：（x﹣3）2=9，开平方得：x﹣3=±3，则x﹣3=3或x﹣3=﹣3，解得：x1=6，x2=0．点评：本题考查了直接开平主意解一元二次方程，运用整体思想，会把被开方数看成整体．45．（2012•无锡）（1）解方程：x2﹣4x+2=0（2）解不等式组：．考点：解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式组．菁优网版权所有分析：（1）首先找出方程中得a、b、c，再按照公式法求出b2﹣4ac的值，计算x=，即可得到答案；（2）先求出其中各不等式的解集，再按照解集的逻辑：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，求出这些解集的公共部分．解答：解：（1）△=42﹣4×1×2=8，∴，∴，；（2），由①得x≤2，由②得x＞﹣2，∴原不等式组的解集是﹣2＜x≤2．点评：此题主要考查了解一元二次方程，以及解一元一次不等式组，关键是熟练控制计算公式与计算主意．46．（2012•温州）（1）计算：；（2）解方程：x2﹣2x=5．考点：解一元二次方程-配主意；实数的运算．菁优网版权所有分析：（1）首先计算乘方，举行开方运算，然后合并同类二次根式即可求解；（2）方程两边同时加上1，左边即可化成彻低平方式的形式，然后举行开方运算，转化成两个一元一次方程，即可求解．解答：解：（1）（﹣3）2+（﹣3）×2﹣=9﹣6﹣2=3﹣2；（2）配方得（x﹣1）2=6∴x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．点评：本题考查了实数的混合运算以及利用配主意解一元二次方程，准确举行配方是关键．47．（2012•遂宁）解方程：x2+4x﹣2=0．考点：解一元二次方程-配主意．菁优网版权所有专题：压轴题．分析：先移项，得x2+4x=2，再在两边同时加上22，再利用平主意即可解出原方程．解答：解：移项，得x2+4x=2，两边同加上22，得x2+4x+22=2+22，即（x+2）2=6，利用开平主意，得或，∴原方程的根是，．点评：本题主要考查了配主意解一元二次方程，解题时要注重解题步骤确实切应用，难度适中．48．（2012•绵阳）已知关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，哀求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的周长．考点：根的判别式；一元二次方程的解；勾股定理．菁优网版权所有分析：（1）按照关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0的根的判别式的符号来证实结论；（2）按照一元二次方程的解的定义求得m值，然后由根与系数的关系求得方程的另一根．分类研究：①当该直角三角形的两直角边是2、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；②当该直角三角形的直角边和斜边分离是2、3时，由勾股定理得该直角三角形的另向来角边为；再按照三角形的周长公式举行计算．解答：（1）证实：∵△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+4，∴在实数范围内，m无论取何值，（m﹣2）2+4＞0，即△＞0，∴关于x的方程x2﹣（m+2）x+（2m﹣1）=0恒有两个不相等的实数根；（2）解：按照题意，得12﹣1×（m+2）+（2m﹣1）=0，解得，m=2，则方程的另一根为：m+2﹣1=2+1=3；①当该直角三角形的两直角边是1、3时，由勾股定理得斜边的长度为：；该直角三角形的周长为1+3+=4+；②当该直角三角形的直角边和斜边分离是1、3时，由勾股定理得该直角三角形的另向来角边为2；则该直角三角形的周长为1+3+2=4+2．点评：本题综合考查了勾股定理、根的判别式、一元二次方程解的定义．解答（2）时，采用了“分类研究”的数学思想．49．（2012•乐山）已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x=4m﹣3有实数根．（1）求m的取值范围；（2）设方程的两实根分离为x1与x2，求代数式x1•x2﹣x12﹣x22的最大值．考点：根的判别式；根与系数的关系；二次函数的最值．菁优网版权所有专题：计算题；压轴题．分析：（1）将原方程转化为关于x的一元二次方程，因为方程有实数根，故根的判别式大于等于0，据此列不等式解答即可；（2）将x1•x2﹣x12﹣x22化为两根之积与两根之和的形式，将含m的代数式代入求值即可．解答：解：（1）由（x﹣m）2+6x=4m﹣3，得x2+（6﹣2m）x+m2﹣4m+3=0．∴△=b2﹣4ac=（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣4m+3）=﹣8m+24．∵方程有实数根，∴﹣8m+24≥0．解得m≤3．∴m的取值范围是m≤3．（2）∵方程的两实根分离为x1与x2，由根与系数的关系，得∴x1+x2=2m﹣6，，∴=3（m2﹣4m+3）﹣（2m﹣6）2=﹣m2+12m﹣27=﹣（m﹣6）2+9∵m≤3，且当m＜6时，﹣（m﹣6）2+9的值随m的增大而增大，∴当m=3时，的值最大，最大值为﹣（3﹣6）2+9=0．∴的最大值是0．点评：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、二次函数求最值，综合性较强，考查了学生的综合应用能力及推理能力．50．（2012•黄石）解方程组：．考点：解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有分析：把方程①变形成y=x﹣，代