离散数学课后习题答案左孝凌版

(1)解：

原子命题：我爱北京天安门。

复合命题：如果不是练健美操，我就出外旅游拉。

(2)解：

a)(1P八R)-Q

b)QfR

c)IP

d)P--IQ

(3)解：

a)设Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。

Q6(RA-iP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。

b)设R:我在看电视。Q:我在吃苹果。

R/\Q：我在看电视边吃苹果。

c)设Q:一个数是奇数。R:一个数不能被2除。

(QfR)八(R-Q):一个数是奇数，则它不能被2整除并且一个数不能被2整除，则它是奇数。

⑸解：

\设

a1

7王强身体很好。Q：王强成绩很好。PAQ

\设

b1

7小李看书。Q；小李听音乐。PAQ

\设

c1

7气候很好。Q：气候很热。PVQ

d\设

7a和b是偶数。Q：a+b是偶数。P-Q

\设

e!

7四边形ABCD是平行四边形。Q:四边形ABCD的对边平行。P—Q

\设

f1

7语法错误。Q：程序错误。R：停机。(PVQ)-R

(6)解:

a)P：天气炎热。Q：正在下雨。PAQ

b)P：天气炎热。R：湿度较低。PAR

c)R:天正在下雨。S:湿度很高。RVS

d)A:刘英上山。B:李进上山。AAB

e)止老王是革新者。N:小李是革新者。MVN

f)L:你看电影。M:我看电影。-IL--|M

g)P：我不看电视。Q：我不外出。R：我在睡觉。PAQAR

h)P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PAQ

1-3

(1)解：

a)不是合式公式，没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)

b)是合式公式

c)不是合式公式(括弧不配对)

d)不是合式公式(R和S之间缺少联结词)

e)是合式公式。

(2)解：

a)A是合式公式，(AVB)是合式公式，(A->(AVB))是合式公式。这个过程可以简记为:

A；(AVB)；(A-(AVB))

同理可记

b)A；-iA；(-1AAB)；((-iAAB)AA)

c)A；-|A；B；(~iA-*B)；(BfA)；((~|A-*B)(B-^A))

d)A；B；(A-B)；(B-*A)；((A-*B)V(B-*A))

(3)解：

a)((((A-C)一((BAO-A))-((BAO-A))-(A-C))

b)((B-*A)V(A-*B))o

(4)解：

a)是由c)式进行代换得到，在c)中用Q代换P,(P-P)代换Q.

d)是由a)式进行代换得到，在a)中用P-(Q-P)代换Q.

e)是由b)式进行代换得到，用R代换P,S代换Q,Q代换R,P代换S.

(5)解：

a)P:你没有给我写信。R:信在途中丢失了。PQ

b)P:张三不去。Q:李四不去。R:他就去'(PAQ)-R

c)P:我们能划船。Q:我们能跑步。］(歆Q)

d)P:你来了。Q:他唱歌。R:你伴奏。P-(Q—R)

(6)解：

P：它占据空间。Q：它有质量。R：它不断变化。S:它是物质。

这个人起初主张：(PAQAR)“S

后来主张：(PAQ^S)A(S-R)

这个人开头主张与后来主张的不同点在于：后来认为有PAQ必同时有R,开头时没有这样的主张。

(7)解：

a)P:上午下雨。Q:我去看电影。R:我在家里读书。S:我在家里看报。JP-Q)八(P-(RVS))

b)P:我今天进城。Q:天下雨。-JQfP

c)P:你走了。Q:我留下。QfP

1-4

(4)解:a)

pQRQARPA(QAR)PAQ(PAQ)AR

TTTTTTT

TTFFFTF

TFTFFFF

TFFFFFF

FTTTFFF

FTFFFFF

FFTFFFF

FFFFFFF

所以，PA(QAR)=(PAQ)AR

b)

PQRQVRPV(QVR)PVQ(PVQ)VR

TTTTTTT

TTFTTTT

TFTTTTT

TFFFTTT

FTTTTTT

FTFTTTT

FFTTTFT

FFFFFFF

所以，PV(QVR)o(PVQ)VR

c)

pQQVPA(QVPAPA(PAQ)V(PA

RRR)QRR)

TT

T

TT

F

TFTTTTT

TTTTFT

TFTTFTT

FFFFFF

FTTFFFF

TTFFFF

FTTFFFF

FFFFFF

FF

T

FF

F

所以，PA(QVR)=(PAQ)V(PAR)

d)

PQIP1Q-1PV-iQ1(PAQ)PA-iQ-I(PVQ)

TTFFFFFF

TFFTTTFF

FTTFTTFF

FFTTTTTT

所以，i(PAQ)o-tPV-iQ,-i(PVQ)Q-IPA-iQ

(5)解：如表，对问好所填的地方，可得公式Fi〜Fe,可表达为

PQRFlF2F3F4F5F6

TTTTFTTFF

TTFFFTFFF

TFTTFFTTF

TFFFTFTTF

FTTTFFTTF

FTFTFFFTF

FFTTFTTTF

FFFFTFTTT

Fl:(QfP)-R

F2:(PA-iQA-iR)V(-1PAnQAqR)

F3:(P-Q)A(QVR)

F4:(-1PV-iQVR)A(PV-iQVR)

F5:(-1PV-iQVR)A(-1PV-iQV-iR)

F6:-|(PVQVR)

(6?

Q~n~[2Fs~[4~[5~|-6~[7ri|-9nornrn~

FFTFTFTFTFFTFTFT

TFFTTFFT1FFTTFFTT

FFFFFTTTTFl;l;FTTTT

TFFFFFFFF1!TTTTTT

解：由上表可得有关公式为

1.F2.-|(PVQ)3.-|(Q-P)4.-|P

5.-J(P-Q)6.-|Q7.-i(P“Q)8.-i(PAQ)

9.PAQ10.P^Q11.Q12.P-Q

13.P14.Q-*P15.PVQ16.T

(7)证明：

a)A-*(BfA)o-|AV(~iBVA)

oAV(-|AV-iB)

oAV(A-*-]B)

A—>(A-~|B)

b)-|Q-|((AAB)V(~iAAnB))

Qi((AAB)V-i(AVB))

Q(AVB)/\-I(AAB)

或-i(A—B)Q-I((A-B)A(B-A))

<=>-i((-iAVB)A(-iBVA))

Q-I(hAA-iB)V(-]AAA)V(BAnB)V(BAA))

0-|((-)AAnB)V(BAA))

Q-I(-1(AVB))V(AAB)

=(AVB)A-|(AAB)

c)-](AfB)<=>-](-]AVB)QAA-IB

d)-|(A"B)Q-|((A-*B)A(B-*A))

Q-I((-iAVB)ACiBVA))

B)V(-)AAB)

e)(((AABAC)-*D)A(C-*(AVBVD)))

Q(I(AABAC)VD)A(nCV(AVBVD))

Q(-I(AABAC)VD)A(-i(-1AA-iBAOVD)

o(-1(AABAC)An(-1AA-iBAO)VD

^((AABAC)V(-)AA-iBAC))-D

q(((AAB)V(-1AA-iB))AC)-D

q((C/\(A—B))fD)

f)A-*(BVC)o-|AV(BVC)

0(-1AVB)VC

<=>n(AA-]B)VC

=(AA-iB)-C

g)(A-D)A(BfD)q(-1AVD)A(nBVD)

q(~iAA-iB)VD

<=>~i(AVB)VD

Q(AVB)-D

h)((AAB)->C)A(B->(DV0)

=(-i(AAB)VC)A(-1BV(DVO)

o(-1(AAB)A(-1BVD))VC

Q(-|(AAB)A-I(-1DAB))VC

Q-I((AAB)VhDAB))VC

q((AVnD)AB)-*C

q(B/\(D-A))-C

(8)解:

a)((A-B)c(-1B-।A))AC

Q((-lAVB)—(BV-iA))AC

q((-lAVB)一(nAVB))AC

=T/\C<=>C

b)AV(nAV(BA-|B))q(AV-iA)V(BA-iB)QTVFQT

c)(AABAC)V(nAABAC)

q(AV-iA)A(BAC)

oTA(BAC)

QBAC

(9)解：1)设C为T,A为T,B为F,则满足AVCQBVC,但AQB不成立。

2)设C为F,A为T,B为F,则满足AACQB八C,但AQB不成立。

3)由题意知［A和1B的真值相同，所以A和B的真值也相同。

习题1-5

(1)证明：

a)(P/\(PfQ))-Q

q(PA(-|PVQ))-Q

Q(PAIP)V(PAQ)-Q

今(PAQ)fQ

Q-i(PAQ)VQ

Q-IPV-iQVQ

Q-IPVT

QT

b)-iP-(P-Q)

=PV(-1PVQ)

q(PV-iP)VQ

QTVQ

QT

c)((P-Q)/\(Q-R))f(P-R)

因为(PfQ)八(Q-R)n(P-R)

所以(P-Q)A(Q-R)为重言式。

d)((aAb)V(bAc)V(cAa))<->(aVb)A(bVc)A(cVa)

因为((aAb)V(bAc)V(cAa))

o((aVc)Ab)V(cAa)

<=>((aVc)V(cAa))A(bV(cAa))

=(a\/c)A(bVc)A(bVa)

所以((aAb)V(bAc)V(cAa))^(aVb)A(bVc)A(cVa)为重言式。

(2)证明：

a)(P-Q)nP-(PAQ)

解法1：

设P-Q为T

(1)若P为T,则Q为T,所以P/\Q为T,故P-(PAQ)为T

(2)若P为F,则Q为F,所以PAQ为F,P-(PAQ)为T

命题得证

解法2：

设Pf(PAQ)为F,则P为T,(PAQ)为F,故必有P为T,Q为F,所以P-Q为F。

解法3：

(P-*Q)-(P-(PAQ))

Qi(iPVQ)V(nPV(PAQ))

Q-I(-1PVQ)V((-iPVP)A(-1PVQ))

QT

所以(PfQ)nP->(PAQ)

b)(PfQ)-QnPVQ

设PVQ为F,则P为F,且Q为F,

故P-Q为T,(P-Q)-Q为F,

所以(PfQ)-QnPVQ。

c)(Q-(PA-iP))-(Rf(Rf(PA-iP)))nRfQ

设R-Q为F,则R为T,且Q为F,又PAqP为F

所以Qf(PQ-iP)为T,Rf(PAiP)为F

所以Rf(Rf(PR-)P))为F,所以(Qf(PAiP))-(R-(R-(PA-iP)))为F

即(Qf(PAnP))—(R-(Rf(PA-iP)))nR-Q成立。

(3)解:

a)P-Q表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。

b)a)的逆换式QfP表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。

c)a)的反换式-IP-iQ表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。

d)a)的逆反式［Q-iP表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。

(4)解：

a)如果天下雨，我不去。

设P：天下雨。Q：我不去。P-Q

逆换式Q-P表示命题:如果我不去，则天下雨。

逆反式1Qf-iP表示命题:如果我去，则天不下雨

b)仅当你走我将留下。

设S：你走了。R：我将留下。R-S

逆换式S-R表示命题：如果你走了则我将留下。

逆反式1S--|R表示命题：如果你不走，则我不留下。

c)如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。

设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。E-H

逆换式H-E表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。

逆反式1H—-IE表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助

(5)试证明P0Q,Q逻辑蕴含P。

证明：解法1：

本题要求证明(P"Q)AQnP,

设(P—Q)AQ为T,则(PcQ)为T,Q为T,故由c的定义，必有P为T。

所以(P—Q)AQnP

解法2：

由体题可知，即证((PcQ)AQ)一P是永真式。

((PcQ)AQ)-P

o(((PAQ)V(-|PA-|Q))AQ)-P

q(1((PAQ)V(-|PA-|Q))VnQ)VP

o(((-IPV-|Q)A(PVQ))V-|Q)VP

=((-]QVnPV-|Q)A(nQVPVQ))VP

Q((-|QV-1P)AT)VP

^-|QV-|PVP

中QVT

QT

(6)解：

P：我学习Q：我数学不及格R：我热衷于玩扑克。

如果我学习，那么我数学不会不及格：P--|Q

如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习：[R-P

但我数学不及格：Q

因此我热衷于玩扑克。R

即本题符号化为：(P-*~iQ)A(~|R-*P)AQ^>R

证：

证法1：((P-*-|Q)A(nR-*P)AQ)-*R

=-i((iPV-)Q)A(RVP)AQ)VR

q(PAQ)V(-1RA-iP)V-iQVR

=((-iQVP)A(-1QVQ))V((RV-iR)A(RVnP))

o-iQVPVRV-iP

qT

所以，论证有效。

证法2：设(P-iQ)A(-1RfP)AQ为T,

则因Q为T,(P-iQ)为T,可得P为F,

由(rR-P)为T,得到R为T。

故本题论证有效。

(7)解：

P：6是偶数Q：7被2除尽R：5是素数

如果6是偶数，则7被2除不尽P-iQ

或5不是素数，或7被2除尽RVQ

5是素数R

所以6是奇数iP

即本题符号化为：(P--IQ)A(-1RVQ)ARP

证：

证法1：((P-।Q)A(nRVQ)AR)-।P

o1(JPV-iQ)A(-1RVQ)AR)VnP

=((PAQ)V(RA-|Q)V-]R)VnP

q((-iPVP)A(iPVQ))V((-)RVR)A(nRVnQ))

q(-1PVQ)V(-1RV-iQ)

所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。

证法2：(P-1Q)八(-1RVQ)八R为T,

则有R为T,且1RVQ为T,故Q为T,

再由P—-IQ为T,得到1P为T。

(8)证明：

a)P=>(-iPfQ)

设P为T,则-]P为F,故iP-Q为T

b)-iAABAC^C

假定-lA/\B/\C为T,则C为T。

c)C^AVBV-iB

因为AVBV-iB为永真，所以CnAVBViB成立。

d)-|(AAB)=>-)AV-]B

设-I(AAB)为T,则AAB为F。

若A为T,B为F,则-iA为F,B为T,故AViB为T。

若A为F,B为T,则-iA为T,1B为F,故-)AVnB为T。

若A为F,B为F,则-iA为T,B为T,故-)AVnB为T。

命题得证。

e)-|A-(BVC),DVE,(DVE)-*-|A=>BVC

设lAf(BVC),DVE,(。▽£)--1人为1',

则DVE为T,(DVE)f［A为T,所以-1A为T

又1A-(BVC)为T,所以BVC为T。命题得证。

f)(AAB)-*C,-iD,-|CVDh)AVnB

设(AAB)-C,-(D,iCVD为T,则-|D为T,CVD为T,所以C为F

又(AAB)-C为T,所以AAB为F,所以为T。命题得证。

(9)解：

a)如果他有勇气，他将得胜。

P：他有勇气Q：他将得胜

原命题：P-Q逆反式：［QfIP表示：如果他失败了，说明他没勇气。

b)仅当他不累他将得胜。

P：他不累Q：他得胜

原命题：QfP逆反式：［P-iQ表示：如果他累，他将失败。

习题1-6

⑴解：

a)(PAQ)AnPQ(PAIP)AQQ-I(TVQ)

b)(P-(QViR))A-iPAQ

Q(-1PV(QV-iR))AnPAQ

Q(-IPA-iPAQ)V(QA-iPAQ)V(nRA-iPAQ)

Q(IPAQ)V(-1PAQ)V(-1PA-iRAQ)

Q-IPAQ

=-](PV-iQ)

c)PA-iQA(-1R~P)

Q-IPA-iQA(RVP)

Q(-IPA-iQAR)VhPA-iQAP)

<=>(nPA-iQAR)VF

Q-jPAnQAR

Q-I(PVQV-iR)

⑵解：

a)-|PoPIP

b)PVQo-|(PIQ)o(PIQ)I(PIQ)

c)PAQ=-|PJ-IQ—(PIP)I(QIQ)

⑶解：

Pf(-iP—Q)

Q-IPV(PVQ)

QT

Q-IPVP

Q(-1Pt-IP)t(PtP)

QPt(PTP)

P-(-1P-Q)

Q-IPV(PVQ)

oT

Q-IPVP

Q-i(-1PIP)

Q-l((PIP)IP)

Q((PIP)IP)I((PIP)IP)

(4)解：

PtQ

(-|PI-]Q)

Q-I((PIP)；(QIQ))

=((PIP)I(QIQ))I((P1P)1(QJQ))

⑸证明：

-I(BtC)

(-)BV-iC)

=-|BI-)C

1(BIC)

Q-|(-)BA-]C)

Bt-|C

(6)解：联结词“t”和“I”不满足结合律。举例如下：

a)给出一组指派：P为T,Q为F,R为F,则(PtQ)TR为T,Pt(QtR)为F

故(PtQ).RPt(QtR).

b)给出一组指派：P为T,Q为F,R为F,则(PIQ)IR为T,PI(QIR)为F

故故IQ)蜘PI(QIR).

⑺证明：

设变元P,Q,用连结词c,-i作用于P,Q得到：P,Q,iP,Q,PcQ,P—P,QcQ,QcP。

但P—QoQ-P,P-PQQCQ,故实际有：

P,Q,-iP,-]Q,PcQ,PcP(T)(A)

用I作用于(A)类，得到扩大的公式类(包括原公式类)：

P,Q,~iP,-]Q,~i(P<->Q)»T,F,PcQ(B)

用“作用于(A)类,得到：

P—Q,Pc-|P=F,P<->-|Q=-|(P-Q),P—(P-Q)=Q,P<->(P—P)=P,

PQ-](P—Q),Q«-»-|QQF,Q—(PaQ)<=>P,Q"TQQ,

-)QQPQQ,-IP<->(P<->Q)=-jQ,-iP<->TQ-|P,

-|Q<-»(P—Q)P,~iQoT<=>-|Q,

(PQQ)Q(PQQ)QPQQ.

因此，(A)类使用运算后，仍在(B)类中。

对(B)类使用1运算得：

-IP,-iQ,P,Q,P->Q,F,T,

-I(PcQ),

仍在(B)类中。

对(B)类使用一运算得：

P—Q,P<->-|P=F,QQ-J(P1Q),P--)(P<->Q)=-)Q,P<->ToP,PAFQ-JP,P<-»(P«-»Q)

QQ,

Q<-»-|P<=>-|(P<-»Q),Q<->-|QQF,Q<->-|(P<->Q)<=>-)P,QCTQQ,Q->FQ-]Q,Q«->(P—Q)QP,

-|P<->-|QOPQQ,-I(P<->Q)QQ,-|PCTQ-]P,-|P<->F<=>P,-|P<->(P<->Q)=-)Q,

-l(P<->Q)=P,-|Q<->T<=>-|Q,-|Q<->To-|Q,-|Q<->(P<->Q)=-)P,

-|(PcQ)(PQQ),-](PcQ)QFQPQQ,-|(PcQ)c(PcQ)0F

T<->F<=>F,T«-»(P<-»Q)oP—Q

FQ(PQQ)Q-|(PcQ)

(P—Q)a(Pe»Q)oP—Q.

故由(B)类使用-运算后，结果仍在(B)中。

由上证明：用c「两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生(B)类中的公式，总

共仅八个不同的公式，故｛一-｝于是功能完备的，更不能是最小联结词组。

已证｛2「｝不是最小联结词组，汉因为PQ«-I(P1Q),故任何命题公式中的联结词，如仅

用｛V，I｝表达，则必可用｛—｝表达，其j真。故｛｝也必不是最小联结词组。

(8)证明｛V｝,｛八｝和｛-｝不是最小联结词组。

证明：若｛V｝,｛八｝和｛一｝是最小联结词，则

-1PQ(PVPV.)

-iPQ(PAPA……)

-)P=Pf(P-*(P-*.)

对所有命题变元指派T,则等价式左边为F,右边为T,与等价表达式矛盾。

所以｛V｝,｛八｝和｛-｝不是最小联结词。

⑼证明｛l,-｝和卜1,｝是最小联结词组。

证明：因为卜，V｝为最小联结词组，且PVQQ-IP—Q

所以人，一｝是功能完备的联结词组，又卜｝,｛-｝都不是功能完备的联结词组。

所以"，一｝是最小联结词组。

又因为P-Q=%(PQ),所以气，｝是功能完备的联结词组，又卜｝,｛｝不是功能完备的联结

词组，

所以修幺｝是最小联结词组。

习题1-7

⑴解：

PA(P-Q)

QP/\(-1PVQ)

=(PA-iP)V(PAQ)

PA(P-*Q)

q(PV(-|QAQ))A(-|PVQ)

q(PV-iQ)A(PVQ)A(-1PVQ)

⑵解：

a)(」PAQ)fR

Q-i(-1PAQ)VR

qPV-iQVR

Q(PAQ)V(PA-iQ)V(-1QAR)V(iQAnR)V(RAP)V(RAnP)

b)P-*((QAR)->S)

o-iPV(n(QAR)VS)

Q-IPV-iQV-iRVS

0(1PAQ)V(-1PA-iQ)V(nQAR)VhQAnR)V(nRAS)V(-|RAnS)V(SAP)V(SAn

P)

c)-i(PV-iQ)A(ST)

0(-1PAQ)A(-1SVT)

Q(-IPAQA-iS)V(nPAQAT)

d)(P-Q)fR

Q-I(-1PVQ)VR

o(PAiQ)VR

Q(PVR)八(-1QVR)

e)-i(PAQ)A(PVQ)

Q(iPV-iQ)A(PVQ)

<=>(-!PAP)V(-1PAQ)V(-1QAP)V(-1QAQ)

q(-1PAQ)V(-iQAP)

(3)解:

a)PV(-|PAQAR)

Q(PV-IP)A(PVQ)A(PVR)

=(PVQ)八(PVR)

b)-i(P-Q)V(PVQ)

Q-i(-iPVQ)V(PVQ)

Q(P/\-IQ)V(PVQ)

今(PVPVQ)A(iQVPVQ)

c)-|(P-*Q)

Q-j(~iPVQ)

qPA-iQ

=(PVQ)A(PV-iQ)A(-1QV-iP)

d)(PfQ)fR

5(-1PVQ)VR

Q(PA-iQ)VR

o(PVR)A(-1QVR)

e)(-1PAQ)V(PA-iQ)

Q(iPVP)A(-1PV-iQ)A(QVP)A(QV-)Q)

Q(iPV-iQ)A(QVP)

(4)解:

a)(-1PV-iQ)-(Pc-iQ)

Q-i(-iPV-iQ)V(Pc-)Q)

o(PAQ)V(PA-)Q)V(nPAQ)

今Zl,2,3

u>pvQ=n。

b)QA(PV-IQ)

Q(PAQ)V(QAnQ)

=PAQ=£；

Qllo.1.2

«(PVQ)A(PVnQ)A(~iPVQ)

c)PV(-|P-(QV(nQfR))

«PV(PV(QV(QVR))

<=>PVQVR=n()

03.2,3,4,5,6,7

=(-IPA-iQAR)V(-|PAQAnR)V(-iPAQAR)V(PA-|QAiR)V(PA-|QAR)

V(PAQAnR)V(PAQAR)

d)(P-*(QAR))A(nP-*(nQA-iR))

g(-1PV(QAR))A(PV(nQAqR))

q(PA-iP)V(PA(QAR))V((-iQAnR)AnP)V((-)QA-)R)A(QAR))

q(PAQAR)V(-|PA-iQA-iR)=Zo.7

<=>rii,2,3,4,5,6

=(PVQVnR)A(PV-|QVR)A(PV-|QVnR)A(-)PVQVR)AhPVQVnR)

A(qPV-iQVR)

e)P-(P/\(Q-P)

Q-IPV(PA(-)QVP)

Q(-IPVP)A(nPV-iQVP)

QTV(TAIQ)QT

(-1PA-iQ)V(-|PAQ)V(PA-|Q)V(PAQ)

f)(Q-P)A(-1PAQ)

=(-1QVP)A-iPAQ

o(-1QVP)A-i(PV-iQ)oF

an-2,3=(PVQ)A(PV-iQ)A(-1PVQ)A(-)PVnQ)

(5)证明：

a)

(A-B)A(A-*C)

Q(-1AVB)A(nAVC)

A-*(BAC)

Q-IAV(BAO

o(-1AVB)A(-1AVC)

b)

(A-B)-*(AAB)

<=>-](-]AVB)V(AAB)

o(AA-iB)V(AAB)

=A八(BVnB)

«AAT

QA

(~IA-*B)A(B-*A)

=(AVB)A(-]BVA)

oAV(BA-iB)

QAVF

c)

AABA(-1AV-iB)

=((AA-iA)V(AAnB))AB

<=>AABAnB

QF

-1AA-iBA(AVB)

q((-)AAA)V(-(AAB))A~iB

AAnBAB

QF

d)

AV(A-(AAB)

oAV-iAV(AAB)

QT

-IAV-iBV(AAB)

5(AAB)V(AAB)

(6)解:A=Rt(QAi(R)P))"[JA*QRI(QVn(RfP))

A=Rt(QAn(RIP))

o-i(RA(QA(RVP)))

Q-IRV-iQV-i(RVP)

Q-I(RAQ)V-i(RVP)

A*=RI(QV-i(RtP))

Q-I(RV(QV(RAP))

Q-IRA-iQA-](RAP)

Q-I(RVQ)A-i(RAP)

(7)解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。

若A去则C和D中要去一个。A-*(CVD)

B和C不能都去。-i(BAO

C去则D要留下。C->-|D

按题意应有：A-*(CVD),-i(BAO,Cf~iD必须同时成立。

因为CVDQ(CA-iD)V(DA-i0

故(A-(CWD))八(BAOA(C-।D)

o(-1AV(CA-iD)VCDAnO)An(BAOA(nCVnD)

o(-1AV(CA-iD)V(DAn0)A(-1BVn0A(nCV-|D)

=(-1AV(CA-iD)V(DA-)0)A((-iBA-iC)V(-)BAnD)V(qCAnD)Vn0

<=>(~iA/\~iB/\~iC)。(~iA/\~iB/\"iD)\Z(~iAA~iC八~iD)V(-)AAnC)

V(nBA-iCAD)V(nCADAnBAnD)V(rC/\D八iC八iD)

V(-1CADA-i0V(iDAC/\iBA-iC)V(nDACAqBAnD)

V(-iDACAnCAnD)V(nDACAnC)

在上述的析取范式中，有些(画线的)不符合题意，舍弃，得

(-1AA-i0V(nBA-iCAD)V(-1CAD)V(nDACAnB)

故分派的方法为：BAD，或DAA,或CAAo

(8)解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。

由题意得(PVQ)A(RVS)A(EVS)

o((PA-iQ)V(-iPAQ))A((RAnS)V(-)RAS))A((EA-iS)V(qEAS))

q((PA-iQARAnS)V(PAnQAnRAS)V(nPAQARAnS)

V(-|PAQA-!RAS))A((EA-1S)V(nEAS))

因为(PA-iQA-iR/\S)与(-1PAQARA-iS)不合题意，所以原式可化为

((PA-iQARA-iS)V(nPAQA-iRAS))A((EAnS)V(-|EAS))

=(PAnQARA-iSAEA-1S)V(PA-|QARA-)SA-)EAS)

V(-|PAQA-iRASAEA-iS)V(nPAQAqRASAnEAS)

=(PA-iQARA-iSAE)V(~iPAQAnRASAnE)

因R与E矛盾，故」PAQA-iRASAnE为真，

即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。

于是得：A是第三B是第二C是第一D是第四。

习题1-8

⑴证明：

a)-|(PAnQ),~iQVR>-iR=>~|P

(1)-iRP

(2)-|QVRP

(3)-)Q(1)(2)T,I

(4)-i(PA-iQ)P

(5)-|PVQ(4)T,E

(6)-iP(3)(5)T,I

b)Jf(MVN),(HVG)fJ,HVGnMVN

(1)(HVG)-JP

(2)(HVG)P

(3)J⑴⑵T,I

(4)J一(MVN)P

(5)MVN(3)(4)T,I

c)BAC,(B3)f(HVG)nGVH

(1)BACP

(2)B⑴T,I

(3)C(1)T,I

(4)BV-iC(2)T,I

(5)CV-iB(3)T,I

(6)C-B(4)T,E

(7)B-C(5)T,E

(8)BcC(6)(7)T,E

(9)(B-C)-(HVG)P

(10)HVG(8)(9)T,I

d)P-*Q,(-)QVR)AnR,n(nPAS)n-jS

⑴(-1QVR)AnR

⑵-1QVR(1)T,I

⑶iR⑴T,I

(4)~iQ(2)(3)T,I

⑸P-QP

(6)-IP(4)(5)T,I

⑺-i(-1PA-iS)P

(8)PV-iS(7)T,E

(9)ns(6)(8)T,

(2)证明:

a)-]AVB,C->-]B=>A~>-।C

(1)-i(A-1C)P

(2)A(1)T,I

(3)C(1)T,I

(4)-|AVBP

(5)B(2)(4)T,I

(6)C-BP

(7)-|B(3)(6)T,I

(8)BA-iB矛盾。(5),(7)

b)A-(B-*C),(CAD)fE,-|F-*(DAnE)=>A_*(B—F)

(1)-i(A-(B-F))P

(2)A(1)T,I

(3)-)(BfF)(l)T.I

(4)B(3)T,I

(5)-)F⑶T,

(6)A-*(B-*C)P

(7)B-C(2)(6)T,I

(8)C(4)(7)T,I

(9)-|F-(DA-iE)P

(10)DA-iE(5)(9)T,I

(11)D(10)T,I

(12)CAD(8)(11)T,I

(13)(CAD)-EP

(14)E(12)(13)T,I

(15)-|E(10)T,I

(16)EA-iE矛盾。(14),(15)

c)AVB-CAD,DVETnAT

(1)n(A-*F)P

(2)A(l)T.I

(3)-iF(l)T.I

(4)AVB⑵T,I

(5)(AVB)-*CADP

(6)CAD(4)(5)T,I

(7)C(6)T,I

(8)D(6)T,I

(9)DVE(8)T,I

(10)DVE-FP

(11)F(9)(10)T,I

(12)FA-iF矛盾。(3),(11)

d)A-(BAO,-iBVD,(E—-IF)-*D,Bf(AA-iE)nBfE

(1)-i(B-E)P

(2)B(1)T,I

(3)-|E(1)T,I

(4)1BVDP

(5)D(2)(4)T,I

(6)(E-~iF)DP

⑺n(E-nF)(5)(6)T,I

(8)E(7)T,I

(9)EA-iE矛盾

e)(A-*B)A(C-*D),(B->E)A(D-F),n(EAF),A-Cn-|A

⑴(A-B)A(C-D)P

⑵A-*B(1)T,I

⑶(B-E)A(D-F)P

(4)B-*E(3)T,I

⑸A-E(2)(4)T,I

(6)-I(EAF)P

⑺-iEV-iF(6)T,E

(8)E-।F(7)T,E

⑼A-]F(5)(8)T,I

(10)C-D(l)T.I

(11)D-F(3)T,I

(12)C-F(10)(10)T,I

(13)A-CP

(14)AfF(13)(12)T,I

(15)1Ff-]A(14)T,E

(16)A-*~iA(9)(15)T,I

(17)-lAV-iA(16)T,