大学文科数学课件：导数与微分

导数与微分3.1导数的概念3.2函数的求导法则3.3高阶导数和隐函数的导数3.4函数的微分

3.1导数的概念

3.1.1问题的提出

1.变速直线运动的瞬时速度问题

设一质点M从点O开始做变速直线运动，经过T秒到达点P，求该质点在t0∈［0,T］时刻的瞬时速度.

我们建立如图3.1.1所示的坐标系，用s表示质点的位移，那么很明显，s是与时间t相关的，也就是说位移s是时间t的函数，记做s=s(t).

图3.1.1

(1)假设在t0时刻后又产生了一个微小的时间增加Δt，即时间从t0变化到t0+Δt，相应地，质点的位置也从M0变化到了M1，于是就产生了位移增量

Δs=M1－M0=s(t0+Δt)－s(t0)

这一步称为求增量；

(2)为了求得［t0,t0+Δt］这一时间段内质点移动的平均速度，我们用Δs除以Δt，即

这一步称为求增量比；

(3)为了求得t0时刻的瞬时速度，我们可以让时间的间隔Δt越来越小，这样M1就和M0越靠越近，而这一段上的平均速度v也就和t0时刻的瞬时速度v0越靠越近.于是，当Δt→0时，平均速度的极限就是瞬时速度，即

2.曲线切线的斜率问题

假设函数y=f(x)的图像如图3.1.2所示，当x=x0时，函数值y=y0，即图中M0点的位置.当自变量发生了一个小的增量，即从x0变化到x0+Δx时，点的位置变化到了M，这样M0M就成为了该函数的一条割线，同时也产生了函数值的增Δy=f(x0+Δx)－f(x0)，于是这条割线的斜率图3.1.2为了求得f(x)的图像在x0处的切线，我们让M点沿着曲线向M0移动.随着点的移动，M0M这条割线也越来越趋近于M0这点的切线.而点M的移动反映在自变量的变化上则是使Δx越来越趋近于0.于是当Δx→0时，割线的极限就是切线.同时，割线的斜率就变成了切线的斜率.于是若M0点切线的斜率为K，则3.1.2导数的定义

定义3.1.1

设函数y=f(x)在点x0处的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地,函数y也取得增量Δy=f(x0+Δx)－f(x0)；如果当Δx→0时,Δy与Δx之比的极限存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记做即如果上式的极限存在，则称函数f(x)在点x0处可导；反之，则称函数f(x)在点x0处不可导.除了以上的定义形式外，函数f(x)在x0处的导数还有其他的表示方法，比如用h代替自变量增量Δx，即得

而如果令x=x0+Δx，那么Δx→0就意味着x→x0，于是可得例3.1.1求函数f(x)=C的导数，其中C为常数.即(C)′=0例3.1.2设函数f(x)=sinx，求(sinx)′及解即(sinx)′=cosx所以例3.1.4求函数y=x3的导数.

解即(x3)′=3x23.1.3导数的几何意义和物理意义

1.几何意义

例3.1.5

求等边双曲线处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程.

解由导数的几何意义，得切线斜率为

即4x+y－4=0

所求法线方程为即2x－8y+15=03.1.4单侧导数

下面给出左、右导数具体的定义.

左导数:右导数:定理3.1.1（导数存在的充要条件）函数f(x)在点x0处可导左导数f′－

(x0)和右导数f′+(x0)都存在且相等.

由于有了左、右导数的概念，我们就可以将函数f(x)在开区

间(a,b)内可导推广到函数在闭区间可导，即如果f(x)在开区间(a,b)内可导，且f′+(a)及f′－(b)都存在，就说f(x)在闭区间［a,b］上可导.对于左、右导数而言，经常用其讨论分段函数在分段点处的可导性，即设函数讨论其在点x0处的可导性，步骤如下：如果存在存在且则f(x)在点x0处可导，且f′(x0)=a.例3.1.6讨论函数f(x)=|x|在x=0处的可导性.

解因为例3.1.7设函数问a取何值时，f(x)为可导函数?解只需讨论在x=0处f(x)为可导时a的取值情况.

在x=0处，因为3.1.5可导与连续的关系

定理3.1.2

可导函数都是连续函数.

这就意味着，只要函数f(x)在点x0处是可导的，那么它在x0处一定是连续的.但是需要注意，这个定理的逆定理不成立，即函数f(x)在点x0处是连续的，却不一定在x0处是可导的.例3.1.8讨论函数在x=0处的连续性与可导性.解因为是有界函数，所以

又因为，所以f(x)在x=0处连续.但在x=0处有所以f(x)在x=0处不可导.

3.2函数的求导法则

3.2.1函数的和、差、积、商的求导法则

定理3.2.1

如果函数u(x)、v(x)在点x处可导，则它们的和、差、积、商（分母不为零）在点x处也可导，并且

(1)［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)；

(2)［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)；

(3)（v(x)≠0）.例3.2.1求y=x3－2x2+sinx的导数.

解

例3.2.2求的导数.

解例3.2.3求y=sin2x·lnx的导数.

解因为y=2sinx·cosx·lnx，所以例3.2.4求y=tanx的导数.

解即(tanx)′=sec2x

同理可得

(cotx)′=－csc2x例3.2.5求y=secx的导数.

解同理可得(cscx)′=－cscxcotx例3.2.6求y=sinhx的导数.

解同理可得

(coshx)′=sinhx例3.2.7设求f′(x).

解当x<0时，f′(x)=1.

当x>0时，当x=0时，所以f′(0)=1,故例3.2.8求曲线y=2x－x3上与x轴平行的切线方程.

解

y′=2－3x2，令y′=0

2－3x2=0,解得,于是切点为,所以切线方程为和例3.2.9(经济学中的导数)某产品在生产8到20件的情况下，其生产x件的成本与销售x件的收入分别为

C(x)=x3－2x2+12x(元)与R(x)=x3－3x2+10x(元)

某工厂目前每天生产10件，试问每天多生产一件产品的成本为多少？每天多销售一件产品获得的收入为多少？解在每天生产10件的基础上再多生产一件的成本大约

为C′(10)：C′(10)=272(元)即多生产一件的附加成本为272元.边际收入为R′(10)=250(元)即多销售一件产品而增加的收入为250元.3.2.2反函数的导数

定理3.2.2如果函数x=φ(y)在某区间Iy内单调可导且φ′(y)≠0，那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也可导，且有.

这个定理告诉我们，反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例3.2.10求函数y=arcsinx的导数.

解因为x=siny在内单调可导，且(siny)′=cosy>0，所以在Ix∈(－1,1)内，有同理可得，，3.2.3复合函数的求导法则

定理3.2.3如果函数u=φ(x)在点x0处可导，而y=f(u)在点u0=φ(x0)处可导，则复合函数y=f［φ(x)］在点x0处可导，且其导数为即因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导(链式法则).推广设y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，则复合函数

y=f{φ［ψ(x)］}的导数为例3.2.12求函数y=lnsinx的导数.

解因为y=lnu，u=sinx，所以例3.2.13求函数y=(x2+1)10的导数.

解例3.2.14求函数解例3.2.15求函数的导数.

解例3.2.16求导数.

解

3.3高阶导数和隐函数的导数

3.3.1高阶导数

我们把函数f(x)的导数f′(x)的导数称做f(x)的二阶导数，记做其中由此又可以推导出函数的三阶导数定义3.3.1设函数f(x)存在n－1阶导数，并且n－1阶导数也是可导的，那么把f(n－1)(x)的导数称做函数f(x)的n阶导数，记做

f(n)(x)或y(n)

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.二阶导数记做f″(x)，三阶导数记做f″(x)，三阶以上的高阶导数均记做f(n)(x).

例3.3.1设y=arctanx，求。

解因为所以例3.3.2证明：函数满足关系式y3y″+1=0.

证因为

例3.3.3

求由方程xy－ex+ey=0所确定的y的导数

对于这样的问题，我们可以使用复合函数求导法则，直接对方程两边的自变量求导.

解方程两边对x求导，即解得由原方程知，x=0时，y=0.

所以

3.4函数的微分

3.4.1问题的提出

第一个问题:假设一个正方形金属薄片受热后，边长由

x0变到x0+Δx(图3.4.1)，那么它的面积改变了多少？

因为正方形的面积为

A=x02

所以

ΔA=(x0+Δx)2－x20=2x0·Δx+(Δx)2

图3.4.13.4.2微分的定义

定义3.4.1

设函数y=f(x)在某区间内有定义，

x0及

x0+Δx在这区间内,如果函数的增量

Δy=f(x0+Δx)－f(x0)=A·Δx+o(Δx)

成立（其中A是与Δx无关的常数，而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小），则称函数y=f(x)在点x0处可微，并称A·Δx为函数y=f(x)在点x0处相应于自变量增量Δx的微分，记做定理3.4.1函数f(x)在点x0可微的充分必要条件是函数

f(x)在点x0处可导，且A=f′(x0).

上面讨论的是函数f(x)在一点处的可微性.如果函数在一个区间内都是可微的，我们就称f(x)是这个区间上的可微函数，并且把f(x)在任意点x的微分，称为函数的微分，记做

dy

或df(x)

即dy=f′(x)Δx.

例3.4.1求函数y=x3当x=2，Δx=0.02时的微分.

解先求函数在任意点x处的微分，即

dy=(x3)′Δx=3x2Δx

再求当x=2，Δx=0.02时函数的微分，即例3.4.3求函数的微分.

解因为3.4.3微分的几何意义

函数y=f(x)的图像如图3.4.2所示，假定f(x)在点x0处可微，则f′(x0)存在.在x轴上取两点(x0,0)和(x0+Δx,0)，在曲线上对应的有两点M(x0,f(x0))和N(x0+Δx,f(x0+Δx)).过M做平行于x轴的直线，交直线x=x0+Δx与Q；过M做曲线的切线MT(倾角为α)交NQ于P.图3.4.23.4.4基本初等函数的微分公式与微分运算法则

例3.4.4设y=ln(x+ex2)，求dy.

解因为例3.4.5设y=e1－3xcosx，求dy.

解应用积的微分法则，得

dy=cosx·d(e1－3x)+e1－3x·d(cosx)

又因为

(e1－3x)′=－3e1－3x，(cosx)′=－sinx

所以

dy=cosx·(－3e1－3x)dx+e1－3x·(－sinx)dx

=－e1－3x(3cosx+sinx)dx例3.4.8求由方程exy=2x