高考真题分类-概率

八、概率

一、选择题

1.(浙江理9)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机的并排摆

放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率

234

A.5B.5C.5D5

2.(四川理1)有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5,15.5)2[15.5,19.5)4[19.5,23.5)9(23.5,27.5)18

[27.5,31.5)II[31.5,35.5)12[35.5.39.5)7(39.5,43.5)3

根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5,43.5)的概率约是

2

A.6B.3C.2D.3

3.(陕西理10)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任

选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是

1]_5_]_

A.36B.9c.36D.6

4.(全国新课标理4)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个

小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为

L11

(A)3(B)2(C)3(D)4

5.(辽宁理5)从1,2,3,4,5中任取2各不同的数，事件A="取到的2个数之和为偶数”，事件

B="取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=

£j_2£

(A)8(B)4(C)5(D)2

6.(湖北理5)已知随机变量占服从正态分布"(2'续)，且p(^<4)=0,8,则p(0<^<2)

A.0.6B.0.4C,0.3D,0.2

7.(湖北理7)如图，用K、4、4三类不同的元件连接成一个系统。当K正常工作且4、4至少

有一个正常工作时，系统正常工作，已知K、4、外正常工作的概率依次为0.%0.8、0.8,则

系统正常工作的概率为

~12a~

—（XI——

——--

A.0.960B.0.864C.0.720D.0.576

8.（广东理6）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军，乙队需要再赢

两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为

323

A.2B.5C.3D.4

9.（福建理4）如图，矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q,

则点Q取自4ABE内部的概率等于

C.2D.3

二、填空题

10.（湖北理12）在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一

瓶已过保质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）

11.（福建理13）盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个。若从中随

机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于。

12.（浙江理15）某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕

2

业生得到甲公司面试的概率为得到乙丙公司面试的概率为〃，且三个公司是否让其面试是相互

P（X=0）=」p（y.

独立的。记X为该毕业生得到面试得公司个数。若12，则随机变量X的数学期望'（X）=

13.（湖南理15）如图4,EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随

机地扔到该图内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事

件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内“，则

（1）P（A）=;（2）P（BIA）=

14.（上海理9）马老师从课本上抄录一个随机变量£的概率分布律如下表

请小牛同学计算£的数学期望，尽管“！”处无法完全看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯定这

两个“？”处的数值相同。据此，小牛给出了正确答案E£=o

X123

P（8=X）9t9

15.（重庆理13）将一枚均匀的硬币投掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率

16.（上海理12）随机抽取9个同学中，至少有2个同学在同一月出生的概率是（默认每

月天数相同，结果精确到

17.（江西理12）小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到

圆心的距离大于5,则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于1,则去打篮球；否则，在家看书,

则小波周末不在家看书的概率为

18.（江苏5）5.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率

为

三、解答题

19.（湖南理18）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量（件）0123

频数1595

试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品3件，当天营业

结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率。

（I）求当天商品不进货的概率；

（II）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期型。

20.（安徽理20）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且

每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一

个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派,他们各自能完成任务的概率分别巧'2,凸，假设0邛2,A

互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（I）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率。若改变三个人被派出的

先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（II）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为％'%'%,其中%，%，%是

Pi，P2，P3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值（数字期望）EX.

（ni）假定|＞历＞22＞2,试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值

（数字期望）达到最小。

21.（北京理17）以下茎叶图记录了甲、乙两组个四名同学的植树棵树。乙组记录中有一个数据模糊,

无法确认，在图中以X表示。

甲组乙组

990%89

I110

(I)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差；

(II)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵树Y的分

布列和数学期望。

(注：方差''

其中x为玉，“2,相的平均

数)

22.(福建理19)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2,……，8,其中X，

5为标准A,X，为标准B,已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标

准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准

(I)已知甲厂产品的等级系数XI的概率分布列如下所示：

5678

P0.4ab0.1

且XI的数字期望EX1=6,求a,b的值；

(II)为分析乙厂产品的等级系数X2,从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一

个样本，数据如下：

3533855634

6347534853

8343447567

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望.

(III)在(I)、(II)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？

说明理由.

产品的等级系数的数学期望

注：(1)产品的“性价比”=产品的零售价；

(2)“性价比”大的产品更具可购买性.

解：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查函

数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。

23.（广东理17）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分

别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的

测量数据：

编号12345

X169178166175180

y7580777081

（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；

（2）当产品中的微量元素x,y满足x2175,且y275时，该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂

生产的优等品的数量；

（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数4的分布列极其

均值（即数学期望）。

24.（辽宁理19）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种

乙）进行田间试验.选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地

种植品种甲，另外n小块地种植品种乙.

（I）假设n=4,在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X,求X的分布列和数学期望；

（II）试验时每大块地分成8小块，即n=8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷

产量（单位：kg/hm2）如下表：

品种甲403397390404388400412406

品种乙419403412418408423400413

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一

品种？

1---

附：样本数据为，/，…,的的样本方差区一制+区7）+…+（X“7）J,其中元为样本平

均数.

25.（全国大纲理18）根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不

购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立

（I）求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（II）X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。求X的期望。

26.（全国新课标理19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量

指标值大于或等于102的产品为优质品.现用两种新配方（分别称为A配方和B配方）做试验，各

生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：

A配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数82042228

B配方的频数分布表

指标值分组[90,94)[94,98)[98,102)[102,106)[106,110]

频数412423210

（I）分别估计用A配方，B配方生产的产品的优质品率；

（II）已知用B配方生产的一种产品利润y（单位：元）与其质量指标值t的关系式为

-2,/<94

y=（2,94W/<102

4,/>102

从用B配方生产的产品中任取一件，其利润记为X（单位：元）.求X的分布列及数学期望.（以试

验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）.

27.（山东理18）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A,乙对B,丙对C

各一盘，已知甲胜A,乙胜B,丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。

（I）求红队至少两名队员获胜的概率；

（II）用4表示红队队员获胜的总盘数，求4的分布列和数学期望E&.

28.（陕西理20）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2,据统计，通过两条路径所用的时间互

不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

时间（分钟）10-2020-3030-4040-5050〜60

L1的频率0.10.20.30.20.2

L2的频率00.10.40.40.1

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站。

（I）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（II）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对