人教版高中数学必修五讲义

正弦定理和余弦定理

，佥大脑体操）

途作业完成情况）

，修教学目标）

教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的概念，定义，公式的变形应用

教学难点：公式的变形，解直角三角形的应用边与角之间的关系及变形，判断三角形的形状

途趣味引入）

，栏知识梳理）

1、正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即AABC中，若

NA,NB,ZC所对的边分别为a,b,c则

2、解三角形

一般地，我们把三角形的三个角及其分别叫做三角形的元素。已知三角形的几

个元素求其他元素的过程叫做解三角形。

利用正弦定理可以解决以下两类解三角形问题：

（1）已知三角形的任意两角与一边，求其他边和角，有解；

（2）已知三角形的两边与其中一边的对角，求其他的边和角。

3、正弦定理的常见公式拓展：

①，一=’一=」一=2R（R为AWC的外接圆半径）

sinAsinBsinC

（2）a=27?sinA,b=2RsinB,c=2RsinC（边化角公式）

@sinA,sinB=—,sinC=—（角化边公式）

2R2R2R

④a:Z7:c=sinA:sin5:sinC

-a+bb+cc+a-八

sinA4-sinBsinB+sinCsinC+sinA

a+h+c

⑥=2R

sinA+sinB+sinC

余弦定理

心①定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的

积的两倍。

②定义式：_________________________

5、余弦定理的变形式和特例

2ab2ac2bc

②C=90oc2=/+/

③C=60o0?=a2.-ab

④C=120o/=/+从+a/y

⑤C=30c2=a~+b2-垂>ab

⑥C=45<=>c2=a2+Z?2—亚ab

6、余弦定理可以解决的两类三角形问题

(1)已知三边长，求三个内角；

(2)已知两边长和它们的夹角，求第三边长和其他角。

金典例讲练)

类型一：已知三角形两角及任意一边，解三角形；已知三边长，求夹角。

例1：(2015山东潍坊一中月考)在ZVLBC中，己知a=8,N8=60,NC=75。，则6等于

()

A.4百B,475C.4A/6D.—

3

练习1：在A4BC中，若NA=60,NB=45,8C=30,则AC=()

练习2：在AABC中，已知a=2,3=30,A=45°,求人

例2：在AABC中，若〃=6,0=l,c=2,试求A

练习3：在AABC中，若。=出力=l,c=2,试求8

练习4：在A/LBC中，若a=6/=l,c=2,试求C

规律总结：己知边求角时，需运用正弦定理余弦定理公式及公式的变形。

类型二：已知三角形两边及其中一角，解三角形；已知两边长和它们的夹角，求第三边长

和其他角。

例3：（2014北京高考）在中，a=3,0=5,sinA=；^iJsinB=（）

15亚,

A.-B.-C.---D.1

593

练习5：（2015广东六校联盟第三次联考））在A4BC中，NA=45°,8=75°,c=2,则此三

角形的最短边的长度是

练习6：（2014广东深圳模拟）已知A43Ca,》,c分别为内角A,民。所对的边，且

4

a-2,b=3,cosB=三贝ijsinA的值

例4：设白钻。的内角A,8,C所对的边分别为若Z?+c=2a,3sinA=5sin8,则角

0为（）

n2万3〃5万

A.-B.-C.-D.—

334O

练习7：在中，2=5,C=5，5,J=30°,则。等于（）

A.5B.4C.3D.10

练习8：在a'中，已知"="+。2+儿，则角力等于（）

类型三：判断三角形形状及面积

例5：（2015辽宁锦州月考）在AABC中a力,c分别为内角A,3,0所对的边，若ccosA=b,

则AABC的形状为（）

A锐角三角形B钝角三角形C直角三角形D以上皆有可能

练习9：在AABC中，如果。25由8=》2$皿4,则413。的形状为（）

A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形

练习10：在△ABC中，如果。25皿。=。25出4,则八43。的形状为（）

A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰或直角三角形

例6：在八45。中，48=6,4。=1,5=30°,则4/13。的面积为

练习11：在AA3C中，A=60。,AC=4,8。=26，则AABC的面积等于多少

例7：（2014•江西理）在△/回中，内角4、B、C所对应的边分别为a、b、c,若c?=（a—

6）2+6,则△♦6。的面积是（）

A.3B.岁C.平D.3小

练习12：以4、5、6为边长的三角形一定是_______三角形.（填：锐角、直角、钝角）

练习13：若2、3、x为三边组成一个锐角三角形，则x的取值范围为_______.

规律总结：做这块的类型题，熟练应用正弦定理公式变形，面积的求解时需考虑三角形本

身的角度问题。

f修当堂检测）

1.在△4K7中，AB=&/力=45°,ZC=75°,则以;等于（）

A.3-^3B.小C.2D.3+^3

2.在锐角△/回中，角48所对的边长分别为a、/?若2asin5=/6,则角4等于（）

3.已知△/力外接圆半径是2cm,ZJ=60,’,则外边的长为__________.

4.在△4K7中，4=30°,(7=45°,c=近.则边a=________•

=芈，求边回的长.

5.在中，8=45°,AC=y/10,cosC

5

6.△/回的内角A.B、C的对边分别为a、ib、c,若a、b、c满足t）=acy且c=2a,则cosB

=()

13、亚D亚

A.TB.T(

44,,43

7.在中，NABC=卞,AB=5,BC=:3,则sinN为4（）

A书B.乎C.为叵亚

105105

于他当堂总结)

是家庭作业)

基础巩固

1.在AABC中，若3=2A,a:b=l：y/3,则4=.

兀

2.在AABC中，右b=5,/3=—,tanA=2,则sinA=；a—______,

4

3.在AABC中，a=3,b=2^6,/B—2ZA

(1)求cosA的值；

(2)求c的值.

4.等腰三角形的周长为8,底边为2,则底角的余弦等于()

A.克B.2后C.1D.迪

433

5.在△A8C中，已知a=8,B=60,C=75°,则。等于()

A.472B.4百C.46D.—

3

6.在△ABC中，角的对边分别为仇c,已知A=工,。=g”=1,则。=()

3

A.1B.2C.D.百

7.在■中，A-\-C=2Bfa+c=8,ac=15,求匕

能力提升

8.在△ABC中，角48,C所对的边分别为a,。,c,若£<cosA,则△43。为()

b

A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形

9.在锐角三角形中，a,dc分别是内角A,氏。的对边，设8=2A,则2的取值范围是

a

()

A.(-2,2)B.(O,2)C.(1,2)D.(V2,V3)

10.在△ABC中，内角的对边分别为a,0,c若asinBcosC+csinBcosA='。，

2

且a>/?,则NB=()

兀7i2乃5万

A.—B.—C.—D.—

6336

11.设a,6,c分别是△A8C中NA,ZB,NC所对边的边长，则直线xsin4+ay+c=0与

公一》《113+5皿。=0的位置关系是()

A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直

12.在△48，中，AB=3,比=限,AC=4,则”1边上的高为()

A.乎B.平C.|D.3V5

13.在△/!勿中，Z5=60°,B=ac,则这个三角形是()

A.不等边三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.直角三角形

7

14.设△力比的内角力、B、。所对的边分别为a、b、c,且a+c=6,b=2,cosB=《

y

(1)求a、c的值:

(2)求sin(4一4的值.

15.在△ABC中，如果A=6(),c=4,a=判断三角形解的情况.

16.已知圆内接四边形四切的边长分别为46=2,BC=6,3％=4,求四边形/比力的面

积.

17.在aABC中，内角A,3,C的对边分别为c已知cosA=—,sin8二百cosC

3

⑴求tanC的值；

(2)若。二五，求△ABC的面积.

TT

18.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且c=2,C=y

(1)若△ABC的面积为小，求“、人的值；

(2)若sinB=2siM,求△ABC的面积.

正弦定理和余弦定理的应用

愈大脑体操）

途作业完成情况）

，修教学目标）

教学重点：掌握正弦定理和余弦定理的应用，高度，距离，角度的准确判断

教学难点：构造三角形，利用正、余弦定理进行解相关的边长、角度。

集贱趣味引入）

，修知识梳理）

1、与实际应用问题有关的名词、术语

①铅直平面：与的平面

②坡角：坡面与水平面的夹角

③坡比：坡面的垂直高度与水平长度之比

④仰角：在同一铅直平面内，视线在水平线时与水平线的夹角

⑤俯角：在同一铅直平面内，视线在水平线时与水平线的夹角

⑥视角：从某点看物体的最高点与最低点的两条视线的

⑦方向角：从指定方向线到目标方向线的（指定方向线是指正北或正南方向,

方向角小于90。

⑧方位角：从正北方向转到目标方向线的水平角

2、解三角形应用问题步骤

（1）准确理解题意，分清已知和所求，尤其是要理解应用题中的相关名词和术语；

（2）根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，即将实际问题抽象成数学

问题；

（3）分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过运用正弦定理或余弦定理

正确求解；

（4）检验求得的解是否具有实际意义，并对所求的解进行取舍。

典例讲练）

类型一：测量距离、高度问题

例1.（2015山东潍坊月考）为了测量某湖泊的两侧A,6间的距离，给出下列数据，其中不

能唯一确定A8两点间的距离的是（）

A.角和边〃B.角和边aC.边a,b和角CD.边和角A

练习1.在200m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。、60。,则塔高为（）

A.当B.4。^^mC.200yBmD.200m

练习2：要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45。，在。

点测得塔顶A的仰角是30。，并测得水平面上的/BC£>=120。，CZ）=40m,则电视塔的高度

为（）

A.10\/2mB.20mC.2O\/3mD.40m

例2：一艘船以4km/h的速度沿着与水流方向成120。的方向航行，已知河水流速为2km/h,

则经过小h,该船实际航程为.

练习3：在灯塔上面相距50m的两点A、B,测得海内一出事渔船的俯角分别为45。和60。，

试计算该渔船离灯塔的距离.

练习4：两船同时从A港出发，甲船以每小时20nmile的速度向北偏东80。的方向航行，乙

船以每小时⑵mile的速度向北偏西40。方向航行，一小时后，两船相距nmile.

规律总结：求距离、高度时，牢牢抓住各已知边及角，理解名词、术语的应用。

类型二：测量角度问题、三角形综合题

例3：在某测量中，A在B的北偏东55。，则B在人的（）

A.北偏西35。B.北偏东55。C.北偏东35。D.南偏西55。

练习5：已知两座灯塔A和6与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站。的北偏东

40，灯塔B在观察站C的南偏东60，则灯塔A在灯塔8的()

A.北偏东40B.北偏西10,C.南偏东10。D.南偏西10。

练习6：某观察站C与两灯塔AB的距离分别为300米和500米,测得灯塔A在观察站C北

偏东30。处，灯塔5在观察站。南偏东30,处，则两灯塔A,5间距离为()

A.400米B.500米C.800米D.700米

例4：在AABC中，三个内角的对边分别为仇c若A48C的面积为S,且

2s=(a+b)2—。2,则tanC=()

34八43

A.-B.-C.---D.---

4334

练习7：在A45C中，三个内角A,民C的对边分别为若AA5C的面积为S,且

7C

2S=(^a+by-c2,则tan,=()

A.2B.3C.一2D.-3

练习8：在AA5C中，三个内角A,8,C的对边分别为若AA3C的面积为S,且

2S=(a+bf-c2,则tai？7=()

A.3B.4C.5D.6

电当堂检测)

1.'在某测量中，A在8的北偏东45。,则2在A的()

A.北偏西35°B.北偏东55。C.北偏东35。D.南偏西45°

2.在某测量中，A在B的南偏西45°,则8在A的()

A.北偏西35。B.北偏东45。C.北偏东35。D.南偏西45。

3.在100m高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30。、60°,则塔高

为()

A.竽加B.20MmC.—GmD.400m

4.要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°,在D点测

得塔顶4的仰角是30°,并测得水平面上的NBCZ）=120。，CC=60m,则电视塔的高度为

A.10>/2mB.20mC.2MmD.60m

5.如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为京设a为坡角，那么cos?。等于（）

341616

A.B.C.D.

552525

6.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东30。，灯

塔B在观察站C的南偏东70。，则灯塔A在灯塔8的（）

A.北偏东20。B.北偏西20。C.南偏东20。D.南偏西20。

金当堂总结）

，修家庭作业）

基础巩固

1.某人向正东走xKm,向右转150°,然后朝旋转后的方向走3km后，他离最开始的出发

点的距离恰好为gkm,那么x的值为

2.两座灯塔A和8与海洋观察站C的距离都等于akm,灯塔A在观察站C的北偏东20°,

灯塔B在观察站C的南偏东40。，则灯塔4与灯塔B的距离为（）

A.akmB.y[3akmC.y[2akm

D.2akm

3.有一长为10m的斜坡，它的倾斜角是75。，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡

面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延伸（）

A.5mB.10mC.10啦m

D.l（）V3m

4.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45。和30。，而且两

条船与炮台底部连线成30。角，则两条船相距（）

A.l（）V3mB.lOfr^mC.2MmD.30m

5.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的河岸边选定一点C,测出AC

的距离为50m,/4CB=45。，/CAB=105。后，就可以计算A、B两点的距离为（）

A.5O\/2mB.50V5mC.25啦mD.生裂

m

6.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在点A处望见灯塔S在船的北偏东30。方向上，

15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65。方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是

km.（精确到0.1km）

7.如图，一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15。，与灯塔S相距20nmiIe,

随后货轮按北偏西30。的方向航行30min后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度

为（）

A.20（也+观）nmile/hB.20（加一观）nmile/hC.20（加+小）nmile/hD.20（^6—

■\/3）nmile/h

能力提升

8.某海岛周围38nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60。方向，航行

30nmile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船触礁的危险（填“有”或

“无”）.

9.甲船在A处发现乙船在北偏东60。的8处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶.已知甲

船的速度是小anmile/h,问甲船应沿着方向前进，才能最快与乙船相遇？

10.在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市0（如图所示）的东偏

南6（cose=*）方向300km的海面P处，并以20km/h的速度向西偏北45。方向移动.台风侵

袭的范围为圆形区域，当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城

市开始受到台风的侵袭？

11.在地面上某处，测得塔顶的仰角为仇由此处向塔走30m,测得塔顶的仰角为20,再向

塔走lS\3m,测得塔顶的仰角为4仇试求角。的度数.

12.碧波万顷的大海上，“蓝天号”渔轮在A处进行海上作业，“白云号”货轮在“蓝天

号”正南方向距"蓝天号"20nmile的B处.现在"白云号"以每小时10nmile的速度向正

北方向行驶，而“蓝天号”同时以每小时8nmile的速度由4处向南偏西60。方向行驶，经

过多少小时后，“蓝天号”和“白云号”两船相距最近.

13.如图所示，表示海中一小岛周围3.8nmile内有暗礁，一船从4由西向东航行望见此岛

在北75。东.船行8nmile后，望见这岛在北60。东，如果该船不改变航向继续前进，有没

有触礁的危险.

AJt+北

A8c。东

数列的概念

，佥大脑体操）

途作业完成情况）

途教学目标）

教学重点：掌握数列的概念与表示方法，通项公式的求解，数列的单调性、最值求解

教学难点：数列的单调性及最值的求解，通项公式的判定

手⑥趣味引入）

G知识梳理）

1.数列：按照一定的次序排列起来的数；

项：数列中的每一个数，首项：排在的数；一般形式写成4,。2,…4,…简称为｛风｝

这里〃是正整数。

2.数列的分类

（1）按项的个数分类

Y有穷数列：的数列

I无穷数列：的数列

（2）「递增数列：从第2项起，每一项大于它的前一项的数列

递减数列：从第2项起，每一项小于它的前一项的数列

《常数列：各项都相等的数列

I摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项

3.数列的表示方法

（1）__________

（2）列表法

(3)图像法

4.数列中项的求解与判断

数列的通项公式实质是数列的项与其项数之间的一种函数关系，只不过定义域是正整数集

N+,因此可用函数的方法来研究数列的有关问题。

5.数列的单调性

数列的单调性与函数的单调性是类似的，若数列｛%｝是递增数列，则任意的

都有，此时数列的图像呈上升趋势；若数列｛对｝是递减

数列，则对任意〃22,〃€乂)都有，此时数列的图像呈下降趋势。

6.数列中的最大(小)项问题

求数列的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值，另一种方法是利用数列的单调性。

位典例讲练)

类型一：数列的通项公式

例1.(1)1,3,7,15,31,…

(2)5,55,555,5555,…

12345

练习1.—1一,3一,-5—,7—,—9—

49162536

练习2.1,2,1,2,1,2,...

例2.下列叙述正确的是()

A.数列1,3,5,7和数列3,1,5,7是同一个数列

B.同一个数在数列中可能重复出现

C.数列的通项公式是定义域为正整数集N+的函数

D.数列的通项公式是唯一的

练习3.下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集(或它的有限子集｛1,2,3……，〃｝)上的函数;

②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；

③数列的项数是无限的；

④数列通项的表示式是唯一的.

其中正确的是()

A.@@B.①②③C.②③D.①®@④

练习4.下面四个结论：

①数列可以看作是一个定义在正整数集（或它的有限子集｛1,2,3……，〃｝）上的函数;

②数列若用图象表示，从图象上看都是一群孤立的点；

③数列的项数是无限的；

④数列通项的表示式是唯一的.

其中错误的是（）

A.①②B.①②③C.③④D.①②③④

类型二：数列的项的判断及求解

例3.（2015广东湛江检测）数列｛"+2〃｝中的项不能是（）

A.24B.35C.42D.63

练习5.数列口+2〃｝中的项不能是（）

A.24B.36C.42D.61

练习6.已知如="（〃+1）,以下四个数中，哪个是数列｛小｝中的一项（）

A.18B.21C.25答案D.30

例4.（2015山东威海月考）在数列2,5,X,旧,4,...中，x=

练习7.在数列2,6,Mr,4,…中，x=

练习8.在数列2,S,阿…中，x=

类型三：数列的单调性、最值性

例5.已知数列｛如｝的通项公式是a.=#^（"CN+）,则数列的最大项是（）

A.第12项B.第13项C.第12项或第13项D.不存在

2

练习9.数列｛4｝中，a“=-2n+13〃+24,则an的最大值为—

2（）

练习10.已知数列｛4｝的通项公式为=〃+3—20则%的最小值为一

n—1

例6.已知数列｛勾｝的通项公式是4,=干，那么这个数列是（）

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列

练习11.已知数列｛《,｝的通项公式为例=七，则这个数列是（）

A.递增数列B.递减数列C.常数列D.摆动数列

电当堂检测)

1.'数列2,0,4,06,0,…的一个通项公式是()

n

A.1+(-1)”]

n+1।.

B.a,,=-[l+(-l)n+l]

C..=。+(-1)叫

〃+1

n

D.an=-[\+(-\)]

2.已知数列｛跖｝中,ai=L02=3,即=a〃-i+」一(〃23),则。5=()

。〃一2

5513

A.^B百C.4D.5

3.已知数列｛小｝满足m=x,ai=y,且a“+i=a“一a”-i(〃22),则“2007=()

A.xB.yC.y~xD.~x

4.己知数列｛斯｝的通项公式为a”=/—8〃+15,则3()

A.不是数列｛”“｝中的项

B.只是数列｛为｝的第2项

C.只是数列｛斯｝的第6项

D.是数列｛如｝的第2项或第6项

5.已知｛如｝是递增数列，且对任意的自然数〃(〃21),都有4,=/+加恒成立，则实数2的

取值范围为.

当堂总结)

货档家庭作业)

基础巩固

1.数列1,_3,5,—7,9,…的一个通项公式为()

A.一1B.a„=(-m1-2n)C.。，，=(一1)"(2〃-1)D.%=(一1)”(2〃

+1)

2.数列1,3,7,15,…的通项公式斯=()

A.2"B.2n+lc.2〃一1D.2"一|

3.已知数列｛斯｝中,。〃+1八+2+。八，〃]=2,472=5,则%=()

A.13B.-4C.—5D.2

4.正项数列｛斯｝中，斯+i-]+3〃，-则。4—()

-16nAc8D.|

AT*19

5.数列｛斯｝中,a\=二1，以后各项由公式・…S=/给出，则的+。5等于()

-25R25C以-31

A.yB16c-16D记

6.已知数列｛。〃｝满足〃1=1,斯则〃5=.

7.已知数列｛斯｝的通项公式如=3〃一1(〃£N*),通过公式乩构造一个新数列｛勿｝,那

么｛儿｝的前五项为.

8.已知数列｛斯｝的通项公式小=就可("€")，则看是这个数列的第项.

9.数列一1,-y,停…的一个通项公式为.

10.数列｛〃”｝的通项公式是“"="2—7〃+6.

(1)这个数列的第4项是多少？

(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？

(3)该数列从第几项开始各项都是正数？

能力提升

1L已知数列｛④｝中，〃曰，菊=2,则此数列是(

A.递增数列B.递减数列摆动数列D.常数列

12.根据图中的5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第〃个图中有个点.

(1)(2)

13.数列｛%｝满足G=1,即+产2飙一1(〃GN*),则41000=(

B.1999C.1000

14.已知数列｛斯｝满足“1=0,a„+i=："GN+),则420=(

+1

B.一小C.小

15.己知数列｛”“｝满足0=-2,a„+i=2+",则的=.

16.设--那么人〃+1)—/(")=.

17.已知函数段)=信不，构造数列即=K")(〃GN+),试判断｛斯｝是递增数列还是递减数

18.已知数列｛斯｝的通项公式为a„=n2—5n+4.

(1)数列中有多少项是负数？

(2)"为何值时，如有最小值？并求出最小值.

7513

19.已知数列1,2,y2'

(1)写出这个数列的一个通项公式小；

(2)判断数列｛为｝的增减性.

20.(1)已知数列｛斯｝的第1项是1,第2项是2,以后各项由为=如-1+%-2(〃23)给出,写

出这个数列的前5项；

(2)用上面的数列｛斯｝,通过公式4=巫构造一个新的数列｛与｝,写出数列｛为｝的前5

如+1

项.

21.观察下图，并阅读图形下面的文字，像这样10条直线相交，交点的个数最多的是()

2条直线相交3条江线相交4条直线相交

最多花1个交点最多有3个交点最多有6个交点

A.40个B.45个C.50个D.55个

22.对任意的06(0,1),由关系式斯+尸武斯)得到的数列满足斯+i>a“("GN*),则函数y=/(x)

的图象是()

等差数列的概念、性质

，佥大脑体操）

途作业完成情况）

电教学目标）

教学重点：掌握等差数列的概念、通项公式及性质；求等差中项，判断等差数列及与函数

的关系；

教学难点：通项公式的求解及等差数列的判定。

途趣味引入）

金知识梳理）

1.等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于,那

么这个数列就叫做，这个常数叫做等差数列的______，公差通常用字母。来

表示。用递推关系系表示为或4-a,-=d（〃22,〃eN+）

2.等差数列的通项公式

若｛%｝为等差数列，首项为为，公差为d,则

3.等差中项

如果三个数x,Ay组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项

4.通项公式的变形

对任意的p,qeN+，在等差数列中，有：

!p=a,+(f>-l)d

aq-a1+(^r-l)J两式相减，得a,,=4+(p—q)d其中p,q的关系可以为

p〈q,p>q,p=q

5.等差数列与函数的关系

由等差数列的通项公式4=6+(〃—1”可得。“=办+(q-d),这里q,"是常数，n

是自变量，a“是〃的函数，如果设d=a,q-1=4则。“=a〃+b与函数y=ax+b对

比，点在函数y=ax+Z?的图像上。

6.等差数列的性质及应用

(1)ax+an=a2+an_｛=a3+a„_2=...

(2)若m+”=p+q=2vv,则a,“+a“=%,+4=2a,「w都是正整数)

(3)若以〃，〃成等差数列，则金,4,4也成等差数列(〃都是正整数)

(4)an-am+^n-m)d都是正整数)

(5)若数列｛a“｝成等差数列，则a”=p〃+q(p,qeR)

(6)若数列｛q｝成等差数列，则数列｛而“+可(九力为常数)仍为等差数列

(7)若｛凡｝和｛b„｝均为等差数列,则［an+bn｝也是等差数列

途典例讲练)

类型一：等差数列的判定、项及公差的求解、通项公式的求解

例1.(2015河北唐山月考)数列｛可｝是首项q=-1,公差4=3的等差数列，若。〃=2015,

贝ijn-

A.672B.673C.662D.663

练习L数列｛%｝是首项q=-1,公差d=3的等差数列，若氏=2003,则〃=

A.669B.673C.662D.663

练习2.数列｛对｝是首项q=-1,公差d=3的等差数列，若a“=2000,则〃=

A.669B.668C.662D.663

例2.(2015山西太原段考)一个首项为23、公差为整数的等差数列从第7项开始为负数，

则其公差d为()

A.-2B.-3C.-4D.-6

练习3.一个首项为23、公差为整数的等差数列从第6项开始为负数，则其公差d为()

A.-2B.-3C.-4D.-5

练习4.等差数列｛斯｝中，句+的=10,8=7,则数列｛3｝的公差为（）

A.1B.2C.3D.4

例3.（2014浙江绍兴一中期中）已知数列｛%｝满足q=1,。,用=1-/一，其中〃€乂设

（1）求证：数列｛2｝是等差数列

（2）求数列｛4｝的通项公式

练习5.已知数列｛4｝满足％=4,a“=冷了（〃22）令

（1）求证：数列｛〃｝是等差数列

（2）求数列也｝与｛叫的通项公式

练习6.在等差数列｛4｝中，已知%=一1，4=2,求

例4.已知数列8,a,2,b,c是等差数列，则a,b,c的值分别为—

练习7.已知数列8,凡21,是等差数列，则“功的值分别为一

练习8.己知数列2,4,8,"c是等差数列，则a,。,c的值分别为—

类型二：等差数列的性质及与函数的关系

例5.等差数列｛a“｝中，己知400n+即）］4=2015,则4+4014=（）

A.2014B.2015C.2013D.2016

练习9.在等差数列｛%｝中，若。4+4+4+即）+42=120,则2%0-42的值为（）

A.24B.22C.20D.18

练习10.（2015山东青岛检测）已知等差数列｛4｝中，4oo7+4oo8=2015,q=-1,则a20I4

例6.已知数列｛%｝中，生=2013,4（）13=2且是〃的一次函数，则%015=一

练习11.若a,b,c成等差数列，则二次函数/（元）=衣2一如x+c的零点个数为（）

A.0B.1C.2D.1或2

练习12.已知无穷等差数列｛4｝中，首项4=3,公差。=一5,依次取出序号被4除余3

的项组成数列｛4｝

（1）求4和2

（2）求也｝的通项公式

（3）也｝中的第503项是｛叫的第几项

电当堂检测）

L’在等差数列｛斯｝中,。1+偈=10，则。5的值为（）

A.5B.6C.8D.10

2.在数列｛卬｝中，R=2,2诙+1=2斯+1,则moi的值为（）

A.49B.50C.51D.52

3.如果等差数列｛〃〃｝中，々3+04+45=12,那么。］+〃2+…+。7=（）

A.14B.21C.28D.35

4.已知等差数列｛〃〃｝满足〃1+〃2+〃3+…+〃101=0，则有（）

A.。］+。101>0B.a2+aioo<OC.s+aiooWOD.〃5］=0

5.等差数列｛〃〃｝中，〃l+〃4+〃7=39,〃2+〃5+〃8=33,则6+为+麴的值为（）

A.30B.27C.24D.21

6.等差数列｛%｝中，的=33,侬=153,则201是该数列的第（）项（）

A.60B.61C.62D.63