九年级数学反证法专题讲座(教案)

第1页共2页九年级数学反证法专题讲座教者：蒋昌军一、什么叫反证法？反证法是一种通过证明结论的反面错误，从而得到其正面（即结论）正确的一种几何证明方法。通常分为：①归谬反证法(结论的反面只有一种)②穷举反证法(结论的反面不只一种)。二、用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：1）.先假设结论的反面是正确的;2）.然后以假设为条件进行推理，直至找出一个与所学过的公理、定理或已知的条件相矛盾的结论;3）.否定假设,得出题目原结论正确.【经典例题】例1.求证:在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°已知:△ABC求证:△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A＞60°,∠B＞60°,∠C＞60°,∴∠A＋∠B＋∠C＞180°，与定理“三角形内角和等于180°”矛盾∴△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。例2.求证:两条直线相交有且只有一个交点.已知:直线AB与CD相交于点.求证:AB与CD有且只有一个交点.证明：假设AB与CD还有另一个交点.则过点和有两条直线，这与直线公理“两点确定一条直线”矛盾。∴AB与CD有且只有一个交点.例3.如图,在梯形ABCD中,AD//BC,∠A＝90°,⊙O经过点A、B、D.求证:点C不在⊙O上.证明：假设点C在⊙O上，连接BD，∵∠A＝90°，∴BD是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°,又AD//BC,∴∠B＝90°∴四边形ABCD是矩形,这与已知“四边形是梯形ABCD”矛盾∴点C不在⊙O上.例4.如图，已知⊙O中，非直径的弦AB和CD相交于⊙O内一点P。求证：AB和CD不互相平分证明：假设AB和CD互相平分，连接OP，则由垂径定理，有：OP⊥AB,且OP⊥CD，因此过点P有两条直线AB和CD都与OP垂直这与垂直公理“过已知直线外的一个已知点有并且只有一条直线和已知直线垂直”矛盾，∴AB和CD不互相平分例5.如图，在平面内，AB是L的斜线，CD是L的垂线。求证：AB与CD必定相交。证明：假设：AB与CD不定相交则AB∥CD。而CD⊥L,∴AB⊥L,这与已知条件“AB是L的斜线”矛盾。∴AB与CD必定相交。例6.如图，在△ABC中，∠C＞∠B,求证：AB＞AC。证明：假设AB不大于AC，则就两种可能：AB＝AC或AB＜AC,如果AB＝AC，则∠C＝∠B，这与已知条件“∠C＞∠B”矛盾，∴AB≠AC如果AB＜AC,在取,则连结得，∠＝∠,又,∴∠＞,例7.求证：是无理数。证明：假设是有理数，即假设有一个即约分数（是互质整数），使得，∴，，∵是偶数，∴是偶数，设，则，∴，∴是偶数，于是、就有公约数2，这与假设“是互质整数”矛盾。∴是无理数。例8.如图，在正方形ABCD中，做∠EAF=45°，AP⊥EF。求证：AP=AB.证明：假设AP≠AB,则则就两种可能：AP＞AB或AP＜AB∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝45°，∠1＋∠4＝45°（1）假设AP＞AB，∵cos∠1＝,cos∠2＝,而AP＞AB，∴∠2＜∠1，同理∠3＜∠4，∴∠2＋∠3＜∠1＋∠4又∠1＋∠4＝45°∠2＋∠3＜45°，即∠EAF＜45°，这与已知“∠EAF＝45°”矛盾，∴假设不成立，即“假设AP＞AB”不成立；（2）假设AP＜AB，∵cos∠4＝,cos∠3＝,而AP＞AB＝AD，∴∠3＞∠4，同理∠2＞∠1∴∠3＋∠2＞∠4＋∠1而∠1＋∠4＝45°∴∠3＋∠2＞45