初中数学八年级下册 第17章 一元二次方程（通用） 优质课比赛一等奖

第17章一元二次方程（通用）1.下列方程是一元二次方程的是________．①x2＋2x－3＝0；②x2＋3＝0；③(x2＋3)2＝0；④x2＋＝4；⑤5x2－6y－2＝0①②【解析】根据一元二次方程必须是整式方程可排除④，必须只含有一个未知数可排除⑤，根据所含未知数的最高次数是2可排除③，故选①②.2.若(a－3)＋4x＋5＝0是关于x的一元二次方程，则a的值为(

)A.3

B.－3

C.±3

D.无法确定【解析】由a2－7＝2得a＝±3，又∵a－3≠0即a≠3，∴a＝－3.B3.一元二次方程的解法解法适用方程类型方法步骤直接开平方法(1)x2＋c＝0(c＜0)(2)(x＋a)2＝b

口诀：方程没有一次项，直接开方最理想(1)移项得x2＝－c，两边开方得x＝；(2)两边开方得x＋a＝，即x＝－a

因式分解法方程一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积口诀：如果缺少常数项，因式分解没商量(1)移项：将方程的一边化为0；(2)化积：把方程的另一边分解为两个一次因式的积；(3)转化：令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；(4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根公式法ax2＋bx＋c＝0(a≠0)(1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式；(2)确定a、b、c的值；(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝③________，得x1，x2；若b2－4ac＜0，则方程无实数根配方法x2＋px＋q＝0(p为偶数)(1)若二次项系数不为1，先把系数化为1再配方；(2)把常数项移到方程的另一边，即x2＋px＝－q；(3)在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即x2＋px＋()2＝－q＋()2；(4)把方程整理成(x＋)2＝－q＋()2的形式；(5)运用直接开平方法解方程3.(2016天津)方程x2＋x－12＝0的两个根为(

)A.x1＝－2，x2＝6

B.x1＝－6，x2＝2C.x1＝－3，x2＝4D.x1＝－4，x2＝3【解析】∵x2＋x－12＝0，∴(x＋4)(x－3)＝0，解得x1＝－4，x2＝3.D失分点3解一元二次方程“丢根”现象解方程x(x－1)＝2(x－1)2.解：x(x－1)＝2(x－1)2x2－x＝2x2－4x＋2x2－3x＋2＝0(x－1)(x＋2)＝0解得x1＝1，x2＝2.【名师点拨】对于左右两边含有相同因式的一元二次方程，应将方程化为一般式后再求解(或将方程变为等号一边为0，另一边含未知数的式子，利用因式分解法求解)，切勿直接约去公因式而丢根．失分点3基础点2一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.(1)当b2－4ac④____0时，方程有⑤

实数根；(2)当b2－4ac⑥____0时，方程有⑦

实数根；(3)当b2－4ac⑧____0时，方程⑨____实数根．＞两个不相等的＝两个相等的＜无6.一元二次方程x2－2x＋1＝0的根的情况是

．7.已知关于x的方程x2－x－m＝0没有实数根，那么m的取值范围是________．有两个相等的实数根【解析】根据b2－4ac＝22－4×1×1＝0可知方程有两个相等的实数根．【解析】∵x2－x－m＝0没有实数根，∴(－1)2－4(－m)＜0即m＜.失分点4忽略一元二次方程二次项系数不为0的条件一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有解，则a的取值范围为a≤1是否正确？为什么？解：不正确，原因：忽略二次项系数不为0的条件，a的取值范围应为a≤1且a≠0.2.根与系数的关系若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个根分别为x1、x2，则x1＋x2＝⑩

，x1x2＝⑪________．8.已知x1，x2是一元二次方程x2－2x－1＝0的两根，则＝________．－2【解析】∵，x1x2＝－1，∴9.若关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为________．－2【解析】∵x1＋x2＝－3，x1＝－1，则x2＝－2.基础点3一元二次方程的实际应用列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：(1)增长率问题：设a是基础量，x为平均增长率，2为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋x)2＝b，当x为平均下降率，2为下降次数，b为下降后的量，则a(1－x)2＝b；(2)面积问题：(ⅰ)如图1，设空白部分的宽为x，则S阴影＝⑫．(a－2x)(b－2x)图1(ⅱ)如图2、图3、图4，设阴影道路的宽为x，则S空白＝⑬

．图2图3图4(a－x)(b－x)(ⅲ)如图5，栏杆总长为a，BC的长为b，则S阴影＝⑭__________．图5(3)行程问题：时间×速度＝路程

(4)握手、单循环赛与送礼物问题：握手、单循环赛总次数为(n为人数)；送礼物总份数为n(n－1)(n为人数)．重难点精讲优练类型一元二次方程的实际应用例(2016毕节)为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元.2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．(1)求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；(2)若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．(1)【思维教练】设该县投入教育经费的年平均增长率为x，已知2014年教育经费为6000元，可知2015年教育经费为6000(1＋x)，又因为从2014年到2016年这两年该县投入的教育经费年平均增长率相同，可知2016年教育经费为6000(1＋x)2.列方程即可求解．解：设该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意得：6000(1＋x)2＝8640，解得x＝0.2＝20%，答：该县投入教育经费的年平均增长率为20%；(2)【思维教练】要求2017年该县投入的教育经费，已知2016年投入的教育经费和年平均增长率．列方程求解即可．解：∵2016年该县投入教育经费为8640万元，且增长率为20%，∴2017年该县投入教育经费为：y＝8640×(1＋0.2)＝10368(万元)．答：预算2017年该县投入教育经费10368万元．练习1李老板经营的服装店3月份比2月份收入降低5%，由于受到金融危机的影响，预计4月份比3月份降低7%，若这两个月服装店的收入平均降低度为x%，则x%满足的关系是(

)A.5%＋7%＝x%B.(1－5%)(1－7%)＝2(1－x%)DC.5%＋7%＝2·x%D.(1－5%)(1－7%)＝(1－x%)2【解析】设李老板2月份收入为1.∵3月份比2月份收入降低5%，∴3月份收入为1－5%；∵4月份比3月份收入降低7%，∴4月份收入为(1－5%)(1－7%)，∵这两个月服装店的收入平均降低率为x%，∴4月份的收入也可表示为(1－x%)2，∴可列方程为(1－5%)(1－7%)＝(1－x%)2.故选D.练习2

(2016合肥市第一次十校联考)在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是(

)A.x2＋130x－1400＝0B.x2＋65x－350＝0C.x2－130x－1400＝0D.x2－65x－350＝0练习2题图B练习3

(2016合肥市瑶海区二模)某校要组织一次乒乓球邀请赛，