初中数学三角函数综合强化练习3

初中数学三角函数综合强化练习3

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.如图，已知直线“心，卜4之间的距离4E为白，在AABC中,

BC=2,AB=yfj,将AABC绕点C在平面内顺时针旋转得到AA'B'C,若旋转角为

2.如图，在正方形4BCO中，对角线AC与BO相交于点。，点E在8c的延长线上,

连接OE,点F是DE的中点，连接OF交CD于点G,连接CF,若CE=4,

OF=6.则下列结论：@GF=2；②OD=0OG;③tanNCDE=；；（4）

NOZ）F=NOCF=90。；⑤点D到CF的距离为随.其中正确的结论是（）

5

A.①②③④B.①③④⑤C.@@③⑤D.①②④⑤

3.如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCC,DC//AB,斜

坡A£）长为8米，坡角a为30。，斜坡BC的坡角£为45。，则斜坡BC的长为（）

D

A.6米B.6啦米

C.4米D,4&米

4.如图，在△ABC中，ZB=90°,BC=8AB=6cm,动点P从点A开始沿边AB向点

B以Icm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若

P,Q两点分别从A,B两点同时出发，在运动过程中，4PBQ的最大面积是

)

B.12cm2C.9cm2D.3cm2

在R中，NC=9(T,若sinA=?则cosA的值为(

5.RABC)

58212

A.B.C.D.——

12T5313

6.下列计算正确的是（)

A.百=±3B.sin2a=2sinaC.(6“6)+(-2〃2)=-3/

D.(r+b1=(a+b^

7.如图，在平面直角坐标系中，RfAABO的顶点8在x轴的正半轴上,

ZABO=90°,点A的坐标为（1,6）,将AABO绕点O逆时针旋转，使点3的对应点

8'落在边04上，则A的坐标为（）

8.ZkABC在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1）,8c于。，下列选

项中，错误的是（）

A.sina=cosaB.tanC=2C.sinp=-yD.tana=1

二、填空题

9.一人乘雪橇沿坡角为30。的斜坡笔直滑下，滑下的距离S（米）与时间t（秒）的关

系式为S=10t+t2,若滑坡底的时间为2秒，则此人下滑的高度为

10.如图，在平面直角坐标系中，RNQ4B斜边上的高为1,ZAOB=30。，将R/VQ48

绕原点顺时针旋转90。得到用△08,点A的对应点C恰好在函数y="（ZwO）的图象

X

上，若在y=A的图象上另有一点"使得N"OC=30。，则点"的坐标为.

11.如图，矩形中，AB=5,8C=3,点E在边AD上（不与A,。重合），将

矩形沿CE折叠，使点A,8分别落在点尸，G处，有下列结论：①NFED与NGCD

Af74

互余；②若C£＞平分NECG,则tanNBCE=石；③若直线FG经过点则二=工；

ED5

④若直线FG交边AO,分别于M,N,当AZWN为等腰三角形时，五边形

ABCNM的周长为11夜.其中正确结论的序号是.

12.如图，在。ABC。中，ZB=30°,AB=AC,。是两条对角线的交点，过点。作AC

的垂线分别交边A。，BC于点、E,F,点M是边AB的一个三等分点.连接MF,则

△40£与4BMF的面积比为.

B

13.如图，在矩形A8C£＞中，A8=4,AO=5,点E,F分别是边AB,8c上的动点，点

E不与4,B重合，且£F=AB,G是五边形他尸8内满足GE=GE且NEG产=90。

的点.现给出以下结论:

①NGE8与NGF8一定互补;

②点G到边AB,BC的距离一定相等;

③点G到边AO,Z）C的距离可能相等;

④点G到边AB的距离的最大值为2夜.

其中正确的是.（写出所有正确结论的序号）

AB=\,延长C。至A，使D4|=C。，以

AC为一边，在BC的延长线上作菱形ACCR,连接AA，得到AAD4,;再延长CR

至4,使以42G为一边，在CG的延长线上作菱形&GG2,连接

A4,得到AAR4……按此规律，得到的202021Am，记AAOA的面积为L，

”■A的面积为名……⑼的面积为s202l,则邑⑼=.

15.如图，在Rt/XABC中.ZABC=90°,A8=2,BC=4,点。是边AC上一动

点.连接80,将△回£＞沿8£＞折叠，点A落在4处，当点4在AABC内部（不含边

界）时，AO长度的取值范围是.

3

16.已知：Z4+ZB=90°,若sinA=g,则cosB=.

三、解答题

17.嘉琪在某次作业中得到如下结果：

sin270+sin283°«0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°»0.372+0.932=1.0018,

sin229°+sin261°»0.482+0.872=0.9873,

sin2370+sin253°»0.602+0.802=1.0000,

（口弋（/yV

sin245°+sin245°=——+--=1.

I2）I2J

据此，嘉琪猜想：在HAABC中，ZC=90°,设NA=a,有

sin2a+sin2（90-a）=1.

（1）当a=30。时，验证sin2a+sin2（90°-a）=l是否成立.

（2）请你对嘉琪的猜想进行证明.

18.如图，四边形ABCD为矩形，AB=3,BC=4,P、。均从点B出发，点P以2个

单位每秒的速度沿S4-AC的方向运动，点。以1个单位每秒的速度沿8C-CD运动，

设运动时间为f秒.

（1）求AC的长；

（2）若S郎°=5,求S关于，的解析式.

AD

19.如图，抛物线y=o?+法+2经过A（-1,O）,B（4,0）两点，与丁轴交于点C,连接

BC.

图1图2图3

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）如图2,直线/：y="+3经过点A,点尸为直线/上的一个动点，且位于x轴的

上方，点。为抛物线上的一个动点，当PQ//y轴时，作QM_LPQ,交抛物线于点M

（点M在点。的右侧），以PQ,为邻边构造矩形PQMN,求该矩形周长的最小

值；

（3）如图3,设抛物线的顶点为。，在（2）的条件下，当矩形PQMN的周长取最小

值时，抛物线上是否存在点尸，使得NC8尸?若存在，请求出点尸的坐标;

若不存在，请说明理由.

20.在AA8C中，44、DB、NC的对边分别为。、b、c,且满足等式

（2/?）2=4（c+a）（c-a）和5a-3c=0,求sinA+sin8的值.

21.如图，在中，AB=AC,以A8为直径的OO交BC于点。，DE_LAC交

84的延长线于点E,交AC于点凡

(1)求证：/)£：是。。的切线;

3

(2)若AC=6,tanE=二，求A/7的长.

4

I777

22.如图，点尸为函数y=：x+l与函数y='(x>0)图象的交点，点P的纵坐标为

2x

4,轴，垂足为点从

(1)求用的值；

(2)点M是函数y='(x>o)图象上一动点，过点用作MD_LBP于点。，若

x

tanNPA〃)=],求点M的坐标.

2

参考答案:

1.c

【解析】

【分析】

由题意可作出如图所示，过点力作。FLAC于点凡由题意易得NAC4'=60。，

ZACE=ZDAC,进而可得BE=2,则由勾股定理可得AC=>/历，设CF=x,则。尸=居,

AF=M-X,然后根据三角函数可进行求解.

【详解】

解：过点。作。尸，AC于点F,如图所示：

/.NACE=NDAC,

'：AELEC,AE=石,A8=V7,

•*-BE=>JAB2-AE2=2-

,:BC=2,

：.CE=4,

...在R2AEC中，AC=yjAE2+CE2=719>

:旋转角为60。，

二ZAC4'=60。，

ZFDC=30°,

设CF=x»贝i]DF=y/3x>CD-2x,AF=\f\9—x,

答案第1页，共27页

・•/ns♦口AEGDF

••tan乙DAC—tanNACE==—=,

EC4AF

.G®

.丁而不

解得：X=叵,

5

・f2M

5

故选C.

【点睛】

本题主要考查三角函数、旋转的性质及勾股定理，熟练掌握三角函数、旋转的性质及勾股

定理是解题的关键.

2.C

【解析】

【分析】

由题意易得8c=8,BO=OO=Q4=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,①由三角形

中位线可进行判断；②由ADOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求

解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点。作交CF的延长线于点H,然后根

据三角函数可进行求解.

【详解】

解：；四边形ABC7)是正方形，

BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,ZBCD=ZDCE=90°,AC1BD,

:点F是OE的中点，

：.OF^-BE,OF//BE,

2

,：OF=6,CE=4,

ABE=\2,则C£)=3C=8,

OF//BE,

:.△DGFS^DCE,

.DGGF1

•a---------------——,

CDCE2

.,.GF=2,故①正确;

，点G是CD的中点，

答案第2页，共27页

:.0G1CD,

•/N00045。，

•••△OOC是等腰直角三角形，

•*-OD=41OG，故②正确；

VC£=4,8=8,ZDCE=90°,

AtanZCD£=-C^E-=-1,故③正确；

CD2

•?tanZCDE=-^1,

2

:.NCDE/45。，

，NODFw90。,故④错误；

过点。作。交CF的延长线于点“，如图所示:

丁点尸是。的中点，

:.CF=DFf

：.ZCDE=ZDCFf

/.tanZ.CDE=tanZDCF=—,

2

设=则C”=2x,

在心中，X2+4X2=64,

解得：x=±喳

5

:.DH=处,故⑤正确；

5

,正确的结论是①②③⑤；

故选C.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性

答案第3页，共27页

质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

3.D

【解析】

【分析】

做辅助线。E_LAB于点E,CF_LAB于点F,构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用

三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案.

【详解】

解：分别作于点E,CFLAB于点F,

"：DC//AB,

：.CF=DE,

在Rf△4£)£；中，

：AD=8米，坡角a=30。,

DE=ADsina=8sin300=4米；

在R/AAOE中，

坡BC的坡角夕=45。，

BC=~^=+=4拒

二sinP42.

~2

【点睛】

本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识.

4.C

【解析】

【详解】

试题分析：先根据已知求边长BC,再根据点P和Q的速度表示BP和BQ的长，设^PBQ

的面积为S,利用直角三角形的面积公式列关于S与t的函数关系式，并求最值即可.

VtanZC=-,AB=6cm,.•.空；.BC=8,

4BCBC4

由题意得：AP=t,BP=6-t,BQ=2t,

答案第4页，共27页

设APBQ的面积为S,贝IjS=/xBPxBQ=±x2tx(6-t),

S=-t2+6t=-(t2-6t+9-9)=-(t-3)2+9,P：0<t<6,Q：0<t<4,

.•.当t=3时，S有最大值为9,即当t=3时，△PBQ的最大面积为9cm2；

考点：(1)解直角三角形；(2)二次函数的最值.

5.D

【解析】

【分析】

由三角函数的定义可知疝4=而,可设8c=5A女由勾股定理可求得枇=必,再

利用余弦的定义代入计算即可.

【详解】

解：如图：

A

C-----^4

在R/AA5C中，sinA=—,可设BC=5AAB=\3k.

AB

由勾股定理可求得AC=y/AB2-BC2=J(13"-(5"=\2k.

m2.AC\2k12

所以，cosA=——=——=—.

AB13213

故选：D.

【点睛】

本题主要考查三角函数的定义，掌握正弦、余弦函数的定义是解题的关键.

6.C

【解析】

【分析】

直接利用算术平方根定义、三角函数定义、单项式除以单项式的运算法则与完全平方公式

判断即可得出答案.

【详解】

解：A.因为囱=3,所以A项错误；

答案第5页，共27页

B.当a=30°时,sin2a=sin60°=—»2sina=2sin30°=l(此时sin2aw2sina,故B

2

项错误；

C.(6«6)4-(-2«7)=-a6-23—3",故C项正确；

D.(a+b)2=fl2+2必+廿；故口项错误；

故选：C.

【点睛】

本题主要考查了算术平方根定义、三角函数定义、单项式除以单项式的运算法则与完全平

方公式，能用特值法判断sin2aw2sin。是解题的难点.

7.A

【解析】

【分析】

由勾股定理求出04的长度，利用三角函数值求出角的度数，即可求得4的坐标.

【详解】

解：过4点作x轴垂线，垂直为C,

••,A的坐标为(1,6),即OB=1,AB=6,

222

：.OA=OA'=yJOB+AB=《1+(厨=2,

皿I,..OBV3

则tanZ.A=---=——,

AB3

ZA=30°,则ZAOB=ZA'OA=60°,

/.ZAOC=l80。-ZAOB-ZA'OA=60°,

:.OC=A'OvosZA'OC=2Xcos60°=1,

A'C=AOsinNA'OC=2xsin600=5

的坐标为(-1,x/3),

答案第6页，共27页

故选：A.

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数，勾股定理等知识点，熟知三角函数对应的边的关系是解题的

关键.

8.C

【解析】

【详解】

试题分析：由图可分别求得BO=AD=2,A8=2&,CD=\,AC=逐，利用锐角三角函数定

义在RtAABD和RsACD中计算即可判断.

解：由图可得BO=A£>=2,CD=\,

所以AB=S]A.D2+BD2=2应，AC=JAD?+CD?=石>

BDADV2BD.

在RtAABD中,sma=---二------,cosct=-----=-----,tana=-----=1,

AB2AB2AD

小

•介CD口AO275「A。八

在RtA4C£>中,Sin^=AC----,cosp=-----=------,tanC=——=2,

5"AC5CD

贝ijsina=cosot,故A正确；tanC=2,故B正确；sin/?rcos夕，故C错误；tana=l,故D正

确.

故选C.

9.12米

【解析】

【分析】

由S=10t+t2可求得滑下的距离S,结合坡角为30。，通过三角函数计算从而得到答案.

【详解】

：S=10t+t2且f=2

；.S=20+4=24

•••坡角为30。且sin30°=1

.••此人下滑的高度为Sxsi"30o=24x'=12

故答案为：12米.

【点睛】

本题考察了一元二次函数和三角函数的知识；求解的关键是结合实际问题，熟练掌握并运

答案第7页，共27页

用一元二次函数和三角函数的性质，从而完成求解.

10.(>/3,1)

【解析】

【分析】

利用3&的正切可以求出C点坐标，再利用C、M在y=A(kwO)上，设M的坐标，最后通

x

过NMOF=30。可以求出M点的坐标.

【详解】

解：如图，过点C作轴，过点M作轴，

由题意可知/EOC=/MOF=30°,CE=\

CFr-k

则OE='^=6,C在y=±(Z*0)上，

tan30°x

设M(@,")(〃?>0)

m

・・・NMO/=30。

/?

/.tanAMOF=—

3

AH_V3

即石=7解得〃=21,机=-1(不符合题意，舍去)

m

所以

故答案为：(百,1).

【点睛】

本题考查了直角三角形的性质，特殊角的锐角三角函数，反比例函数性质，正确理解题

答案第8页，共27页

意，求出c点的坐标是解决问题的关键.

11.（D@③④

【解析】

【分析】

①根据折叠可得NF=/G=90。，ZADC=90°,再利用直角三角形两个锐角互余即可判

断；

②根据折叠可得NBCE=NECG,再根据CD平分NECG,可得NBCE=60。，进而即可判

断；

③根据题意可知：直线FG经过点。，证明△EF£>~A£）GC,对应边成比例可得AE=EF=

445

ED=3--=-,进而即可判断；

333

④当AOMN为等腰三角形时，可得△MGCAOMN均为等腰直角三角形，如图，根据等

腰直角三角形的性质即可判断.

【详解】

①根据折叠可得N尸=ZG=90°,

工NFED+NEDF=9。。,NCDG+NGC。=90。，

•••ZADC=90%

・•・ZCDG+ZEDF=90°,

•.NFED=/CDG,

・•.NEE。+NGCQ=90。，故①正确；

②根据折叠可知：NBCE=/ECG,

•••CD平分NECG,

•.3NECD=90。,

••.NECD=30。,

NBCE=60。,

tan/BCE=6,故②正确；

③根据题意可知：直线FG经过点

・.・BC=CG=3,CD=5,

ADG=4,DF=1,

•••ZF=ZG=ZADC=90°,

答案第9页，共27页

△EFD~△DGC,

，EF=——DF,

DGCG

EF1

''~=39

:.EF=-,

3

4

...AE=EF=-,

3

:.ED=3--=-.

33

ApA

••・煞=9,故③正确；

ED5

④当△力MN为等腰三角形时，

可得△MGC,△。仞V均为等腰直角三角形,

如图，

•••BC=CG=3,

：.MG=3,

••.CM=3正，

:.DN=DM=5-342，

MN=&(5-3V2)=5五-6,

五边形ABCMN的周长为：

AB+BC+CM+MN+AN

=5+3+3&+5应-6+3应-2=11正,故④正确，

故答案为：①②③④.

【点睛】

本题考查了折叠问题，同时与相似三角形、特殊三角函数值、等腰三角形、矩形等知识相

结合，转化相关线段和角度之间的关系是解题关键.

12.3：4

答案第10页，共27页

【解析】

【分析】

设AB=AC=m,根据平行四边形的性质可得0A=0C=gAC=3m,继而根据已知解三角形

求得FC=3m,通过证明△AOE彩△COF,求得AE=FC=@m,从而求得%AOE=3

3324

m2,作ANJLBC于N,求得BC=^m,继而求得BF=BC-FC=Gm-将m=3叵m,然

后作MH_LBC于H,分点M为靠近点B的三等分点和靠近点A的三等分点两种情况求出

SABMF的值即可求得答案.

【详解】

设AB=AC=m,

VO是两条对角线的交点，.••OA=OC=gAC=gm,

VZB=3O0,AB=AC,AZACB=ZB=30°,

VEF1AC,/.cosZACB=—,即cos30°=2"，.\FC=—m,

FC7E3

：AE〃FC,NEAC=NFCA,又；NAOE=NCOF,AO=CO,AAAOE^ACOF,

.,.AE=FC=—m,

3

OE=gAE=m,SAAOE=工OA,OE=7-x^-mx2^m=m2,

26222624

作AN±BC于N,

VAB=AC,，BN=CN=GBC,VBN=^AB=^m,，BC=Gm,

222

/.BF=BC-FC=73m--m=m,

33

作MHLBC于H,如图1（点M为靠近点B的AB的三等分点），则BM=gm,

2

ZB=30°,MH=7rBM=-m,SABMF=BF«MH=^-X^2^mx—m=—m,

26223618

732

-m

・、c△-OE_24_£Q

S^BMF直加24

18

7

如图2（点M为靠近点A的AB的三等分点），则BM=§m,

2

•/ZB=30°,/.MH=!BM=-m,/.SABMF=工BF*MH=gxmx-m=—m,

2322339

答案第11页，共27页

G2

—mi

c_24_3

S.BMF28

9

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形的应用等知识，综合性较强，有一定的难

度，正确地添加辅助线是解题的关键.本题运用了分类讨论思想.

13.①@④

【解析】

【分析】

①利用四边形内角和为360°即可求证；

②过G作GM_LAB,GNA.BC,证明△GME四△GNF即可得结论；

③分别求出G到边A2OC的距离的范围，再进行判断；

④点G到边AB的距离的最大值为当GELA8时，GE即为所求.

【详解】

•:NEGF=90。GE=GF

：.ZGEF=45°

①：四边形438是矩形

:.ZB=90°

•.•NEG『=90。,四边形内角和为360。

:.NGEB+NGFB=180。

・•,①正确.

②如图：过G作GM，A8,GN，BC

答案第12页，共27页

AD

NGME=NGNF=90。

-.-ZGEB+NGFB=180。，NGEM+ZGEB=180°

:.NGFN=GEM

又；GE=GF

AGME迫AGNF(AAS)

：.GM=GN

即点G到边的距离一定相等

②正确.

③如图：过G作GN_LAO,GM，C£>

NG<AB-1EF=2,GM<AD--EF=3

22

答案第13页，共27页

NG>AB-£Fxsin45°=4-2>/2,

GM>AD-EFxsin450=5-242

:.4-2>j2<NG<2,5-2y/2<GM<3

Wv2<5-2V2

所以点G到边A£>,OC的距离不可能相等

二③不正确.

④如图：

A

E

B

当GE_LAB时，点G到边AB的距离的最大

GE=EFxsin45°=4x—=2>/2

2

，④正确.

综上所述：①②④正确.

故答案为①②④.

【点睛】

本题考查了动点问题，四边形内角和为360。，全等三角形的证明，点到直线的距离，锐角

三角函数，矩形的性质，熟悉矩形的性质是解题的关键.

14.2叫代

【解析】

【分析】

由题意易得/88=60。,48=">=8=1,则有为等边三角形，同理可得

AA44…….△4网3。2。&021都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得

答案第14页，共27页

5=空，s?=6……由此规律可得然后问题可求解.

【详解】

解：；四边形ABCD是菱形，

:.AB=AD=CD=\9AD//BC,AB//CD,

・：ZABC=120°,

・•・ZBCD=60°,

・・.NADA,=NBCD=60。,

,:DA〕=CD,

/.DA{=AD,

•••AA”为等边三角形，

同理可得MD,A……."必。2020A2⑼都为等边三角形，

过点8作BEJ_C。于点E,如图所示：

/.BE=BC-sinNBCD=—,

2

/.S,=^\DBE=^-\D2=日，

同理可得:邑邛&々邛x2j,品邛也邛X4-5

...由此规律可得：S„=y/3-22"-4,

答案第15页，共27页

.••S2M=6x22*281=2的38.6；

故答案为6.

【点睛】

本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、

等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键.

内275275

15.---<AD<----

53

【解析】

【分析】

分别求出当A落在AC和BC上时AO的长度即可.

【详解】

VZABC=90°,AB=2tBC=4,

AC=yjAB2+BC2=〃+16=26，

当点4落在AC上时，如图，

匚

、c

•.•将△ABO沿8。折叠，点A落在A处，

，ZADB=ZA'DB=90°

•.”,必=必=空，

ABAC

，陋=四=述，

AC5

当点A落在8C上时，

BA'C

答案第16页，共27页

•・,将△ABD沿3D折叠，点A落在4处,

,NABD=NDBC=45。,

〈DHLAB,

・・・NHDB=/HBD=45°,

:.BH=DH,

A_HD_BC_

•tcinA=---=---=2,

AHAB

:・HD=2AH=BH,

・・•AB=AH+BH=2AH+AH=2,

AAH=-,BH=-=DH,

33

AD=JAH2+HD2=/-+—=—,

V993

••・当点4在△ABC内部（不含边界）时，A。长度的取值范围为坡<AO<2叵.

53

【点睛】

本题考查折叠问题，解题的关键是考虑两种极端情况.还可以利用相似来解题.

16.?

5

【解析】

【分析】

根据/A+N8=90。，判定三角形ABC为直角三角形，则根据互余两角的三角函数的关系

求解即可.

【详解】

3,3

由NA+N8=90°,sinA=-,得：cosB=sinA=-,

故答案为I.

【点睛】

本题考查了互余两角的三角函数的关系的应用，注意：在AACB中，NA+NB=90。，则

ZC=90°,则sinA=cosB,cosA=sinB,tanA=cotB,cotA=tanB.

17.（1）成立，理由详见解析；（2）成立，证明详见解析

【解析】

【分析】

答案第17页，共27页

(1)将a=30。代入，根据三角函数值计算可得；

(2)设NA=a,则/B=90"a,根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证.

【详解】

解：⑴当a=30。时,

sin2a+sin2(90°-a)

=sin230°+sin260°

3

44

=1;

证明：如解图，在△ABC中，ZC=90°,

设ZA=a,贝iJ/B=90。一。，

BCACY_8c2+3_AB^_]

sin2a+sin2(90°-a)=

~AB~AB)-—AB^~-AB7-'

【点睛】

本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角函数的定义及勾股

定理是解题的关键.

r,O<Z<-

2

3123

18.(1)AC=5；(2)5=--12+—t,-<t<4

552

2t—8,t>4

【解析】

【分析】

(1)由题意易得4=90°,然后根据勾股定理可求解;

答案第18页，共27页

(2)由题意易得①当点P在AB上时，即04/4：,则BP=2r,8Q=f,②当点尸在AC

2

3

上，点Q在BC上时，即过点P作PELBC于点E,然后可得

PC=8-2r,PE=|(8-2r),③当点P与点C重合，点Q在CQ上时，即r>4,则有

BP=4,CQ=J,进而根据面积计算公式可求解.

【详解】

解：(1)•••四边形A3CD是矩形，

,4=90。，

,:AB=3,BC=4,

AC=VAB2+BC2=5;

(2)由题意得当点P到达点C时，点。恰好到达点C,则有：

3

当点尸在A8上时，即如图所示：

2

BP=2t,BQ=t,

二S=,8尸•8Q=!x2txf=f2；

22

3

当点尸在AC上，点。在8c上时，即5</44,过点P作PELBC于点E,如图所示:

答案第19页，共27页

3

由(1)nJWsinZPCE=-,

3

・・・PE=CP-sinZPCE=-(8-2r),

iiQ312

：.S=-BQPE=-x^x^-2t)xt=--t2+—t；

当点P与点C重合，点Q在CD上时，即f>4,如图所示:

,3

t2,O<t<-

2

3123

综上所述：S关于，的解析式为S=一一厂2+—t,-<t<4.

552

2/-8,r>4

【点睛】

本题主要考查矩形的性质、勾股定理、三角函数及函数，熟练掌握矩形的性质、勾股定

理、三角函数及函数是解题的关键.

19.(1)y=-#+gx+2；(2)—；⑶存在，/(-1,0)或尸.言.

224139)

【解析】

【分析】

(1)直接将A(T,O),8(4,0)两点坐标代入抛物线解析式之中求出系数的值即可；

(2)先利用待定系数法求出直线的解析式，再设出点尸的坐标，接着表示出Q点和M点

的坐标后，求出线段PQ和QM的表达式，再求出它们和的两倍，利用配方法即可求出其

最小值；

(3)先利用锐角三角函数证明出NCBA=/DQM,进而得到尸点的其中一个位置，在BC

另一侧，通过构造直角三角形，利用勾股定理建立方程组，即可求出8尸与y轴的交点，进

而求出8斤的解析式，与抛物线的解析式联立，即可确定F点的坐标.

答案第20页，共27页

【详解】

解：（1）,・•抛物线y"+加+2经过A（T,O）,6（4,0）两点,

Ja-b+2=0

116。+4〃+2=0

1

a=—

2

解得：

,3

b=一

2

1,3

・,・该抛物线的函数表达式为：y=--x2+|x+2；

（2）:y=依+3经过点A,

：.一4+3=0,

**.&=3,

工直线/y=3x+3；

设尸（力3f+3）,则Q，，一，2+|f+2）,

3

23

•.•抛物线对称轴为：x=------广且。点和M点关于对称轴对称,

2x"

3

・・・M点横坐标为2><万一=37,

QM=3—t—t=3—2t•

XVPQ=3r+3-1-g/+|f+2

2（PQ+QA/）=2（；/+gf+l+3-2，=/-r+8=

I71

当r己时，2（PQ+QM）的值最小，为亍;

31

二该矩形周长的最小值为W；

（3）存在，尸（TO）或尸

由（2）可知，。

•••抛物线的函数表达式为：y=~1x2+^3x+2；

答案第21页，共27页

如图4,作DELLQM,

图4

因为。E=325-二21=上1，QE=3---1=\,

88222

tanZ.DQE=g；

又•.•抛物线与y轴交于点C,与x轴交于点A、B,

：.C(0,2)

]3

令-万一+/X+2=0,解得：*=-1,々=4；

二A(-1,O),8(4,0),

,OC=2,OB=4,

tanZCBA=-=~,

42

...当F点在点A处时，能使得NC8尸=NDQM,此时尸(-1,0);

如图5,在BC另一侧，当ZCBH=ZDQM时，ZCBH=Z.CBA,

过C点作CNLBH,垂足为点N,

答案第22页，共27页

图5

由角平分线的性质可得：CN=C0=2,

：.BN=B0=4,

由勾股定理可得：CH-=CN?+NH?且OH?+OB?=BH?,

即C”2=2?+N〃2,且(C〃+2)2+4?=(M7+4；

1AQ

解得：CH=3,NH=--

设直线BH的函数解析式为：y=px+q,

4p+q=0

,4

"16'

q=­

I3

416

・・・直线3”的函数解析式为：y=--x+^,

33

联立抛物线解析式与直线3H的函数解析式，得：

4