北京市2020-2021学年高二年级上册数学期末试题汇编：空间向量与立体几何

北京市2020-2021学年高二数学上学期期末汇编：空间向量与立体几何

选择题（共4小题）

1.（2020秋•西城区期末）在正三棱锥P-ABC中，AB=3,PA=2,则直线与平面ABC所成角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

2.（2020秋•大兴区期末）已知空间向量1=（1,2,3）,则向量2在坐标平面。盯上的投影向量是（）

A.（1,2,0）B.（1,0,3）C.（0,2,3）D.（1,0,0）

3.（2020秋•丰台区期末）如图，在三棱锥中，。是BC的中点，若砺=&,OB=b,OC=c,则通等

于（）

A.—a+b+cB.—a+h—cC.—a+—b+—cD.—a——b——c

2222

4.（2020秋•丰台区期末）已知平面a,/?的法向量分别为d=（-l,2,4）,b=（x,-1,-2）,若骏上夕,则x的

值为（）

A.10B.-10C.-D.--

22

填空题（共4小题）

5.（2020秋•北京交通大学附属中学期末）在边长为2的菱形A38中，ZBAD=60°,将这个菱形沿对角线8。折

成60。的二面角，这时线段AC的长度为.

6.（2020秋•海淀区校级期末）如图，若正三棱柱ABC-A8c的底面边长为8,对角线8c的长为10,点。为AC

的中点，则点用到平面GB。的距离为—，直线的与直线3。所成角的余弦值为一.

71.(2020秋•西城区期末)如图，正方体ABCE>-A46R的棱长为1，E,尸分别为BC，GA的中点，P是底

面A4GA上一点.若AP//平面5EF,则AP长度的最小值是；最大值是.

8.(2020秋•石景山区期末)己知三棱柱ABC-ABC的侧棱与底面垂直，体积为(，底面是边长为6的正三角

形.若P为底面A与G的中心，则上4与平面ABC所成的角的大小为.

三.解答题(共11小题)

9.(2020秋•房山区期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，Q4_L平面MCZ),底面/WCD为正方形，PA=AB=2,

E为PD中点.

(I)求证：B£>_L平面丛C；

(II)求二面角P—AC-E的余弦值；

10.(2020秋•北京交通大学附属中学期末)如图，在四棱锥尸-ABCD中，底面45CD为正方形，PD_L平面45c£),

PD=AB,点E,F,G分别为PC,PA,8C的中点.

(1)求证：PB1.EF；

(2)求证：FG//平面PC。；

(3)求平面£FG与平面R4Z)所成二面角的余弦值;

(4)求直线DE与平面EFG所成角的大小.

11.(2020秋•平谷区期末)如图，平面ABCD，平面CDE,四边形ABCD是边长为2的正方形，DC=CE,ZDCE=90°,

产为。E的中点，点尸在线段8E上.

(I)求证：。£_1_平面8(才；

(II)若存在点P,使得平面CFP与平面所成二面角的余弦值为更，求理的值.

3BE

12.(2020秋•平谷区期末)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧棱底面ABCD,E是的中点,

PA=2,AB=1,AD=2.

(I)求证：P8//平面ACE；

(II)求直线CP与平面ACE所成角的正弦值；

(III)求点P到平面ACE的距离.

13.(2020秋•西城区期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，P£)_L平面ABCD,E为4)的中点，底面ABCD是边长

为2的正方形，且二面角尸-BE-C的余弦值为远.

(I)求的长；

(II)求点C到平面的距离.

14.(2020秋•石景山区期末)已知在四棱锥P-ABCD中，底面ABCZ)是边长为4的正方形，A/%£)是正三角形,

CD_L平面丛。，E,F,G,O分别是PC,PD,BC,AZ)的中点.

(I)求证：「。_1_平面4夕8；

(II)求平面EFG与平面45c。所成锐二面角的大小.

15.(2020秋•石景山区期末)如图，在四棱锥P-4BCD中，底面438为正方形，B4_L平面M,N

分别为棱PD，8c的中点，PA=AB^2.

(I)求证：MN//平面P4B；

(II)求直线与平面PC。所成角的正弦值.

16.(2020秋・大兴区期末)如图四棱锥尸-舫8中，AMD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC//AD,ABLAD,

AD=2AB=2BC=2,PC=42,E为P£）的中点.

(I)求直线P8与平面E4C所成角的正弦值;

(II)设尸是5E的中点，判断点f"是否在平面PAC内，并证明结论.

17.(2020秋•大兴区期末)如图，在长方体—中，AD=AA,=\,AB=2,£为钻的中点.

(I)证明：RE_LA。；

(II)求点E到平面ACR的距离；

(III)求平面与平面AC。夹角的余弦值.

18.(2020秋•丰台区期末)如图，已知正方体A8C£>-A4£R的棱长为2,M为A4,的中点.

(I)求证：48//平面〃<^.；

(II)求平面MCD,与平面GCR夹角的余弦值.

19.(2020秋•北京人民大学附属中学期末)如图，在四棱锥E-ABCD中，平面4)EJ_平面ABCZ),O,M为线

段4),DE的中点，四边形5s9是边长为1的正方形，AE=DE,AEYDE.

(I)求证：CM//平面A3E；

(II)求直线上与平面4组所成角的正弦值；

(III)点N在直线AD上，若平面8MV_L平面ABE,求线段AV的长.

北京市2020-2021学年高二数学上学期期末汇编：空间向量与立体几何

参考答案

选择题（共4小题）

1.【分析】由题意画出图形，取底面三角形的中心，可得直线上4与平面ABC所成角，求解三角形得答案.

【解答】解：如图，

取底面正三角形ABC的中心O,连接PO,则PO_L底面ABC,

APAO为直线PA与平面ABC所成角.

连接AO并延长，角3C于。，可得池=亚-弓）2=当，

AO=-AD=^,

3

在RlAPOA中，WcosZPAO=—,

PA2

即N2V?=30°.

直线R4与平面ABC所成角的大小为30。.

故选：A.

【点评】本题考查直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题.

2.【分析】直接利用向量在平面上的投影，求出结果.

【解答】解：空间向量@=（1,2,3）,则向量1在坐标平面。町上的投影向量是（1,2,0）,

故选：A.

【点评】本题考查的知识要点：向量在平面上的投影，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题.

3.【分析】由。为8c的中点，可得标=g（通+/），^AB=OB-OA,AC=Od-代入即可得出.

【解答】解：因为。为8C的中点，

所以而」通+而），

2

y.AB=OB-OA,AC=OC-OA,

所以A£j=」［（加-0n）+（0。-0区）］=-0/+,0月+,03=一色+46+,工

22222

故选：C.

【点评】本题主要考查了空间向量及其线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

4.【分析】由可得平面a,£的法向量的数量积为0,即可求解x值.

【解答】解：因为

所以平面a,6的法向量垂直，即d_L5,

所以无6=0,

因为。=（_］,2,4）,b=（x,-1,-2）,

所以&石=一%一2-8=0,

解得x=-10.

故选：B.

【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，考查平面的法向量，属于基础

题.

二.填空题（共4小题）

5.【分析】取8。中点O,连接AO,CO,则AO_L3D,COA.BD,AO=CO=^3,NAOC是这个菱形沿对角线

折成60。的二面角的平面角，从而NAOC=60。，由此能求出AC.

【解答】解：在边长为2的菱形中，410=60。，

将这个菱形沿对角线5。折成60。的二面角，

取必中点O,连接AO,CO,

则AO_L8Q,COVBD,AO=CO="^T=6

ZAOC是这个菱形沿对角线8。折成60°的二面角的平面角，

.\ZAOC=60°,

AC=\/3.

故答案为：.

【点评】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，

考查数形结合思想，是中档题.

6.【分析】先证C£)_L平面再证CC；//平面可推出点G到平面48。的距离即为点C到平面的

距离CD,然后利用等体积法，即可得解；取4G的中点E,连接A£,B、E,易知或其补角即为所求,

Ap

再证由tanNAgE=------得解.

11B.E

【解答】解：由正三棱柱的性质知，84_1_平面48/1，

•••CZ)u平面ABC,BB,±CD,

•.•正AAfiC,且。为AC的中点，..BDLCD,

又0|8。=8,BBt、30u平面BtBD,

.♦.81■平面

，;CCJ网,CGU平面BB[u平面B]BD,

.■.CG//平面片30，

.•.点C,到平面BtBD的距离即为点C到平面BtBD的距离8=gAC=4,

■.BD1.AC,平面ABC_L平面A41GC,平面ABCC平面A4.GC=AC,

.•.8。上平面A41GC，；.BDLC、D,

•：BtC=10,BC=8,:.CG=BB、=6,

:.CQ=JCC；+CZ)2=J36+16=2而,

设点见到平面CQD的距离为d,

匕L=9-c冲，

-x4x-BB.-BD=-d-C,DBD,即4x6="x2屈

3232

/12

..CI-=---屈--,

13

故点B,到平面C、BD的距离为凶1.

113

取AG的中点E,连接AE,B、E,则4E//B。，

4线E或其补角即为直线AB,与直线BD所成角,

vAD=C,E,AD//CtE,

.•・四边形AQGE为平行四边形，

:.AEHCXD,AE=CQ=2屈,

•：BDLCQ,：.B.ErAE,

.•„,£=丝=平=芈,

B,E4V3

cosZAB.E=

15

直线的与直线皮）所成角的余弦值为述.

5

故答案为：马叵；空

135

【点评】本题考查点到面的距离、异面直线夹角的求法，熟练掌握利用等体积法处理点到面的距离，以及利用平

移法找到异面直线所成的角是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题.

7.【分析】取AA的中点N,的中点利用线面平行的判定定理和面面平行的判定定理证明平面AMN〃平

面BE尸，结合已知条件可知点PeMV,在等腰A4AW中，即可求得"长度的最值.

【解答】解：取AQ的中点N,4内的中点“，连结40，AN,MN,

由正方体43c，E,N分别为4G，A。的中点，

由中位线性质可得⑷V/ABE,

又因为AN仁平面BEF,3Eu平面BEF,

所以A7V//平面应尸，

因为E,F分别为Bg,GR的中点，

由中位线性质可得所//4鼻，

同理可知MV//耳2,

所以MN//EF,

又因为MNC平面5EF,上/(=平面跳户，

所以"N〃平面8EF,

又AN0|MN=N,AN,MNU平面AMV,

所以平面AWV//平面5砂，

因为P是底面A4G"上一点，且AP//平面3所，

所以点尸eA/N,

在等腰AAMN中，AP的长度最大时为APmM=AM=AN=/+夕=与,

当叱的长度最小时，P为MN的中点，MN=—,

2

【点评】本题考查了点、线、面间的距离计算，涉及了线面平行和面面平行判定定理的应用，解题的关键是将

AP的长度转化到等腰AAMV中求解.

8.【分析】利用三棱柱ABC-A4G的侧棱与底面垂直和线面角的定义可知，NAPA为丛与平面AEC所成角.利

用三棱锥的体积计算公式可得A4,,再利用正三角形的性质可得AP,在放△A4,「中，利用tanNAPA=4&，

可得结论.

【解答】解：如图所示，

A4t1底面ABC，・•・NAPA为Pk与平面AAG所成角，

•.•平面A8C〃平面ABC，；.乙4%为PA与平面A8C所成角.

<•"=­x（V3）=­.

=

"1'：fSttAac-Aisici*S.AfiiG=,,解得AR=6"

又P为底面正三角形A6G的中心，.•.42=；4。=1，

在用△A41P中，tan/4PA=外=6，

NAPA=60°.

故答案为：60°.

【点评】本题考查线面角，掌握正三角形的性质、线面角的定义是解题的关键.

三.解答题(共11小题)

9.【分析】(I)证明PAA.AD,ABVAD.以A为原点，分别以钻，AD,AP为x,y,z轴建立

空间直角坐标系，计算A户•8/5=0,ACBD=0,推出APJ_8r),AC±BD,然后证明3。_L平面24c.

(II)求出平面E4C的法向量，平面尸AC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角尸-AC-E的余弦值.

【解答】(I)证明：因为P4_L平面ABCD,AB,AOq平面458,

所以F4_LAB,PA±AD.

因为底面ABCO为正方形，所以M_LA£).

如图，以A为原点，分别以AB,AD,/炉为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则4(0，0,0),8(2,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),P(0,0,2),

AP=(0,0,2),AC=(2,2,0),BD=(-2,2,0),

因为衣•丽=(0,0,2)■(-2,2,0)=0,ACBD=(2,2,0)-(-2,2,0)=0,

所以APLBD,AC±BD,

又A,

APu平面RAC,ACu平面RIC,所以B£)_L平面PAC.

(II)因为E为ED中点,所以E(0,1,1),荏=(0,1,1).

设平面E4c的法向量为元=(x,y,z),

AC-n=0,即（2x+2y=0,

则4

AEn=0,[y+z=0.

令y=l,则万=（-1/，一1）.

由(I)知，而为平面PAC的法向量,

__4_76

所以cos<n,BD

~\n\\BD\~y/3-2y/2~3

由题知，二面角P-AC-E为锐角，所以其余弦值为好.

3

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是

中档题.

10.【分析】(1)推导出ADJ_CD.以。为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直

角坐标系。-孙z,利用向量法能证明尸

(2)推导出4)_L平面PCD.AD={-\,0,0)是平面PCD的法向量.求出尸C=(0,1,利用向量法能

2

证明FG//平面PCD.

(3)求出平面£FG的法向量和平面PAD的法向量，利用向量法能求出平面EFG与平面尸AD所成二面

D-FG-E角(锐角)的余弦值.

(4)利用空间平面向量法求出直线DE与平面EFG所成角的正弦值，再由特殊角的三角函数值求得答案.

【解答】解：(1)证明：因为尸£>，平面A8C。，所以PD_LAO,PDLCD,且底面A8CD为正方形，

所以AQ_LC£>.以。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z轴，

建立如图所示空间直角坐标系。-xyz,设“'=1,

则0(0,0,0),尸(0,0,1),8(1,1,0),E(0,g),F(1,0,1),G(；,1,0).PB=(1,1,-1),

—11--—.11

EF=(一,一一，0),PBEF=----+0=0.

2222

所以

(2)证明：由(1)知，PDVAD,ADA.CD,且

所以451.平面PCD.

所以而=(-1,0,0)是平面PCD的法向量.而=(0,1,--

因为F匕-4万=0,且尸Gc平面PCD,

所以FG//平面尸CD.

(3)解：设平面比G的法向量为为=(x,y,z),

则《一，即1"，令x=l，得方=(1，1,2).

n-FG=0[2y-z=0

平面的法向量为C/5=(0,-1,0).

设平面EFG与平面所成二面角(锐角)为a,

\n-CD\y/6

则cosa=

\n\-\CD\~~^

所以平面£FG与平面皿)所成二面Q-FG-E角(锐角)的余弦值为逅.

6

(4)如图，连接£>E,

.—.fi•2DE3y/3

2DE=(0,1,1),cose万，2DE>=------

\n\-\2DE\而+夜-2

设直线DE与平面EFG所成角的大小为。，则啜8且sin"近，因此”工.

223

【点评】本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的

位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

11.【分析】(I)证明3C_LC£>.推出3cl,平面CDE.得到3C_L£)E.证明然后证明3E_L平面3b.

法二：(I)以C为原点，以C8,CE,8分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，通过求解

DECB=O,DECF=O,推出。E_LC3,DELCF,即可证明。E_L平面BCF.

(H)求出平面C仪的一个法向量，平面BCF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面CFP与平面BCF

所成二面角的余弦值，推出义，即可得到丝=2.

BE3

【解答】(I)证法一：因为正方形A88,所以8CL8.

因为平面ABCD_L平面CDE,且平面ABCDC平面CDE=CD,

所以BC_L平面CDE...............................(2分)

因为£>Eu平面CDE,

所以BCJLOE.

因为CD=CE,F为DE的中点，

所以CF_LQE,JiBCQCF=C,BCU平面BCF,CFu平面3c/，

所以£>E_L平面3b..........................(5分)

证法二：因为正方形/WCD,所以8C_LCE>.

因为平面ABCD_L平面CDE,且平面ABCDC平面CDE=CD,

所以BC_L平面CDE..........................(2分)

所以BCLCE,

因为N」DCE=900所以3C,CE,CD互相垂直.

以C为原点，以C8,CE,8分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

由题意C(0,0,0),3(2,0,0),。(0,0,2),E(0,2,0),F(0,1,1)____________(4分)

所以诙=(0,2,-2),CF=(0,1,1),CB=(2,0,0).

因为。月C月=0,。百CF=0,

即£>EJ_CB,DE±CF,CfiQCF=C,

所以。E_L平面BCE_______________(6分)

(II)解：因为点P在线段BE上，设P(x,y,0).

所以存在zle[O,1),使得B户=2丽.

因为丽=(x—2,y,0),丽=(-2,2,0),

所以卜"一2=-",所以尸(2-2/1,24,0).

[y=22

所以守=(2-22,2/1,0),...................(8分)

设平面CFP的一个法向量为n=(a,b,c),

则〔炉为=°，即尸2枚+2加。.

\CF-n=0[h+c=0

所以zi=(------,—1,1)•・・“.…（10分）

1—A

因为。E_L平面Bb,

所以平面的一个法向量是诙=（0,2,-2）,...............................（11分）

又因为平面CFP与平面BCF所成二面角的余弦值为更，

3

所以cos<DE,n>="I=.--------=—,........（13分）

向网、，亏x203

Y1—4

所以彳=2或2=2e[0,1]舍去.所以空=2...................（14分）

3BE3

【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查转化思想以及计算能力，是

中档题.

12.【分析】（I）连结如交AC于O,连结OE,证明尸3//OE,然后证明「3//平面ACE.

法二：以A为原点，以A8为x轴，以AD为y轴，建立空间直角坐标系.求出平面ACE的一个法向量，求出

方=(1,0,-2),通过方•为=-2+0+2=0,证明P8//平面ACE.

(II)求出定=(1,2,-2),平面ACE的一个法向量，利用空间向量的数量积求解直线CP与平面ACE所成角的

正弦值.

(III)设点尸到平面ACE的距离“，利用d=|空勺求解即可.

1»1

【解答】(I)证明：连结3Z)交AC于O,连结OE,

因为四边形ABC。是矩形，所以O为友)中点.

又因为E是P£>的中点，所以PB//OE,_____(2分)

因为P8C平面ACE,OEu平面ACE,

所以/%//平面ACE....................(4分)

法二：

证明：四棱锥P-/WCZ)的底面是矩形，侧棱R4_L底面ABC£>,因此以A为原点，以4?为x轴，以4)为)，轴，

建立空间直角坐标系.

所以P(0,0,2),C(l,2,0),。(0,2,0),E(0,1,1),8(1,0,0)...........(2分)

设平面ACE的一个法向量为万=(a,b,c)..................(3分)竺一〉

nAC=o

(a=-2

Q+2b=0/八、

即:=></?=!=>n=(-2,1,-1)..................(5分)

因为方=(1,0,-2),所以丽•元=一2+0+2=0..................(6分)

又因为「8仁平面ACE,所以PB//平面ACE........................(7分)

(H)解：设直线CP与平面ACE所成角为。，

由前=(1,2,-2),平面ACE的一个法向量为万=(-2,1,-1)

所以sin6=|cos<PC,ri>|=1''">=-,

|PC|-|«|3遍9

即直线CP与平面ACE所成角的正弦值为迈..一.........(11分)

9

（Ill）解：设点P到平面ACE的距离“，则d=|丝勺

\n\V63

所以点尸到平面的距离迈.........（14分）

3

【点评】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，点到平面距离的求法，考查空

间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题.

13.【分析】（I）依题意，DA,DC,DP两两互相垂直，建立空间直角坐标系。-肛z.设尸。=版〃>0）.求出

平面尸母的法向量，求出平面A8CZ）的一个法向量，利用空间向量的数量积，转化求解即可.

（II）平面PEB的法向量，结合前=（-2,0,0）.利用空间向量距离公式求解点C到平面阻的距离.

【解答】解：（I）依题意，DA,DC，叱两两互相垂直，如图

建立空间直角坐标系。-孙z......（1分）

设PD=h(h>0).

由题意得E(l,0,0),8(2,2,0),P(0,0,h).

所以方=(1,0,-〃),£8=(1,2,0).

设平面的法向量为元=(x°,y°,z0),

[n-PE=0

则nit一,

n-EB=0

即1。-了=。，……(4分)

[%+2%=0.

2

令％=2，则%=-1，z=-.

0h

于是元=(2,-1,—)......(6分)

h

又因为P0_L平面ABCD,

所以平面ABC。的一个法向量为比=（0,0,1）......（7分）

2

依题意，有cos〈所㈤=1h=旦,....（9分）

⑹洲6E6

解得h=2>

所以PQ=2......（10分）

（H）由（I）得，平面PEB的法向量为万=（2,-1,1）......（11分）

又C（0,2,0）,

所以而=（一2,0,0）.......（12分）

所以点C到平面PE3的距离为此型=亚......（14分）

1«13

【点评】本题考查二面角的平面角的求法，空间点线面距离的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能

力.

14.【分析】（I）推导出PO_LAO,POVCD,由此能证明20_1面A8C/）.

（II）以O点为原点，分别以。4、OG、。产所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法

能求出平面EFG与平面ABCD所成锐二面角.

【解答】证明：（I）因为是正三角形，。是4）的中点，所以POJ_AT）.

又因为C£>_L平面E4D,POu平面R4Q,所以PO_LC£>.

AD^CD=D,4）u平面MCD,C£）u平面A8C£）,

所以尸O1■面ASC£）.

解：（H）如图，以O点为原点，分别以。4、OG、OP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.

则0(0,0,0),A(2,0,0),8(2,4,0),C(-2,4,0),0(-2,0,0),G(0,4,0),尸(0,0,2折,

£(-l,2,上),F(-l,0,扬，

EF=(0,-2,0),西=(1,2,-6),

设平面EFG的法向量为成=(x,y,z),

则产号=-2)，=0,令z=i,则沅=(5o,1),

tn-EG=x+2y-\J3Z=0

又平面的法向量a=(0,0,I),

设平面ERG与平面ABCD所成锐二面角为0,

所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为-.

【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等

基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

15.【分析】(I)取R4的中点£,连接£B、EM,证明四边形是平行四边形.然后证明MN//平面.

(〃)如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的法向量，求出丽=(2,0,-1).利用空间向量的数量积求解即可.

【解答】解：(I)证明：在四棱锥P-/1BCD中，

取上4的中点E,连接EB、EM.

因为M是PD的中点，

所以初///4),且EM='A£>.

2

又因为底面ABC。是正方形，N是3c的中点,

所以8N//AO,月

2

//

所以EM=BN.

所以四边形A«VBE是平行四边形.

所以MN//EB.

由于£Bu平面R43,MNU平面P4B,

所以MN//平面PAB.

(〃)因为底面AB8是正方形，所以Afi_LAT>.

又因为E4J_平面MCZ).

所以以点A为坐标原点，AB.AD,AP分别为x、y、z轴，

如图建立空间直角坐标系.A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),N(2,

1,0).PC=(2,2,-2),CD=(-2,0,0),

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z).

有：4__,即《令y=l,则z=l,

m-CD=0,[x=。，

所以而=(0,1,1).丽=(2,0,-1).

设直线MN与平面PCD所成角为6.

有：sin”gs〈而同二网㈤=62+二02㈠)1♦叵

\MN\-\m\V5xV210

所以直线MN与平面28所成角的正弦值为巫.

X

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中档题.

16.【分析】(I)先根据已知条件寻找三条直线两两垂直，建立空间直角坐标系，得到点的坐标，然后求出平面抬C

的一个法向量，最后根据线面所成角的公式进行求解；

(II)先求出点尸的坐标，然后设方=xN+y而，寻找满足条件的x与y,从而可判定点尸是否在平面以C

内.

【解答】解：(I)取用)中点O,连接PO,CO,由已知AMD是以4)为斜边的等腰直角三角形，

:.PO±AD,又A£)=2,PA=PD=yf2,PO=OD=l,

_1

而AB_LAT>,AB=\,BC=-AD=\,

2

所以四边形ABCO为正方形，即AD_LCO,

而PC=0,PO=1,OC=I,所以PC2=PO2+OC2,即poj_oc,

而A£)noC=O,所以尸O_L平面ABC。，

以OC为x轴，8为y轴，。尸为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

所以P(0,0,1),A(0,-1,0),C(1,0,0),8(1,-1,0),

设平面PAC的一个法向量为n=(x,y,z),

而用=(0,-1,-1),AC=(1,1,0),丽=(1,-1,-1),

由卜.竺=。得尸-z；。，可取—]),

设直线依与平面抬。所成角为e,

则sin0=|cos<P反元>|='P*=匚।厂=-,

\PB\\n\x/3xV33

所以直线PB与平面PAC所成角的正弦值为工；

3

(II)E在平面B4c内，

证明：E为PD中点，由(I)知E(0,g),又F是BE的中点，所以F(g,

CP-(-1,0,1),C%=(-l,-l,0),CF=

244

——=-x-y

21

x=­

14

]^CF=xCA+yCP即——=-x解得

f4

1

故有唯—组实数对（J，）使得行'=，徐+，而，

因此符合向量基本定理，故C户与C4,CP共面，即P在平面R4C内.

【点评】本题主要考查了直线与平面所成角，以及向量共面定理，解题的关键是利用空间向量的方法求解立体几

何问题，同时考查学生空间想象能力，属于中档题.

17.【分析】（I）通过证明AOJL平面ARE,得出AE_LA£＞；

（11）分别以〃4、DC、D1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ACR的一个法向量，再求出麻

的坐标，由空间向量求距离公式求解；

（III）求出平面AjE的一个法向量，结合（II）中求出的平面AC.的一个法向量，由两平面法向量所成角的

余弦值求解平面AQE与平面AC&夹角的余弦值.

【解答】（I）证明：平面AO。/,A〃u平面AORA，

AEYA^D,

•.•四边形A。。A是矩形，AD=AAt,

四边形AQAA是正方形，.•.A.DIAD,,

又A"u平面ARE,AEu平面4RE,AD^AE=A,

.•・A。，平面ARE,又。Eu平面平面ARE,

:.D,EVA,D.

（II）解：分别以D4、DC、DD,为x、y、z轴，建立空间直角坐标系,

A(\,0,0),C(0,2,0),D,(0,0,1),E(1,1,0),

D]E=(1,1,—1),ADX=(-1,0,1),AC=(-1,2,0),

设平面的一个法向量是h=(K,y,z),

,n•AD、=-x+z=0g“八1

由<___,取％=1,得ZH后=(1,—,1),

n-AC=-x+2y=02

■_rxpI|1H---1|[

由点到平面的距离公式，得点E到平面ACR的距离d=I"=，2=-

1利,1,3

J1+-+1

V4

(III)解：由(II)得，平面4C。的一个法向量是万=(l,g,l),

又AE=(0,1,0),AD}=(-1,0,1),

设平面A0E的一个法向量为戊=(5,凹,马),

,\lfl'AE=Vi=0e_.z„

由〈_.1,取4=1,可得沅=(1,0,1),

ifi-A。=一斗+4=0

……m-ri1+12亚

/.cos<in,n>=-------=------=----

|诩卜|”|3

2

又平面A。1七与平面ACD］的夹角为锐角,

二.平面A£>£与平面ACR的夹角的余弦值为半.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间

距离及空间角，是中档题.

18.【分析】(I)如图建立空间直角坐标系A-邛.求出平面MCR的法向量为"，A耳=(2,0,-2),计算A瓦〃=0,

即可证明AB//平面MC".

(II)利用平面MCD1的法向量4，平面GCQ的法向量为AD=(0,2,0),结合空间向量的数量积求解平面MCR

与平面GCA夹角的余弦值即可.

【解答】(I)证明：如图建立空间直角坐标系A-孙z.

因为正方体A8CZJ-A4GA的棱长为2,A(0,0,0)是A(0,0,0)的中点，

所以A(0,0,0),C(2,2,0),0(0,2,0),M(0,0,1),

0