一章常用逻辑用语

§1.2

常用逻辑用语高考理数

(课标Ⅲ专用)(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为()A.∀n∈N,n2>2n

B.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2n

D.∃n∈N,n2=2n

五年高考A组

统一命题·课标卷题组答案

C根据特称命题的否定为全称命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C.思路分析

特称命题的否定为全称命题,全称命题的否定为特称命题,如“∃x,使得p成立”的

否定为“∀x,使得¬p成立”.B组

自主命题·省(区、市)卷题组考点一命题及其关系1.(2018北京,13,5分)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则f(x)在[0,2]上是增函数”为

假命题的一个函数是

.答案

f(x)=sinx,x∈[0,2](答案不唯一)解析本题主要考查函数的单调性及最值.根据函数单调性的概念,只要找到一个定义域为[0,2]的不单调函数,满足在定义域内有唯一的

最小值点,且f(x)min=f(0)即可,除所给答案外,还可以举出f(x)=

等.2.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,

b,c的值依次为

.答案-1,-2,-3(答案不唯一)解析答案不唯一,如:a=-1,b=-2,c=-3,满足a>b>c,但不满足a+b>c.考点二充分条件与必要条件1.(2019天津,3,5分)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B本题主要考查充分必要条件的判断及不等式的解法,考查学生的逻辑论证能力,体

现了逻辑推理的核心素养.由x2-5x<0得0<x<5,记A={x|0<x<5},由|x-1|<1得0<x<2,记B={x|0<x<2},显然B⫋A,∴“x2-5x<0”

是“|x-1|<1”的必要而不充分条件,故选B.方法总结

判断充分必要条件的常见方法:①定义法,②集合法.2.(2019北京,7,5分)设点A,B,C不共线,则“

与

的夹角为锐角”是“|

+

|>|

|”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C本题考查向量数量积的定义与运算、充分必要条件的判断;考查学生的运算求解

能力以及转化与化归思想的应用;以充分必要条件为依托考查逻辑推理的核心素养.|

+

|>|

|⇔|

+

|>|

-

|⇔

+

+2

·

>

+

-2

·

⇔

·

>0,由点A,B,C不共线,得<

,

>∈

,故

·

>0⇔

,

的夹角为锐角.故选C.疑难突破解决本题的关键是利用

=

-

,从而将|

+

|>|

|等价转化为

·

>0.3.(2019浙江,5,4分)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A本题主要考查不等式的性质及充分、必要条件的判断,通过条件与结论的互推考

查学生的逻辑推理能力及运算求解能力,以充分、必要条件的判断为背景考查逻辑推理的核

心素养.由a>0,b>0,得4≥a+b≥2

,即ab≤4,充分性成立;当a=4,b=1时,满足ab≤4,但a+b=5>4,不满足a+b≤4,必要性不成立,故“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件,选A.易错警示忽视条件a>0,b>0,利用特值法易错选D.4.(2018天津,4,5分)设x∈R,则“

<

”是“x3<1”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A本题主要考查解不等式和充分、必要条件的判断.由

<

得-

<x-

<

,解得0<x<1.由x3<1得x<1.当0<x<1时能得到x<1一定成立;当x<1时,0<x<1不一定成立.所以“

<

”是“x3<1”的充分而不必要条件.方法总结(1)充分、必要条件的判断.解决此类问题应分三步:①确定条件是什么,结论是什

么;②尝试从条件推结论,从结论推条件;③确定条件和结论是什么关系.(2)探究某结论成立的充要、充分、必要条件.解答此类题目,可先从结论出发,求出使结论成

立的必要条件,然后验证得到的必要条件是否满足充分性.5.(2017北京,6,5分)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A由存在负数λ,使得m=λn,可得m、n共线且反向,夹角为180°,则m·n=-|m||n|<0,故充分

性成立.由m·n<0,可得m,n的夹角为钝角或180°,故必要性不成立.故选A.6.(2017天津,4,5分)设θ∈R,则“

<

”是“sinθ<

”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A本题考查不等式的解法及充分必要条件的判断.∵

<

⇔-

<θ-

<

⇔0<θ<

,sinθ<

⇔θ∈

,k∈Z,

⫋

,k∈Z,∴“

<

”是“sinθ<

”的充分而不必要条件.7.(2017浙江,6,4分)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C本题考查充分必要条件的判断,等差数列的概念,数列前n项和与通项的关系,考查

运算求解能力.解法一:S4+S6>2S5等价于(S6-S5)+(S4-S5)>0,等价于a6-a5>0,等价于d>0.故选C.解法二:∵Sn=na1+

n(n-1)d,∴S4+S6-2S5=4a1+6d+6a1+15d-2(5a1+10d)=d,即S4+S6>2S5等价于d>0.故选C.8.(2015北京,4,5分)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的

()A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B当在其中一个平面内的两条相交直线均平行于另一平面时,两平面平行,所以由“m∥β”不能推出“α∥β”;若两平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面,所以由“α∥β”可以推出“m∥β”.因此“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件.故选B.9.(2015重庆,4,5分)“x>1”是“lo

(x+2)<0”的

()A.充要条件

B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件答案

B当x>1时,x+2>3>1,又y=lo

x是减函数,∴lo

(x+2)<lo

1=0,则x>1⇒lo

(x+2)<0;当lo

(x+2)<0时,x+2>1,x>-1,则lo

(x+2)<0

x>1.故“x>1”是“lo

(x+2)<0”的充分而不必要条件.选B.10.(2015四川,8,5分)设a,b都是不等于1的正数,则“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的

()A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件答案

B“3a>3b>3”等价于“a>b>1”,“loga3<logb3”等价于“a>b>1或0<a<1<b或0<b<a<

1”,从而“3a>3b>3”是“loga3<logb3”的充分不必要条件.故选B.考点三简单的逻辑联结词(2017山东,3,5分)已知命题p:∀x>0,ln(x+1)>0;命题q:若a>b,则a2>b2.下列命题为真命题的是

()A.p∧q

B.p∧¬q

C.¬p∧q

D.¬p∧¬q答案

B本题主要考查复合命题真假的判断.∵∀x>0,x+1>1,∴ln(x+1)>0,∴命题p为真命题;当b<a<0时,a2<b2,故命题q为假命题,由真值表可

知B正确,故选B.考点四全称量词与存在量词1.(2016浙江,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是

()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2

答案

D先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选D.2.(2015浙江,4,5分)命题“∀n∈N*,f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是

()A.∀n∈N*,f(n)∉N*且f(n)>nB.∀n∈N*,f(n)∉N*或f(n)>nC.∃n0∈N*,f(n0)∉N*且f(n0)>n0D.∃n0∈N*,f(n0)∉N*或f(n0)>n0

答案

D“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为“f(n)∉N*或f(n)>n”,全称命题的否定为特称命题,

故选D.3.(2015山东,12,5分)若“∀x∈

,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为

.答案1解析∵0≤x≤

,∴0≤tanx≤1,∵“∀x∈

,tanx≤m”是真命题,∴m≥1.∴实数m的最小值为1.C组

教师专用题组1.(2015陕西,6,5分)“sinα=cosα”是“cos2α=0”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A由sinα=cosα,得cos2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos2α=0,得sinα=±cosα,即必要性不成立.故选A.2.(2015湖南,2,5分)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

C若A∩B=A,任取x∈A,则x∈A∩B,∴x∈B,故A⊆B;若A⊆B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A⊆(A∩B),又A∩B⊆A显然成立,∴A∩B=A.综上,“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件,故选C.3.(2014天津,7,5分)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分又不必要条件答案

C先证“a>b”⇒“a|a|>b|b|”.若a>b≥0,则a2>b2,即a|a|>b|b|;若a≥0>b,则a|a|≥0>b|b|;若0>a>b,则a2<b2,即-a|a|<-b|b|,从而a|a|>b|b|.再证“a|a|>b|b|”⇒“a>b”.若a,b≥0,则由a|a|>b|b|,得a2>b2,故a>b;若a,b≤0,则由a|a|>b|b|,得-a2>-b2,即a2<b2,故a>b;若a≥0,b<0,则a>b.综上,“a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件.4.(2014重庆,6,5分)已知命题p:对任意x∈R,总有2x>0;q:“x>1”是“x>2”的充分不必要条件,

则下列命题为真命题的是()A.p∧q

B.¬p∧¬q

C.¬p∧q

D.p∧¬q答案

D

p为真命题,q为假命题,故¬p为假命题,¬q为真命题.从而p∧q为假,¬p∧¬q为假,¬p∧

q为假,p∧¬q为真,故选D.5.(2014辽宁,5,5分)设a,b,c是非零向量.已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题q:若a∥b,b∥c,则

a∥c.则下列命题中真命题是

()A.p∨q

B.p∧qC.(¬p)∧(¬q)

D.p∨(¬q)答案

A由题意知命题p为假命题,命题q为真命题,所以p∨q为真命题.故选A.A组

2017—2019年高考模拟·考点基础题组三年模拟考点一命题及其关系1.(2019四川绵阳一诊,5)已知命题p:∃x0∈R,使得lgcosx0>0;命题q:∀x<0,3x>0;则下列命题为真

命题的是

()A.p∧q

B.p∨(¬q)C.(¬p)∧(¬q)

D.p∨q答案

D命题p:∃x0∈R,使得lgcosx0>lg1,即∃x0∈R,使得cosx0>1,为假命题,命题q:∀x<0,

3x>0为真命题,所以p∨q为真命题.故选D.2.(2019四川成都七中4月联考,7)已知命题p:x2-x>0是x>1的充分不必要条件;命题q:若数列{an}

的前n项和Sn=n2,那么数列{an}是等差数列.则下列命题是真命题的是

()A.p∨(¬q)

B.p∨qC.p∧q

D.(¬p)∧(¬q)答案

B对于命题p,x2>x,解得x>1或x<0,因此x2>x是x>1的必要不充分条件,因此命题p是假命题.对于命题q,若数列{an}的前n项和Sn=n2,则n=1时,a1=1;n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1,当n=1时

也成立.∴an=2n-1,因此数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,因此命题q是真命题.∴只有p∨q是真命题.故选B.3.(2018贵州贵阳遵义一中1月月考,6)给出下列三个命题:①命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则¬p:∀x∈R,都有x2+x-1≥0;②“x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件;③若p∨q为真命题,则p∧q为真命题.其中正确命题的个数为

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C

若命题p:∃x∈R,使得x2+x-1<0,则¬p:∀x∈R,都有x2+x-1≥0,故①正确;x2-4x-5>0

⇔x>5或x<-1,“故x>5或x<-1”是“x2-4x-5>0”的充要条件,②正确;若p∨q为真命题,则p,q中

至少存在一个真命题,若此时两个命题一真一假,则p∧q为假命题,故③错误.故正确的命题有2

个,选C.4.(2018四川凉山州二模,4)下列命题正确的是

()A.∀x∈R,都有x2-3x+3>0成立B.∃x0∈R,使sin2x0+cos2x0<1成立C.“∃x0∈R,使

-1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2-1>0”D.若“p∨q”为假,则命题p、q中一个为真,另一个为假答案

A因为x2-3x+3=

+

>0,所以A正确;因为∀x∈R,都有sin2x+cos2x=1,故B错误;“∃x0∈R,使

-1<0”的否定是“∀x∈R,都有x2-1≥0”,故C错误;若“p∨q”为假,则p、q都为假,故D错误.综上所述,选A.考点二充分条件与必要条件1.(2019广西南宁二中、柳州高中第二次联考,3)设x∈R,则使lg(x+1)<1成立的必要不充分条件

是

()A.-1<x<9

B.x>-1C.x>1

D.1<x<9答案

B解对数不等式lg(x+1)<1,可得0<x+1<10,∴-1<x<9,结合选项可得,使lg(x+1)<1成立的必要不充分条件是x>-1,故选B.2.(2019四川资阳一模,7)若f(x)是R上的奇函数,且x1,x2∈R,则“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A由x1+x2=0得x1=-x2,因为f(x)是R上的奇函数,所以f(x1)=f(-x2)=-f(x2),所以f(x1)+f(x2)=0;若f(x)=sinx,则当x1=

,x2=

时,f(x1)+f(x2)=sin

+sin

=0,但x1+x2=2π≠0.所以“x1+x2=0”是“f(x1)+f(x2)=0”的充分不必要条件.3.(2019贵州黔东南州质检,4)已知实数a≠0,则“

<2”是“a>

”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B

<2⇔

>0⇔a(2a-1)>0⇔a<0或a>

,故

<2是a>

的必要不充分条件.故选B.4.(2018四川成都适应性考试,1)“直线m与平面α内无数条直线平行”是“直线m∥平面α”的

()A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件答案

C若m⊂α,由直线m与平面α内无数条直线平行,不能推出m∥α,故充分性不成立,反之,

当m∥平面α时,由线面平行的性质定理,一定有m平行于α内无数条直线,必要性成立,选C.5.(2018四川泸州质检,2)“

<

”是“log2a>log2b”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B函数y=

单调递减,由

<

可得a>b;y=log2x(x>0)单调递增,由log2a>log2b得a>b>0,所以

<

是log2a>log2b的必要不充分条件.6.(2018贵州凯里第一中学模拟,3)“lnx>lny”是“x>y”的

()A.充要条件

B.充分不必要条件C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件答案

B

lnx>lny⇔x>y>0,x>y>0⇒x>y,x>y

x>y>0,∴“lnx>lny”是“x>y”的充分不必要条件.故选B.7.(2017四川资阳一模,2)“x>2”是“

<

”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A由

<

,得x>2或x<0,所以“x>2”是“

<

”的充分不必要条件,故选A.8.(2017云、贵、川七校大联考,7)设e是自然对数的底数,a>0且a≠1,b>0且b≠1,则“loga2>

logbe”是“0<a<b<1”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B0<a<b<1⇒loga2>logb2>logbe,反之不成立.考点三简单的逻辑联结词1.(2017贵州贵阳七中4月月考,6)已知命题p:∀x∈R,2x+

>2,命题q:∃x∈

,使sinx+cosx=

,则下列命题中为真命题的是

()A.¬p∧¬q

B.¬p∧qC.p∧¬q

D.p∧q答案

A因为命题p为假命题,命题q为假命题,所以¬p∧¬q为真命题,故选A.2.(2018四川成都七中4月月考,4)已知命题p:∃x∈R,x-2>0,命题q:∀x∈R,

<x,则下列说法正确的是

()A.命题p∨q是假命题

B.命题p∧q是真命题C.命题p∧(¬q)是真命题

D.命题p∨(¬q)是假命题答案

C命题p为真命题,命题q为假命题,故p∧(¬q)为真命题,故选C.考点四全称量词与存在量词1.(2017云南凯里一中9月月考,4)下列有关命题的说法正确的是

()A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2=1,则x≠1”B.“x>2”是“x2-3x+2>0”的必要不充分条件C.命题“若x=y,则sinx=siny”的逆否命题为真命题D.命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1<0”答案

C

A选项,命题“若x2=1,则x=1”的否命题为“若x2≠1,则x≠1”,故A错误;B选项,由x2-3x+2>0,解得x>2或x<1,则“x>2”是“x2-3x+2>0”的充分不必要条件,故B错误;C选项,命题“若x=y,则sinx=siny”为真命题,则根据逆否命题的等价性可知命题“若x=y,则

sinx=siny”的逆否命题为真命题,故C正确;D选项,命题“∃x∈R使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1≥0”,故D错误.故选C.2.(2017广西南宁诊断测试,10)下列命题的叙述:①若p:∀x>0,x2-x+1>0,则¬p:∃x0≤0,

-x0+1≤0;②三角形三边的比是3∶5∶7,则最大内角为

;③若a·b=b·c,则a=c;④ac2<bc2是a<b的充分不必要条件,其中真命题的个数为

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

B①中,¬p为∃x0>0,

-x0+1≤0,故①错;②中,设三角形的最大内角为A,三边分别为3x,5x,7x,则有cosA=

=-

,所以A=

,故②正确;③中,由向量的数量积公式知③错;④中,由ac2<bc2知c≠0,所以a<b,而当c=0时,不能由a<b⇒ac2<bc2,所以ac2<bc2是a<b的充分不

必要条件,故④正确,故选B.B组

2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:20分钟分值:30分选择题(每小题5分,共30分)1.(2019广西南宁质检,1)下列命题正确的个数为

()①梯形一定是平面图形;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,则这两条直线平行;③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面;④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.A.0

B.1

C.2

D.3答案

C①由于梯形是有一组对边平行的四边形,易知两平行线确定一平面,所以梯形可以

确定一个平面,故①对;②若两条直线和第三条直线所成的角相等,比如等腰三角形ABC,AB=AC,直线AB,AC与直线BC

所成的角相等,而直线AB,AC不平行,故②错;③两两相交的三条直线,比如墙角处的三条交线可以确定三个平面,故③对;④如果两个平面有三个公共点,当这三个公共点在两个相交平面的公共直线上时,这两个平面

不重合,故④错.综上,选C.2.(2019四川成都二诊,4)已知命题p:a>b>0,命题q:

<

,则p是q成立的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A

<

即为

-

<0⇔

<0⇔b>0>a或a>b>0或0>a>b.若a>b>0成立,则命题q一定成立;反之,当命题q成立时,不一定有a>b>0成立,所以p是q成立的充

分不必要条件,故选A.3.(2017广西师大一附4月月考,8)△ABC中,“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(

cosA+sinA)cosB”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

A由角A,B,C成等差数列,得B=

;由sinC=(

·cosA+sinA)cosB,得sin(A+B)=(

cosA

+sinA)cosB,化简得cosAsin

=0,所以A=

或B=

,所以“角A,B,C成等差数列”是“sinC=(

cosA+sinA)cosB”的充分不必要条件,故选A.4.(2018四川德阳二诊,9)命题p:∃x∈R,使得ex-mx=0,命题q:f(x)=

x3-mx2-2x在[-1,1]上递减,若p∨(¬q)为假命题,则实数m的取值范围为

()A.[-3,e)

B.[-3,0]

C.

D.[0,e)答案

C由ex-mx=0知x≠0,因此m=

,设g(x)=

,则g'(x)=

,令g'(x)=0,解得x=1,易知g(x)在(1,+∞)上单调递增,在(-∞,0)和(0,1)上单调递减,所以当x>0时,g(x)min=g(1)=e,因此当