2024学生版大二轮数学新高考提高版（京津琼鲁辽粤冀鄂湘渝闽苏浙黑吉晋皖云豫新甘贵赣桂）专题二　培优点5　极化恒等式、奔驰定理与等和线定理75

培优点5极化恒等式、奔驰定理与等和线定理1.如图，AB为⊙O的直径，P是上任一点，M，N是直径AB上关于点O对称的两点，且AB＝6，MN＝4，则eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))等于()A．13B．7C．5D．32．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)3．如图，在四边形MNPQ中，若eq\o(NO,\s\up6(→))＝eq\o(OQ,\s\up6(→))，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝6，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝10，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MQ,\s\up6(→))＝－28，则eq\o(NP,\s\up6(→))·eq\o(QP,\s\up6(→))等于()A．64 B．42C．36 D．284.如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P为正方体表面上的动点，当弦MN的长度最大时，eq\o(PM,\s\up6(→))·eq\o(PN,\s\up6(→))的取值范围是()A．[0,1] B．[0,2]C．[1,3] D．[0,4]5．(2023·佛山模拟)已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足MB＝2MA，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的最大值是()A．－eq\f(9,4)B．4C．12D．186.(多选)给定两个长度为1的平面向量eq\o(OA,\s\up6(→))和eq\o(OB,\s\up6(→))，它们的夹角为eq\f(2π,3)，如图所示，点C在以O为圆心的上运动，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，则x＋y的取值可以是()A．1B.eq\f(5,4)C．2D.eq\f(5,2)7．(多选)(2023·六安模拟)已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S△BOC，S△AOC，S△AOB，则S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是△ABC的三个内角，以下命题正确的有()A．若2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝4∶3∶2B．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝2，∠AOB＝eq\f(2π,3)，且2eq\o(OA,\s\up6(→))＋3eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC＝eq\f(9\r(3),4)C．若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))，则O为△ABC的垂心D．若O为△ABC的内心，且5eq\o(OA,\s\up6(→))＋12eq\o(OB,\s\up6(→))＋13eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则∠ACB＝eq\f(π,2)8.(2023·黄冈模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝45°.若M为菱形ABCD内部(含边界)任一点，则eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))的取值范围是________．9．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.则△ABC的面积为________．10.如图，圆O是边长为2eq\r(3)的等边△ABC的内切圆，其与BC