Part1 低速宏观物体的运动-理论力学

第一章低速宏观运动的基本原理§1.1.0

绪论、质点运动学和质点动力学§1.1.1无约束质点的拉格朗日方程§1.1.2有约束情况下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相对性，自由质点的拉格朗日函数§1.1.5习题2024/2/152BurhanSalay@PhysicsofXJU理论力学的研究的条件：宏观、低速运动物体①质量不变

②绝对时间

③绝对空间

0

过现未时间*V<<C*物体的尺度>>

原子，分子2024/2/153BurhanSalay@PhysicsofXJU第一篇低速宏观物体的运动-理论力学

第一章低速宏观运动的基本原理§1.1.0绪论、质点运动学和质点动力学§1.1.1无约束质点的拉格朗日方程§1.1.2有约束情况下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相对性，自由质点的拉格朗日函数§1.1.5习题2024/2/154BurhanSalay@PhysicsofXJU§1.1.1无约束质点的拉格朗日方程对于保守系，必存在势能U，它是坐标的函数U(x,

y,

z)，且：定义广义力：

将所有坐标用新的独立坐标表示（称为广义坐标），则用Cartesian坐标表示：（1）

（2）

（3）

2024/2/155BurhanSalay@PhysicsofXJU这样Newton第二定理可以改写为（基本形式的拉氏方程）：

令

L=T-U

（代表体系的动能与势能之差），则：这样(6)式变为：

（4）

（6）——保守系的拉格朗日方程

L=T-U

叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。（5）

2024/2/156BurhanSalay@PhysicsofXJU第一篇低速宏观物体的运动-理论力学

第一章低速宏观运动的基本原理§1.1.0绪论、质点运动学和质点动力学§1.1.1无约束质点的拉格朗日方程§1.1.2有约束情况下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相对性，由质点的拉格朗日方程§1.1.5习题2024/2/157BurhanSalay@PhysicsofXJU约束的概念TheConceptofConstrain

机械运动是物体空间位置随着时间的推移而变动,对机械运动所加的强制性的限制条件叫作约束。

一个质点可用矢径r或三个坐标表示,n个质点组成的系统,则由n个矢径或3n个坐标描述,它们确定每一时刻各质点的位置以及质点组的形状——确定系统的位形。

约束条件对运动的限制由一些力来体现,这些力一般不是给定的,而是与运动状况有关的未知力。因此,对于动力学问题,约束也应作为一个基本因素加以考虑。位形不能决定系统的“力学状态”,仅由某时刻的位形不能预言在下一个时刻系统的位形.对于n个质点的系统，还需知道n个速度矢量才能确定系统的状态。§1.1.2

有约束情况下的拉格朗日方程2024/2/158BurhanSalay@PhysicsofXJU注意：

几乎所有的力学系统都存在着约束。例如,刚体内任意两质点间距离不变,两个刚体用铰链连接,轮子无滑动地滚动,两个质点用不可伸长的绳连接等等。对状态的限制也就是对力学系统内各质点的位置和速度加以限制,其数学表示式是约束方程:它是坐标和速度必需满足的条件，称为约束条件。EquationsofConstrain约束方程2024/2/159BurhanSalay@PhysicsofXJU某些约束仅对力学系统的几何位置加以限制,而对各质点的速度没有限制,这种约束称为几何约束,

其数学表示式是例如，刚体内任意两点间的距离保持不变就是一种几何约束，

对于涉及力学系统运动情况的约束,即对速度也有限制的,则称为运动约束,其中显含速度.例如半径为R的圆柱在地面上沿着直线作无滑动地滚动.这意味着着地点的速度为零，即运动约束亦称为微分约束或速度约束。几何约束的约束方程虽然不显含速度项,但实际上它在对位置限制的同时也对系统的速度给予了限制,事实上,由式(5.1)对时间求全导数,得2024/2/1510BurhanSalay@PhysicsofXJU

有些运动约束又可以通过积分成为几何约束，例如圆柱无滑动地滚动的约束方程很容易积分为化成几何约束的约束方程。可积分的运动约束与几何约束在物理实质上没有区别,合称为完整约束。

不可积的运动约束,即不能化为几何约束的运动约束,它们在物理实质上不同于几何约束,称为非完整约束。2024/2/1511BurhanSalay@PhysicsofXJU一、约束与分类1、约束：限制各质点自由运动的条件。用约束方程来描述。2、约束的分类(1)几何约束和运动约束(也叫微分约束)几何约束:fi(r1,r2,

…rn

,t)=0，(i=1,2,…k)

运动约束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

,t)=0，(i=1,2,…k)式中k为约束个数。

***对于由n个质点组成的系统，独立约束的个数≤3n。2024/2/1512BurhanSalay@PhysicsofXJU(2)稳定约束和非稳定约束

稳定约束:

约束方程不显含时间t的约束。

非稳定约束:

约束方程显含时间t的约束。例：稳定的几何约束：fi(r1,r2,

…rn

)=0，i=1,2,…k

稳定的运动约束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

)=0非稳定约束；fi(r1,r2,

…rn,t)=0，fi(ri,vi,t)=0

(3)可解约束和不可解约束不可解约束：约束方程为等式。

可解约束：约束可以至少在一个方向偏离等式。例：不可解几何约束：fi(r1,r2,

…rn

,t)=0

可解几何约束：fi(r1,r2,

…rn

,t)≥0或≤0。稳定约束=定常约束稳定约束SteadyConstrain2024/2/1513BurhanSalay@PhysicsofXJU(4)完整约束和非完整约束非完整约束:

有两种情况

(a)可解约束;(b)微分约束中若约束方程不能单独积分的(必须与运动方程联立才能积分，即解出运动的同时才能积分)。完整约束:

除上述两种情况外的约束叫完整约束。

今后主要研究受完整约束的力学体系,即研究完整系的力学问题。2024/2/1514BurhanSalay@PhysicsofXJU对非完整约束举例

具有尖锐边缘的薄圆盘在粗糙面上做作无滑滚动,则圆盘的着地点的速度为零。可表为把上式投影到x轴和y轴上,得式中x0和y0是盘心的坐标。这两个微分关系是不能积分的。因为当薄圆盘沿着长度各不相同的不同闭合曲线循行一周回到原处时，盘心坐标(x0，y0)和角

都可以回复到原来的值，但

却未必也恰好回复原值。这就是说，在x0,y0,

和

之间并不存在一种确定不变的关系。这种运动约束是不可能积分的。2024/2/1515BurhanSalay@PhysicsofXJU几类平面约束绳索、链条、皮带1、柔性体约束2024/2/1516BurhanSalay@PhysicsofXJU绳索的约束反力沿绳索中心线，离开物体，为拉力。2024/2/1517BurhanSalay@PhysicsofXJU2、光滑面约束2024/2/1518BurhanSalay@PhysicsofXJU

光滑接触的约束反力通过接触点，沿接触面在该点的公法线方向，为压力。2024/2/1519BurhanSalay@PhysicsofXJU3、圆柱铰链约束上摆销钉下摆固定铰支座固定铰支座的约束反力通过销钉中心，在垂直销钉轴线的平面内，方向不定。销钉2024/2/1520BurhanSalay@PhysicsofXJU滚动铰支座上摆销钉底板滚轮滚动铰支座的约束反力:通过销钉中心，垂直于支承面，指向物体。2024/2/1521BurhanSalay@PhysicsofXJU中间铰销钉2024/2/1522BurhanSalay@PhysicsofXJU销钉2024/2/1523BurhanSalay@PhysicsofXJU简化表示：约束力表示：2024/2/1524BurhanSalay@PhysicsofXJU4、连杆、支座连杆连杆支座2024/2/1525BurhanSalay@PhysicsofXJU连杆-支座间的约束力沿连杆中心线，指向不定。2024/2/1526BurhanSalay@PhysicsofXJU活动铰支座固定铰支座2024/2/1527BurhanSalay@PhysicsofXJU例1：线性三原子分子组成的体系只能在该连线上运动。体系在无外力作用。分析：体系的质心速度为常数，即约束方程为：

vC

=C（微分约束）积分得：xC

=Ct+xCo

x1m2m3m1x2x32024/2/1528BurhanSalay@PhysicsofXJU二、自由度和广义坐标n个质点系统由n个位矢rl,r

2,…,rn确定，或由N＝3n个直角坐标，(x1，yl，z1),…,(xn，yn，zn)表示。如果该系统存在k

个完整约束那么，在N个坐标之中，有

k个坐标可以从以上方程组“解出”，即有

k个坐标可用其余

N-k个坐标表出，因此只剩下

s=N-k

个独立坐标。任选

N=3n个坐标中的

s=3n-k

个独立坐标2024/2/1529BurhanSalay@PhysicsofXJU—再讨论2024/2/1530BurhanSalay@PhysicsofXJU三

、虚功原理1、实位移和虚位移质点由于实际发生运动的位移,叫做实位移，用dr

表示。在约束许可情况下质点的想象中的位移,叫做虚位移。用

r

表示。虚位移只决定于质点在某时刻的位置和加在它上面的约束，而不是由于时间变化所引起的。虚位移和实位移的区别是实位移要满足运动方程,而虚位移只需要满足约束。在稳定约束下,实位移是许多虚位移中的一个。而在不稳定约束时，无此多选一关系。设有n个质点的系统,存在m个完整约束,其约束方程设是满足约束条件的虚位移,则2024/2/1531BurhanSalay@PhysicsofXJU对

ri

作多元函数的泰勒展开(

t被“冻结”),略去二次以上的项,满足上式的一组

ri

就是虚位移。而真实位移dri是一个在时间dt

间隔中完成的位移,

为使其满足约束条件,必须有于是得这是约束对真实位移的限制条件,即这是时间不被“冻结”的可能位移应满足的条件。当约束稳定时，就与

虚实位移的条件相同了。在不稳定约束下，实位移和虚位移的方程不同，因此实位移不再是许多虚位移中的一个，即不存在二者之间的多选一关系。得2024/2/1532BurhanSalay@PhysicsofXJU虚位移与实位移比较表

虚位移实位移共同点为约束所允许为约束所允许不同点1)

主动力、作用时间、初始条件无关;

2)

是可能位移,可有多限个或无穷多个;

3)

是无限小量。与左边三个因素有关、唯一的，方向确定的有限量。表示方法用变分符号表示。如

等用微分符号表示。如

等相互关系在稳定约束情况下，实位移是许多虚位移中的一个；

在不稳定约束情况时，不存在这样的多选一的关系。稳定约束=定常约束----约束方程不显含时间。2024/2/1533BurhanSalay@PhysicsofXJU2、虚功作用在质点上的力在任意虚位移

r

中所作得功,叫做虚功。如果作用在一个力学系统上所有作用反力在任意虚位移中所作得虚功之和为零,即那么系统受到得约束叫做理想约束。一切光滑接触以及刚体等都是理想约束。例1:质点沿固定的光滑曲面运动,约束方程为质点的虚位移应满足2024/2/1534BurhanSalay@PhysicsofXJU即虚位移垂直于曲面的法向(

).由于约束面是光滑的,约束力沿曲面的法向,即因此虚功为例2:质点沿运动的光滑曲面运动,约束方程为质点的虚位移应满足即虚位移仍垂直于曲面的法向。而约束力沿曲面的法向，所以虚功也仍为零。2024/2/1535BurhanSalay@PhysicsofXJU注意,这里约束力所作的真实的功并不为零,因为真实位移dr

满足它并不垂直于曲面的法向。

约束力的虚功为零,

这完全是因为虚位移在“冻结”了的(

t＝0

)曲面的切平面上。例3:刚性约束。刚体中两质点的径矢分别为

ri和

rj,则约束方程为：因约束力是一对内力,大小相等方向相反,即

Ri＝－Rj＝

(ri－rj).由约束方程可知虚位移满足因此，约束力的虚功2024/2/1536BurhanSalay@PhysicsofXJU3、虚功原理当系统处于平衡（加速度为零，即a=0）时,系统每一质点都是处于平衡。这样,作用于第

i个质点的主动力

Fi和约束力

Ri

的合力应为零,即于是,作用于第

i

质点所有各力的虚功之和为零2024/2/1537BurhanSalay@PhysicsofXJU在理想约束条件下,如果系统处于平衡状态,则其平衡条件为用这个方程来描述静力学平衡问题称为虚功原理。显然:当一个只有理想约束的系统处于平衡状态时,作用于该系统的所有主动力的虚功之总和为零。

其实,即使是非理想的约束，仍然可以使用虚功原理。只要把F

理解为既包括主动力又包括非理想约束反力即可。分量式矢量式2024/2/1538BurhanSalay@PhysicsofXJU4、d’Alembert原理当系统内质点处在任意运动状态（加速度非零，即a<>0）时,可以认为每一质点都是处于动态平衡。即,作用于第

i个质点的主动力

Fi、约束反力

Ri

和所谓的d’Alembert惯性力的合力应为零,即

(d’Alembert原理)于是,作用于第

i

质点所有各力的虚功之和为零2024/2/1539BurhanSalay@PhysicsofXJU在理想约束条件下,如果系统处于平衡状态,则其平衡条件为用这个方程来描述动态平衡问题称为虚功原理。显然:当一个只有理想约束的系统处于平衡状态时,作用于该系统的所有主动力的虚功之总和为零。

其实,即使是非理想的约束，仍然可以使用虚功原理。只要把F

理解为既包括主动力又包括非理想约束反力即可。分量式矢量式2024/2/1540BurhanSalay@PhysicsofXJU5、广义坐标下的虚功原理由于虚位移不独立,因而上述虚功原理不能消除虚位移来得出平衡时系统的受力。为解决这个困难,采用广义坐标。任何一个质点的矢径

ri都可用

s个广义坐标表示,质点虚位移也可用广义坐标的虚位移(广义虚位移)表示,这样在广义坐标中得到平衡方程为:2024/2/1541BurhanSalay@PhysicsofXJUQ

是q

的函数。由于广义虚位移是相互独立的,所以Q

叫做广义力。它的数目和力学体系的自由度数相等。6、主动力为保守力的情况在主动力是保守力的情况下,广义力Q

的表达式很容易求得。并且此时平衡方程为上式具有鲜明的物理意义:保守力作用下的力学系统，如处于平衡，则势能取极值。2024/2/1542BurhanSalay@PhysicsofXJU这时Newton第二定理仍可改写为（基本形式的拉氏方程）：

令

L=T-U

（代表体系的动能与势能之差），则：这样(6)式变为：

（2.21a）

（2.21）——保守系的拉格朗日方程

L=T-U

叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。（2.21b）

2024/2/1543BurhanSalay@PhysicsofXJU总结：拉格朗日方程的应用由拉格朗日方程解力学问题的步骤（以保守力系为例）：

1)确定力学体系的自由度s；

2)适当选取描述力学体系运动的广义坐标；

3)写出力学体系的动能T与势能V，写出拉氏函数L；

4)代入拉氏方程，得出力学体系的运动微分方程；

5)解方程，并讨论结果。

拉氏函数L等于力学体系的动能与势能之差，它是力学体系的一个特性函数，表征着约束、运动状态、相互作用等性质。用拉氏方程解题时，正确写出系统的拉氏函数是关键。

2024/2/1544BurhanSalay@PhysicsofXJU用拉格朗日方程是运动微分方程的一种表述形式，其优点有：对约束的处理使方程数减少；表述形式统一；适用范围普遍；用标量能量函数描述运动易于处理;

处理方法可以归纳为一种固定格式，易于掌握。拉格朗日方程(用于保守系)拉格朗日函数为L=T-U，简称拉氏函数。2024/2/1545BurhanSalay@PhysicsofXJU例1：一质点在主动力F的作用下，作平面运动，求它对应于平面极坐标的广义力。解法1：利用虚功的表达式：虚功：

所以对应广义坐标的广义力：在平面极坐标系中：2024/2/1546BurhanSalay@PhysicsofXJU又解：利用广义力的定义式：所以对应广义坐标的广义力：2024/2/1547BurhanSalay@PhysicsofXJUThankYou！今日作业：P22:1,2,5抄写P9、P14的例题2024/2/1548BurhanSalay@PhysicsofXJU第一篇低速宏观物体的运动-理论力学

第一章低速宏观运动的基本原理§1.1.0绪论、质点运动学和质点动力学§1.1.1无约束质点的拉格朗日方程§1.1.2有约束情况下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相对性，自由质点的拉格朗日函数§1.1.5习题2024/2/1549BurhanSalay@PhysicsofXJU

分析力学Analytical

Mechanics

用广义坐标描述质点系。以虚位移原理和达朗贝尔原理为基础，运用数学分析方法研究宏观现象中的力学问题。

1788年，J.-L.拉格朗日写的《分析力学》一书，为这门学科奠定了基础。

1834年和1843年W.R.哈密顿分别又建立了哈密顿原理和正则方程，把分析力学推进了一步。

1894年，H.R.赫兹提出把约束和系统分成完整的和非完整的两大类，从此开始非完整系统分析力学的研究。分析力学的基本内容是阐述力学的普遍原理，由这些原理出发导出质点系的基本运动微分方程，并研究这些方程本身以及它们的积分方法。2024/2/1550BurhanSalay@PhysicsofXJUoxyAB2024/2/1551BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1552BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1553BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1554BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1555BurhanSalay@PhysicsofXJU若拉格朗日函数为用哈密顿原理可导出完整保守力系的拉格朗日方程为：2024/2/1556BurhanSalay@PhysicsofXJUpABDh2h1irxn1n2S1S1’θθθS22024/2/1557第一篇低速宏观物体的运动-理论力学

第一章低速宏观运动的基本原理§1.1.0绪论、质点运动学和质点动力学§1.1.1无约束质点的拉格朗日方程§1.1.2有约束情况下的拉格朗日方程§1.1.3最小作用量原理§1.1.4伽利略相对性，自由质点的拉格朗日函数§1.1.5习题2024/2/1558BurhanSalay@PhysicsofXJU正变换在两个惯性系中分析描述同一物理事件(event)。一、伽利略变换OZXYO'Z'(X')Y'vP(x,y,z)•在t＝t时刻，物体运动到P点。

在t＝0时刻，物体在O点,系重合；Z2024/2/1559BurhanSalay@PhysicsofXJU逆变换

伽利略坐标变换式

伽利略速度变换式

伽利略加速度变换式

牛顿定律不变性结论：在一切惯性系中，经典力学中的时空是绝对的。(绝对时空观)•时间是绝对的•空间是绝对的•时空相互分离2024/2/1560BurhanSalay@PhysicsofXJUY'X'O’二、力学相对性原理

(GalileanPrincipleofRelativity)结论1：光速可变，并与光源运动相关。XOYv系光速各向异性

光沿系Y轴传播的速度:

光沿系X轴传播的速度在系光速各向同性，则在

系中就不再各向同性了。

牛顿力学定律在所有惯性系中都是相同的。

一个相对于惯性系作匀速直线运动的参考系，在其内部所发生的一切力学过程，都不受该系统作匀速直线运动的影响。2024/2/1561BurhanSalay@PhysicsofXJU拉氏函数写法如下：

1）选取适当的坐标系，将系统中所有质点（或刚体）看作自由质点（或刚体），写出系统的动能和势能的表达式。

自由质点在各种坐标系下的动能表达式：*直角坐标系：*平面极坐标系：*柱坐标系：*球坐标系：

对于刚体，由柯尼希定理写出它的动能表达式：2024/2/1562BurhanSalay@PhysicsofXJU例1.

质量为m1的滑块，可以沿水平轴x自由滑动（不受摩擦），质量为m2的小球，用长为l的轻杆与滑块相连，轻杆可以在铅直平面内摆动，试求该系统的运动微分方程和首次积分。解：该系统的自由度为2，建立固定坐标系o---xy，选滑块的水平位置x1和轻杆对铅垂线的摆角为两个广义坐标，如图所示。小球的坐标为：

小球的速度分量为：

体系的动能为：

2024/2/1563BurhanSalay@PhysicsofXJU体系的拉格朗日函数为：

作用在体系上的主动力是保守力m1g和m2g，选过x轴的水平面为零势面，其势能为：即：2024/2/1564BurhanSalay@PhysicsofXJU代入拉氏方程：

得体系的运动微分方程为：因为拉格朗日函数L中不显含x1，x1是循环坐标，故可得一循环积分，即对应循环坐标x1的广义动量守恒：因为L中不显含时间t，且约束是稳定的，所以可得一能量积分，即体系的机械能守恒：2024/2/1565BurhanSalay@PhysicsofXJUThankYou！今日作业：P22:

8,11写本章的总结2024/2/1566BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1567BurhanSalay@PhysicsofXJU2024/2/1568BurhanSalay@PhysicsofXJUGalileo(1564-1642)：建立抛物运动基本理论，理论与实验验证相联系(当时是全新的科研方法)。Newton(1642-1727)：1687年在Principia中提出牛三律，与Kepler(1571-1630)行星运动定律一致。建立了质点动力学。Euler(1707-1783)

(1736),d’Alembert

(1717-1783

(1743),Lagrange(1736-1813)(1788）将牛顿定律推广到刚体动力学中。Naver,Stokes等将牛顿定律推广到连续介质力学中。2024/2/1569BurhanSalay@PhysicsofXJU是法国著名的物理学家、数学家和天文学家，一生研究了大量课题，完成了涉及多个科学领域的论文和专著，其中最著名的有8卷巨著《数学手册》、力学专著《动力学》、23卷的

《文集》、《百科全书》的序言等等。他的很多研究成果记载于《宇宙体系的几个要点研究》中。达朗贝尔生前为人类的进步与文明做出了巨大的贡献，也得到了许多荣誉。但在他临终时，却因教会的阻挠没有举行任何形式的葬礼。数学是达朗贝尔研究的主要课题，他是数学分析、三角级数理论、流体力学的主要开拓者。另外，达朗贝尔在复数的性质、概率论、力学、天文学等方面都有所研究，达朗贝尔为推动数学的发展做出了重要的贡献。达朗贝尔(1717-1783)

达郎贝尔原理2024/2/1570BurhanSalay@PhysicsofXJU预备知识1）求和号“”的运算

a)求和指标的改变，不影响计算结果。b)

指标不同的求和号，前后秩序可交换。c)

与求和指标无关的因子，可放到求和号里面，也可放到求和号外面。d）与求和指标无关的微商（或微分）符号，可以放到求和号里面，也可以放到求和号外面。由以上规则，有以下关系：

2024/2/1571BurhanSalay@PhysicsofXJU2）求力学量的全微商和偏微商

求全微商：

求偏微商：首先弄清自变量：

只把当作变量，将都当常量，所以有：2024/2/1572BurhanSalay@PhysicsofXJU求对t的微商：

首先弄清自变量：2024/2/1573BurhanSalay@PhysicsofXJU开普勒认识到：任何物体都将给予企图改变它运动状态的其它物体以阻力（惯性力）。当物体受到力的作用，其运动状态发生变化时，由于物体的惯性，对外界产生反作用，抵抗运动的变化。这种抵抗力称为惯性力。惯性力的大小等于质量乘加速度，方向与加速度相反，作用在使此物体产生加速度的其它物体上。注意：“惯性力的大小等于质量乘加速度”，与重力或万有引力的性质完全相同。或万有引力与惯性力等价---广义相对论的等效原理。2024/2/1574BurhanSalay@PhysicsofXJUsFIRFmaxzyOmAR

——约束力；F——主动力；根据牛顿定律ma＝F+RF+R－ma＝0FI

＝－maF+R＋FI

＝0FI

——质点的惯性力。

非自由质点的达朗贝尔原理作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在质点上的惯性力，在形式上组成平衡力系。一、质点的达朗贝尔原理2024/2/1575BurhanSalay@PhysicsofXJU应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法:1、分析质点所受的主动力和约束力；2、分析质点的运动，确定加速度；3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。非自由质点达朗贝尔原理的投影形式:质点的达朗贝尔原理叫做动静法其中2024/2/1576BurhanSalay@PhysicsofXJU非惯性系中的惯性力牵连加速度达朗贝尔惯性力补注：达朗贝尔惯性力与非惯性系惯性力的关系是绝对加速度处理相对运动问题，用方程：动静法处理绝对运动问题为平衡问题2024/2/1577BurhanSalay@PhysicsofXJU[例]变摆长的摆套在环上，摆绳原长为l0，以匀速v向下拉小球视为质点，质量为m[解]小球运动的一般位置用角惯性系小球加速度以小球为对象坐标y小球的笛卡儿坐标：2024/2/1578BurhanSalay@PhysicsofXJU真实外力主动力约束力建立此摆的的动力学方程：在这两个动力学方程中消除约束力后才能求解角坐标的规律。即，得运动微分方程2024/2/1579BurhanSalay@PhysicsofXJU动静法小球平衡方程这就是小球动力学方程。定义d’Alembert惯性力真实外力主动力理想约束力2024/2/1580BurhanSalay@PhysicsofXJUa2a1aiF1F2FiR1R2RiFI1FI2FIim1mim2质点系的主动力系质点系的约束力系质点系的惯性力系三、质点组的达朗贝尔原理每个质点的平衡方程这就是质点组的达朗贝尔原理。2024/2/1581BurhanSalay@PhysicsofXJU质点组的达朗贝尔原理的表述：在质点组运动的每一瞬时，作用于质点组上的所有主动力、约束反力与假想地加在质点组上各质点的惯性力构成一平衡力系。--这就叫达朗贝尔原理将此平衡方程代入虚功原理，得这就是在达朗贝尔原理下的虚功原理，它适用于任何静力学问题和动力学问题。描述的是在理想约束下的最一般的动力学平衡条件。或2024/2/1582BurhanSalay@PhysicsofXJU四、基本形式的拉格朗日方程

由n

个质点所组成的力学体系

或：（1）——达朗伯原理

物理意义：表示主动力Fi、约束反力Ri和因质点有加速度而产生的有效力（惯性力）的平衡，通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处理——动静法。用虚位移点乘(1)式，并对i求和，在理想约束的条件下，得：（2）

——达朗伯—拉格朗日方程

2024/2/1583BurhanSalay@PhysicsofXJU推导基本形式的拉格朗日方程：

代入（2）得：将即：<====广义力

令：则（3）式变为：（3）

（4）

2024/2/1584BurhanSalay@PhysicsofXJU现在计算：

T——力学体系的动能由于是互相独立的，，所以（4）式变为：——基本形式的拉格朗日方程（5）

2024/2/1585BurhanSalay@PhysicsofXJU基本形式的拉格朗日方程的物理意义：——叫广义速度，可为线速度、角速度或其它；——叫广义动量，可为线动量也可为角动量；——叫拉格朗日力。——叫广义力（不包含约束反力），其量纲由表达式决定。长度力面积表面张力电荷电压等等。体积应力严格地讲，谈到广义力时，应同时指出与它相应的广义坐标。2024/2/1586BurhanSalay@PhysicsofXJU五、保守系的拉格朗日方程

对于保守系，必存在势能V，它是坐标的函数V(xi,

yi,

zi)，且：广义力：将所有坐标用广义坐标表示：2024/2/1587BurhanSalay@PhysicsofXJU这样基本形式的拉氏方程可改写为：

令

L=T-V

（代表体系的动能与势能之差），则：这样(6)式变为：

（6）

（7）——保守系的拉格朗日方程

L=T-V

叫做拉格朗日函数，简称拉氏函数。2024/2/1588BurhanSalay@PhysicsofXJU例2（周衍柏习题5.8）一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动，管中有一质量为m的质点，开始时，细管取水平方向，质点距转动轴的距离为a，质点相对于管的速度为v0，试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。解：如图所示，取管轴为动坐标系的x轴，自由度s=1，选q=x，质点的相对速度为：牵连速度为：质点的动能：

质点的势能：

（以通过O点的水平线为零势线）

拉氏函数为：

2024/2/1589BurhanSalay@PhysicsofXJU代入拉氏方程：即：齐次方程的通解：非齐次方程的特解为：代入初始条件：

得：

故质点沿管的运动规律为：2024/2/1590BurhanSalay@PhysicsofXJU六、循环积分

一般地讲，如果拉氏函数L中不显含某一广义坐标，则

:由拉氏方程得：

即：常数（广义动量）。

——称为循环坐标或可遗坐标。对于任一循环坐标，都有一对应的积分，叫做循环积分。例如：质量为m的质点，在平方反比引力场中运动时，用而平方反比引力的势能为：

极坐标表示它的动能为：2024/2/1591BurhanSalay@PhysicsofXJU所以拉氏函数为：

有心力问题有两个自由度，在极坐标系中：现在所求出的L中却没有，在这里就是一个循环坐标，对应这一循环坐标的循环积分为：

=常数即质点相对于力心的动量矩守恒。注意：拉氏函数L中不含某一广义坐标，并不意味着也不含对应这一广义坐标的广义速度。拉氏函数L

中不含某一广义坐标时，对应这一广义坐标的广义动量为常数，但广义速度一般并不是常数。

2024/2/1592BurhanSalay@PhysicsofXJU七、能量积分

假设有一个完整的、保守的力学体系，体系有s个自由度，先求出用广义坐标及广义速度所表示的动能：2024/2/1593BurhanSalay@PhysicsofXJU式中T2、T1、T0分别是广义速度的二次、一次和零次函数，系数一般都是广义坐标

及时间t的函数。

如果力学体系是稳定的，ri

中不显含时间t，因而，即：，a=0，于是动能T将仅是广义速度的二次齐次函数，即：T=T2

。如果T=T2，而且也不显含时间t，那么：各项乘以，然后对求和得：

第一项：代入上式得：2024/2/1594BurhanSalay@PhysicsofXJU欧拉齐次函数定理：齐次函数的偏导数各乘以相应的变量，相加起来，就等于这函数乘上它的次数。动能T是广义速度的二次齐次函数，根据欧拉齐次函数定理知：

若拉氏函数中不显含时间t，T和V都不是时间t的显函数，所以：（1）（3）（2）将（2）（3）代入（1）式得：

2024/2/1595BurhanSalay@PhysicsofXJU得到能量积分的条件：一个完整的、保守的力学体系，拉氏

函数L中不显含时间t，且约束是稳定的。即：积分得到：T+V=E

—这就是力学体系的能量积分。

如果拉氏函数L中不显含时间t，但约束是非稳定的，即动能并不是广义速度的二次齐次函数，即：T=T2+T1+T0

，那么：

将上式代入（1）式得：

2024/2/1596BurhanSalay@PhysicsofXJU

并不代表动能，h

虽然也是常数，但并不代表总机械能量，这与前面的E不同。从形式上看，h不是能量积分，但是，因为它与能量积分类似，所以它被称为广义能量积分。积分得：

由此可见，即使主动力都是保守力，拉格朗日方程也不一定给出能量积分，除非约束是稳定的。这一结果的一种解释是：因为在不稳定约束的情况下，约束反力可以作实功（而总虚功之和仍为零-理想约束），然而在拉格朗日方程中并不含有约束反力，这就产生了如上的差异。2024/2/1597BurhanSalay@PhysicsofXJU

2）利用约束关系或坐标变换关系，找出各坐标变量与广义坐标的关系，将动能和势能用广义坐标和广义速度表示，即得拉氏函数。

注意：对非稳定约束情况，有时用动坐标系来写出拉氏函数较方便，在这种情况下，速度要用相对静止坐标系的绝对速度，势能也应以静系中的固定点为参考点计算。计算广义力有三种方法：

3)对保守力系：

2)利用虚功：

1)利用广义力的定义式：2024/2/1598BurhanSalay@PhysicsofXJU例1（5.12）.

均质杆AB，质量为m，长为2a，其A端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，如除重力作用外，B端还受有一水平的力F的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何？解：系统自由度为2，如图所示,选取为广义坐标由科尼希定理知棒的动能为：

K为棒绕质心c转动的回转半径。

棒质心坐标：

2024/2/1599BurhanSalay@PhysicsofXJU虚功：

所以广义力为：

2024/2/15100BurhanSalay@PhysicsofXJU代入基本形式的拉格朗日方程：得运动微分方程为：若很小，则

。这里：

则运动微分方程为：2024/2/15101BurhanSalay@PhysicsofXJU例2：

均匀杆OA，重P1，长为l1，能在竖直平面内绕固定铰链O转动，此杆的A端用铰链连另一重P2，长为l2

的均匀杆AB，在AB杆的B端加以水平力F，求平衡时此二杆与水平线所成的角度及，如图所示。解：自由度s=2，选和为两个广义坐标。由虚功原理得：（1）

2024/2/15102BurhanSalay@PhysicsofXJU代入（1）式得：

因为：是互相独立的，故得：所以：2024/2/15103BurhanSalay@PhysicsofXJU

例3.一滑轮可绕通过轮心的水平轴转动，在此