八年级数学上册专题12.2.1 三角形全等的判定1（SSS）（教师版）

专题12.2.1三角形全等的判定1（SSS）目标导航目标导航1.经历探索三角形全等条件的过程，掌握和会用“SSS”条件判定两个三角形全等；2.使学生经历探索三角形全等的过程，体验操作、归纳得出数学结论的方法.3.通过探究三角形全等的条件的活动，培养学生观察分析图形的能力及运算能力，培养学生乐于探索的良好品质以及发现问题的能力.知识精讲知识精讲知识点01三角形全等的判定（SSS）知识点文字：在两个三角形中，如果有三条边对应相等，那么这两个三角形全等.图形：符号：在与中，【知识拓展1】边边边判定三角形全等的条件例1．（2021·北京·首都师大二附八年级期中）如图，AC＝FD，BC＝ED，要利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是（

）A．①或② B．②或③ C．①或③ D．①或④【答案】A【分析】根据全等三角形的SSS判定条件解答即可．【详解】解：∵AE=FB，∴AE+BE=FB+BE，∴AB=FE，在△ABC和△FED中，，∴△ABC≌△FED（SSS），∵AE=BE和BF=BE推不出AB=FE，∴可利用的是①或②，故选：A．【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．【即学即练】1．（2022•辽宁铁岭八年级月考）如图，AB＝AC，DB＝DC则直接由“SSS”可以判定（）A．△ABD≌△ACDB．△ABE≌△ACE C．△EBD≌△ECDD．以上答案都不对【分析】本题已知AB＝AC，DB＝DC，AD是公共边，具备了三组边对应相等，所以即可判定△ABD≌△ACD．【解答】解：在△ABD与△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）．故选：A．【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．【知识拓展2】利用“SSS”尺规作图例2．（2022.重庆市八年级月考）在学习了利用尺规作一个角的平分线后，爱钻研的小燕子发现，只用一把刻度尺也可以作出一个角的平分线．她是这样作的（如图）．（1）分别在∠AOB的两边OA，OB上各取一点C，D，使得OC＝OD；（2）连接CD，并量出CD的长度，取CD的中点E；（3）过O，E两点作射线．则OE就是∠AOB的平分线．请你说出小燕子这样作的理由．【分析】求证OE是∠AOB的平分线，实际是求证∠COE＝∠DOE，就是证明这两个角所在的三角形全等．【解答】解：在△OCE与△ODE中，∴△OCE≌△ODE（SSS）；∴∠COE＝∠DOE（全等三角形的对应角相等）；∴OE就是∠AOB的平分线．故小燕子这样作是正确的．【点评】本题主要考查全等三角形的判定，求证在不同三角形的两个角相等，通常是利用全等来进行证明．【即学即练】2.（2022•赫章县八年级期末）如图所示，尺规作图作∠AOB的平分线，方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于C、D，再分别以点C、D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，由作法得到△OCP≌△ODP的根据是．【分析】根据同圆或等圆的半径相等得两三角形的对应边相等，再根据SSS定理证明△OCP≌△ODP．【解答】解：∵OC＝OD，PC＝PD（同圆或等圆的半径相等），OP＝OP（公共边），∴△OCP≌△ODP（SSS）．故填SSS．【点评】本题考查了三角形全等的判定方法；题目说明了利用尺规作图方法作角平分线时要满足三角形全等的方法SSS．知识点02利用SSS判定三角形全等（应用）【微点拨】一般方法是把实际问题先转化为数学问题，再转化为三角形问题，其中，画出示意图，把已知条件转化为三角形中的边角关系是关键．【知识拓展1】利用边边边判定三角形全等（实际应用）例1．（2022·福建莆田·八年级期末）莆仙戏是现存最古老的地方戏剧种之一，被称为“宋元南戏的活化石”，2021年5月莆仙戏《踏伞行》获评为“2020年度国家舞台艺术精品创作扶持工程重点扶持剧目”．该剧中“油纸伞”无疑是最重要的道具，依伞设戏，情节新颖，结构巧妙，谱写了一曲美轮美奂、诗意盎然的传统戏曲乐歌．“油纸伞”的制作工艺十分巧妙．如图，伞圈D沿着伞柄滑动时，总有伞骨，，从而使得伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的．为什么？【答案】见解析【分析】利用SSS证明，即可得到，由此证得结论．【详解】证明：∵在和中，，∴，∴，即AP平分．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．【即学即练1】1．（2022•定边县期末）如图，两根长12m的绳子，一端系在旗杆上的同一位置，另一端分别固定在地面上的两个木桩上（绳结处的误差忽略不计），现只有一把卷尺，如何来检验旗杆是否垂直于地面？请说明理由．【分析】用卷尺测量出BD＝CD，然后利用“SSS”证明△ABD和△ACD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠ADC，再求出∠ADB＝∠ADC＝90°，即可进行判定．【解答】解：用卷尺测量出BD、CD，看它们是否相等，若BD＝CD，则AD⊥BC．理由如下：∵在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，又∵∠ADB+∠ADC＝180°，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，即AD⊥BC．【点评】本题考查了全等三角形的应用，比较简单，关键在于利用全等三角形对应角相等判断∠ADB＝∠ADC＝90°．【知识拓展2】利用SSS判定三角形全等（个数问题）例2．（2022•播州区八年级期末）在正方形方格纸中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，如图是5×7的正方形方格纸，以点D，E为两个顶点作格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出（）A．2个 B．4个 C．6个 D．8个【分析】根据图形可知BC＝DE，再根据全等三角形的判定定理得出答案即可．【解答】解：与△ABC全等的三角形有△DEF，△DEQ，△DER，△DEW，共4个三角形，故选：B．【点评】本题考查了全等三角形的判定定理，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．【即学即练2】2．（2022•江岸区校级月考）如图，方格中△ABC的三个顶点分别在正方形的顶点（格点上），这样的三角形叫格点三角形，图中可以画出与△ABC全等的格点三角形共有（）个．（不含△ABC）A．28 B．29 C．30 D．31【分析】当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，由此即可判断．【解答】解：当点B在下面时，根据平移，对称，可得与△ABC全等的三角形有8个，包括△ABC，当点B在其它3条边上时，有3×8＝24（个）三角形与△ABC全等，∴一共有：8+24﹣1＝31（个）三角形与△ABC全等，故选：D．【点评】本题考查全等三角形的判定，平移，对称等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．知识点03利用SSS判定三角形全等（计算与证明）【知识拓展1】利用SSS证明三角形全等（计算类）例1．（2022·浙江杭州·八年级期末）如图，在中，点，点分别在边，边上，连接，，．(1)求证：．(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)45°【分析】（1）证明△ADE≌△ACE（SSS），由全等三角形的性质得出∠ADE=∠C；（2）由等腰三角形的性质得出∠BDE=∠BED=75°，求出∠C的度数，则可求出答案．【解析】(1)证明：连接．在△ADE和△ACE中，，∴△ADE≌△ACE（SSS），∴∠ADE=∠C；(2)∵BD=BE，∠B=30°，∴∠BDE=∠BED=×（180°-30°）=75°，∴∠ADE=105°，∵∠ADE=∠C，∴∠C=105°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-105°=45°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，证明△ADE≌△ACE是解题的关键．【即学即练1】1．（2021·浙江·温州市八年级期中）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．（1）求证：△ABC≌△EDF．（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．【答案】（1）见解析；（2）70°【分析】（1）由可求得，利用可证得：；（2）由邻补角可求得，结合（1）可求，利用三角形的内角和可求解．【详解】（1）证明：，，即，在与中，，；（2）解：，，，，．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解题的关键是对全等三角形的判定条件的掌握与应用．【知识拓展2】利用SSS证明三角形全等（证明类）例2．（2022·山东泰安·七年级期末）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”。如图，四边形是一个筝形，其中，.请说明：（1）；（2）垂直平分线段.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.【分析】（1）根据已知条件利用SSS即可证明全等；（2）由得到，再根据AD=CD利用等腰三角形的“三线合一”性质即可证得垂直平分线段.【详解】（1）在和中，，∴.（2）由（1）知，∴∵，∴垂直平分线段.【点睛】此题考查三角形全等的判定定理及性质定理，熟记定理并熟练运用是关键.【即学即练2】2.（2022•荔城区校级月考）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，且B，D，E三点共线，求证：∠3＝∠1+∠2．【分析】由△ABD≌△ACE，可得∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，由∠3＝∠BAD+∠ABD，可得∠3＝∠1+∠2．【解答】证明：在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴∠BAD＝∠1，∠ABD＝∠2，∵∠3＝∠BAD+∠ABD，∴∠3＝∠1+∠2．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．3．（2020·山东·夏津县教学工作研究室八年级期中）如图，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E，F为CD的中点，说明AF⊥CD的理由．【答案】理由见详解【分析】可求解△ABC≌△AED（SAS）全等，得出CF=FD，再由△ACF≌△ADF（SSS），∠AFC=∠AFD，即可得AF⊥CD．【详解】解：连接AC，AD．在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC=AD．∵F为CD的中点，∴CF=DF．在△ACF和△ADF中，∴△ACF≌△ADF（SSS），∴∠AFC=∠AFD．∵∠AFC+∠AFD=180°，∴∠AFC=∠AFD=90°，∴AF⊥CD．【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质；熟练掌握全等三角形的判定及性质，本题的关键是通过作辅助线，把问题转化为三角形全等来解决，这是一种很重要的方法，注意掌握应用．能力拓展能力拓展考法01利用SSS证明三角形全等（探究与存在性问题）【典例1】（2022•莲湖区校级八年级月考）如图，在△ABC中，AC＝BC，D是AB上的一点，AE⊥CD于点E，BF⊥CD于点F，若CE＝BF，AE＝EF+BF．试判断直线AC与BC的位置关系，并说明理由．【分析】根据AE⊥CD，BF⊥CD，得到∠AEC＝∠BFC＝90°，由于CF＝CE+EF，CE＝BF，得到CF＝EF+BF，于是得到AE＝CF，证得△ACE≌△CBF，得出∠BCF＝∠CAE，然后根据∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝∠CAE+∠AEC＝90°，即可得到结论．【解答】解：AC⊥BC，理由如下：∵AE⊥CD，BF⊥CD，∴∠AEC＝∠BFC＝90°，∴∠CAE+∠ACE＝90°，∵CF＝CE+EF，CE＝BF，∴CF＝EF+BF，∵AE＝EF+BF，∴AE＝CF，在△ACE≌△CBF中，∴△ACE≌△CBF，∴∠BCF＝∠CAE，∴∠ACB＝∠BCF+∠ACE＝∠CAE+∠AEC＝90°，∴AC⊥BC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质定理是解题的关键变式1．（2022·山东济宁·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，于点B，于点D，点E，F分别在AB，AD上，，．(1)若，，求四边形AECF的面积；(2)猜想∠DAB，∠ECF，∠DFC三者之间的数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)48(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC，证明见解析【分析】（1）连接AC，证明△ACE≌△ACF，则S△ACE＝S△ACF，根据三角形面积公式求得S△ACF与S△ACE，根据S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE求解即可；（2）由△ACE≌△ACF可得∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC，根据垂直关系，以及三角形的外角性质可得∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．可得∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【解析】(1)解：连接AC，如图，在△ACE和△ACF中∴△ACE≌△ACF（SSS）．∴S△ACE＝S△ACF，∠FAC＝∠EAC．∵CB⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CB＝6．∴S△ACF＝S△ACE＝AE·CB＝×8×6＝24．∴S四边形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝24＋24＝48．(2)∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC证明：∵△ACE≌△ACF，∴∠FCA＝∠ECA，∠FAC＝∠EAC，∠AFC＝∠AEC．∵∠DFC与∠AFC互补，∠BEC与∠AEC互补，∴∠DFC＝∠BEC．∵∠DFC＝∠FCA＋∠FAC，∠BEC＝∠ECA＋∠EAC，∴∠DFC＋∠BEC＝∠FCA＋∠FAC＋∠ECA＋∠EAC＝∠DAB＋∠ECF．∴∠DAB＋∠ECF＝2∠DFC【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，三角形的外角的性质，掌握三角形全等的性质与判定是解题的关键．变式2．（2022·浙江金华·八年级期中）已知：如图，．（1）求证：；（2）请直接判断与的位置关系．【答案】（1）见详解；（2）AE∥CF，理由见详解【分析】（1）证得DF＝BE，可证明△ABE≌△CDF（SSS）．（2）由全等三角形的性质得出∠AEB＝∠DFC，得出∠AEF＝∠EFC，则可得出结论．【详解】（1）证明：∵DE＝BF，∴DE−EF＝BF−EF．即DF＝BE，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SSS）．（2）解：AE∥CF．理由：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠DFC，∵∠AEB＋∠AEF＝∠DFC＋∠EFC＝180°，∴∠AEF＝∠EFC，∴AE∥CF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1．（2022·重庆渝北·八年级期末）工人常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使CM＝CN，过角尺顶点C作射线OC，由此作法便可得△NOC≌△MOC，其依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【分析】利用边边边，可得△NOC≌△MOC，即可求解．【详解】解：∵OM＝ON，CM＝CN，，∴△NOC≌△MOC（SSS）．故选：A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．2．（2022•郯城县期中）如图，在△ACD和△BCE中，AC＝BC，AD＝BE，CD＝CE，∠ACE＝55°，∠BCD＝155°，AD与BE相交于点P，则∠BPD的度数为（）A．110° B．125° C．130° D．155°【分析】由条件可证明△ACD≌△BCE，可求得∠ACB，再利用三角形内角和可求得∠APB＝∠ACB，则可求得∠BPD．【解答】解：在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠ACD＝∠BCE，∠A＝∠B，∴∠BCA+∠ACE＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACB＝∠ECD（∠BCD﹣∠ACE）（155°﹣55°）＝50°，∵∠B+∠ACB＝∠A+∠APB，∴∠APB＝∠ACB＝50°，∴∠BPD＝180°﹣50°＝130°，故选：C．【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．3．（2022·上海·七年级专题练习）若干个正六边形拼成的图形中，下列三角形与△ACD全等的有（）A．△BCE B．△ADF C．△ADE D．△CDE【答案】C【分析】根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）结合图形进行判断即可．【详解】解：根据图象可知△ACD和△ADE全等，理由是：∵根据图形可知AD＝AD，AE＝AC，DE＝DC，在△ACD和△AED中，∴△ACD≌△AED（SSS），故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．4．（2022·山东·乐陵市实验中学八年级阶段练习）如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，B，D，E三点在同一直线上，则________．【答案】30°【分析】先根据SSS证明△ABD≌△ACE，然后根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠2，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：∵AB＝AC，AD＝AE，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SSS），∴∠ABD=∠2，∵B，D，E三点在同一直线上，∴∠ABD=∠3－∠1=55°－25°=30°，即∠2=30°．故答案为：30°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的外角性质，属于基础题型，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．5．（2022·辽宁锦州·七年级期中）如图所示，点B，F，C，E在一条直线上AB=DE，BF=CE，当添加边方面的条件为_______时，△ABC≌△DEF．【答案】AC=DF【分析】根据全等三角形的判定定理SSS得出即可．【详解】解：适合的条件是AC=DF，∵BF=CE，∴BF+FC=CE+FC，即BC=EF，理由是：∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），故答案为：AC=DF．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．6．（2022·河南信阳·八年级期中）如图，在△ABC和△DEF中，点B，E，C，F在同一直线上，请你在下列4个条件（①﹣④）中选3个条件作为条件作为题设，余下的1个做为结论，写出一个真命题，并证明．①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF．题设：；结论：．（填序号）【答案】①②④，③，见解析【分析】如果①②④联合，利用SSS易证△ABC≌△DEF，从而可得∠ABC＝∠DEF．【详解】解：如图，在△ABC和△DEF中，点B、E、C、F在同一条直线上，如果AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．那么∠ABC＝∠DEF．证明：∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，即BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ABC＝∠DEF；故答案是：①②④；③．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．7．（2021·北京·一模）已知：如图1，在中，．求作：射线，使得．下面是小明设计的尺规作图过程．作法：如图2，①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于，两点；②以点为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点；③以点为圆心，长为半径作弧，两弧在内部交于点；④作射线．所以射线就是所求作的射线．根据小明设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．证明：连接，．，，．__________，__________，（__________）（填推理的依据）．【答案】（1）见解析；（2），，同位角相等两直线平行【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用全等三角形的性质证明即可．【详解】解：（1）如图，射线即为所求作．（2）连接，．，，．，，（同位角相等两直线平行）．故答案为：，，同位角相等两直线平行．【点睛】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．8．（2022·安徽安庆·八年级期末）如图，在和中，点在边上，边交边于点，若，，，求证：.【答案】见解析【分析】根据SSS证明△ABC≌△DEB，得到，即可得到.【详解】证明：在与中，，∴.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．9．（2021·江苏·南闸实验学校八年级阶段练习）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF．求证：．【答案】见解析【分析】由“”即可证得．【详解】证明：，，，在和中，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法“SSS”是本题的关键．10．（2022·广西钦州·八年级期末）如图，点A、F、C、D在一条直线上，．（1）求证：；（2）求证：．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）利用SSS即可判断△ABC≌△DEF；（2）利用全等三角形的性质即可证明.【详解】证明：（1）∵点A、F、C、D在一条直线上，，∴．在与中∴，（2）∵△ABC≌△DEF，∴∠BCA＝∠EFD，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．题组B能力提升练1．（2022·湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级阶段练习）作一个角等于已知角∠ABC，①以B为圆心作圆弧分别与BA，BC交于点，；②以O为圆心为半径作圆弧与射线OG交于点D；③以D为圆心为半径作圆弧与②中所作圆弧交于点E；④作射线OE，则∠DOE为所作的角；上述尺规作图中用到了下面（

）判定三角形全等．A．“SSS” B．“AAS” C．“SAS” D．“SSA”【答案】A【分析】由作图可知：BA'=BC'=OE=0D，C'A'=DE，根据SSS即可判断两个三角形全等．【详解】解：连接A'C'，DE，由作图可知：BA'=BC'=OE=OD，C'A'=DE，∴△A'BC'≌△EOD（SSS）．故选：A．【点睛】本题考查作图一复杂作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握尺规作图的基本知识，属于中考常考题型．2．（2022·全国·八年级课时练习）如图，已知与，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中，，，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据已知条件可证，则，再利用三角形的外角的性质可得，进而可求解．【详解】在和，即故选：【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键是利用三角形全等得出对应角相等．3．（2021·山东临沂·八年级期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形PCQD是一个筝形，其中，，在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③；④，其中正确的结论有（

）A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④【答案】D【分析】根据全等三角形的判定和性质定理以及等腰三角形的性质即可得到结论．【详解】解：在△PCQ与△PDQ中，，∴△PCQ≌△PDQ（SSS），故①正确；∴∠CPQ=∠DPQ，∵CP=DP，∴PQ⊥CD，CE=DE，故②③正确；∴S四边形PCQD=S△PCQ+S△PDQ=PQ•CE+PQ•DE=PQ（CE+DE）=PQ•CD，故④正确；故选：D．【点睛】本题题了等腰三角形的性质，以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．4．（2022·贵州·七年级期中）如图，B，C都是直线上的点，点A是直线上方的一个动点，连接得到，D，E分别为上的点，且．当线段与具有_________的位置关系时满足．【答案】【分析】利用“SSS”证明△AED和△BCD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠C，再根据垂直的定义证明即可．【详解】当AC⊥BC时，DE⊥AB；∵AC⊥BC，∴∠C＝90°，∵在△AED和△BCD中，∴△AED≌△BCD(SSS)，∴∠AED＝∠C＝90°，∴DE⊥AB．故答案为：AC⊥BC．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直的定义，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．5．（2022·江苏常州·八年级期末）如图，△DEF的3个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，这样的三角形叫做格点三角形．在图中，有______个格点三角形（不与△DEF重合）与△DEF全等．【答案】3【分析】本题考查的是用SSS判定两三角形全等．认真观察图形可得答案．【详解】解：如图，不妨设小正方形的边长为1，由勾股定理可求得当一条边和DF重合时，则点M在点E右侧一个单位，满足条件当一条边NC和DF平行时，则共有两个，和满足条件综上可知最多可画3个格点三角形，可画出如图所示，故答案为：3．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意确定出三角形的位置．6．（2022·吉林·长春市八年级阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则点中在的平分线上是______________点．【答案】Q【分析】先找到OA、OB上的格点E、F，连接EQ、FQ，证明，即可进行判断．【详解】解：如图,连接EQ、FQ，由图可知OE=OF，EQ=FQ，OQ=OQ，∴∴∴OQ平分，∴点Q在∠AOB的平分线上．故答案为：Q．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟悉SSS判定是解题关键．7．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期中）如图，AB＝AC，BD＝CD，AD＝AE，∠EDC＝16°，则∠BAD＝___度．【答案】32【分析】证明△ABD≌△ACD（SSS），得出∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，求出∠ADE＝90°﹣∠EDC＝74°，由等腰三角形的性质得出∠AED＝∠ADE＝74°，由三角形内角和定理即可得出答案．【详解】解：在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝90°﹣∠EDC＝90°﹣16°＝74°，∵AD＝AE，∴∠AED＝∠ADE＝74°，∴∠BAD＝∠CAD＝180°﹣2×74°＝32°；故答案为：32．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．8．（2022·全国·八年级专题练习）如图，已知，AB＝AD，BC＝CD．(1)求证：△ABC≌△ADC；(2)若∠1＝30°，∠2＝50°，求∠D的度数．【答案】(1)见解析(2)100°【分析】（1）利用SSS即可证明△ABC≌△ADC；（2）首先利用三角形内角和定理得出∠B的度数，再根据全等三角形的性质可得答案．（1）证明：在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）；（2）解：∵∠1＝30°，∠2＝50°，∴∠B＝180°﹣∠1﹣∠2＝180°﹣30°﹣50°＝100°，∵△ABC≌△ADC，∴∠D＝∠B＝100°，答：∠D的度数为100°．【点睛】本题考查全等三角形，灵活运用全等三角形的判断和性质是解题的关键．9．（2022·江苏·徐州市第二十六中学八年级阶段练习）如图，AB＝CD，BC＝DA，求证：AB∥CD，BC∥DA．【答案】见解析【分析】连接，利用得到，利用全等三角形的对应角相等得到两对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证．【详解】证明：连接，在和中，，∴，∴，∴，．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．10．（2022·全国·八年级专题练习）如图，AD＝CB，E，F是AC上两动点，且有DE＝BF(1)若E，F运动如图①所示的位置，且有AF＝CE，求证：△ADE≌△CBF；(2)若E，F运动如图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？(3)若E，F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）AD与CB不一定平行，理由详见解析.【分析】（1）根据AF=CE可得AF+EF=CE+EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（2）根据AF=CE可得AF-EF=CE-EF，即AE=CF，利用SSS即可证明△ADE≌△CBF；（3）根据已知两个条件，不能判定△ADE≌△CBF，不能确定∠A=∠C，即可得AD和CB不一定平行.【详解】（1）∵AF=CE，∴AF+EF=CE+EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF.（2）成立.理由如下：∵AF=CE，∴AF-EF=CE-EF，即AE=CF，在△ADE和△CBF中，∴△ADE≌△CBF.（3）AD与CB不一定平行，理由如下：∵只给了两组对应相等的边，∴不能判定△ADE≌△CBF，∴不能判定∠A与∠C的大小关系，∴AD与CB不一定平行，【点睛】本题考查全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角题组C培优拔尖练1．（2022·四川德阳·八年级期末）工人师傅常用角尺平分一个任意角，做法如下：如图，是一个任意角，在边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合．过角尺顶点作射线．由此做法得的依据是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析已知条件，找相等的条件进行分析即可作出正确选择．【详解】∵OM=ON，CM=CN，OC为公共边，∴△MOC≌△NOC（SSS）．故选：D．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．2．（2022·江苏·如皋市实验初中八年级阶段练习）如图是5×5的正方形网格中，以D，E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等，这样格点三角形最多可以画出（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】观察图形可知：DE与AC是对应边，B点的对应点在DE上方两个，在DE下方两个共有4个满足要求的点，也就有四个全等三角形．【详解】根据题意，运用“SSS”可得与△ABC全等的三角形有4个，线段DE的上方有两个点，下方也有两个点，如图．故选C．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，解答本题的关键是按照顺序分析，要做到不重不漏．3．（2022·陕西汉中·八年级期末）如图，在四边形中，与交于，，，下列结论不一定成立的是（

）A．平分B．垂直平分C．D．【答案】D【分析】先根据已知条件得出△ABC≌△ADC，再逐一判断各个选项即可【详解】在△ABC和△ADC中AB=AD，CB=CD，AC=AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∴AC平分∠BAD，故A选项正确，不符合题意；∵AB=AD，AC平分∠BAD，∴AC垂直平分BD，故B选项正确，不符合题意；∵AC垂直平分BD，∴BE=DE，∠BEC=∠DEC=，又∵CE=CE，∴△BEC≌△DEC，故C选项正确，不符合题意；由已知条件不能得出AB=BD，∴D选项不一定成立，符合题意．故选：D．【点睛】本题老查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．4．（2021·全国·八年级专题练习）如图，点在线段上，若，且，，，则下列角中，大小为的角是A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明得到、，再根据可得；然后根据外角的性质可得即可解答．【详解】解：在和中，，，，，，=，．故答案为．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，弄清题意、理清角之间的关系是解答本题的关键．5．（2022·全国·八年级课时练习）如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（）A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B【答案】C【详解】由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．【分析】解：∵BF＝EC，∴BF+FC＝EC+FC，∴BC＝EF，在△ABC与△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），∴∠ACB＝∠DFE，∴2∠DFE＝180°﹣∠FGC，故选：C．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS；SAS；ASA；AAS；以及HL（直角三角形的判定方法）．6．（2022·广东深圳·七年级期末）如图，在与中，与相交于点，若，，，，，则的度数为______．【答案】50°【分析】利用SSS证明△ACD≌△BCE可得∠A=∠B，∠ACD=∠BCE，结合已知角度可求解∠ACB=50°，由∠A=∠B，∠1=∠2可得∠APB=∠ACB=50°，即可求解．【详解】解：在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠A=∠B，∠ACD=∠BCE，∵∠ACE=55°，∠BCD=155°，∴∠ACD+∠BCE=∠BCD+∠ACE=155°+55°=210°，∴∠BCE=∠ACD=105°，∴∠ACB=∠BCE-∠ACE=105°-55°=50°，∵∠A=∠B，∠1=∠2，∴∠APB=∠ACB=50°，故答案为50°．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，证明△ACD≌△BCE是解题的关键．7．（2021·湖北·武汉市第六初级中学八年级阶段练习）如图，，，，，则四边形与面积的比值是______．【答案】1【分析】根据题意易证，可知．根据图形可知，，即，即可求出比值．【详解】∵AC=AB+BC=2+6=8，∴AC=BF，又∵CE=CF，BC=AE，∴，∴，