专题3.2函数基本性质的灵活应用（十二个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第一册）（解析版）

专题3.2函数基本性质的灵活应用知识点1函数的单调性1.单调性的定义增函数减函数定义一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数图象描述自左向右看,图象是上升的自左向右看,图象是下降的温馨提示：定义中的有以下3个特征（1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般；（2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间．2．函数的单调区间如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间．温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质．（2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等．（3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性．知识点2最值定义几何意义最大值一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最大值．函数的最大值是图象最高点的纵坐标最小值一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足：①,都有；②,使得.那么,称是函数的最小值．函数的最小值是图象最低点的纵坐标注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素．（2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值．（3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值．重难点1函数单调性的判断与证明1．（多选）下列函数中，满足对任意，当时，都有的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】先判断函数是增函数,然后由函数的解析式判断.【详解】因为对任意，当时，都有，所以函数增函数，因为，，在上是增函数，

在上是减函数，故选：ACD2．（多选）下列函数中，在区间上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】根据函数的单调性一一判定即可.【详解】由一次函数的单调性可知实数集内单调递增，故A正确，实数集内单调递减，故D错误；由二次函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，故B正确；由反比例函数的单调性可知在和上单调递增，故C正确.故选：ABC3．（多选）下列函数中，在上为增函数的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】因得，可化简各函数解析式，转化为基本初等函数的单调性判断.【详解】在A中，当时，在上为减函数；在B中，当时，在上是增函数；在C中，当时，在上是增函数；在D中，当时，在上为增函数.故选：BCD.4．已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：函数f（x）在R上是增函数.【答案】证明见解析【分析】根据函数单调性定义，设，则，得证.【详解】设，则，从而，即，又，即，故f（x）在R上是增函数.5．设函数．用定义证明函数在区间上是单调减函数；【答案】证明见解析；【分析】根据定义法证明函数单调性的步骤即可求解.【详解】证明：任取，因为在上是单调减函数6．已知定义在上的函数满足：①对任意的，都有；②当且仅当时，成立．(1)求；(2)用定义证明的单调性；【答案】(1)0；(2)见解析.【分析】（1）利用赋值法结合条件计算即可；（2）利用单调性的定义作差计算即可.【详解】（1）令，则由题意可得，（2）任取且，即，由题意可得，而当且仅当时，，所以，即，所以函数在单调递减.7．已知函数，且，.(1)求的解析式；(2)用函数单调性的定义证明：在上单调递减.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求函数的解析式；（2）利用单调性的定义证明即可.【详解】（1）由已知有，解得，，∴.（2）证明：任取，，且，则，∵，，且，∴，，，∴，即，∴在上单调递减.重难点2求函数的单调区间8．函数的单调递减区间是（

）A． B．和C． D．和【答案】B【分析】将绝对值函数转化成分段函数，由二次函数的性质即可求【详解】，则由二次函数的性质知，当时，的单调递减区间为；当，的单调递减区间为，故的单调递减区间是和.故选：B9．函数的单增区间为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】得出分段函数解析式，即可得解.【详解】.因为，，所以的增区间是．故选：D10．如图为的图象，则它的单调递减区间是.【答案】和【分析】由单调性定义结合函数图象进行求解.【详解】由单调性定义可得的单调递减区间为和.故答案为：和11．函数单调减区间是.【答案】【分析】画出函数的图像，从图像上即可得结论.【详解】由，如图所示：由图可知函数单调减区间是：，故答案为：.12．已知函数，则的单调递增区间为.【答案】【分析】利用分段函数的单调性求解即可．【详解】当时，单调递减；当时，，在上单调递增，在单调递减；故答案为：13．已知函数(1)在直角坐标系内画出的图象；(2)根据函数的图象写出函数的单调区间和值域．【答案】(1)答案见解析(2)单调递增区间为，单调递减区间为，值域为．【分析】（1）根据分段函数中两段函数的解析式，结合二次函数和一次函数的图象特征，即可画出函数的图象；（2）根据图象直接求函数的单调区间和值域.【详解】（1）图象如图所示：

（2）由图可知的单调递增区间为，单调递减区间为，值域为．重难点3复合函数的单调性14．函数的单调递增区间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出函数的定义域，再根据二次函数及复合函数的性质求解即可.【详解】由题意可得：，解得：，即或，根据二次函数及复合函数的性质可知，的单调递增区间为：.故选：C.15．函数的单调减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求解函数的定义域，然后根据二次函数的性质判断函数的增减区间即可；【详解】由函数有意义得，解得.函数图象的对称轴为直线在上单调递增，在上单调递减，的单调递减区间是.故选：C.16．（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（

）A．函数在R上单调递增B．函数在上单调递增C．函数在上单调递减D．函数在上单调递减【答案】AB【分析】由复合函数的单调性判断方法逐一判断即可.【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确；因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确；因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故C错误；因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误.故选：AB.17．（多选）若函数均是定义域为R的增函数，则下列函数在其定义域上为增函数的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】设，由题意可得，利用单调性的定义可判AC；举反例可判断C；根据复合函数的单调性的判断方法可判断D.【详解】函数均是定义域为R的增函数，所以不是常数函数，设，则，对于A，设则，所以为单调递增函数，故A正确；对于B，函数均是定义域为R的增函数，但是不是单调增函数，故B错误；对于C，设，则因为，所以，，即是定义域为R的增函数，故C正确；对于D，因为函数均是定义域为R的增函数，根据复合函数的单调性可得是定义域为R的增函数，故D正确.故选：ACD.18．已知函数在上单调递减，则函数的单调递减区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由是复合函数，则根据复合函数同增异减原则来判断单调区间即可．【详解】令，则在上为减函数；在上为增函数，又函数在上单调递减，则根据复合函数同增异减原则得的单调递减区间为．故选：C．19．已知，则的单调递增区间为．【答案】，【分析】利用复合函数单调性满足同增异减进行求解.【详解】令，故在上单调递增，在上单调递减，令得或4，当时，，当时，，当时，且单调递增，又在单调递增，由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递增，当时，，且单调递减，由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递增，其他区间不满足要求.故答案为：，重难点4根据单调性解不等式20．已知是定义在上的增函数，且，则满足的x的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的单调性进行求解即可.【详解】因为，所以由，因为是定义在上的增函数，所以有，故选：A21．函数的定义域为，且对于任意均有成立，若，则正实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由题意，可知在上单调递减，又，所以,解不等式即可得解.【详解】由题意,，不失一般性不妨假设，则，所以在上单调递减，又，所以,解不等式得,则正实数的取值范围为.故选：B.22．已知函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据二次函数图象与性质得到函数在上单调递减，从而得到，即可求解.【详解】由题意得：当时，，则函数在上单调递减，且当时，，则函数在上单调递减，且，所以函数在上是减函数，又，所以，解得：，实数的取值范围是.故选：C.23．已知函数的定义域为，对满足，，当时，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，探讨函数的单调性，并求出的值，再利用单调性脱去法则“f”求解作答.【详解】对满足，且当时，，，且，则，有，于是，因此在上单调递增，又，解得，从而，则，解得或，所以原不等式的解集是.故选：D24．函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】根据题意，做出函数的图像，然后结合函数的单调性即可求解.【详解】

根据题意，做出函数的图像如图所示，由函数的图像可知，函数在上单调递增，所以等价于，解得，所以不等式的解集为.故答案为：25．已知函数，．(1)判断函数的单调性，并利用定义证明；(2)若，求实数m的取值范围．【答案】(1)在上单调递增；证明见解析(2)．【分析】（1）由单调性的定义直接证明即可；（2）结合单调性构造关于m的不等式求解．【详解】（1）证明：，，任取，可知，因为，所以，，，所以，即，故在上单调递增；（2）由（1）知：在上单调递增，所以，可得，解得故实数m的范围是．26．函数的定义域为，对于，，，且当时，．(1)证明：为减函数；(2)若，求不等式的解集．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据函数单调性的定义及当函数中时，的性质即可证明；（2）由抽象函数的性质化简，结合函数单调性及定义域列出不等式组可得解.【详解】（1）设，且，则，，因为，所以，即为减函数.（2）因为，所以，令，则，即，所以，又因为在上单调递减，所以，解得，所以不等式的解集为.重难点5根据函数的单调性求参数27．若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据二次函数的性质即可求解.【详解】已知是二次函数，其对称轴为，开口向上，要使得函数在区间上是减函数，则必须，即，所以实数的取值范围是.故选：D.28．已知函数在时，随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据的正负性，结合一次函数和二次函数的单调性进行求解即可.【详解】当时，函数是实数集上的减函数，所以在时，随的增大而减小，符合题意，当时，二次函数的对称轴为，因为在时，随的增大而减小，所以有，综上所述：的取值范围是，故选：D29．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为.【答案】【分析】根据复合函数单调性求解即可.【详解】解：根据复合函数单调性可知，函数在区间上单调递减,因此可知对称轴，且，解得.故答案为：30．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【分析】要求分段函数每一段上均单调递增，且分段处，右端函数值大于等于左端函数值，从而得到不等式组，求出实数的取值范围.【详解】根据题意得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：31．设为实数，函数在上单调递增，则的取值范围是．【答案】【分析】利用给定的分段函数是增函数列出不等式组，再解不等式组作答.【详解】由函数在上单调递增，得，解得，所以的取值范围是.故答案为：32．若在区间上是增函数，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据题意在区间上是增函数，同时在区间上恒成立，即可求出结果.【详解】因为在区间上是增函数，所以在区间上是增函数，则，即，同时在区间上恒成立，又在区间上是增函数，所以，即，所以实数a的取值范围是.故答案为：.33．已知函数为减函数，实数的取值集合为.(1)求集合；(2)集合，若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据单调性列出不等式，得出集合；（2）由得，，讨论，结合包含关系得出实数的取值范围.【详解】（1）因为函数为减函数，则在上单调递减，所以，解得又在上单调递减，所以.又，解得，综上，，则.（2）由得，，不等式可化为，进一步得，当时，，不满足当时，，不满足当时，，因为，所以，解得.综上，实数的取值范围是.重难点6求函数的最大(小)值34．若函数在上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是（）A．2 B．C．2或 D．0【答案】C【分析】根据一次函数单调性，分类讨论，解出即可【详解】当时，由题意得，则；当时，，则；综上，.故选：C.35．已知函数，则的值域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由一次函数和二次函数的性质，分别求在两段定义区间内的值域，取并集得的值域.【详解】由二次函数性质可知，当时，在上单调递增，在上单调递减，且，，，所以；由一次函数性质可知，当时，单调递增，所以，综上：函数的值域为.故选：A.36．若函数的值域是，则函数的值域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，，则，然后由对勾函数的单调性可求出函数的值域【详解】解：令，，则．当时，单调递减，当时，单调递增，又当时，，当时，，当时，，所以函数的值域为，故选：B．37．对任意，给定，，记函数，则的最小值是.【答案】4【分析】根据定义及一次函数、二次函数的单调性计算最小值即可.【详解】由定义可知当时，解之得，此时，当时，则，解之得或，此时，综上，易知在上单调递减，最小值为4，在取得；在上单调递增，在上单调递减，所以，综上的最小值是4.故答案为：4.38．已知函数(1)判断并证明函数在区间上的单调性；(2)求函数在区间上的值域．【答案】(1)单调递增，证明见解析；(2)【分析】（1）利用定义法得到函数的单调性；（2）在（1）的基础上得到，从而求出函数在上的值域.【详解】（1）在上单调递增，理由如下：，且，则，因为，且，所以，故，故，所以函数在区间上的单调递增；（2）由（1）知在区间上的单调递增，所以，其中，所以的值域为.39．已知函数过点．(1)求的解析式；(2)判断在区间上的单调性，并用定义证明．(3)求函数在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)在区间上单调递增，证明见解析(3)最小值为，最大值为.【分析】（1）把点代入函数解析式，求出的值，可得的解析式；（2）利用定义法证明函数单调性；（3）利用函数单调性，可函数在区间内的最值.【详解】（1）由函数过点，有，解得，所以的解析式为：．（2）在区间上单调递增.证明：，且，有．由，得．则，即．所以在区间上单调递增．（3）由在上是增函数，所以在区间上的最小值为，最大值为.40．（1）求二次函数在上的最小值；（2）求函数在闭区间上的最小值．【答案】（1）；（2）【分析】（1）易知函数图象的对称轴是，再分，和讨论求解；（2）由，分设，，讨论求解.【详解】解：（1）∵函数图象的对称轴是，∴当时，在上是增函数，∴.当时，在上是减函数，∴.当时，.设在的最小值为.∴（2）.设在上的最小值为.当时，在上是增函数，∴；当，即时，；当即时，在上是减函数，∴.综上，.重难点7函数不等式的恒(能)成立问题 41．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题的关键是将已知转化为在的最小值不小于在的最小值，然后解不等式即可.【详解】由得，，当时，，∴在单调递减，∴是函数的最小值，当时，为增函数，∴是函数的最小值，又∵，都，使得，可得在的最小值不小于在的最小值，即，解得，故选：A．42．（多选）已知函数，若恒成立，则实数m可以是（

）A．－3 B． C．4 D．5【答案】BCD【分析】利用分离常数的方法得到函数的值域，然后将恒成立转化为即可得到的取值范围.【详解】函数，因为，所以，故．因为恒成立，即，也就是．故选：BCD．43．设，当时，恒成立，则的取值范围是.【答案】【分析】结合二次函数的图象，列出不等式组，解之即可求解.【详解】由题意知，当时恒成立，如图，则有，即，解得或，即实数a的取值范围为.故答案为：.44．设函数的定义域为，满足，且当时，．(1)求的值；(2)若不等式对任意恒成立，求t的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，求得函数的最大值，再结合函数的平移变换，由图像即可得到结果.【详解】（1）由已知，即，即有，当时，故，当时，，所以，所以．（2）当时，．所以函数在上递增，在上递减，所以．由得到，可得当图像向右平移2个单位时，

最大值变为原来的倍，最大值不断变小，由得到，可得当图像向左平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断变大，当时，，当时，，因为当时，，由，得，令，解得或．结合图象可知当时，恒成立，即不等式恒成立，则t的取值范围是.45．已知函数，.(1)若函数的定义域和值域均为，求的值；(2)若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由二次函数的性质求出区间上最值，结合值域列方程组求参数；（2）由区间的单调性得，进而确定上函数单调性并求最值，问题化为最大值与最小值的差小于等于9求参数范围.【详解】（1）因为的图象开口向上，且对称轴为，所以在上单调递减，所以，，因为定义域和值域均为，所以，解得.（2）因为在上是减函数，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.又，所以，因为对任意的，，总有成立，所以，即，整理得，，解得，，又，所以的取值范围为.46．若二次函数对任意都满足且最小值为-1，．(1)求的解析式；(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）法一：可设，由得到，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；法二：可设，由得到图象的对称轴，求出，结合二次函数的最小值和，求出，求出答案；（2）转化为在上恒成立，求出的最小值大于即可，求出的单调性，进而求出的最小值，从而得到实数的取值范围.【详解】（1）法一：由为二次函数，可设，∵，则代入得，化简：，因为其对任意都成立，所以，即．又因为最小值为-1，且，∴，解得，∴；法二：由为二次函数，可设，∵函数满足，∴图象的对称轴为，即，最小值为-1，且，∴，∴∴；（2）∵，即在上恒成立，即满足函数的最小值大于．又∵当时，对称轴为，故在单调递减，单调递增．∴在的最小值在取得，即∴，故的取值范围是.47．函数.(1)若当时，恒成立，求实数a的取值范围；(2)若存在，使成立，求实数a的取值范围；(3)若当时，恒成立，求实数x的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）将问题转化为恒成立的问题，然后根据判别式即可得到答案；（2）由题意可转化为在上有解，构造函数，然后对参数分类讨论，利用二次函数的图像和性质使即可得到答案；（3）令，在时，有恒成立，由此列出不等式组，即可得到答案.【详解】（1）∵当时，恒成立，需，即，解得，∴实数a的取值范围是.（2）由题意可转化为在上有解，令，当时，需，函数图象的对称轴方程为，且抛物线的开口向上，当时，，解得，当时，，解得，综上可得，满足条件的实数a的取值范围是.（3）令，可知函数的图象为一条直线，当时，有恒成立，只需，即，解得或.所以实数x的取值范围是.知识点3函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于轴对称奇函数如果对于函数的定义域内任意一个，都有图象关于原点对称注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域；（2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．知识点4奇偶函数的性质（1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有.（2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致．（3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反．重难点8函数奇偶性的判断48．函数满足，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出各项对应的解析式，根据奇函数定义判断是否为奇函数即可.【详解】A：，定义域为，不关于原点对称，不符合；B：，定义域为关于原点对称，且，符合；C：，定义域为，不关于原点对称，不符合；D：，定义域为，不关于原点对称，不符合；故选：B49．下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别判断各选项中函数的奇偶性和单调性即可.【详解】函数是偶函数，在区间上单调递增，∴A选项错误；函数是偶函数，时，单调递减，∴B选项正确；函数定义域为，不为偶函数，∴C选项错误函数定义域为，不为偶函数，∴D该选项错误．故选：B．50．（多选）给定四个函数，其中是奇函数的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据奇函数的定义，先考查函数的定义域，再考查与的关系即可判定.【详解】对于A，函数的定义域为R，，，则函数是奇函数；对于B，函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；对于C，函数的定义域为R，,则函数不为奇函数；对于D，函数的定义域为，，则函数是奇函数.故选：51．（多选）如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为奇函数的是（）A． B．C． D．【答案】AD【分析】根据奇函数的定义逐个分析判断即可【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，令，对于A，的定义域为，因为，所以是奇函数，所以A正确，对于B，的定义域为，因为，所以为偶函数，所以B错误，对于C，的定义域为，因为，所以，，所以为非奇非偶函数，所以C错误，对于D，的定义域为，因为，所以为奇函数，故选：AD52．设函数的定义域为，并且满足，且，当时，．(1)求的值；(2)判断函数的奇偶性；【答案】(1)(2)奇函数【分析】（1）令，即可得解；（2）令，即可得出结论.【详解】（1）由，令，得，所以；（2）奇函数，理由如下：由，令，则，又的定义域为，所以函数为奇函数.53．判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】(1)奇函数(2)是奇函数，也是偶函数(3)既不是奇函数，也不是偶函数(4)奇函数(5)偶函数【分析】利用奇偶函数的定义与性质判断即可.【详解】（1）因为，其定义域为，关于原点对称，又，所以是奇函数.（2）因为，所以，解得，则的定义域为，关于原点对称，且，故是奇函数，也是偶函数.（3）因为，所以，解得或，则的定义域不关于原点对称，所以既不是奇函数，也不是偶函数．（4）因为，易知定义域关于原点对称，当时，，，；当时，，，.所以函数为奇函数；（5）因为，所以，所以且，所以函数的定义域为关于原点对称，又，所以函数为偶函数.重难点9奇偶函数的图象特征54．若函数是偶函数，则函数的图象对称轴是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的平移即可求解原函数的对称轴.【详解】是偶函数，的图象关于轴对称，又的图象是的图象向左平移一个单位长度得到，的对称轴为，故选：B.55．若命题是奇函数，命题的图像经过坐标原点，则p是q的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】取反例，判断p和q之间的关系，即可判断答案.【详解】取，定义为，函数为奇函数，但其图象不过原点，故p不是q的充分条件；取，其图象过原点，该函数不是奇函数，故p不是q的必要条件，故p是q的既不充分也不必要条件，故选：D56．若定义在R上的奇函数在区间上的图象如图所示，则的单调减区间是．

【答案】和【分析】由图象可求出函数在上减区间，再由函数为奇函数可得其在上的减区间，从而可答案【详解】由图可知在区间上的减区间为，因为是定义在R上的奇函数，所以在上的减区间为，所以的单调减区间是和，故答案为：和57．定义在上的函数是奇函数，其部分图象如图所示：则与的大小关系为（填“>”“<”或“=”）.【答案】【分析】根据奇函数的图象特征可作出函数的图象，结合图象可得出与的大小关系．【详解】因为是奇函数，所以其图象关于原点对称，如图所示：观察图象，知．故答案为：＞．58．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，函数图象为抛物线的一部分(1)请画出函数当时的图象；(2)写出函数的解析式，值域，增区间．【答案】(1)图象见解析(2)，的值域为，增区间为，.【分析】（1）根据偶函数的性质可作时的图象.（2）根据函数图象可得时函数的解析式，根据偶函数的性质可求，结合图象可求其值域和增区间.【详解】（1）时函数的图象如图所示：（2）由题设中的图象可得，有两个解，它们分别为，故可设，而，故，解得，故当时，.而当时，，，因为偶函数，故，所以.从题设的函数图象可得，当时，的取值范围为，因为为偶函数，故的值域为，当时，在上为增函数，在为减函数，因为为偶函数，故在上为减函数，在为增函数，故的增区间为，.重难点10利用函数的奇偶性求值59．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，若，则（

）A．1 B．3C． D．【答案】D【分析】由偶函数的性质得列式求解．【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，解得．故选：D60．设为上的奇函数，且当时，，则（

）A．12 B． C．13 D．【答案】C【分析】根据为上的奇函数，求出.【详解】因为为上的奇函数，所以，，所以.故选：C61．已知函数是定义在上的奇函数，且，则（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根据题意可得，结合，即可得解.【详解】因为，所以，则，又是定义在上的奇函数，则，则.故选：C62．已知是定义在R上的偶函数，且当时，，则.【答案】1【分析】根据偶函数的性质即可求得答案.【详解】由题意是定义在R上的偶函数，且当时，，则，故答案为：163．函数，其中､､是常数，且，则．【答案】【分析】根据奇函数的知识求得正确答案.【详解】依题意，，，所以，所以.故答案为：64．已知函数，若，则.【答案】【分析】由题意可得，根据奇函数的定义可知函数为奇函数，结合计算即可求解.【详解】∵，∴令，则由定义域为R，关于原点对称且，∴为奇函数，∴，∴，∵，∴．故答案为：-13.重难点11利用奇偶性求解析式65．已知函数在上为奇函数，且当时，，则当时，的解析式是.【答案】【分析】利用函数的奇偶性可得答案.【详解】因为为奇函数，所以，设，则，则，所以.故答案为：.66．已知函数是奇函数，当时，，则时，，若，则m的值为．【答案】【分析】由函数奇偶性得到时，再代入，结合求出m的值.【详解】时，，故，又是奇函数，故，所以，故，故时，；，解得.故答案为：，67．已知函数,,且当时,.(1)若函数是偶函数,求;(2)是否可能是奇函数?若可能,求的表达式;若不可能,说明理由.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据函数为偶函数得求解即可.（2）当时,,利用代入求解析式即可.【详解】（1）因为函数是偶函数,所以,则.（2）可能是奇函数,若是奇函数,则,且，当时,,所以,所以.68．已知是定义在上的奇函数，当时，；(1)求，的值；(2)求的解析式.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据题意，求出的值，由奇函数的性质计算可得答案；（2）令，则，利用奇函数的性质求出的表达式，综合可得答案．【详解】（1）根据题意，当，，则，是奇函数，则．（2）令，则，由已知，∵是奇函数，∴当时，，∴69．函数是定义在R上的奇函数，且．(1)求实数a，b的值，并确定的解析式；(2)判断在上的单调性，并用定义证明．【答案】(1)，，(2)在上单调递增，证明见解析【分析】（1）由函数为奇函数，，又，列方程可解出实数a，b的值，得到的解析式；（2）时，判断的符号，得到函数的单调性.【详解】（1）∵是定义在R上的奇函数，∴，解得，又，解得．∴，，．（2）设，且．∵，∴，