初中数学八年级下册 利用勾股定理解决平面几何问题 全国优质课一等奖

利用勾股定理解决平面几何问题

17.1勾股定理淮南市谢家集区朱集中学：张士亮1，什么是勾股定理？2，勾股定理有什么作用？应用的前提条件是什么？3，你对勾股定理的数量关系有质疑吗？任意直角三角形都成立吗？请你任意画一个直角三角形测量下他三边的长度。看看三边长是否如勾股定理说的那种数量关系？（精确到毫米）阅读本章导语，思考下列问题；知识我先懂质疑

相传2500年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系．

我们也来观察右图中的地面，看看有什么发现？希腊“毕达哥拉斯定理”

数学家毕达哥拉斯的发现：A、B、C的面积有关系等腰直角三角形三边有关系SA+SB=SC两腰的平方和等于斜边的平方ABC研讨:

等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形也有这个性质吗?图中每个小方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A，B，C，A′，B′，C′，的面积，看看能得出什么结论.以A，B，C为例，在正方形C的四周画出一个正方形.则我们可以很容易求出正方形C的面积为，A和B的面积之和为13.我们由此可知根据图形所示填表：A的面积B的面积C的面积图（3）图（4）491392534口答：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积225400A22581BABC正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积（正方形的面积可以表示为边长的平方）（１）由上你知道直角三角形的三边形成正方形的面积关系吗？（２）你能发现直角三角形三边的长度之间存在的数量关系吗？

a2+b2=c2

。想一想：

看左边的图案，这个图案是公元3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．赵爽根据此图指出：按弦图,又可勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差相乘为中黄实,加差实,亦称弦实活动

黄实朱实朱实朱实朱实赵爽弦图的证法即得：c2=a2+b2按弦图,又可勾股相乘为朱实二,倍之为朱实四,以勾股之差相乘为中黄实,加差实,亦称弦实中黄实(b-a)2cbabababaccc朱实证明：∵S大正方形＝4S直角三角形＋S小正方形赵爽用图形面积证明了勾股定理，请你也试试。C∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=(a+b)2=c2+2ab证明一：aaaabbbbcccc∴a2+b2+2ab=c2+2ab，∴a2+b2=c2.证明：∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+S小正方形

=4×

ab+c2=c2+2ab，证明2：abc∵S大正方形＝c2，

S小正方形＝(b-a)2,∴S大正方形＝4S直角三角形＋S小正方形，b-a证明：

证明勾股定理

证明3：即a2+b2=c2.茄菲尔德的美国总统证法bacbacccS三角形1

S三角形2S三角形3S梯形化简得:c2=a2+b2＝＋＋(a＋b)(a＋b)abab＋＋c2＝青出朱入朱出朱方青方青入青入青出青出华罗庚青朱出入图朱入朱出abc青朱出入图①②③④⑤黄实朱实朱实朱实朱实baacab经过证明被确认正确的命题叫做定理.定理┏aABCbc

∵在Rt△ABC中，∠C=900∴

a2+b2=c2

。(BC2+AC2=AB2)勾股定理:

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2

。文字语言符号语言勾股定理

1.判断题:(1).如果三角形的三边长分别为a，b，c，则（）(2).如果直角三角形的三边长分别为a，b，c，则（）2.求出下列直角三角形中未知边的长度：68x5x13解：（1）由勾股定理得：x2=36+64x2=100x2=62+82x=10∵x2+52=132∴x2=132-52x2=169-25x2=144x=12（2）由勾股定理得：1.在RtΔABC中,∠C=90º,已知a=

1,b=

2,求c

解∵在Rt△ABC中，∠C=90º∴

a2+b2=c2

2.在RtΔABC中,∠C=90º，已知AC=

2,AB

=

4,求BC．解∵在Rt△ABC中，∠C=90º∴

BC2+AC2=AB2

。

AB小试牛刀BAC21BAC42初步应用定理练习1求图中字母所代表的正方形的面积．A

A

A

Ｂ22514480241782.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形.已知正方形A，B，C，D，

的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.解：∵E的面积=F面积+G的面积；F的面积=A面积+B的面积；G的面积=C面积+D的面积；

∴E的面积=122+162+92+122=625FG美丽的几何图通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树．收获的喜悦小结：布置作业：写出整理课堂中所提到的勾股定理的证明方法；通过上网等查找有关勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法．1，什么是勾股定理？2，你能简单描述勾股定理的证明吗？还有其他方法证明吗？是否有外星人存在?如果