初中数学八年级上册期中复习课件：专题 轴对称

期中复习课件轴对称第一课时

轴对称图形轴对称知识梳理轴对称图形的定义及性质两个图形成轴对称的定义及性质用坐标表示轴对称并画出轴对称图形线段垂直平分线的性质及判定1.轴对称图形的定义如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴.知识梳理2.两个图形成轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴.知识梳理知识梳理3.线段垂直平分线的定义经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.ABlO┐几何语言：如图所示，直线l是线段AB的垂直平分线.则：AO=BO，l⊥AB.知识梳理4.图形轴对称的性质如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.5.轴对称图形的性质

轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.知识梳理6.线段垂直平分线的性质

线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.几何语言：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上，则有PA=PB.ABl┐CP知识梳理7.线段垂直平分线的判定

与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线.几何语言：如图，已知线段AB，∵PA=PB,∴点P在线段AB的垂直平分线上.ABl┐CP知识梳理8.什么是轴对称变换由一个平面图形可以得到与它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同.9.什么是轴对称变换的性质新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分.知识梳理10.画轴对称图形的方法

画轴对称图形的方法可以归纳为“一找、二画、三连”：找：在原图形上找特殊点（如线段端点等）；画：画出各个特殊点关于对称轴的对称点；连：依次连接各对称点；连接对称点得到的图形即为所求.知识梳理11.关于坐标轴对称的点的坐标规律

（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y），特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数.

（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y），特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.知识梳理12.在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法

计算：计算出已知图形中的一些特殊点的对称点的坐标；描点：根据对称点的坐标描点；连接：按原图对应连接所描各点得到对称图形.重点解析11.下列图形中只有一条对称轴的是（）A

B

C

D

C重点解析22.如图，四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴，AB=5，CD=3，则四边形ABCD的周长是（）

A.12B.20C.8D.16DABCD解析：∵四边形ABCD是轴对称图形，BD所在的直线是它的对称轴,∴AB=BC=5，CD=AD=3.则四边形ABCD的周长为AB+BC+CD+DA=16.重点解析33.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是BC延长线上一点，BD的垂直平分线EG交AB于点E，交BD于点G，DE交AC于点F.试说明点E在AF的垂直平分线上.ABDCGEF分析：说明点E在AF的垂直平分线上可以选择①EA=EF；②过点E作AF的垂线然后证明该垂线是AF的中线；③过点E作AF的中线然后证明该中线是AF的高.重点解析3解：∵EG是线段BD的垂直平分线，∴BE=DE，∠EGB=∠EGD=90°.∵在Rt△BEG和Rt△DEG中，BE=DE，EG=EG，∴Rt△BEG≌Rt△DEG（HL），∠B=∠D.∵∠ACB=90°

∴∠A=90°-∠B，∠CFD=90°-∠D，则∠A=∠CFD，∵∠AFE=∠CFD，

∴∠A=∠AFE，则AE=EF.∴点E在AF的垂直平分线上.

ABDCGEF重点解析44.如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形.

ABCl分析：点B在直线l上，则点B的对称点是其本身，只需要分别作出点A，C关于直线l对称的点A′，C′，依次连接

点A′，B，C′即可.

重点解析4A和A′，B和B′，C和C′是关于直线l对称的点.

4.如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l对称的图形.

lA′CABC′重点解析55.已知点P关于x轴对称的点的坐标是（1，-2），则它关于y轴对称的点的坐标是（）

A.（-1，2）B.（-1，-2）

C.（-2，1）D.（1，-2）

解：∵点P关于x轴对称的点的坐标是（1，-2），∴点P的坐标是（1，2）.∴点P关于y轴对称的点的坐标是（-1，2）.A深化练习1

如图，已知锐角三角形ABC中，边AB，AC的垂直平分线OD，OE交于点O.（1）若∠BAC=α（0°<α<90°），求∠BOC的度数；（2）试判断∠ABO+∠ACB是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.ADOEBC深化练习1

解：（1）如图，连接AO并延长，交BC于点F，∵OD，OE分别是边AB，AC的垂直平分线，∴AO=BO=CO.∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC.∴∠BOC=∠BOF+∠COF=（∠OAB+∠OBA）+（∠OAC+∠OCA）=2∠BAC=2α.ADOEBCF深化练习1（2）∠ABO+∠ACB为定值.由（1）知，BO=CO，∴∠OBC=∠OCB.∵∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，∠OAB+∠OAC=∠BAC,∴∠OBA+∠OCA=∠BAC.∴∠OBC=180°-∠OBA-∠BAC-∠OCA-∠OCB=180°-2∠BAC-∠OCB.∴∠OBC=90°-∠BAC.∴∠ABO+∠ACB+∠OBC+∠BAC=180°.∴∠ABO+∠ACB=180°-∠OBC-∠BAC=180°-(90°-∠BAC)-∠BAC=90°.即∠ABO+∠ACB为定值90°.ADOEBCF第二课时等腰三角形知识梳理性质1：等腰三角形具有的所有性质性质2：三个内角都为60°判定：三个角相等的三角形是等边三角形等腰三角形

等腰三角形的性质及判定等边三角形的性质及判定含30°角的直角三角形的性质性质1：等边对等角性质2：三线合一判定：等角对等边直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形叫做等腰三角形.（2）性质：①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形的顶角平分线、底边中线、底边上的高互相重合，即“三线合一”.

特别的，等腰直角三角形的两个底角都是45°.知识梳理1.等腰三角形（3）判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，即“等角对等边”.也可以依据等腰三角形的定义来判断一个三角形是否为等腰三角形.（4）应用：在实际解题中，未说明边是腰还是底边，或者未说明角是顶角还是底角，都需要分情况进行讨论.知识梳理2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.（2）性质：①等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都是60°；②等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质.知识梳理2.等边三角形（3）判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.（4）在直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.知识梳理3.最短路径问题（1）直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.知识梳理如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C，使得AC+BC的值最小.此时点C就是线段AB与直线l的交点.∙∙ABlC3.最短路径问题（2）直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.知识梳理如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C，使得AC+BC的值最小.这时先作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点C（也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所求作的点.∙∙ABlCB’3.最短路径问题（3）解决最短路径问题的方法.知识梳理在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.3.最短路径问题（4）两点一线型问题.知识梳理如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得∆PMN的周长最小.作法：分别作点P关于直线l1，l2的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.∙l2l1NMPP2P13.最短路径问题（5）两点两线型问题.知识梳理如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小.作法：分别作点P、点Q作关于直线l1，l2的对称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2于点M，N，则点M，N即为所求.∙Pl2l1Q∙P1Q1NM重点解析1

如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是（）

A.△ABD≌△ACD

B.∠B=∠C

C.△ABC是等腰三角形D.△ABC是等边三角形DABCD┐分析：∵AD⊥BC，D是BC的中点，∴△ABD和△ACD关于直线AD对称.由对称性可知：

△ABD≌△ACD，∠B=∠C，

△ABC是等腰三角形.重点解析2在△ABC中，AB=7，BC=13，DE是AC的垂直平分线，交BC于点E，则△ABE的周长为（）.解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AE=CE.△ABE的周长为AB+BE+AE

=AB+BE+CE

=AB+BC

=20.20CEDBA重点解析3如图，已知△ABC是等边三角形，D是AC的中点，

EC⊥BC，且EC=BD，

求证：△ADE是等边三角形.

CE分析：判定三角形是等边三角形的方法：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.从△ABC是等边三角形得到相应的条件，选取合适的判定方法.BDA证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC，∠1=∠2=∠ABC=60°.∵D是AC的中点,

∴∠ADB=∠CDB=90°，∠5=∠DBC=30°.∵EC⊥BC,∴∠ECB=90°.∵∠2=60°,∴∠3=30°.在△ABD和△AEC中，AB=AC，

∠3=∠5，BD=EC,∴△ABD≌△AEC（SAS），AD=AE，∠1=∠4=60°.∵在△ADE中，AD=AE，∠4=60°,∴△ADE是等边三角形.重点解析3ABCED12345重点解析4如图，OA，OB分别是线段MC，MD的垂直平分线，MD=4，MC=7，CD=12，一只小蚂蚁从点M出发爬到OA边上任意一点E，再爬到OB边上任意一点F，然后爬回M点处，则小蚂蚁爬行的路径最短可为（）

A.12B.10C.4D.8解析：根据题意，小蚂蚁爬行的路径即是ME+EF+MF的长度，可以转化为求点E，F的位置使得ME+EF+MF的值最小.ABMCDFEO重点解析4解析：如图所示，OA，OB分别是线段MC，MD