2024版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题六　第1讲　直线与圆59

第1讲直线与圆[考情分析]1.求直线的方程，考查点到直线的距离公式，直线间的位置关系，多以选择题、填空题的形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一直线的方程核心提炼1．已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.2．点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为零)间的距离d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).例1(1)(多选)已知直线l的倾斜角等于30°，且l经过点(0,1)，则下列结论中正确的是()A．直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋1B．l的一个方向向量为n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))C．l与直线eq\r(3)x－3y＋2＝0平行D．l与直线eq\r(3)x＋y＋2＝0垂直答案ACD解析由题意知直线l的斜率为tan30°＝eq\f(\r(3),3)，且过点(0,1)，所以直线l的方程为y＝eq\f(\r(3),3)x＋1，方向向量为n＝(1，k)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(3),3)))，A正确，B错误；直线eq\r(3)x－3y＋2＝0的斜率为eq\f(\r(3),3)，且不过点(0,1)，故两直线平行，C正确；直线eq\r(3)x＋y＋2＝0的斜率为－eq\r(3)，则两直线斜率之积为－1，故两直线垂直，D正确．(2)当点M(2，－3)到直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0的距离取得最大值时，m等于()A．2B.eq\f(4,7)C．－2D．－4答案C解析将直线(4m－1)x－(m－1)y＋2m＋1＝0转化为(4x－y＋2)m－x＋y＋1＝0，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－y＋2＝0，,－x＋y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2，))所以直线恒过定点N(－1，－2)，当直线MN与该直线垂直时，点M到该直线的距离取得最大值，此时eq\f(4m－1,m－1)×eq\f(－3－－2,2－－1)＝－1，解得m＝－2.易错提醒解决直线方程问题的三个注意点(1)利用A1B2－A2B1＝0后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性．(3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1(1)(多选)下列说法错误的是()A．过点A(－2，－3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x＋y＝－5B．直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)C．经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ(x－1)D．过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)答案AC解析对于A中，当在两坐标轴上的截距相等且等于0时，直线过原点，可设直线方程为y＝kx，又直线过点A(－2，－3)，则－3＝－2k，即k＝eq\f(3,2)，此时直线方程为y＝eq\f(3,2)x，也满足题意，所以A错误；对于B中，直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0可化为(2x＋y－5)m＋2x－3y＋7＝0，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,2x－3y＋7＝0，))解得x＝1，y＝3，即直线2(m＋1)x＋(m－3)y＋7－5m＝0必过定点(1,3)，所以B正确；对于C中，当倾斜角θ＝eq\f(π,2)时，此时直线的斜率不存在，tanθ无意义，所以C错误；对于D中，由两点(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为y－y1＝eq\f(y2－y1,x2－x1)(x－x1)，即(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，当x1＝x2时，此时过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为x＝x1或x＝x2，适合上式，所以过(x1，y1)，(x2，y2)两点的所有直线的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，所以D正确．(2)若两条平行直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是2eq\r(5)，则m＋n＝________.答案3解析因为直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)与l2：2x＋ny－6＝0平行，所以eq\f(2,1)＝eq\f(n,－2)≠eq\f(－6,m)，解得n＝－4且m≠－3，所以直线l2为2x－4y－6＝0，直线l1：x－2y＋m＝0(m>0)化为2x－4y＋2m＝0(m>0)，因为两平行线间的距离为2eq\r(5)，所以eq\f(|2m－－6|,\r(22＋－42))＝2eq\r(5)，得|2m＋6|＝20，因为m>0，所以2m＋6＝20，解得m＝7，所以m＋n＝7－4＝3.考点二圆的方程核心提炼1．圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.2．圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．例2(1)已知圆C1：x2＋y2＝4与圆C2关于直线2x＋y＋5＝0对称，则圆C2的标准方程为()A．(x＋4)2＋(y＋2)2＝4B．(x－4)2＋(y－2)2＝4C．(x＋2)2＋(y＋4)2＝4D．(x－2)2＋(y－4)2＝4答案A解析由题意可得，圆C1的圆心坐标为(0,0)，半径为2，设圆心C1(0,0)关于直线2x＋y＋5＝0的对称点为C2(a，b)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)×－2＝－1，,2×\f(a,2)＋\f(b,2)＋5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－2，))所以圆C2的标准方程为(x＋4)2＋(y＋2)2＝4.(2)(2023·泉州模拟)已知圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0关于直线l：(a＋1)x－ay－1＝0(a≠－1)对称，l与C交于A，B两点，设坐标原点为O，则|OA|＋|OB|的最大值等于()A．2B．4C．8D．16答案B解析圆C：x2＋y2＋mx－2y＝0，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(m,2)))2＋(y－1)2＝1＋eq\f(m2,4)，圆心为Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(m,2)，1))，直线l：(a＋1)x－ay－1＝0，因为a≠－1，所以直线l的斜率不为0，又a(x－y)＋(x－1)＝0，令eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x－1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即直线l恒过定点D(1,1)，又圆C关于直线l对称，所以圆心C在直线l上，所以－eq\f(m,2)＝1，解得m＝－2，所以圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，半径r＝eq\r(2)，显然(0－1)2＋(0－1)2＝2，即圆C过坐标原点O(0,0)，因为l与C交于A，B两点，即A，B为直径的两个端点，如图，所以∠AOB＝90°，所以|OA|2＋|OB|2＝|AB|2＝(2eq\r(2))2＝8≥2|OA|·|OB|，即|OA|·|OB|≤4，当且仅当|OA|＝|OB|＝2时取等号，所以(|OA|＋|OB|)2＝|OA|2＋|OB|2＋2|OA|·|OB|＝8＋2|OA|·|OB|≤16，即|OA|＋|OB|≤4，当且仅当|OA|＝|OB|＝2时取等号，即|OA|＋|OB|的最大值等于4.规律方法解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2(1)(2023·龙岩质检)写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝eq\f(\r(3),3)x及y轴都相切的圆的方程____________．答案(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝1或(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1或(x－2eq\r(3)－3)2＋(y＋2＋eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)或(x＋2eq\r(3)＋3)2＋(y－2－eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)(写出其中一个即可)解析设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为与圆x2＋y2＝1外切，所以eq\r(a2＋b2)＝1＋r，又因为与直线y＝eq\f(\r(3),3)x及y轴都相切，所以r＝|a|＝eq\f(|\r(3)a－3b|,\r(\r(3)2＋－32))＝eq\f(|a－\r(3)b|,2)，所以2|a|＝|a－eq\r(3)b|，即|2a|＝|a－eq\r(3)b|，所以2a＝eq\r(3)b－a或2a＝a－eq\r(3)b，所以b＝eq\r(3)a或a＝－eq\r(3)b，当b＝eq\r(3)a时，因为r＝|a|，eq\r(a2＋b2)＝1＋r，联立得3a2＝2|a|＋1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－\r(3)，))r＝1，所以求得圆的方程为(x－1)2＋(y－eq\r(3))2＝1或(x＋1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1，当a＝－eq\r(3)b时，因为r＝|a|，eq\r(a2＋b2)＝1＋r，联立得eq\f(1,3)a2＝2|a|＋1，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3＋2\r(3)，,b＝－\r(3)－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3－2\r(3)，,b＝\r(3)＋2，))r＝3＋2eq\r(3)，所以求得圆的方程为(x－2eq\r(3)－3)2＋(y＋2＋eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3)或(x＋2eq\r(3)＋3)2＋(y－2－eq\r(3))2＝21＋12eq\r(3).(写出其中一个即可)(2)(2023·福州模拟)已知⊙O1：(x－2)2＋(y－3)2＝4，⊙O1关于直线ax＋2y＋1＝0对称的圆记为⊙O2，点E，F分别为⊙O1，⊙O2上的动点，EF长度的最小值为4，则a等于()A．－eq\f(3,2)或eq\f(5,6) B．－eq\f(5,6)或eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2)或－eq\f(5,6) D.eq\f(5,6)或eq\f(3,2)答案D解析由题易知两圆不可能相交或相切，如图，当EF所在直线过两圆圆心且与对称轴垂直，点E，F又接近于对称轴时，EF长度最小，此时圆心O1到对称轴的距离为4，所以eq\f(|2a＋6＋1|,\r(a2＋4))＝4，即(2a＋7)2＝16(a2＋4)，解得a＝eq\f(3,2)或a＝eq\f(5,6).考点三直线、圆的位置关系核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离．其判断方法为：(1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离．考向1直线与圆的位置关系例3(1)(多选)(2023·阳泉模拟)已知直线l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)与圆C：x2＋y2－2y－8＝0.则下列说法正确的是()A．直线l过定点(－2,2)B．直线l与圆C相离C．圆心C到直线l距离的最大值是2eq\r(2)D．直线l被圆C截得的弦长的最小值为4答案AD解析对于A，因为l：y＝kx＋2k＋2(k∈R)，即y＝k(x＋2)＋2，令x＋2＝0，即x＝－2，得y＝2，所以直线l过定点(－2,2)，故A正确；对于B，因为(－2)2＋22－2×2－8<0，所以定点(－2,2)在圆C：x2＋y2－2y－8＝0的内部，所以直线l与圆C相交，故B错误；对于C，如图，因为圆C：x2＋y2－2y－8＝0，可化为x2＋(y－1)2＝9，圆心C(0,1)，当圆心C与定点(－2,2)的连线垂直于直线l时，圆心C到直线l的距离取得最大值，此时其值为eq\r(－22＋2－12)＝eq\r(5)，故C错误；对于D，由弦长公式|AB|＝2eq\r(r2－d2)可知，当圆心C到直线l的距离最大时，弦长取得最小值，所以直线l被圆C截得的弦长的最小值为2×eq\r(9－5)＝4，故D正确．(2)(2023·新高考全国Ⅱ)已知直线x－my＋1＝0与⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为eq\f(8,5)”的m的一个值为________．答案2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－2，\f(1,2)，－\f(1,2)中任意一个皆可以))解析设直线x－my＋1＝0为直线l，点C到直线l的距离为d，由弦长公式得|AB|＝2eq\r(4－d2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×d×2eq\r(4－d2)＝eq\f(8,5)，解得d＝eq\f(4\r(5),5)或d＝eq\f(2\r(5),5)，又d＝eq\f(|1＋1|,\r(1＋m2))＝eq\f(2,\r(1＋m2))，所以eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(4\r(5),5)或eq\f(2,\r(1＋m2))＝eq\f(2\r(5),5)，解得m＝±eq\f(1,2)或m＝±2.考向2圆与圆的位置关系例4(1)(2023·淄博模拟)“a≥eq\f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析圆C1：x2＋y2＝4的圆心C1(0,0)，半径r1＝2，圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1的圆心C2(a，－a)，半径r2＝1，若两圆有公切线，则|C1C2|≥|r1－r2|，即eq\r(a2＋－a2)≥1，解得a≤－eq\f(\r(2),2)或a≥eq\f(\r(2),2)，所以“a≥eq\f(\r(2),2)”是“圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：(x－a)2＋(y＋a)2＝1有公切线”的充分不必要条件．(2)(多选)(2023·福建统考)已知⊙O：x2＋y2＝1，⊙O1：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)，则下列说法正确的是()A．若r＝2，两圆的公切线过点(－2,0)B．若r＝2，两圆的相交弦长为eq\r(3)C．若两圆的一个交点为M，分别过点M的两圆的切线相互垂直，则r＝3D．当r>3时，两圆的位置关系为内含答案AD解析当r＝2时，如图，两圆的一条公切线分别与⊙O，⊙O1切于点A，B，交x轴于点Q，eq\f(|OQ|,|O1Q|)＝eq\f(|OA|,|O1B|)＝eq\f(1,2)⇒|OQ|＝2，故Q(－2,0)，故A正确；当r＝2时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，公共弦所在的直线方程为x＝eq\f(1,4)，相交弦长为2eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(\r(15),2)，故B错误；若MO⊥MO1，则|MO|2＋|MO1|2＝|OO1|2，即12＋r2＝4，则r＝eq\r(3)，故C错误；当r>3时，r－1>2＝|OO1|，故两圆的位置关系是内含，D正确．规律方法直线与圆相切问题的解题策略当直线与圆相切时，利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外一点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3(1)(2023·邯郸模拟)已知直线l：x－y＋5＝0与圆C：x2＋y2－2x－4y－4＝0交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大值是____________．答案2eq\r(2)＋3解析圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9，则圆C的圆心为C(1,2)，半径r＝3，圆心C到直线l(弦AB)的距离d＝eq\f(|1－2＋5|,\r(2))＝2eq\r(2)，则|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(9－8)＝2，则M到弦AB的距离的最大值为d＋r＝2eq\r(2)＋3，则△MAB面积的最大值是eq\f(1,2)×|AB|×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)＋3))＝2eq\r(2)＋3.(2)(多选)(2023·辽阳模拟)已知⊙E：(x－2)2＋(y－1)2＝4，过点P(5,5)作圆E的切线，切点分别为M，N，则下列命题中真命题是()A．|PM|＝eq\r(21)B．直线MN的方程为3x＋4y－14＝0C．圆x2＋y2＝1与⊙E共有4条公切线D．若过点P的直线与⊙E交于G，H两点，则当△EHG面积最大时，|GH|＝2eq\r(2)答案ABD解析因为圆E的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，所以圆心E的坐标为(2,1)，半径为2，如图，所以|EM|＝|EN|＝2，又P(5,5)，所以|PE|＝eq\r(5－22＋5－12)＝5，由已知得PM⊥ME，PN⊥NE，所以|PM|＝eq\r(|PE|2－|EM|2)＝eq\r(21)，A正确；因为PM⊥ME，PN⊥NE，所以点P，M，E，N四点共圆，且圆心为PE的中点，线段PE的中点坐标为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)，3))，所以圆F的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(7,2)))2＋(y－3)2＝eq\f(25,4)，即x2－7x＋y2－6y＋15＝0，因为eq\f(5,2)－2<|EF|＝eq\f(5,2)<eq\f(5,2)＋2，所以圆E与圆F相交，又圆E的方程可化为x2－4x＋y2－2y＋1＝0，所以圆E与圆F的公共弦方程为3x＋4y－14＝0，故直线MN的方程为3x＋4y－14＝0，B正确；圆x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，因为|OE|＝eq\r(5)，2－1<|OE|<1＋2，所以圆x2＋y2＝1与圆E相交，故两圆只有2条公切线，C错误；如图，设∠HEG＝θ，则θ∈(0，π)，△EHG的面积S△EHG＝eq\f(1,2)|EH|·|EG|sinθ＝2sinθ，所以当θ＝eq\f(π,2)时，△EHG的面积取得最大值，最大值为2，此时|GH|＝eq\r(4＋4)＝2eq\r(2)，D正确．专题强化练一、单项选择题1．(2023·丹东模拟)若直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，则a等于()A．－2 B．1C．－2或1 D．－1或2答案A解析由题意知，直线l1：x＋ay－3＝0与直线l2：(a＋1)x＋2y－6＝0平行，∴1×2＝a(a＋1)，解得a＝－2或a＝1.当a＝－2时，l1：x－2y－3＝0，l2：－x＋2y－6＝0，l1∥l2.当a＝1时，l1：x＋y－3＝0，l2：x＋y－3＝0，l1与l2重合．综上所述，a＝－2.2．(2023·蚌埠质检)直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9的位置关系是()A．相交 B．相切C．相离 D．无法确定答案A解析已知直线l：x＋my＋1－m＝0过定点(－1,1)，将点(－1,1)代入圆的方程可得(－1－1)2＋(1－2)2<9，可知点(－1,1)在圆内，所以直线l：x＋my＋1－m＝0与圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝9相交．3．(2023·湖北星云联盟模拟)过三点A(1,0)，B(2,1)，C(2，－3)的圆与直线x－2y－1＝0交于M，N两点，则|MN|等于()A.eq\f(4\r(5),5) B.eq\f(6\r(5),5)C.eq\f(8\r(5),5) D．2eq\r(5)答案B解析依题意，设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，D2＋E2－4F>0，于是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋D＋F＝0，,5＋2D＋E＋F＝0，,13＋2D－3E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝2，,F＝5，))则圆的方程为x2＋y2－6x＋2y＋5＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝5，其圆心为(3，－1)，半径r＝eq\r(5)，点(3，－1)到直线x－2y－1＝0的距离d＝eq\f(|3－2×－1－1|,\r(12＋－22))＝eq\f(4,\r(5))，所以|MN|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,\r(5))))2)＝eq\f(6\r(5),5).4．(2023·滨州模拟)已知直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，则mn的最大值为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C．1D．2答案B解析由于直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相切，故圆心到直线l的距离d＝eq\f(1,\r(m2＋n2))＝1，即m2＋n2＝1，故mn≤eq\f(m2＋n2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当m＝n＝eq\f(\r(2),2)时取等号．5．(2023·洛阳模拟)已知点P为直线y＝x＋1上的一点，M，N分别为圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1与圆C2：x2＋(y－4)2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为()A．5B．3C．2D．1答案B解析由圆C1：(x－4)2＋(y－1)2＝1，可得圆心C1(4,1)，半径r1＝1，圆C2：x2＋(y－4)2＝1，可得圆心C2(0,4)，半径r2＝1，可得圆心距|C1C2|＝eq\r(4－02＋1－42)＝5，如图，|PM|≥|PC1|－r1，|PN|≥|PC2|－r2，所以|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2|－r1－r2＝|PC1|＋|PC2|－2≥|C1C2|－2＝3，当点M，N，C1，C2，P共线时，|PM|＋|PN|取得最小值，故|PM|＋|PN|的最小值为3.6．(2023·信阳模拟)已知圆C：x2＋y2＋2x－3＝0与过原点O的直线l：y＝kx(k≠0)相交于A，B两点，点P(m，0)为x轴上一点，记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝0，则实数m的值为()A．－3B．－2C．2D．3答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l的方程为y＝kx，代入圆C的方程，得(k2＋1)x2＋2x－3＝0，所以x1＋x2＝－eq\f(2,k2＋1)，x1x2＝－eq\f(3,k2＋1).所以k1＋k2＝eq\f(y1,x1－m)＋eq\f(y2,x2－m)＝eq\f(kx1,x1－m)＋eq\f(kx2,x2－m)＝eq\f(2kx1x2－kmx1＋x2,x1－mx2－m)＝eq\f(2m－6k,x1－mx2－mk2＋1)＝0.因为k≠0，所以2m－6＝0，解得m＝3.7．(2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是()A．1＋eq\f(3\r(2),2) B．4C．1＋3eq\r(2) D．7答案C解析方法一令x－y＝k，则x＝k＋y，代入原式化简得2y2＋(2k－6)y＋k2－4k－4＝0，因为存在实数y，则Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，化简得k2－2k－17≤0，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2)，故x－y的最大值是3eq\r(2)＋1.方法二由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，设x－y＝k，则圆心到直线x－y＝k的距离d＝eq\f(|2－1－k|,\r(2))≤3，解得1－3eq\r(2)≤k≤1＋3eq\r(2).故x－y的最大值为3eq\r(2)＋1.8．已知圆O：x2＋y2＝1，点P在直线l：x－y－2eq\r(2)＝0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，当∠APB最大时，记劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))及PA，PB所围成的平面图形的面积为S，则()A．2<S<3 B．1<S≤2C．1<S≤3 D．0<S<1答案D解析如图所示，圆O：x2＋y2＝1的圆心O的坐标为(0,0)，半径为1，因为在Rt△OBP中，sin∠OPB＝eq\f(r,|OP|)＝eq\f(1,|OP|)，且y＝sinx在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上单调递增，所以当|OP|最小时，∠OPB最大，即∠APB最大，此时OP垂直于直线l，且|OP|＝eq\f(2\r(2),\r(12＋－12))＝2，|PA|＝|PB|＝eq\r(3)，从而四边形OAPB的面积为S四边形OAPB＝2×eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\r(3)，设∠AOP＝θ，则∠AOB＝2θ，S扇形OAB＝eq\f(1,2)×12×2θ＝θ，从而劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))及PA，PB所围成的平面图形的面积为S＝eq\r(3)－θ，又因为sinθ＝eq\f(\r(3),2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,3)，从而0<S＝eq\r(3)－θ＝eq\r(3)－eq\f(π,3)<1.二、多项选择题9．下列说法正确的是()A．直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2,4)B．直线y＋1＝3x在y轴上的截距为1C．直线eq\r(3)x＋3y＋5＝0的倾斜角为120°D．过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0答案AD解析对于A选项，直线方程可化为y＝a(x－2)＋4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＝0，,y＝4，))可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝4，))所以直线y＝ax－2a＋4(a∈R)必过定点(2,4)，A正确；对于B选项，直线方程可化为y＝3x－1，故直线y＋1＝3x在y轴上的截距为－1，B错误；对于C选项，直线eq\r(3)x＋3y＋5＝0的斜率为－eq\f(\r(3),3)，该直线的倾斜角为150°，C错误；对于D选项，过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程可设为2x＋y＋c＝0，则2×(－2)＋3＋c＝0，可得c＝1，所以过点(－2,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为2x＋y＋1＝0，D正确．10．(2023·湖南联考)已知直线l1：y＝kx＋1，l2：y＝mx＋2，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝6，下列说法正确的是()A．若l1经过圆心C，则k＝1B．直线l2与圆C相离C．若l1∥l2，且它们之间的距离为eq\f(\r(5),5)，则k＝±2D．若k＝－1，l1与圆C相交于M，N，则|MN|＝2答案AC解析对于A，因为圆心C(1,2)在直线y＝kx＋1上，所以2＝k＋1，解得k＝1，A正确；对于B，因为直线l2：y＝mx＋2恒过定点(0,2)，且(0－1)2＋(2－2)2<6，即点(0,2)在圆C内，所以l2与圆C相交，B错误；对于C，因为l1∥l2，则m＝k，故kx－y＋1＝0与kx－y＋2＝0之间的距离d＝eq\f(1,\r(k2＋1))＝eq\f(\r(5),5)，所以k＝±2，C正确；对于D，当k＝－1时，直线l1：y＝－x＋1，即x＋y－1＝0，因为圆心C(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d2＝eq\f(2,\r(1＋1))＝eq\r(2)，所以|MN|＝2eq\r(6－\r(2)2)＝4，D错误．11.如图所示，该曲线W是由4个圆：(x－1)2＋y2＝1，(x＋1)2＋y2＝1，x2＋(y＋1)2＝1，x2＋(y－1)2＝1的一部分所构成，则下列叙述正确的是()A．曲线W围成的封闭图形的面积为4＋2πB．若圆x2＋y2＝r2(r>0)与曲线W有8个交点，则eq\r(2)≤r≤2C.eq\o(BD,\s\up8(︵))与eq\o(DE,\s\up8(︵))的公切线方程为x＋y－1－eq\r(2)＝0D．曲线W上的点到直线x＋y＋5eq\r(2)＋1＝0的距离的最小值为4答案ACD解析曲线W围成的封闭图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为1的相同的半圆，所以其面积为2×2＋2×π×12＝4＋2π，故A正确；当r＝eq\r(2)时，交点为B，D，F，H；当r＝2时，交点为A，C，E，G；当0<r<eq\r(2)或r>2时，没有交点；当eq\r(2)<r<2时，交点个数为8，故B错误；设eq\o(BD,\s\up8(︵))与eq\o(DE,\s\up8(︵))的公切线方程为y＝kx＋t(k<0，t>0)，由直线和圆相切可得eq\f(|t－1|,\r(1＋k2))＝1＝eq\f(|k＋t|,\r(1＋k2))，解得k＝－1，t＝1＋eq\r(2)(t＝1－eq\r(2)舍去)，则其公切线方程为y＝－x＋1＋eq\r(2)，即x＋y－1－eq\r(2)＝0，故C正确；同理可得eq\o(HB,\s\up8(︵))，eq\o(HG,\s\up8(︵))的公切线方程为x＋y＋1＋eq\r(2)＝0，则两平行线间的距离d＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(5\r(2)＋1－1－\r(2))),\r(2))＝4，因为曲线W上的点到直线x＋y＋5eq\r(2)＋1＝0的距离最小值为eq\o(HB,\s\up8(︵))，eq\o(HG,\s\up8(︵))上的切点到直线的距离，即为两平行线间的距离，为4，故D正确．12．已知圆O：x2＋y2＝4和圆C：(x－3)2＋(y－3)2＝4，P，Q分别是圆O，圆C上的动点，则下列说法正确的是()A．圆O与圆C有四条公切线B．|PQ|的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3\r(2)－4，3\r(2)＋4))C．x－y＝2是圆O与圆C的一条公切线D．过点Q作圆O的两条切线，切点分别为M，N，则存在点Q，使得∠MQN＝90°答案ABD解析对于选项A，由题意可得，圆O的圆心为O(0,0)，半径r1＝2，圆C的圆心C(3,3)，半径r2＝2，因为两圆圆心距|OC|＝3eq\r(2)>2＋2＝r1＋r2，所以两圆外离，有四条公切线，A正确；对于B选项，|PQ|的最大值等于|OC|＋r1＋r2＝3eq\r(2)＋4，最小值为|OC|－r1－r2＝3eq\r(2)－4，B正确；对于C选项，显然直线x－y＝2与直线OC平行，因为两圆的半径相等，则外公切线与圆心连线平行，由直线OC：y＝x，设直线为y＝x＋t，则两平行线