初中数学八年级上册 角平分线的性质定理 一等奖

角平分线的性质定理角平分线的定义

从角的顶点引出一条射线，把这个角分成的两个角相等，这条射线叫做这个角的平分线。

用符号语言表示为：AOBP

∵∠AOP=∠BOP∴OP是∠AOB的平分线反之亦成立。角平分线的性质与判定性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。判定：在角的内部到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。BADOPEC\PD=PEOP是的平分线∵∵\OP是的平分线PD=PE用途：证线段相等用途：判定一条射线是角平分线三角形内心的性质：②三角形的内心到三角形三条边的距离相等①三角形的内心是三角形三条角平分线的交点DFEBoCA例1如图，BD∥AC，BE平分∠ABD，交AC于点E．若∠A=50°，则∠1的度数为（）A．65°B．60°C．55° D．50°A2角平分线的夹角例2：已知：如图，△ABC中，∠A=64°．（1）若△ABC的两个外角平分线BP，CP交

于点P，求∠P的度数；4312解：∵∠DBC、∠BCE是△ABC的外角，∴∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC∵BP、CP分别平分∠DBC、∠BCE，∴∠1=

∠A+

∠ACB，∠3=

∠A+

∠ABC．∵∠P=180°-(∠1+∠3)，∠A=64°，∴∠P

=58°．12121212DE（2）如果BP，CP分别是∠B，∠C两内角平分线，求∠P的度数；

ABCP解：∵∠A=64°∴∠ABC+∠ACB=116°∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=

(∠ABC+∠ACB)

=58°．∵∠P=180°-(∠PBC+∠PCB)

∠PBC+∠PCB=58°，∴∠P=122°12（3）如果BP，CP中一个是内角平分线，另一个是外角平分线，求∠P的度数．

ABCP解：∵∠DCA是△ABC的外角∠A=64°∴∠DCA=∠A+∠ABC，

即∠DCA-∠ABC=64°∵BP、CP分别平分∠ABD、∠ACD∴∠1-

∠2=

(∠ACD-∠ABC)=32°．∵∠1=∠2+∠P

∠1-∠2=32°∴∠P=32°D1212∠P∠A=90°21ABCP∠P∠A=90°21ABCP∠P∠A=21DED例3：如图，已知AB∥CD，OA、OC分别平分∠BAC和∠ACD，OE⊥AC于点E，且OE=2，则AB、CD之间的距离为（ ）

A.

2

B.

4C.

6D.

8

MNB

例5:

如图，△ABC中，O是内心，AO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连接B0求证：DO＝DB证明：∵AD是∠BAC的平分线

∴

∠1=∠2，同理∠3=∠4，而∠BOD=∠1+∠3，

∠OBD=∠4+∠5，又∵∠2=∠5，∴∠BOD=∠OBD.∴DO=DB.例6:已知：如图,在△ABC

中,∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,过点O的直线DE∥BC，DE

分别与AB，AC

交于点D，E.求证：BD+CE=DE.证明:∵DE∥BC,(已知)

∴∠2=∠3(两直线平行,内错角相等)∵OB是∠ABC

的角平分线,∴∠1=∠2(角平分线的定义)∴∠1=∠3∴OD=BD.(等角对等边)同理可得OE=CE.∴DE=OD+OE=BD+CE.

角平分线+平行线ABC

DOE231将条件“∠ACB的平分线”改为“∠ACB的外角平分线”,如图(2)所示。原来的关系式BD+CE=DE

还成立吗?如果不成立,你能推断BD,CE,DE

存在的数量关系式吗?请证明你的推断。拓展延伸F如图△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，求DE的长。

角平分线+垂直FF12解：如图，延长CD交AB于F，∵AD平分∠BAC,

∴∠1=∠2，∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ADF=90∘，在△ACD和△AFD中，∠1=∠2

AD=AD

∠ADC=∠ADF=90∘，∴CD=DF，AF=AC=5cm.∵E为BC中点，BF=AB−AF=8−5=3，∴DE=12BF=1.5(cm).

1、如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其点O是△ABC的内心，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=

．练习2、如图，在△ABC中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，则三个结论①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QSP中（）A．全部正确B．仅①和②正确

C．仅①正确D．