数理方程课件

數學物理方程與特殊函數☆課程的內容三種方程、四種求解方法、二個特殊函數分離變數法、行波法、積分變換法、格林函數法波動方程、熱傳導、拉普拉斯方程貝賽爾函數、勒讓德函數☆數學物理方程定義描述某種物理現象的數學微分方程。一、基本方程的建立第一章一些典型方程和定解條件的推導二、定解條件的推導三、定解問題的概念一、基本方程的建立條件：均勻柔軟的細弦，在平衡位置附近產生振幅極小的橫振動。不受外力影響。例1、弦的振動研究對象：線上某點在t時刻沿縱向的位移。簡化假設：(2)振幅極小，張力與水準方向的夾角很小。(1)弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向。牛頓運動定律：橫向：縱向：其中：其中：其中：………一維波動方程令：------非齊次方程自由項------齊次方程忽略重力作用：從麥克斯韋方程出發：在自由空間：例2、時變電磁場對第一方程兩邊取旋度，根據向量運算：由此得：得：拉普拉斯算子：同理可得：——電場的三維波動方程——磁場的三維波動方程例3、熱傳導所要研究的物理量：溫度根據熱學中的傅立葉試驗定律在dt時間內從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（向量散度的體積分等於該向量的沿著該體積的面積分）熱傳導現象：當導熱介質中各點的溫度分佈不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱場流入的熱量導致V內的溫度發生變化流入的熱量：

溫度發生變化需要的熱量為：熱傳導方程熱場有界杆上的熱傳導（杆的兩端絕熱）例4、靜電場電勢u

確定所要研究的物理量：根據物理規律建立微分方程：對方程進行化簡：拉普拉斯方程

泊松方程同一類物理現象中，各個具體問題又各有其特殊性。邊界條件和初始條件反映了具體問題的特殊環境和歷史，即個性。初始條件：能夠用來說明某一具體物理現象初始狀態的條件。邊界條件：能夠用來說明某一具體物理現象邊界上的約束情況的條件。二、定解條件的推導其他條件：能夠用來說明某一具體物理現象情況的條件。初始時刻的溫度分佈：B、熱傳導方程的初始條件C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始條件不含初始條件，只含邊界條件條件A、波動方程的初始條件1、初始條件——描述系統的初始狀態系統各點的初位移系統各點的初速度(2)自由端：x=a端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、邊界條件——描述系統在邊界上的狀況A、波動方程的邊界條件(1)固定端：對於兩端固定的弦的橫振動，其為：或：(3)彈性支承端：在x=a端受到彈性係數為k的彈簧的支承。或B、熱傳導方程的邊界條件(1)給定溫度在邊界上的值S——給定區域v的邊界(2)絕熱狀態(3)熱交換狀態牛頓冷卻定律：單位時間內從物體通過邊界上單位面積流到周圍介質的熱量跟物體表面和外面的溫差成正比。交換係數；周圍介質的溫度第一類邊界條件第二類邊界條件第三類邊界條件1、定解問題三、定解問題的概念(1)初始問題：只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題；(2)邊值問題：沒有初始條件，只有邊界條件的定解問題；(3)混合問題：既有初始條件，也有邊界條件的定解問題。

把某種物理現象滿足的偏微分方程和其相應的定解條件結合在一起，就構成了一個定解問題。定解問題的檢驗

解的存在性：定解問題是否有解；解的唯一性：是否只有一解；解的穩定性：定解條件有微小變動時，解是否有相應的微小變動。3、線性偏微分方程的分類按未知函數及其導數的係數是否變化分為常係數和變係數微分方程按自由項是否為零分為齊次方程和非齊次方程2、微分方程一般分類

(1)按引數的個數，分為二元和多元方程；(2)按未知函數及其導數的冪次，分為線性微分方程和非線性微分方程；(3)按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、二階和高階微分方程。線性方程的解具有疊加特性4、疊加原理

幾種不同的原因的綜合所產生的效果等於這些不同原因單獨產生的效果的累加。(物理上)判斷下列方程的類型思考基本思想：首先求出具有變數分離形式且滿足邊界條件的特解，然後由疊加原理作出這些解的線性組合，最後由其餘的定解條件確定疊加係數。適用範圍：波動問題、熱傳導問題、穩定場問題等特點：a.物理上由疊加原理作保證，數學上由解的唯一性作保證；b.把偏微分方程化為常微分方程來處理，使問題簡單化。令帶入方程：令帶入邊界條件1求兩端固定的弦自由振動的規律一有界弦的自由振動特徵（固有）值問題：含有待定常數常微分方程在一定條件下的求解問題特徵（固有）值：使方程有非零解的常數值特徵（固有）函數：和特徵值相對應的非零解分情況討論：1）2）3）令，為非零實數▪分離變數▪求特徵值和特徵函數▪求另一個函數▪求通解▪確定常數分離變數法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。2解的性質

x=x0時：其中：駐波法t=t0時：例1：設有一根長為10個單位的弦，兩端固定，初速為零，初位移為，求弦作微小橫向振動時的位移。解：弦的振動振幅放大100倍，紅色、藍色、綠色分別為n=1,2,3時的駐波。解：例2求下列定解問題初始條件若l=1,a=10時的震動。例3

求下列定解問題解：例4

求下列定解問題令帶入方程：解：二有限長杆上的熱傳導令帶入方程：解：令令帶入方程：令例5

求下列定解問題解：例6

求下列定解問題解：若則u為多少？為什麼會出現這樣的現象？思考若有界杆上的熱傳導（杆的兩端絕熱）分離變數流程圖三拉普拉斯方程的定解問題1直角坐標系下的拉普拉斯問題解：例7

求下列定解問題解：例8

求下列定解問題解：2圓域內的拉普拉斯問題歐拉方程例9

求下列定解問題解：歐拉方程令例10

求下列定解問題解：歐拉方程令其他為零例12

求下列定解問題解：歐拉方程其他為零例13

求下列定解問題解：例13

求下列定解問題解：例14

求下列定解問題解法一：令解法二：令令：令：為什麼？例15

求下列定解問題解：先解對應的齊次問題例16

求下列定解問題解：令當當當時時時例17

求定解問題解：將原問題變換到極坐標系下：例18

求定解問題五非齊次邊界條件的處理解：令設：f

和W與t無關例19

求下列定解問題解：令例20

求定解問題解：令例21

求定解問題解：令例22

求定解問題解：令定解問題選擇合適的坐標系邊界條件非齊次，轉換為齊次邊界條件非齊次方程，齊次邊界條件齊次方程，齊次邊界條件直接用駐波法非齊次方程，齊次定解條件固有函數法應用分離變數法求解定解問題的步驟一維波動方程的達朗貝爾公式

行波法

結論：達朗貝爾解表示沿x

軸正、反向傳播的兩列波速為a波的疊加，故稱為行波法。a.只有初始位移時，代表以速度a

沿x

軸正向傳播的波代表以速度a

沿x

軸負向傳播的波4解的物理意義b.只有初始速度時：假使初始速度在區間上是常數，而在此區間外恒等於0解：將初始條件代入達朗貝爾公式5達朗貝爾公式的應用影響區域決定區域依賴區間特徵線特徵變換行波法又叫特徵線法6相關概念7非齊次問題的處理利用疊加原理將問題進行分解：利用齊次化原理，若滿足：則：令：從而原問題的解為雙曲型方程橢圓型方程拋物型方程特徵方程例1

解定解問題解例2

求解解：特徵方程為令：例3

求解Goursat問題解：令

補充作業：解定解問題二積分變換法1傅立葉變換法傅立葉變換的性質微分性位移性積分性相似性傅立葉變換的定義偏微分方程變常微分方程例1

解定解問題解：利用傅立葉變換的性質例2

解定解問題解：利用傅立葉變換的性質2拉氏變換法拉普拉斯變換的性質微分性相似性拉普拉斯變換的定義偏微分方程變常微分方程例3

解定解問題解：對t求拉氏變換例4

解定解問題解：對x求傅氏變換對t求拉氏變換例5

解定解問題解：對t求拉氏變換對x求傅氏變換例6

求方程

滿足邊界條件，的解。解法一：解法二：對y求拉氏變換例7

解定解問題解：對t取拉氏變換x取傅立葉變換其中二格林公式及其結論格林公式的結論：1調和函數的積分運算式拉普拉斯方程的基本解2牛曼內問題有解的必要條件3平均值公式4拉普拉斯方程解的唯一性問題調和函數在區域內任一點的值可以通過積分運算式用這個函數在區域邊界上的值和邊界上的法嚮導數來表示。取狄氏問題的解唯一確定，牛曼問題的解除了相差一常數外也是唯一確定的。三格林函數原點處點電荷電量，點電荷密度處點電位即處點電荷電量點電荷密度處點電位純點源產生的場（不計初始條件和邊界條件的影響）自由空間的格林函數線性系統線性系統1格林函數定義對泊松問題對拉普拉斯問題2拉普拉斯方程的格林函u，v均為調和函數v為調和函數，且滿足3區域的格林函數和狄氏問題的解電象法求格林函數

在區域外找出區域內一點關於邊界的象點，在這兩個點放置適當的電荷，這兩個電荷產生的電位在曲面邊界上相互抵消。這兩個電荷在區域中形成的電位就是所要求的格林函數。半空間的格林函數v為調和函數，且滿足例1

求解下列定解問題解：例2求解下列定解問題解：四分之一空間的格林函數

n階貝塞爾方程

n階貝塞爾方程

令：二貝塞爾方程的求解n任意實數或複數當p為正整數時當p為負整數或零時n階第一類貝塞爾函數

令：當n為正整數時時n階第一類貝塞爾函數

1n不為整數時，貝塞爾方程的通解和線性無關n階第二類貝塞爾函數（牛曼函數）

n為整數時2n為整數時，貝塞爾方程的通解A、B為任意常數，n為任意實數性質1有界性

性質2奇偶性

三貝塞爾函數的性質當n為正整數時性質3遞推性

例1求下列微積分性質4初值

性質5零點

有無窮多個對稱分佈的零點和的零點相間分佈的零點趨於週期分佈，性質6半奇數階的貝塞爾函數

性質7大宗量近似

性質8正交性

貝塞爾函數的模例2：證明的解為例3：將1在區間內展成的級數形式例4：將x在0<x<2區間內展成的級數形式例5：將在0<x<1區間內展成的級數形式例5:解下列定解問題例6:解下列定解問題連帶的勒讓德方程

n次的勒讓德方程n次的勒讓德方程二勒讓德方程求解令：通解y1為偶函數y2為奇函數n為正偶數或負奇數y1為多項式，n為負偶數或正奇數y2為多項式。n為非整數y1，y2均為無窮級數，在內其收斂半徑為1。當n為偶數時當n為奇數時三勒讓德多項式性質1正交性

先證明：性質2遞推公式

性質3奇偶性

例1:將在[-1,1]內展成勒讓德多項式的級數形式

例2:將在[-1,1]內展成勒讓德多項式的級數形式

方法二解：方