初中九年级数学课件-垂径定理“十市联赛”一等奖

§24.1.2垂直于弦的直径·O你知道赵州桥吗？它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶，它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弦长）为37.4m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，两侧半圆会有什么关系？重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？可以发现：

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线（或者任何经过圆心的直线）都是它的对称轴，所以两侧半圆折叠后完全重合.

活动一·如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）此圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE解析：（1）圆是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线.（2）相等的线段：AE=BE相等的弧:把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，弧AC与弧BC重合，弧AD与弧BD重合．活动二AC=BC,AD=BD⌒⌒⌒⌒·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．几何语言：∵CD过圆心O，CD⊥AB∴AP=BPAD=BDAC=BC⌒⌒⌒⌒①直线CD过圆心O②CD⊥弦AB垂径定理：③AE=BE④AD=BD⑤AC=BC⌒⌒⌒⌒·ABCDOE①直线CD过圆心O③AE=BE②CD⊥AB④AD=BD⌒⌒⑤AC=BC⌒?⌒活动三垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

1.在⊙O中，OC⊥弦AB，AB=8，OA=5，则AC=

，OC=

.┏5843口算，并说说理由2.在⊙O中，C是AB的中点，AB=16，OA=10，则∠OCA=

°，OC=

.10906解：连接OA,在⊙O中，直径CD⊥弦AB,∴AB=2AM,△OMA是直角三角形,∵直径CD=20,∴AO=CO=10,∴OM=OC–CM=10–4=6,在Rt△OMA中，由勾股定理得：∴∴AB=2AM=16.└经典例题：如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，CD=20，CM=4，求AB.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．·OABE解：答：⊙O的半径为5cm.在Rt△AOE中,你会了吗？OEDCBA常见辅助线：连接半径、作弦心距；常用的四个量：半径r、弦长a、弦心距d、弓形的高h之间的关系

活动四h+d=r常用技巧：构造直角三角形，设未知数，由垂径定理、勾股定理列方程。解得：R≈27.9（m）BODACR在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2在图中如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，根据结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒解：·OABCDE垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．小结：你今天学到了什么？有关弦的问题，常常连接半径