立体几何与空间向量（解析版）2022年高考数学名校模拟题（解答题）（新高考地区专用）

专题3.3立体几何与空间向量

题组一、线面角的计算

1-1、【2022•广东省梅江市梅州中学10月月考】

如图，三棱锥S—ABC的底面ABC和侧面SBC都是等边三角形，且平面SBC_L平面ABC.

(1)若P点是线段M的中点，求证：S4_L平面PBC；

(2)点。在线段出上且满足AQ=：AS,求8Q与平面SAC所成角的正弦值.

【解析】

(I)因为AABC和△S8C都为等边三角形，且有公共边6C，

所以A?=SB=8C=AC=SC因为P为SA的中点，所以S4_L5P,S4LCP,

又因为BPnCP=P,所以S4J•平面尸BC.

(2)取的中点O,连接。4,OS，由条件可得。4,BC,OS两两垂直.

以。为坐标原点，OA，0B，历的方向分别为x,z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图.

则点A(6,o,o),8(0,1,0),C(0,-l,0),S(0,0,5/3),Q竽。由

、

所以巨=(6,1,0),丽=陋0,-⑹,BQ=26[6

3，，3

7

设平面SAC的一个法向量为n=(x,y,z),

n-CA->/3x+y=0,_(「\

则《一LL,令X=l,可得〃=1,一6,1.

n-SA=>j3x-y/3z=0,17

设8Q与平面SAC所成角为氏

1-2、(2021・广东•高三阶段练习)如图，在棱长为3的正方体A8C£>-A8CA中，E,尸分别为棱AB,CD

上一点，且AE=CF=1.

(I)证明：8尸〃平面CiDE.

(2)求8。与平面CQE所成角的正弦值.

【分析】

(1)先证明"〃DE,再用线面平行的判定定理即可证明8尸〃平面CQE；

(2)以。为坐标原点，砺、反、西、的方向为小y、z轴的正方向建立空间直角坐标系。一孙z,用向量法

求解.

(1)

在正方形48CO中，因为AE=CF,所以8E=OF且

所以四边形8££＞尸为平行四边形，

仄而BF//DE,

又平面GQE,r)Eu平面CQE,

所以8尸〃平面GOE.

(2)

以D为坐标原点，DA的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系。-肛2,如图所示，则

£>(0,0,0),£(3,1,0),8(3,3,0),C,(0,3,3),

诙=(3,1,0),DCx=(0,3,3),Bq=(-3,0,3).

设平面C[Z)E的法向量为/i=(x,y,z),

_______[3x+y=0,

则”•£>£=〃•"；=0,即、°八

1\3y+3z=0,

令x=l,得〃=(1,-3,3).

因此IcosG，西)卜\㈣=7+9厂二卓，

1'A|川阳|719x37219

故BC、与平面CQE所成角的正弦值为噜.

1-3、(2022•湖南省长郡中学开学考试)(12分)已知底面为正三角形的斜三棱柱ABC-4SG中，E,F

分别是棱A/”AB的中点，点4在底面投影为AC边的中点O,AiCAAG=P,A\F^AE=G.

(1)证明:PG〃平面A/iQ；

32

(2)若AB=6,44i=5,点M为棱4由上的动点，当直线AM与平面4尸。所成角的正弦值为［…「

时，求点M的位置.

【解答】(1)证明：•.•斜三棱柱ABC-A归iG各侧面均为平行四边形,

...尸为AC的中点，

■:E,尸分别是棱4B|,48的中点，

.".A]E=AF,

又4E〃AF,四边形AFEA｝为平行四边形，

.•.G为4尸的中点,

J.PG//CF,

平面A8C,CA平面A8C,

.•.PG〃平面ABC,

,:平面ABC//平面A\B\C\,

；.PG〃平面4B1G.

(2)解：•.•点4在底面投影为AC边的中点O,.，.A|OL平面4BC,

：.A\O±AC,AiOlOB,

:正△ABC,且。为AC的中点，：.AC±OB,

故以。为原点、OB、0C、04所在的直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(加，0,0),C(0,3,0),A\(0,0,4),F段,

乙乙

0),Bi(373-3,4),

-4),不=(挈等-4).

，A[B[=(3^/3，3,0),A[C=(0,3,

设AiM=aA]B],入曰0,1],则3入，4),

:.氤:(3V3A,3入+3,4).

n*A1C=3y-4z=0

设平面4%的法向量为三=(x,y,z),则-------3^/33

n•A[F=~2~X~'2V~4z=。

令z=3,则*=东&，y=4,.•.==(473-%3),

设直线AM与平面A|FC所成角为0,

则sin0=|cos<7M.3>1=卜AM,n

IAMI-InI

373X473+4(3X+3)+12|48入+24|32

-V27X2+(3X+3)2+16><V48+16+9-V36X2+18X+25X<73-V2117

113g

解得人=?或」著，

bfo

VAe[0,1],.•.入=”，

6

.•.当人送=9加1，即点M在靠近点A的六等分点处时，符合条件.

题组二、面面角的计算

2-1..(2022•苏州期初考试)(本小题满分12分)

在底面为正方形的四棱锥P—ABC。中，平面以OJ_平面A8CL>,PA=PD.E、F分别为棱尸C和AB的中

点.

(1)求证：£尸〃平面以。；

或

(2)若直线PC与AB所成角的正切值为2，求平面布。与平面PBC所成锐二面角的大小.

【解析】

(I)证明：取C/)的中点M,连接EM,FM.

因为E,尸分别为PC和AB的中点，所以EM〃PO,

因为P£>u平面BA。，平面以C,所以EM〃平面附D；

因为四边形ABC。为正方形，

所以A8〃CO,且A8=C£>；所以A尸〃。例，且即四边形AFMO是平行四边形,

所以尸M〃A£>,因为AOu平面BAD,FAQ平面力。，所以FM〃平面B4Z)；.......2分

因为EM,FMu平面EFM,EMDFM=M,所以平面EFM〃平面以。，

因为EFu平面E&W,所以EF〃平面%D........4分

(2)因为平面以。_1_平面ABCO,平面B4OCI平面ABC£)=A。，CDLAD,C£>u平面ABCD,所以C£>J_平面

PAD,所以C£>_LP£>,........6分

因为A8〃CO,所以NPC£>就是直线PC与A8所成的角，

PDA/5「

所以tan/PCD=5^=2，设PD=木,8=2,

分别取AO和8c的中点。，N,连结尸O,ON,因为以=PD,所以POLA。，

因为平面以。_L平面ABCQ,平面B4OA平面ABCQ=A£>,POu平面以D,

所以PO1_平面A8CZ),........8分

如图，建立空间直角坐标系。一xyz,则P(0,0,2),C(-l,2,0),8(1,2,0),

所以C3=(2,0,0),CP=(1,—2,2),设m=(x,y,z)是平面3尸。的一个法向量

\'CP・蔡=0

(x—2y+2z=0-

则［尤=0取y=L则z=l,所以加=(0,1,1),........10分

又n=(0,1,0)是平面PAD的一个法向量,

——m•〃［巫

所以cos<〃?,n>=——=、6x1=2，

\m\\n\"X］乙

一>->工匹

所以vm,n>=4,所以所求二面角的大小为鼠........12分

2-2..(2022•江苏省第一次大联考)(12分)如图，在直三棱柱ABC—A归1G中，ABLAC,AB=AC=AAI=29

M为B房的中点.

(1)记平面ACM与平面48G的交线为/,证明：/〃4G；

(2)求二面角A-CM-B的正弦值.

【解析】

(1)在直三棱柱A8C—4BICI中，AiCi//AC,

又因为ACu面ACM,平面4cM,

所以4G〃平面ACM.2分

又因为平面AiBiGD平面ACM=/,

AiGu平面4BC,所以/〃41c.,4分

(2)以｛鼐，AC,/J为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.

则40,0,0),5(2,0,0),C(0,2,0),M(2,0,1),

所以俞=(2,0,1),AC=(0,2,0),俞=(0,0,1),BC=(-2,2,0).……6分

设"I=(XI,yi,zi)为平面MC8的法向量，

则"I•8例=0,ri],BC=0,得zi=0,x>=y\,

取xi=l,所以〃i=(l,1,0)为平面MCB的一个法向量....8分

设“2=(X2,)2,Z2)为平面A/CA的法向量，

则"2,AM=0,"2,AC=0,得丫2=0,2X2+Z2=0,

取X2=1,所以“2=(1,0,-2)为平面MCA的一个法向量....10分

“I•&]

则COS<〃”"2>=|”||.|”2|=g小=10•

/-js®酒

所以sin<〃i,«2>=I-V10J=10.

3回

所以二面角A—CM—8的正弦值为10....12分

2-3、(2022•武汉部分学校9月起点质量检测)(12分)在如图所示的六面体ABCDE尸中，矩形AOEF，平面

ABCD,AB=AD=AF=\,CD=2,CDLAD,AB//CD.

(1)设〃为CF中点，证明：〃平面AOEF；

(2)求二面角B—CF—E大小的正弦值.

【解析】

(1)延长CB,交D4的延长线于点G,由AB〃CQ,且AB=]CQ,为GC中点.

又”为尸C中点，J.BH//GF.

'：FGu平面ADEF,BHu平面ADEF,

.•.3月〃平面4。£'尸.

(2)以O为坐标原点，DA,DC,虎的方向为x,y,z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则有：2(1,1,0),C(0,2,0),£(0,0,1),F(l,0,1).

设平面8C尸的法向量〃=(x"y\,zi),BC=(—1,1,0),CF=(\-2,1),

n•BC=­x\+y\=0-

f一,取〃=(1,1,1).

n•CF=x\-2y\+zi=0

设平面EFC的法向量加=。2,",Z2),CE=(O,-2,1),

n•CF=-2^2+22=0-

——,取m=(0,1,2).

n•CF=X2-~2y2+z2=0

一m•〃1+2y/3-

COS<77?,心=高7标=小’2

yio

所以二面角8-CF-E大小的正弦值为5.........12分

2-4、［2022-广东省广州市10月调研】如图，在四棱锥P-ABCD中，PAX.平面

ABCD,ADLCD,AD//BC,PA=AT）=Cr>=2,E为PO的中点，分别在PC和尸8上，且

PFMB\

PC~PB-3,

（1）若N在尸C上，且DN//平面AEP，求证：MN//平面ABCO;

（2）若直线尸8与平面A8C£）所成角的正弦值为求二面角/一AE—。的余弦值.

【解析】

（1）因为DV//平面AEF，平面尸804所=所，EF,DNu平面PCD,

所以DN//EF,

因为E为。。的中点，所以尸为PN的中点，

PFMB1

因为分别在PC和上，且一=—

PCPB3

所以尸为PC靠近点P的三等分点，所以所以MN//BC，

PCPB3

因为MVZ平面ABC。，BCu平面A8C£＞，所以MN//平面A8C£＞；

2

（2）Q4J_平面A8CO,直线P8与平面48co所成角的正弦值为一，PA=2,

3

PA2

所以直线PB与平面A3CD所成角的平面角为NPBA,即sinNPBA=——=-,

PB3

所以PB=3,AB=6"＞

过点A作AG_LBC,

因为AD，C£）,AZ）//3C,PA^AD=CD=2,所以AG=2,BG=1,

所以以点A为坐标原点，如图，建立空间直角坐标系，

A（0,0,0）,P（0,0,2）,D（0,2,0）,C（2,2,0）,E（0,l,l）,Ff|,|,||,

f224।

所以AE=(0,1,1),AF=[1,],§J,设平面AEF的一个法向量为

n=(x,,y1,z,)>

n-AE=0y,+z,=0+

则《一，即《卜+乂+2]。’令"T得〃=(1]，山

n-AF=0

由题PAJ_平面ABC。得B4_LCD，因为A£»_LCD,Q4cAD=A，所以。。_1_平面24£），

->->几•m

所以平面尸AD的一个法向量可以为蔡=（1,0,0）,所以c°s,，相I胴

由于二面角E-AE—。为钝二面角，所以二面角厂一AE—。的余弦值为-且

3

题组三、探索性问题

3-1、【2022•广东省阳春市第一中学10月月考】如图，在梯形ABC。中，AB//CD,ZDAB=90°,

AD^DC^-AB^l,四边形ACFE为正方形，平面ACFE_L平面A8C0.

2

(1)求证：平面BC/_L平面ACEE；

(2)点M在线段所上运动，是否存在点M使平面M43与平面ACEE所成二面角的平面角的余弦值为

2,若存在，求线段RW的长，若不存在，说明理由.

3

【解析】

(1)证明：在梯形中，

因为AB〃C。，AD^DC^l,ZADC=-,所以AC=0，

2

又因为AB=2，取A8中点P，连接PC,则PC=1，PB=1，易知BC=J5，

所以AB?=+

所以8C_LAC.

因为平面4。F石_1_平面43。，平面ACEEc平面4BCD=AC，BCu平面A8CO

所以BC_L平面ACFE,又BCu平面BCF.

所以平面BCF±平面ACFE；

（2）山（1）可建立.分别以直线C4，CB，Cb为x轴，y轴，z轴的如图所示空间直角坐标系，令

FM=X（Q<^<y[2\,则C（（）,（）,0）,A（夜,0,0）,B（0,V2,0）,M（2,0,72）

所以防=卜虚,忘,0）,说'=（/1—忘,0,a）

设马=（x,y,z）为平面A44B的一个法向量，

(4-0卜+挺z=0

n,•AB=0

由〈------得

〃1•AM=0--/lx+=0

取》=应，则4=（应,五，虎-X）,

111

因为乙=（0,1,0）是平面ACEE的一个法向量

八F回602

所以丽12+2+曲小」而画%相

可得彳=立，即

22

3-2、(2022•江苏南京市中华中学高三10月月考)(本小题满分12分)

如图，在四棱锥P—ABCD中，以，平面ABC。，AD//BC,AD1CD,§.AD^CD=y[2,BC=2<2,PA=\.

⑴求证：ABLPC；

(2)在线段P。上，是否存在一点M,使得二面角M—AC—D的大小为45。，如果存在，求与平面M4C

所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由.

【解析】

(1)证明：如图，由已知得四边形ABCO是直角梯形,

由AD=CD=y[2,BC—2-\[2,

可得ZiABC是等腰直角三角形，即

AB1AC,

•：PA±TABCD,ABu平面ABCD,

：.PA±AB,又所4c=A,

."B_L平面两C,

又PCu平面PAC,

(2)取BC的中点E,连接4E,则

建立如图所示的空间直角坐标系，则40,0,0),

C(6，立,0),。(0,小,0),P(0,0,1),B(V2,-y[2,0),

布=(0,隹-I),AC=(yj2,<2,0),

设丽=丽0</<1）,

则点M为（0,陋,1-/）,

所以AA/=（0,y[2,I—Z）,

设平面MAC的法向量是"=（x,y,z）,贝！]

n•n=0,Jg+6=0

俞=0"g+（一少=0，

恒

则可取〃=（1,—1,1—挑

又桁=（0,0,1）是平面AC。的一个法向量，

叵

I"?*"I11—/I返

：.\cos<m,n>\=|/M||n|=~=cos45°=2，

y2+（比T

i

解得r=],即点朋是线段PO的中点.

-1

此时平面M4c的一个法向量可取现=（1,-1,啦），BM=（f,2a，）,

设8M与平面MAC所成的角为Q,

_即•BM2水

贝ijsin6=|cos<"o,BM>\——=9-

3-3、（2021•广东・高三阶段练习）如图，在直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=9Q°,AB=AC=AAi=2,

M为AB的中点，N为4G的中点，P是BG与8夕的交点.

ct4

(i)证明：ACLBG；

(2)在线段AN上是否存在点Q,使得PQ〃平面ACM?若存在，请确定。的位置；若不存在，请说明

理由.

【解析】

(1)解法-：连结AG，由线面垂直的判定定理可证得面ACGA,则48,AC,由已知条件可得四

边形AAGC为正方形，则AC_LAG，再由线面垂直的判定定理可得AC，面从而可得A。，Bq,

解法二：以点A为坐标原点,48、CA、AA方向分别为x、y、Z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系A-孙z,

然后利用空间向量证明即可，

(2)解法一：利用空间向量，设旗=/丽(0。41),所以Q(f,T,2),求出平面ACM的法向量G，再由

线面平行的关系可得地,鼠从而可求出/的值，解法二：取中点”，连结8H、、MH,可证得54

//\MC,£”〃平面AMC,从而可得平面B"G〃平面AMC,进而可得尸。〃平面ACM,

(1)

解法一：连结AG，在直三棱柱4BC-AB。中，有仪，面ABC

因为ABi面ABC,所以

△8AC中，/朋C=90。，即ABJ.AC,

因为A41nAe=A,所以43,面ACGA，

因为ACu面4cqA，所以AB_LAC,

在四边形A4,GC中，M1AC«AC=AA,=2,

所以四边形AACC为正方形，所以AC，A£,

因为ABc4C；=A,所以4＜：_1面486,

因为BGu面ABC一所以AC，8C1.

解法二：在直三棱柱A8C-A4a中，因为NB4c=90。，以点A为坐标原点，AB、CA、AA方向分别为工、

y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系A-_xyz.

因为AB=AC=A4)=2,所以A(0,0,2),C(0,-2,0),8(2,0,0),C,(0,-2,2)

所以属=(-2,-2