新教材人教A版高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数-2022新高考一轮复习课件

1、指数与指数函数2、对数与对数函数P423、函数的图象P794、函数与方程P116第四章指数函数与对数函数课标要求1.通过对有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.备考指导指数函数是最重要的基本初等函数之一,也是高考的重点.备考时要注意指数函数的图象和性质的应用,尤其是其单调性的应用更要重视.通过本节的复习,要注意分类讨论思想和数形结合思想的应用.【知识筛查】

3.分数指数幂的意义

4.有理数指数幂的运算性质(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q).(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q).(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).5.指数函数(1)定义:一般地,函数y=ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.(2)指数函数的图象和性质问题思考幂函数与指数函数有何区别?幂函数形式为y=xα(α∈R),其自变量x处于底数位置,常数α处于指数位置;而指数函数形式为y=ax(a>0,且a≠1),其自变量x处于指数位置,常数a处于底数位置,且a须满足大于0且不等于1.指数函数的图象与底数大小的比较:指数函数(1)y=ax,(2)y=bx,(3)y=cx,(4)y=dx的图象如图所示,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.规律:在y轴右(左)侧图象越高(低),其底数越大.【知识巩固】

×××√×2.已知x<0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围是(

)A. B.(1,2)C.(1,+∞) D.(-∞,1)A3.在同一平面直角坐标系中,函数y=2x与

的图象之间的关系是(

)A.关于y轴对称

B.关于x轴对称C.关于原点对称

D.关于直线y=x对称A4.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为

.

(2,3)∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.16第二环节关键能力形成能力形成点1指数幂的化简与求值D解题心得指数幂运算的一般原则:(1)有括号的先算括号里的.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,则化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.(5)运算结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数幂.对点训练1求值与化简:能力形成点2指数函数的图象及应用B(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是

.[-1,1]曲线|y|=2x+1与直线y=b的大致图象如图所示.由图可知,若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b∈[-1,1].(3)若关于x的方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范围是

.

方程|ax-1|=2a(a>0,且a≠1)有两个不等实根转化为函数y=|ax-1|与y=2a的图象有两个不同的交点.当0<a<1时,如图①,所以0<2a<1,即当a>1时,如图②,而y=2a>1不符合要求.图①

图②拓展延伸将例2(2)改为:若函数y=|2x-1|的图象与直线y=b有两个公共点,则b的取值范围为

.

(0,1)作出曲线y=|2x-1|的图象与直线y=b如图所示.

由图象可得b的取值范围是(0,1).解题心得1.作指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),2.与指数函数有关的函数图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象.3.一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.对点训练2(1)函数y=ax(a>0,且a≠1)与函数y=(a-1)x2-2x在同一平面直角坐标系内的图象可能是(

)C(2)已知函数f(x)=4+ax-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是(

)A.(1,5) B.(1,4) C.(0,4) D.(4,0)A指数函数y=ax的图象恒过点(0,1),要得到函数y=4+ax-1(a>0,a≠1)的图象,可将指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象向右平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度.则点(0,1)平移后得到点(1,5).故点P的坐标为(1,5).(3)若方程|3x-1|=k有一解,则实数k的取值范围为

.{0}∪[1,+∞)函数y=|3x-1|的图象是由函数y=3x的图象向下平移一个单位长度后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,函数图象如图所示.当k=0或k≥1时,直线y=k与函数y=|3x-1|的图象有唯一的交点,所以方程有一解.能力形成点3指数函数的性质及其应用命题角度1比较指数式的大小例3

设y1=40.9,y2=80.48,,则(

)A.y3>y1>y2 B.y2>y1>y3C.y1>y2>y3 D.y1>y3>y2D因为1.8>1.5>1.44,且y=2x在R上单调递增,所以y1>y3>y2.命题角度2解简单的指数方程或指数不等式命题角度3指数函数性质的综合应用例5

已知函数(a>0,且a≠1).(1)判断f(x)的奇偶性;(2)讨论f(x)的单调性;(3)当x∈[-1,1]时,f(x)≥b恒成立,求b的取值范围.解

(1)函数定义域为R,关于原点对称.(2)当a>1时,a2-1>0,y=ax在R上为增函数,y=a-x在R上为减函数,从而y=ax-a-x在R上为增函数,故f(x)在R上为增函数.当0<a<1时,a2-1<0,y=ax在R上为减函数,y=a-x在R上为增函数,从而y=ax-a-x在R上为减函数,故f(x)在R上为增函数.故当a>0,且a≠1时,f(x)在R上为增函数.(3)由(2)知,f(x)在R上为增函数,所以f(x)在区间[-1,1]上单调递增.故要使f(x)≥b在区间[-1,1]上恒成立,则只需b≤-1,故b的取值范围是(-∞,-1].解题心得1.比较两个指数幂的大小时,尽量化为同底数或同指数,当底数相同,指数不同时,先构造同一指数函数,再比较大小;当指数相同,底数不同时,先构造同一幂函数,再比较大小;当底数、指数均不同时,可以利用中间值比较.2.解决简单的指数方程或不等式的问题主要利用指数函数的单调性,要特别注意底数a的取值范围,并在必要时进行分类讨论.3.求解指数型函数与函数性质的综合问题,要明确指数型函数的构成,涉及值域、奇偶性、单调区间、最值等问题时,都要借助相关性质的知识分析判断.DC对点训练4(1)若a=-1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)有最大值3,求a的值;(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的值.(3)由指数函数的性质知,要使f(x)的值域为(0,+∞),应使y=ax2-4x+3的值域为R,因此只能a=0(因为若a≠0,则y=ax2-4x+3为二次函数,其值域不可能为R).故a的值为0.指数型复合函数的性质能力形成点1

指数型复合函数的定义域和值域问题命题角度1形如y=af(x)的函数的定义域和值域问题典例1

求下列函数的定义域和值域:解题心得1.形如y=af(x)的函数的定义域就是f(x)的定义域.2.形如y=af(x)的函数的值域,先求出u=f(x)的值域,再结合y=au的单调性求出y=af(x)的值域.若a的取值范围不确定,则需对a进行分类讨论.命题角度2形如y=f(ax)的函数的定义域和值域问题典例2

求函数

的定义域和值域.解题心得求形如y=f(ax)的函数的值域,可先求出u=ax的值域,再结合y=f(u)的单调性确定出y=f(ax)的值域.能力形成点2

指数型复合函数的奇偶性典例3

已知函数(1)判断f(x)的奇偶性;(2)判断f(x)的单调性,并用定义证明;2、对数与对数函数课标要求1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过具体实例,了解对数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.4.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).备考指导作为另一种重要的基本初等函数,对数函数比指数函数在高考中更加常见,除了基本的对数运算、图象与性质外,对数运算还经常与其他知识综合考查.解题时要重视对数的真数大于0这一条件,重视其图象以及单调性等性质的应用,提升数学抽象素养与应用数形结合思想解题的能力.【知识筛查】

1.对数的概念(1)根据下图的提示填写与对数有关的概念:

(2)a的取值范围:a>0,且a≠1.2.常用对数与自然对数

3.对数的性质

6.对数函数的图象与性质

7.反函数对数函数y=logax(a>0,且a≠1)与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)互为反函数.互为反函数的两个函数的图象关于直线

y=x对称.它们的定义域与值域正好互换.1.换底公式的两个重要结论

其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m≠0,n∈R.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.【知识巩固】

××××√B3.函数y=logax与y=-x+a在同一平面直角坐标系中的图象可能是(

)A当a>1时,函数y=logax的图象为选项B,D中过点(1,0)的曲线,此时函数y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足a>1,选项B,D中的图象都不符合要求;当0<a<1时,函数y=logax的图象为选项A,C中过点(1,0)的曲线,此时函数

y=-x+a的图象与y轴的交点的纵坐标a应满足0<a<1,选项A中的图象符合要求,选项C中的图象不符合要求.4.函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过的定点是

.

(2,2)当x=2时,函数y=loga(x-1)+2(a>0,且a≠1)的值为2,所以图象恒过定点(2,2).4能力形成点1对数式的化简与求值A-20解题心得对数运算的一般思路:(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数的运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(2)原式=(lg

2)2+(1+lg

5)lg

2+lg

52=(lg

2+lg

5+1)lg

2+2lg

5=(1+1)lg

2+2lg

5=2(lg

2+lg

5)=2.2能力形成点2对数函数的图象及应用例2

(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=ln(x+1),则函数f(x)的大致图象为(

)C先作出当x≥0时,f(x)=ln(x+1)的图象,显然图象经过点(0,0),再作此图象关于y轴对称的图象,可得函数f(x)在R上的大致图象,如选项C中图象所示.B拓展延伸若本例(2)变为方程4x=logax在区间

上有解,则实数a的取值范围为

.

解题心得应用对数型函数的图象可求解的问题:(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.对点训练2(1)已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是(

)

A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1D由该函数的图象通过第一、第二、第四象限知该函数为减函数,所以0<a<1.因为图象与x轴的交点在区间(0,1)之间,所以该函数的图象是由函数y=logax的图象向左平移不到1个单位长度后得到的,所以0<c<1.(2)若不等式x2-logax<0对任意

恒成立,则实数a的取值范围为

.

能力形成点3对数函数的性质及其应用命题角度1比较对数值的大小例3

已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为(

)A.a<c<b B.a<b<cC.b<c<a D.c<a<bA命题角度2解简单的对数不等式CA.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)C命题角度3对数型函数的综合问题例5

已知函数f(x)=loga(ax-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.解

(1)由ax-1>0,得ax>1.当a>1时,x>0;当0<a<1时,x<0.故当a>1时,f(x)的定义域为(0,+∞);当0<a<1时,f(x)的定义域为(-∞,0).所以f(x1)<f(x2).故当a>1时,f(x)在区间(0,+∞)内单调递增.类似地,当0<a<1时,f(x)在区间(-∞,0)内单调递增.解题心得1.比较对数式的大小:(1)若底数为同一常数,则可由对数函数的单调性直接进行判断;若底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.(2)若底数不同,真数相同,则可以先用换底公式化为同底后,再进行比较.(3)若底数与真数都不同,则常借助1,0等中间量进行比较.2.解简单的对数不等式,先统一底数,再利用函数的单调性,要注意对底数a的分类讨论.3.在判断对数型复合函数的单调性时,一定要明确底数a对单调性的影响,以及真数必须为正数的限制条件.对点训练3(1)已知a=log2e,b=ln2,,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>bD且y=log2x在区间(0,+∞)内单调递增,所以log23>log2e>log22=1,即c>a>1.因为y=ln

x在区间(0,+∞)内单调递增,且b=ln

2,所以ln

2<ln

e=1,即b<1.综上可知,c>a>b.故选D.(2)若不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的取值范围是

.对点训练4已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0,且a≠1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断f(x)的奇偶性,并予以证明;(3)当a>1时,求使f(x)>0的x的取值范围.解

(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),故所求函数的定义域为{x|-1<x<1}.(2)f(x)为奇函数.证明如下:由(1)知f(x)的定义域为{x|-1<x<1},且f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(x+1)-loga(1-x)]=-f(x),故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域(-1,1)内是增函数,所以x的取值范围是(0,1).对数型复合函数的单调性与奇偶性问题命题角度1对数型复合函数的单调性问题典例1

求下列函数的单调区间;解题提示本题主要考查复合函数单调区间的求法,求解时要先求函数的定义域.解:(1)由题意知x2+4x-12>0,依据二次函数t=x2+4x-12的图象可得x>2或x<-6.且t=x2+4x-12在区间(-∞,-6)内单调递减,在区间(2,+∞)内单调递增.又

是区间(0,+∞)内的减函数,故所求函数的单调递增区间是(-∞,-6),单调递减区间是(2,+∞).(2)令t=log0.4x,且t=log0.4x在区间(0,+∞)内单调递减.又y=t2-2t+2=(t-1)2+1在区间[1,+∞)内单调递增,在区间(-∞,1)内单调递减,由t=log0.4x≥1,得0<x≤0.4,由t=log0.4x<1,得x>0.4.故所求函数的单调递增区间为(0.4,+∞),单调递减区间为(0,0.4].解题心得对数型复合函数单调性的求解策略(1)对数型复合函数一般可分两类:一类是对数函数为外函数,即y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型;另一类是对数函数为内函数,即y=f(logax)(a>0,且a≠1)型.(2)对于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型函数的单调性,有以下结论:y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的单调性与u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同,在0<a<1时相反.研究y=f(logax)(a>0,且a≠1)型复合函数的单调性,一般令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可.命题角度2对数型复合函数的奇偶性问题典例2

已知

是奇函数.(1)求实数m的值;(2)判定f(x)在区间(1,+∞)内的单调性,并加以证明.解题心得1.对数函数本身不具有奇偶性,但与有些函数复合后,就具有了奇偶性,如y=log2|x|就是偶函数.这类函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义,并结合对数的运算性质来判断.3、函数的图象课标要求1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.2.学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.备考指导函数的图象问题是高考命题的热点,复习时要掌握基本初等函数的图象,能够利用平移、对称等变换画出与常用函数有关的函数图象,并能数形结合解决有关函数的零点、参数取值范围、不等式的解集等问题.此外,要会用排除法选择已知函数解析式的图象.通过本节的复习,提升直观想象的数学素养和数形结合思想解题的能力.【知识筛查】

1.利用描点法作函数图象的流程

2.函数图象间的变换(1)平移变换对于平移,往往容易出错,在实际判断中可熟记口诀:左加右减,上加下减.(2)对称变换

1.函数图象自身的中心对称(1)f(-x)=-f(x)⇔函数y=f(x)的图象关于原点对称;(2)函数y=f(x)的图象关于点(a,0)对称⇔f(a+x)=-f(a-x)⇔f(x)=-f(2a-x)⇔f(-x)=-f(2a+x);(3)函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称⇔f(a+x)=2b-f(a-x)⇔f(x)=2b-f(2a-x);(4)若函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图象关于点

对称.2.两个函数图象之间的对称关系(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线

对称;(2)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称;(3)函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0,b)对称;(4)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)将函数y=f(x)的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数y=f(x+1)+1的图象.(

)(2)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.(

)(3)函数y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称.(

)(4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(

)(5)若函数y=f(x)满足f(x-1)=f(x+1),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(

)××√√×2.已知图①中的图象对应的函数为y=f(x),则图②中的图象对应的函数为(

)

A.y=f(|x|) B.y=|f(x)|C.y=f(-|x|) D.y=-f(|x|)CB能力形成点1作函数的图象(2)将y=2x的图象向左平移2个单位长度得到y=2x+2的图象,如图②.①

②③

④拓展延伸将例1(3)的函数解析式改为“y=|x2-2x-1|”,作出其图象.解

先作出函数y=x2-2x-1的图象,再保留x轴及其上方部分图象不变,将x轴下方的图象翻折到x轴上方,即得到函数y=|x2-2x-1|的图象,如图(实线部分).解题心得作函数图象的一般方法:(1)直接法.当函数的解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,可根据这些函数的特征直接作出.(2)图象变换法.变换包括:平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换.(3)描点法.当上面两种方法都无法运用时,可采用描点法.为了通过描少量点,就能得到比较准确的图象,常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质作出.对点训练1作出下列函数的图象:(1)y=10|lgx|;(2)y=|x-2|·(x+1).这是分段函数,每段函数的图象可根据正比例函数或反比例函数图象作出(如图).能力形成点2知式判图、知图判图问题A(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y=f(x)的图象如图所示,则y=-f(2-x)的图象为(

)B解题心得函数图象的辨识可从以下几个方面入手:(1)从函数的定义域判断图象左右的位置;从函数的值域判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性判断图象的对称性.(4)从函数的周期性判断图象的循环往复.(5)取特殊点,把点的坐标代入函数解析式中,从点的位置进行判断.(6)必要时可求导研究函数的性质,从函数的特征点,排除不合要求的图象.充分利用上述几个方面,排除错误选项,筛选正确选项.B(2)已知函数y=f(1-x)的图象如图所示,则y=|f(x+2)|的图象是(

)A把函数y=f(1-x)的图象向左平移1个单位长度得y=f(-x)的图象;作出f(-x)的图象关于y轴对称的函数图象得y=f(x)的图象;将f(x)的图象向左平移2个单位长度得y=f(x+2)的图象;将y=f(x+2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方,即可得到|f(x+2)|的图象.故选项A符合题意.能力形成点3函数图象的应用命题角度1利用函数图象确定方程的根的个数A.8 B.10 C.12 D.16C∵奇函数f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(x)=f(2-x)=-f(-x),即f(x)=-f(x+2)=f(x+4),∴f(x)是周期函数,其周期T=4.故f(x)在区间(0,6)内的函数图象如图所示.∴可知方程

在区间(0,6)内的根共有4个,其和为x1+x2+x3+x4=2+10=12,故选C.命题角度2利用函数的图象求参数的取值范围D命题角度3利用函数的图象求不等式的解集例5

如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是(

)A.{x|-1<x≤0}B.{x|-1≤x≤1}C.{x|-1<x≤1}D.{x|-1<x≤2}C如图,作出函数y=log2(x+1)的图象.易知直线BC的方程为y=-x+2,

得点D的坐标为(1,1).由图可知,当-1<x≤1时,f(x)≥log2(x+1),故所求的解集为{x|-1<x≤1}.解题心得1.方程的根的个数为相应函数的图象与x轴交点的个数,或是方程变形后,转化为两个熟悉的函数图象的交点个数.2.已知含参数的方程根的情况,可用数形结合法求参数的范围,一般先把方程变形成一端含参数,再转化为两个熟悉的函数图象的交点个数问题.3.有关函数不等式的问题,常常转化为两个函数图象的上、下关系来解.C[-8,-1]利用排除法解决识图与辨图题答案:D解析:由f(-x)=-f(x)及区间[-π,π]关于原点对称,得f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.典例2

如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的中点.点P沿着边BC,CD与DA运动,记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之和表示为x的函数f(x),则y=f(x)的图象大致为(

)答案:B反思提升解决识图与辨图题,如果通过函数的解析式不容易分辨,那么可通过函数的奇偶性、单调性、对称性、定义域等性质及特殊点的位置排除不适合的选项.4、函数与方程课标要求1.结合学过的函数图象,了解函数的零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.3.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程的近似解,了解用二分法求方程的近似解具有一般性.备考指导高考对本节的考查主要有三个方面:函数零点的概念、求函数的零点、根据函数的零点求参数.此类题目常与函数的性质、图象综合,有时也用到导数知识,考查数形结合思想的应用,有一定的难度.复习时要掌握基本初等函数图象及变换,善于应用转化与化归思想解题,提升直观想象和逻辑推理的数学素养.【知识筛查】

1.函数的零点(1)函数零点的定义对于一般函数y=f(x),x∈D,我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.(2)函数零点的等价关系方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.(3)函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.温馨提示1.函数f(x)的零点不是一个点,而是一个实数x0,且x0满足f(x0)=0.其实x0就是方程f(x)=0的根,也就是函数y=f(x)的图象与直线y=0(即x轴)交点的横坐标.2.并不是所有的函数都有零点,如函数

就没有零点.3.当函数y=f(x)的图象在区间[a,b]上是连续的曲线,但是不满足f(a)·f(b)<0时,函数y=f(x)在区间(a,b)内可能存在零点,也可能不存在零点.2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系

3.二分法对于在区间[a,b]上图象连续不断且

f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象是连续不断的一条曲线,则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在区间[a,b]上只有一个零点.2.连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号.3.周期函数若存在零点,则必有无穷个零点.【知识巩固】

1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)函数f(x)=x2-1的零点是(-1,0)和(1,0).(

)(2)当b2-4ac<0时,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)没有零点.(

)(3)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点(函数图象是连续的),则f(a)·f(b)<0.(

)(4)函数y=2sinx-1的零点有无数个.(

)(5)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值.(

)×√×√×2.函数

的零点所在的区间为(

)A.(0,1) B.(1,2)C.(2,3) D.(3,4)B3.如果二次函数y=x2+mx+m+3有两个不同的零点,那么m的取值范围是(

)A.(-2,6)

B.[-2,6]C.{-2,6}

D.(-∞,-2)∪(6,+∞)D由题意,有Δ=m2-4(m+3)>0,即(m-6)(m+2)>0,解得m>6或m<-2,故选D.4.若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表.那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根(精确到0.1)为(

)A.1.2 B.1.3C.1.4 D.1.5C由表中数据结合二分法的定义得零点存在于区间(1.406

25,1.437

5)内,观察四个选项,与其最接近的是选项C.能力形成点1函数零点所在区间的判断例1

(1)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为(

)C(2)已知定义域为(0,+∞)的单调函数f(x),对任意的x∈(0,+∞),都有f(f(x)-lnx)=e+1.若x0是方程f(x)-f'(x)=e的一个解,则x0所在的区间是(

)A.(0,1) B.(e-1,1) C.(0,e-1) D.(1,e)D令f(x)-ln

x=k,则f(x)=ln

x+k.由f(f(x)-ln

x)=e+1,得f(k)=e+1.又f(k)=ln

k+k=e+1,可知k=e.解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点的存在性定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,然后看是否有f(a)·f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.可简记为:端点函数符号反,区间(a,b)内有零点.(3)通过作函数的图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.对点训练1(1)函数f(x)=πx+log2x的零点所在的区间为(

)A因为函数f(x)在定义域上是增函数,所以f(x)至多存在一个零点.因为f(x)的图象在区间(0,+∞)内是连续的,(2)已知函数

的零点在区间(1,2)内,则实数a的取值范围是(

)A.(1,3) B.(1,2)C.(0,3) D.(0,2)C因为函数

在区间[1,2]上单调递增,且图象连续不断,所以f(1)f(2)<0,即(2-2-a)(4-1-a)<0,即a(a-3)<0,解得0<a<3.(3)函数f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上

(填“存在”或“不存在”)零点.存在

(方法一)∵f(1)=12-3×1-18=-20<0,f(8)=82-3×8-18=22>0,∴f(1)·f(8)<0,又f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上的图象是连续的,∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.(方法二)令f(x)=0,得x2-3x-18=0,∴(x-6)(x+3)=0.∴x=6或x=-3.∵6∈[1,8],-3∉[1,8],∴f(x)=x2-3x-18在区间[1,8]上存在零点.能力形成点2判断函数零点的个数例2

(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.4B函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点也就是方程2x|log0.5x|-1=0的根,作出函数g(x),h(x)的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f(x)有两个零点.(2)已知函数

则函数y=f(f(x))+1的零点的个数是(

)A.4 B.3

C.2 D.1B解题心得判断函数零点个数的方法:(1)解方程法:当对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数图象的交点个数问题.先作出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.BB(方法一)由f(x)=0,因此函数f(x)共有2个零点.(方法二)作出函数f(x